5.3诱导公式-重点强化提升讲义-2025届高三数学一轮复习

5.3诱导公式 ( 知识 归纳 ) 诱导公式 口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是中整数的奇偶性，把看作锐角) ；. ①.公式（一）：与 ；； ②.公式（二）：与 ；； ③.公式（三）：与 ；； ④.公式（四）：与 ；； ⑤.公式（五）：与 ；； ⑥.公式（六）：与 ；； ⑦.公式（七）：与 ；； ⑧.公式（八）：与 ；； ( 考点讲解 ) 题型一：三角函数诱导公式 1．求值：（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）在中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 题型二：诱导公式的综合应用 1．设函数，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B．0 C． D． 2．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．计算 (1) (2) (3) 4．已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 题型三：三角函数恒等式的证明------诱导公式 1．已知，，则“”是“存在使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（多选）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，求证：. 4．证明：． 题型四：三角函数的化简、求值-----诱导公式 1．，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．化简： ． 题型五：正切函数的诱导公式 1．（多选）设，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则 3．求值： (1)； (2)； (3)． 4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. ( 巩固提升 ) 1．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知角的终边与单位圆交于点，则（    ） A．1 B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（    ） A．20 B．10 C．21 D．42 8．已知为的三个内角，下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 10．（多选）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．（多选）下列说法正确的有（   ） A．若角的终边过点，则角的集合是 B．若，则 C．若，则 D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是 12．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则 ． 13．化简： . 14．若，，则 ． 15．化简： (1)； (2)． 16．在①，②两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答. 已知角，且________. (1)求的值； (2)求的值. ( 走进高考 ) 1．（2017·全国·高考真题）函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为 A． B．1 C． D． 2．（2016·上海·高考真题）设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2015·重庆·高考真题）若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2013·全国·高考真题）已知sin2α=，则cos2(α+)=（ ） A． B． C． D． 5．（2017·北京·高考真题）在平面直角坐标系中,角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若,则 . 6．（2016·上海·高考真题）设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为 . 7．（2016·全国·高考真题）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）= . 8．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.3诱导公式 ( 知识 归纳 ) 诱导公式 口诀：奇变偶不变,符号看象限(所谓奇偶指的是中整数的奇偶性，把看作锐角) ；. ①.公式（一）：与 ；； ②.公式（二）：与 ；； ③.公式（三）：与 ；； ④.公式（四）：与 ；； ⑤.公式（五）：与 ；； ⑥.公式（六）：与 ；； ⑦.公式（七）：与 ；； ⑧.公式（八）：与 ；； ( 考点讲解 ) 题型一：三角函数诱导公式 1．求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的周期性和奇偶性化简求值即可. 【详解】 ， 故选：A 2．（多选）下列化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由题意利用诱导公式化简所给的式子，可得结果． 【详解】解：∵，故A正确； ,故B正确； ，故C不正确； ，故D不正确， 故选：AB． 3．（多选）在中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据诱导公式化简判断各个选项即可. 【详解】在中，有， ∴，A选项正确； ，B选项正确； ，C选项正确； ，D选项不正确； 故选：ABC. 4．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1)，，； (2). 【分析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果； （2）利用诱导公式对原式进行化简，代入，的值，即可求出结果. 【详解】（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知 ， ， （2）由诱导公式，得 . 题型二：诱导公式的综合应用 1．设函数，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】令函数，化简求得，得到关于直线对称，结合题意，得到，即可求解. 【详解】令函数， 可得 ，即，所以函数关于直线对称， 因为函数与恰有一个交点，所以， 可得，解得， 当，时，，所以. 故选：C. 2．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用平方关系求得的值，再结合诱导公式、商数关系逐项化简判断即可. 【详解】因为，，所以， 则，， ，，则AC正确，BD错误. 故选：AC. 3．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)1； (3). 【分析】（1）（2）（3）利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即得. 【详解】（1） （2）. （3）. 4．已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由诱导公式化简即可； （2）由已知及诱导公式得，，根据同角三角函数的平方关系得出，即可求解． 【详解】（1） ． （2）因为，所以， ， ， 因为，所以， 故， 因此． 题型三：三角函数恒等式的证明------诱导公式 1．已知，，则“”是“存在使得”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式即可判断. 【详解】(1)当存在使得时， 则； 即不能推出. (2)当时， 或，, 所以对第二种情况，不存在时，使得成立， 故“”是“存在使得”的既不充分不必要条件. 故选：D 2．（多选）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A、B，由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C、D，由诱导公式进行化简证明即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 3．已知，求证：. 【答案】证明见解析. 【分析】由已知可得（），代入等式左边，再利用诱导公式推理即得. 【详解】由，得（），则（）， 因此 ， 所以原等式成立. 4．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 题型四：三角函数的化简、求值-----诱导公式 1．，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式对进行化简，再利用进行求解即可. 【详解】由， 则， 因此可得， 故选：D. 2．已知，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式可得，即可得结果. 【详解】因为， 且，所以. 故选：C. 3．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式求解即得. 【详解】∵角的终边经过点， ∴，故A，C错误，D正确； 对于B，，故B错误. 故选：D 4．化简： ． 【答案】 【分析】利用诱导公式及同角三角函数基本关系式化简求值. 【详解】. 故答案为： 题型五：正切函数的诱导公式 1．（多选）设，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据诱导公式依次计算得到答案. 【详解】对选项A：，正确； 对选项B：，正确； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误； 故选：ABC. 2．已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得的值，再由角的终边关于y轴对称可得，结合诱导公式代入计算，即可求解. 【详解】因为是第一象限角，则， 则， 又角的终边关于y轴对称，则， 则. 故答案为： 3．求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由正切函数的诱导公式依次求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）． 4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，其终边经过点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助三角函数的定义计算即可得； （2）借助辅助角公式计算即可得. 【详解】（1）角终边经过点，， ； （2）原式. ( 巩固提升 ) 1．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义可先得，再根据诱导公式计算即可. 【详解】由正弦函数的定义可知， 再利用诱导公式知. 故选：B 2．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用诱导公式计算即得. 【详解】由，得. 故选：B. 3．已知角的终边与单位圆交于点，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题意结合三角函数定义得，再由诱导公式即可得解. 【详解】由题，所以. 故选：B. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法，以及三角函数的诱导公式和二倍角公式，即可求解. 【详解】令，则， 故， 故选：D. 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式求出，再利用同角公式计算即得. 【详解】由，得，又， 则，所以. 故选：D 6．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两边同时平方，从而利用可以实现角α的弦切互化， 【详解】由两边同时平方，可得， ，解得. . 故选：C. 7．已知函数，则（    ） A．20 B．10 C．21 D．42 【答案】C 【分析】结合函数解析式应用奇函数性质求函数值即可. 【详解】因为， 设,，所以为奇函数. . 故选：C. 8．已知为的三个内角，下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为，逐个去分析即可选出答案． 【详解】由题意知，在中，， 对A选项，，故A选项正确； 对B选项，，故B选项正确； 对C选项，，故C选项正确； 对D选项，，故D选项不正确． 故选：D 9．（多选）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据三角函数的定义求出角的正弦，余弦，正切值，可判断A,B项正误；再运用诱导公式即可判断C,D项正误. 【详解】角的终边经过点，， 则，， ， ，， 故A，B正确，C，D错误. 故选：AB 10．（多选）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由已知条件及诱导公式计算，再由平方关系即可求解. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：AB. 11．（多选）下列说法正确的有（   ） A．若角的终边过点，则角的集合是 B．若，则 C．若，则 D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是 【答案】ABC 【分析】由三角函数的定义判断A，根据诱导公式判断B，根据“1”的代换和弦切互化求解判断C，根据扇形弧长公式求解判断D. 【详解】因为角的终边过点，为第一象限角， 所以由三角函数的定义知，所以角的终边与终边相同， 所以角的集合是，故A选项正确； 因为，所以B选项正确； 因为，所以C选项正确； 设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为， 所以扇形周长为，故，所以D选项不正确． 故选：ABC 12．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则 ． 【答案】/ 【分析】根据角关于轴对称的特点即可得到答案. 【详解】因为角与角的终边关于轴对称，所以， 所以. 故答案为：. 13．化简： . 【答案】 【分析】运用诱导公式直接化简即可. 【详解】 . 故答案为：. 14．若，，则 ． 【答案】或 【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系化简，再应用一元二次不等式求解. 【详解】因为，所以， 左右两边平方得， 所以,, 所以或. 故答案为：或 15．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用诱导公式和同角关系式中的商数关系化简即可； （2）利用诱导公式化简即可. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 16．在①，②两个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答. 已知角，且________. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①，根据同角三角函数关系结合齐次化方法，可得，解方程求， 若选②，根据同角关系由求，再求； （2）根据诱导公式化简求值. 【详解】（1）若选①，因为，所以， 则，解得：或， 因为角，所以； 若选②，因为，角， 所以， 所以； （2）由（1）可知，， 所以 ( 走进高考 ) 1．（2017·全国·高考真题）函数f(x)=sin(x+)+cos(x−)的最大值为 A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由诱导公式可得， 则, 函数的最大值为. 所以选A. 【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征． 2．（2016·上海·高考真题）设，.若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对（a,b）的对数为. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】试题分析：，， 又，， 注意到，只有这两组．故选B． 【考点】三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 3．（2015·重庆·高考真题）若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 , 所以 原式 ， 故选C. 点睛：三角恒等变换的主要题目类型是求值，在求值时只要根据求解目标的需要，结合已知条件选用合适的公式计算即可．本例应用两角和与差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角关系式使得已知条件可代入后再化简，求解过程中注意公式的顺用和逆用. 本题主要考查两角和与差的公式. 4．（2013·全国·高考真题）已知sin2α=，则cos2(α+)=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】===,故选A. 【考点定位】本小题主要考查三角中的二倍角公式、诱导公式等公式的应用，属容易题，熟练基础知识是关键. 5．（2017·北京·高考真题）在平面直角坐标系中,角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若,则 . 【答案】 【详解】试题分析：因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以. 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则 ，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则. 6．（2016·上海·高考真题）设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为 . 【答案】4 【详解】试题分析： 当时，，，又，，注意到，所以只有2组：,满足题意；当时，同理可得出满足题意的也有2组：,，故共有4组. 【考点】三角函数 【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，首先确定得到的可能取值，利用分类讨论的方法，进一步得到的值，从而根据具体的组合情况，使问题得解.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 7．（2016·全国·高考真题）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）= . 【答案】 【分析】由题求得θ的范围，结合已知求得cos（θ），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ）的值． 【详解】解：∵θ是第四象限角， ∴，则， 又sin（θ）， ∴cos（θ）． ∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）． 则tan（θ）＝﹣tan（）． 故答案为． 【点睛】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 8．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值. 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $$