2.1 第1课时 不等关系与不等式 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章　一元二次函数、方程和不等式 1 带着目标阅读教材，勾划重点知识 01 学习目标 ‹#› 2 知识清单 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小. 02 自主预习 ‹#› 3 02 自主预习 ‹#› 4 预习小练 02 自主预习 ‹#› 5 02 自主预习 ‹#› 6 02 自主预习 ‹#› 7 1、用不等号表示不等关系的式子 文字语言 大于 高于 超过 多于 小于 低于 少于 大于等于至少 不低于 小于等于 至多 不多于 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 讲 解 ‹#› 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合得到方法，给出了勾股定理的证明。 大正方形的构成： 4个全等的直角三角形 1个小正方形 等面积法 第24届国际数学家大会会标是根据赵爽弦图设计的. （1）.赵爽弦图的相等关系 2、探索赵爽弦图 ‹#› （2）.赵爽弦图的不等关系（面积关系） 大正方形面积 >4个直角三角形的面积和 a,b>0 大正方形面积 =4个等腰直角三角形的面积和 思考：对于任意的实数a,b，a2+b2≥2ab成立吗？试用代数方法证明。 当中间的四边形缩为一点,即四个直角三角形变为等腰直角三角形时 ‹#› 03 互动探究 ‹#› 11 03 互动探究 ‹#› 12 设提价后杂志的定价为x元，则销售的总收入为 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为： 注意：在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一. 03 互动探究 ‹#› 13 14 03 互动探究 ‹#› 14 03 互动探究 ‹#› 15 规 律 和 方 法 03 互动探究 ‹#› 16 03 互动探究 ‹#› 17 03 互动探究 ‹#› 18 03 互动探究 ‹#› 19 03 互动探究 ‹#› 20 不等式与不等式关系 1．不等式与不等关系： 2．比较两个实数大小关系的依据： 3．作差比较法： 用不等式表示不等关系 作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论 拓展：如果两个正实数，也可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1. 04 课堂小结 ‹#› 05 达标训练 ‹#› 22 05 达标训练 ‹#› 23 05 达标训练 ‹#› 24 05 达标训练 ‹#› 25 课堂作业： P35的6(3)、7(1)(3)题； p42习题2.1的3(1)(4)题. 06 课堂作业 ‹#› 26 学习的本质是改变思维 THANK YOU 27 星之所在 初音未来 Other 132264.0 2.1等式性质与不等式性质 第1课时　不等关系与不等式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) 2．会用作差法比较两实数的大小、证明不等式．(重点) 1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养． 2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养. 不等式 1．相等关系与不等关系 相等关系用等式表示，不等关系常用　 　　来表示． 2．实数a，b的比较大小－作差法 文字语言 数学语言 等价条件 a－b是正数 a－b＞0 a＞b a－b等于零 a－b＝0 a＝b a－b是负数 a－b＜0 a＜b ≥ a＝b 3.重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2　 2ab， 当且仅当　 　　时，等号成立． C　 D 2．某学生月考数学成绩 不低于100分，英语成绩和语文成绩 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为( ) A． B． C． D． 1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40　　 B．T>40　　C．T≤40　　 D．T≥40 3．某高速公路规定通过车辆的车货总高度 从地面算起不能超过 ,用不等式表示为 　 M＞N　 M－N＝a2＋a＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＞0， 所以M＞N. 4．设M＝a2，N＝－a－1，则M、N的大小关系为________． （1）、设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h，则0< v <40． (2)、 【例1】用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系? （1）某路段限速40km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%， 蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短． 题型一 用不等式(组)表示不等关系 （3）、设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b > c，a－b < c． （4）、设C是直线AB外任意一点，CD垂直于AB，垂 足为D，E是直线AB上不同于D的任意一点，则CD<CE ． 【例1】用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系? （1）某路段限速40km/h； （2）某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f 应不少于2.5%， 蛋白质的含量p应不少于2.3%； （3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边； （4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短． 题型一 用不等式(组)表示不等关系 【思考题1】用不等式或不等式组表示不等关系。 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元 【思考题2】．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系． [解]　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为eq \f(30－x,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))(m)． 因此菜园面积S＝x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))， 依题意有S≥216，即xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216， 故该题中的不等关系可用不等式表示为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216.)) 题型二 比较两数(式)的大小 【例2】　已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． ∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0， ∴3x3≤3x2－x＋1. 作差法比较两个实数大小的基本步骤： 【变式题1】　已知x R，比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． ∵3x2＋1＞0， 当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1. 【变式题2】比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． [解]　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1 ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4). ∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2≥0，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)＞0. ∴(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＞0， ∴2x2＋5x＋3＞x2＋4x＋2. 【例3】　某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠． 题型三 不等关系的实际应用 当n＝5时，y1＝y2；当n＞5时，y1＜y2；当n＜5时，y1＞y2. 因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠． [解]　设该单位职工有n人(n∈N*)，全票价为x元，坐甲车需花y1元，坐乙车需花y2元， 则y1＝x＋eq \f(3,4)x·(n－1)＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn，y2＝eq \f(4,5)nx. 因为y1－y2＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)xn－eq \f(4,5)nx ＝eq \f(1,4)x－eq \f(1,20)nx＝eq \f(1,4)xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n,5)))， 1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500元，请瓦工共需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，试用不等式表示上述关系． [解]　由题意知，500x＋400y≤20 000， 即5x＋4y≤200. >　 因为(a2－ab)－(ba－b2)＝(a－b)2，又a>b， 所以(a－b)2>0. 2．若实数a>b，则a2－ab________ba－b2.(填“>”或“<”)． 3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家旅行社价格更优惠？ [解]　设该家庭除户主外，还有x人参加旅游，甲、乙两旅行社收费总额分别为y甲、y乙，一张全票价为a元，则 y甲＝a＋0.55ax，y乙＝0.75(x＋1)a. y甲－y乙＝(a＋0.55ax)－0.75(x＋1)a ＝0.2a(1.25－x)， 当x＞1.25(x∈N)时，y甲＜y乙； 当x＜1.25，即x＝1时，y甲＞y乙． 因此两口之家，乙旅行社较优惠，三口之家或多于三口的家庭，甲旅行社较优惠． $$