极值点偏移的纯偏移型解法　讲义——2024届高三数学二轮复习

极值点偏移的纯偏移型解法 什么是极值点偏移 我们知道二次函数f(x)的顶点就是极值点，若f(x)=c的两根的中点为，则刚好有=，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移；而函数的极值点=1刚好在两根的中点的左边，我们称之为极值点左偏. 按极值点的偏移来分:分为两类：左偏>；右偏<. 按极值点偏移的处理方法分:分为两类：纯偏移，非纯偏移.纯偏移的处理策略为：构造函数或是. 【例1】已知函数.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)已知函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，证明：当x>1时，f(x)>g(x);(3)若，且f()=f(),证明：+>2. 解：（Ⅰ）f’令f’(x)=0,解得x=1当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表: X () 1 () f’(x) + 0 - f(x) 极大值 所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数. 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)；令F(x)=f(x)-g(x),即；于是；当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数. 又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). (Ⅲ)证明： （1）若 （2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知，>,则=，所以>,从而>.因为，所以，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以>,即>2. 【练习1】已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设，证明：当时，；（3）若函数的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：（x0）＜0． 解：（I） （i）若单调增加. （ii）若且当 所以单调增加，在单调减少. （II）设函数则 当. 故当， （III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点， 故，从而的最大值为 不妨设由（II）得从而由（I）知， 【例2】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）证明：若，且f()=f()时，则+<0. 解：(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．f′(x)＝′ex＋ex＝＋ex ＝ex.当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)证明：当x<1时，由于>0，ex>0，故f(x)>0；同理，当x>1时，f(x)<0.当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1<x2，由(1)知，x1∈(－∞，0)，x2∈(0，1)．下面证明：∀x∈(0，1)，f(x)<f(－x)，即证 ex<e－x.此不等式等价于(1－x)ex－<0. 令g(x)＝(1－x)ex－，则g′(x)＝－xe－x(e2x－1)．当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，从而g(x)<g(0)＝0，即(1－x)ex－<0.所以∀x∈(0，1)，f(x)<f(－x)．由x2∈(0，1)，所以f(x2)<f(－x2)，从而f(x1)<f(－x2)．由于x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以x1<－x2，即x1＋x2<0. 【练习2】已知函数，其中图像与x轴交于A()，B（），且.证明：； 【练习3】已知函数有两个零点.设是的两个零点，证明：. 解:不妨设由题意知.要证不等式成立，只需证当时，原不等式成立即可.令，则， 当时，..即. 令，则,即.而，且在上递增，故，即. 极值点偏移的的纯偏移型解法步骤： 1.构造一元差函数或是； 2.对差函数F(x)求导，判断单调性； 3.结合F(0)=0，判断F(x)的符号，从而确定与的大小关系； 4.由_____=的大小关系，得到________，（横线上为不等号）； 5.结合f(x)单调性得到_____，进而得到________. ( 3 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$