圆锥曲线求范围、最值专题讲义-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线求范围、最值专题讲义 1、已知椭圆：(a>b>0)的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，在直线x=2上的点P(2, )满足|PF2|=|F1F2|，直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同的两点A、B.（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足（O为坐标原点），求实数 的取值范围. 解：依题意有得　．方程．… 5分 （Ⅱ）由得． 设点、的坐标分别为、，则 …………7分, ． （1）当时，点、关于原点对称，则． （2）当时，点、不关于原点对称，则， 由，得 即 点在椭圆上，有， 化简，得．，有…①…10分 由，得② 由①、②两式得．，，则且． 综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是． …………………14分 2、如图，已知椭圆:的一个焦点是，两个焦点与短轴的一个 端点构成等边三角形. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过点且不与坐标轴垂直的直线 交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为. （ⅰ）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标； （ⅱ）求△面积的取值范围. 解：（Ⅰ）因为椭圆的一个焦点是，所以半焦距. 椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.所以，解得 所以椭圆的标准方程为. ………… 4分 （Ⅱ）（i）设直线：与联立并消去得： .记，， ，. ……………… 5分 由A关于轴的对称点为，得，根据题设条件设定点为， 得，即. 所以 即定点 8分 （ii）由（i）中判别式，解得. 可知直线过定点 所以 …………………………… 10分 得，令,记，得，当时，.在上为增函数， 所以 ，得， 故△OA1B的面积取值范围是. ………………………………… 13分 3、如图，在椭圆中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，B、D分别为椭圆的左、右顶点，A为椭圆在第一象限内的任意一点，直线AF1交椭圆于另一点C，交y轴于点E，且点F1、F2三等分线段BD。（I）求a的值； （II）若四边形EBCF2为平行四边形，求点C的坐标。 （III）设的取值范围。 解：（I）∵F1，F2三等份BD， …………1分 ……3分 （II）由（I）知为BF2的中点， （III）依题意直线AC的斜率存在， 同理可求 4、求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点. （Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标； （Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围. 解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力． （Ⅰ）易知，，．∴，．设．则 ，又， 联立，解得，． （Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，． 联立 ∴，由 ，，得．① 又为锐角， ∴又 ∴ ∴．② 综①②可知，∴的取值范围是． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$