第四单元比（讲义）-2024-2025学年六年级数学上册人教版

第四单元比（单元讲义） 六年级数学上册人教版 知识梳理 精讲例题 专项练习 思维导图 答案详解 思维导图 知识梳理 知识点一、比的意义 1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 例如 15 ：10 = 15÷10=(比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示) 15　 ∶ 　 10　 ＝　 前项 比号 后项 　　 比值 3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。 也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间。 4、区分比和比值 比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。 比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。 6、　比和除法、分数的联系： 7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。 8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。 9、体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。 10、求比值：用前项除以后项，结果最好是写为分数（不会约分的就不约分） 知识点二、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系： 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值不变。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。 2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。 4.化简比： ①两个整数比：用比的前项和后项同时乘分母的最大公因数。 ②两个分数比：用前项和后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法化简。 ③两个小数比：比的前项和后项同时向右移动小数点的位置，要移几位都移几位，先化成整数比再化简。 ④一个分数和一个整数的比：分数和整数同时乘分数的分母，把分数化成整数再化简。 ⑤一个小数和一个分数的比：先把小数化成分数（能约分的先约分），再按化简分数比的方法化简。 (2)用求比值的方法。注意： 最后结果要写成比的形式。 5、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值，结果没有单位。 6.按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。 一般有两种解题法 １，用分率（分数）解:按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分数。要先求出总份数，再求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几。 2，用份数解：要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多少。 精讲例题 【例题一】．绘画室里有40名学生，男、女生人数的比不可能是（　　） A．3：5 B．3：2 C．1：3 D．5：4 【答案】D 【分析】先求出男女生人数总共是几份，再看，这个数是不是40的因数．据此解答． 【详解】40的因数有：1，2，4，5，8，10，20，40． 3+5=8，8是40的因数， 3+2=5，5是40的因数， 1+3=4，4是40的因数， 5+4=9，9不是40的因数． 故选D． 【例题二】．某妇产医院上月新生婴儿303名，男女婴儿人数之比是51∶50，上月新生男女婴女各有多少人？ 【答案】．男婴153人，女婴150人 【分析】首先求男女婴儿人数的总份数51＋50＝101份，再求男女婴儿分别占总数的、，根据按比例分配方法最后求男女婴的人数，列式解答即可。 【详解】303×＝153（人） 303×＝150（人） 答：上月新生男婴儿153人，上月新生女婴儿150人。 【例题三】．奇思和淘气比赛跳绳，两人共跳了420次．奇思和淘气跳的次数比是4：3．奇思和淘气各跳了多少次？ 【答案】．奇思：240次      淘气：180次 【分析】奇思和淘气跳的次数比是4：3，所以总个数420相当于4+3＝7份，用除法求出一份的次数，再分别乘4和3即可． 【详解】420÷（4+3） ＝420÷7 ＝60（次） 60×4＝240（次） 60×3＝180（次） 答：奇思和淘气分别跳了240次、180次． 【例题四】．十九世纪初的法国数学家拉普拉斯经过研究发现，在不同地区男婴和女婴的出生人数比大致是相同的．下表是去年我国A、B、C三城市的男、女婴出生人数比． 城市 A B C 男、女婴出生人数比 113：100 27：25 43：40 哪个城市男、女婴出生人数比最高？哪个城市男、女婴出生人数比最低？ 【答案】．A城市的男、女婴出生人数比最高，C城市男、女婴出生人数比最低． 【详解】试题分析：求出三个城市男女婴的比值；再比较大小即可得解． 解：A：113：100=1.13； B：27：25=1.08； C；43：40=1.075，； 因为1.13＞1.08＞1.075，所以A城市的男、女婴出生人数比最高，C城市男、女婴出生人数比最低． 答：A城市的男、女婴出生人数比最高，C城市男、女婴出生人数比最低． 点评：此题主要考查利用比来解决实际问题． 专项练习 一、选择题 1．下面（    ）不是直角三角形三个内角的度数的比。 A．1∶2∶3 B．1∶1∶2 C．18∶13∶5 D．4∶15∶17 2．从学校到电影院，甲用8分钟，乙用10分钟，甲和乙速度的最简比是（    ）。 A．8∶10 B．4∶5 C．5∶4 D． 3．一个长方形的周长是32厘米，长与宽的比是5∶3，则这个长方形的面积是（    ）平方厘米。 A．16 B．60 C．30 D．15 4．1克药放入100克水中，药与药水的比是（    ）。 A．1∶99 B．1∶100 C．1∶101 D．100∶101 5．比的后项相当于分数的（    ）。 A．分子 B．分母 C．分数线 二、填空题 6．下图中平行四边形的面积是16平方厘米，长5厘米，那么长( )厘米。若与的长度比是，那么与的长度比是( )。 7．一个三角形三条边长度的比是4:5:6，周长是75厘米，这个三角形三条边长度分别是( )、( )、( )． 8．一本故事书有120页，小强第一天看了全书的，第一天与第二天看的页数比是4∶5。两天一共看了( )页。 9．一项工程，甲单独做要6天完成，乙单独做8天完成，甲、乙的工作效率比是 。 10．：化成最简单的整数比是( )，比值是( )． 11．一个直角三角形中，两个锐角的度数比是3：2，其中较大的锐角比较小的锐角大( )度． 12．白兔比灰兔多，白兔与灰兔只数最简整数比为( )；如果白兔和灰兔共38只，白兔有( )只。 13．小明以的速度从甲地到乙地，小华以的速度从乙地到甲地。两人同时出发，在离甲、乙两地中点处相遇。甲、乙两地间的路程是( )。 14．甲、乙两人都从A地到B地，甲走了1小时，乙走了50分钟。甲与乙的时间比是( )，速度比是( )。 15．一辆汽车8小时行了480千米，这辆汽车行驶的路程和时间的比是( )，比值是( )，比值表示( )；这辆汽车行驶的时间和路程的比是( )，比值是( )，比值表示( )。 16．把1.5m∶60cm化成最简整数比是( )，比值是( )。 17．把1.6∶化成最简整数比是( )，这个比的比值是( )。 三、判断题 18．在中，，那么是一个直角三角形。( ) 19．一杯糖水有120克，糖和水的比是1∶5，如果在这杯糖水中加入5克糖，再加入25克水。那么这杯糖水的浓度不变。( ) 20．从甲地到乙地，小明要用10分钟，小红要用12分钟，则小明和小红平均每分钟走的路程比是6:5． ( ) 21．把长方形的长增加，宽不变，新长方形和原来长方形的面积比是3∶1。( ) 22．从甲地到乙地，货车用了4小时，客车用了6小时，货车速度与客车速度的比是2∶3。( ) 四、计算题 23．求下面各比的比值。                                          五、解答题 24．一辆汽车从甲地到乙地，已行驶了全程的，再行驶63千米后已行路程与剩下路程的比是3∶1，甲、乙两地相距多少千米？ 25．某山区小学一、二、三年级共有学生60人，其中一、二年级人数的比是3：4，三年级占总人数的，一、二年级分别有学生多少人？ 26．艾力看一本故事书，第一天看了全书的，第二天看了20页。这时已看页数与未看页数的比是1∶3，这本书共有多少页？ 27．小李和小吴合作经营一家餐馆，上个月的营业额是30万元，扣除成本10万元，剩下的钱按3∶2分配给小李和小吴，这个月小李和小吴各分得多少万元？ 28．两车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，相遇时货车与客车所行路程比是4∶5。已知甲、乙两地的距离为108千米，货车比客车少行驶了多少千米？ 29．用24厘米的铁丝围成一个直角三角形，这个三角形三条边长度的比是3∶4∶5，这个直角三角形斜边上的高是多少厘米？ 30．调查结果显示，某校六年级180名学生中，会打乒乓球的人数占全年级人数的，会打羽毛球与会打乒乓球的人数比是6：5．六年级学生中会打羽毛球的有多少人？ 31．六(1)班的李佳、张帅和刘云峰在教室里擦桌椅。李佳擦了桌椅总数的；张帅和刘云峰擦完了剩下的桌椅，他俩所擦桌椅数的比是2:3，其中张帅擦了10套桌椅。三人一共擦了多少套桌椅？ 32．陈叔叔和李阿姨共同获得一笔奖金，原打算把这笔奖金平均分配，后来为了体现“多劳多得”的原则，根据两人所做贡献的大小按3：2分配，于是陈叔叔比原来多分配了200元．这笔奖金共多少元？ 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 33 答案 D C B C B D 1．D 【分析】因为一个直角三角形中，有一个直角是90度，两个锐角的度数和也是90度，即直角与两个锐角度数的和相等，则直角对应的份数是两个锐角对应份数的和，据此分析即可。 【详解】A．1∶2∶3，1＋2＝3，是直角三角形中三个内角的度数比； B．1∶1∶2，1＋1＝2，是直角三角形中三个内角的度数比； C．18∶13∶5，13＋5＝18，是直角三角形中三个内角的度数比； D．4∶15∶17，4＋15≠17，不是直角三角形中三个内角的度数比； 故答案为：D。 【点睛】此题考查了直角三角形的内角特点，有一个直角是90度，两个锐角的度数和也是90度。 2．C 【分析】把学校到电影院的路程看作单位“1”，然后根据速度＝路程÷时间，分别计算出甲、乙的速度，再写出它们的比化简即可。 【详解】（1÷8）∶（1÷10） ∶ ＝（×40）∶（×40） ＝5∶4 甲和乙速度的最简比是5∶4。 故答案为：C 【点睛】本题考查了比的意义和化简，关键是根据速度、路程、时间三者之间的关系解答。 3．B 【分析】根据长方形的周长公式：（长＋宽）×2，由此即可求出长加宽的和，即32÷2＝16厘米，把长看作5份，宽看作3份，总份数是（5＋3）份，用16厘米除以总份数即可求出每份多少厘米，再乘长与宽对应的份数，求出长和宽，进而求出面积即可。 【详解】32÷2÷（5＋3） ＝16÷8 ＝2（厘米） 2×5＝10（厘米） 2×3＝6（厘米） 10×6＝60（平方厘米） 即长方形的面积是60平方厘米。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查比的应用以及长方形周长和面积的公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。 4．C 【分析】药＋水＝药水，根据比的意义，写出药与药水的比即可。 【详解】1∶（1＋100）＝1∶101 1克药放入100克水中，药与药水的比是1∶101。 故答案为：C 【点睛】关键是理解比的意义，两数相除又叫两个数的比。 5．B 【分析】根据比与分数的关系：前项∶后项＝，所以比的后项相当于分数的分母。据此选择。 【详解】根据分析可知： 比的后项相当于分数的分母。 故答案为：B 6． 3.2 5∶6 【分析】根据平行四边形的高＝面积÷底，求出AH的长；根据BC与CD的长度比，用BC长度÷6×5，求出CD长度，根据平行四边形面积公式求出AF的长，根据比的意义，写出AH与AF的比，化简即可。 【详解】16÷5＝3.2（厘米） 5÷6×5＝（厘米） 16÷＝16×＝（厘米） 3.2∶＝80∶96＝5∶6 【点睛】关键是掌握平行四边形的面积公式，理解比的意义，化简比根据比的基本性质。 7． 20 25 30 【解析】略 8．54 【分析】先用120×求出第一天看了多少页，又因为第一天与第二天看的页数的比是4∶5，可以将第一天看的书当成4份，用第一天看的页数除以4求出一份是多少，再乘上第二天的5份即可求出第二天看的页数，将两天看的页数相加即可求解。 【详解】120×＝24（页） 24÷4＝6（页） 5×6＝30（页） 24＋30＝54（页） 两天一共看了54页。 【点睛】此题考查分数乘法以及比的应用。 9． 【分析】根据题意可知，将工程总量看作单位“1”，甲的工作效率为，乙的工作效率为，进而写出它们的工作效率比即可。 【详解】甲、乙的工作效率比是∶＝4∶3 【点睛】明确单位“1”，求出甲、乙的工作效率是解答本题的关键。 10． 12：5 【解析】略 11．18 【详解】两个锐角的和是90°， 2+3＝5， 90°×＝90°×＝18° 答：其中较大的锐角比较小的锐角大18度．故答案为18． 12． 11∶8 22 【分析】把灰兔的只数看作单位“1”，白兔比灰兔多，则白兔的只数是灰兔的1＋＝，然后根据比的基本性质化简比即可；然后根据按比分配问题，求出白兔的只数即可。 【详解】1＋∶1 ＝∶1 ＝（×8）∶（1×8） ＝11∶8 38×＝22（只） 【点睛】本题考查按比分配问题，求出白兔和灰兔的比是解题的关键。 13．18 【分析】我们运用在相同的时间内，所行驶的路程的比就是它们的速度的比，由题意可知小明行驶的路程与小华行驶的路程的比是，所以小明行驶了全程的，用1千米除以就是甲乙两地的距离。 【详解】两人在相同的时间内行驶的路程的比是他们速度的比，即相遇时，小明行驶的路程：小华行驶路程；所以小明行驶的路程占总路程的， ， ， ， ， （千米）； 答：甲、乙两地间的路程是。 故答案为：18 【点睛】本题关键找出1千米对应的分率，然后再列式解答即可。 14． 6∶5 5∶6 【分析】把从A地到B地的路程看作单位“1”，先根据题意，用甲所用的时间和乙所用的时间相比，进而根据“路程÷时间＝速度”分别求出甲和乙的速度，进而解决问题即可。 【详解】1小时＝60分钟 60∶50 ＝（60÷10）∶（50÷10） ＝6∶5 （1÷60）∶（1÷50） ＝∶ ＝（×300）∶（×300） ＝5∶6 所以甲与乙的时间比是6∶5，速度比是5∶6。 15． 60∶1 60 速度 1∶60 每千米需要的时间 【分析】两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出路程和时间的比，化简即可，求比值直接用比的前项÷后项；路程÷时间＝速度；根据比的意义，写出时间和路程的比，化简；时间÷路程＝行驶1千米需要的时间。 【详解】480∶8＝60∶1＝60 8∶480＝1∶60＝ 一辆汽车8小时行了480千米，这辆汽车行驶的路程和时间的比是60∶1，比值是60，比值表示速度；这辆汽车行驶的时间和路程的比是1∶60，比值是，比值表示每千米需要的时间。 【点睛】关键是理解比的意义，理解速度、时间、路程之间的关系。 16． 5∶2 2.5 【分析】先统一单位，再根据比的基本性质，比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变；据此求出它们的最简整数比，比值可直接用比的前项除以比的后项即可得解。 【详解】1.5m＝150cm 1.5m∶60cm ＝150cm∶60cm ＝（150÷30）∶（60÷30） ＝5∶2 5∶2＝5÷2＝2.5 【点睛】本题考查比的化简和求比值，解答本题的关键是掌握比的化简方法。 17． 4∶1 4 【分析】（1）先把小数化成假分数，再根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘一个数或除以一个数（0除外）比值不变；使比的前项和后项变成互质数。 （2）用比的前项除以后项即可。 【详解】1.6∶＝1∶＝∶＝（×5）∶（×5）＝8∶2＝4∶1 1.6∶＝1.6÷＝1.6÷0.4＝4 【点睛】化简比的结果还是一个比，而求比值的结果是一个数。 18．√ 【分析】三角形的内角和为180°，又因为，然后根据按比分配问题，求出这个三角形的最大角的度数，再根据三角形按角分类确定是什么三角形。 【详解】180°× ＝180°× ＝90° 这个三角形的最大角是90°，则这个三角形是直角三角形。原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查按比分配问题，明确三角形的内角和等于180°是解题的关键。 19．√ 【分析】一杯糖水有120克，糖和水的比是1∶5，根据按比例分配方法得出糖水中糖和水的重量；保持糖水浓度不变，即糖和水的比还是1∶5，根据比的化简即可得出答案。 【详解】一杯糖水有120克，糖和水的比是1∶5，则糖水中糖的重量为：（克），水的重量为：（克）。加入糖和水后糖的重量为25克，水的重量为125克，此时糖和水的比为：，与原糖水浓度相同，即浓度不变。 因此本题正确。 【点睛】本题主要考查的是按比例分配及比的化简，解题的关键是计算出糖水中糖和水的重量，再进行计算得出答案。 20．√ 【详解】试题分析：小明、小红每分钟所行的路程之比，就是求它们的速度比，与时间成反比．把这段路程看成单位“1”，那么小明的速度就是，小红的速度就是，用甲的速度比上乙的速度即可． 解： 所以甲乙每分钟所行的路程之比是6:5． 21．× 【分析】设原来长方形的长为a、宽是b，则面积为ab；长增加即新长方形的长是原来的（1＋），长度为a×（1＋）＝a，宽是b，则新长方形面积为ab；新长方形和原来长方形的面积比是ab∶ab，再化简即可。 【详解】设原来长方形的长为a、宽是b，原来长方形的面积S＝ab。 新长方形的长a×（1＋）＝a，宽是b，新长方形的面积S＝ab。 新长方形和原来长方形的面积比是ab∶ab＝∶1＝4∶3；原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】灵活运用长方形的面积公式，根据比的意义和化简比的知识进行解答。 22．× 【分析】将甲乙两地之间的路程看作单位“1”，速度＝路程÷时间，从而将货车和客车的速度表示出来，再根据比的意义，作比化简出两车的速度比。 【详解】∶＝（×12）∶（×12）＝3∶2 所以，货车速度与客车速度的比是3∶2。 故答案为：× 【点睛】本题考查了比，明确比的意义，掌握比的化简方法是解题的关键。 23．0.4；；； 【分析】①可用24除以60，得到比值0.4； ②可按分数除法计算出商，得到比值； ③可按小数除法计算出商，除不尽的就写成分数的形式，再按分数约分的方法进行化简，得到比值； ④可先把小数0.6化为分数，再按分数除法计算出商，得到比值。 【详解】24÷60＝0.4             ×＝ 0.5÷0.75＝＝                 ÷＝×＝ 24．112千米 【分析】把全程看作单位“1”，由已行路程与剩下路程的比是3∶1可知，已行路程占全程的，用（－）可求出63千米占全程的几分之几，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，用63÷（－）即可求出甲、乙两地相距多少千米。 【详解】63÷（－） ＝63÷（－） ＝63÷ ＝63× ＝112（千米） 答：甲、乙两地相距112千米。 【点睛】本题重点考查分数与比的综合应用，掌握用已知具体量除以对应分率求出单位“1”的方法是解题的关键。 25．一年级有15人，二年级有20人． 【详解】试题分析：先用60乘（1﹣），求出一、二年级的人数，再乘，就是一年级的人数，乘，就是二年级的人数．据此解答． 解：60×（1﹣）×， =60××， =15（人）， 60×（1﹣）×， =60××， =20（人）， 答：一年级有15人，二年级有20人． 点评：本题主要考查了学生根据分数乘法的意义列式解答问题的能力． 26．400页 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，第一天看了全书的，第一天和第二天一共看了全书的，表示出第二天看的页数占总页数的分率，再根据量÷对应的分率＝单位“1”求出这本书的总页数，据此解答。 【详解】20÷（－） ＝20÷（－） ＝20÷ ＝20×20 ＝400（页） 答：这本书共有400页。 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。 27．12万元；8万元 【分析】用餐馆上个月的营业额30万减去成本10万，可以求出剩下的钱数；根据小李拿剩下的钱的，小吴拿剩下钱的，列乘法算式解答。 【详解】30－10＝20（万元） 20×＝12（万元） 20×＝8（万元） 答：这个月小李分得12万元，小吴分得8万元。 【点睛】本题考查了比的实际应用，需要明确按比例分配的方法。 28．12千米 【分析】相遇时货车与客车所行路程之和正好是两地之间的路程108千米，其中货车占了4份，客车占了5份，相差1份，求出1份是多少，即货车比客车少行驶的路程。 【详解】 （千米） 答：货车比客车少行驶了12千米。 【点睛】本题将相遇问题与按比分配问题相结合，见比设份是求解按比分配问题最常用的方法。 29．4.8厘米 【分析】已经知道分配的总量和分配比，把24按比分配，求出直角三角形的三边和面积，再根据面积相等的方法求出三角形斜边上的高。 【详解】3+4+5=12 24×=6（厘米） 24×=8（厘米） 24×=10（厘米） 6×8÷10 =48÷10          =4.8（厘米） 答：这个直角三角形斜边上的高是4.8厘米。 【点睛】明确24厘米就是这个直角三角形的周长。再根据比的意义、直角三角形周长、面积公式求解。此题虽然不难，但是一个综合性试题。 30．24人 【详解】180×÷ ＝20÷ ＝24（人） 答：六年级学生中会打羽毛球的有24人． 31．50套 【详解】10×=15（套） (10 +15)÷=50（套） 答：三人一共擦了50套桌椅 32．这笔奖金共2000元 【详解】试题分析：把奖金总额看作单位“1”，根据题意可知：原来陈叔叔的奖金占奖金总额的，现在则占奖金总额的，可求出现在比原来多分配的奖金占奖金总额的，即200元的对应分率，用除法解答即可． 解：200÷（﹣）， =200÷， =2000（元）； 答：这笔奖金共2000元． 点评：此题属于比的应用，也考查了分数除法应用题的解题思路． 学科网（北京）股份有限公司 $$