1.3.1 正方形的性质 练习题 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

1.3.1 正方形的性质 一、单项选择题 1．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AO＝3，则AB的长为( ) A．2 B．3 C． D．3 2．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED的度数为( ) A．15° B．35° C．45° D．55° 3．如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为(－1，1)，AB平行于x轴，则点C的坐标为( ) A．(2，5) B．(3，1) C．(－1，4) D．(3，5) 4．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB.EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J.则图中阴影部分的面积等于( ) A．1 B． C． D． 5．如图，在正方形ABCD的右侧作等边三角形CDE，连接AE，则∠BAE的度数是( ) A．75° B．65° C．55° D．45° 6．如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE的长度为( ) A． B． C．2 D．2 7．如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为( ) A．2＋2 B．5－ C．3－ D．＋1 8．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，且AB＝AE，则∠CBE的度数是( ) A．45° B．30° C．22.5° D．20° 二、填空题 9．如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为________． 10．如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝______________. 11．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为______． 12．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为________． 13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC上的一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF的周长为32，则OF的长为______． 14．在平面直角坐标系中，正方形ABCD如图所示，点A的坐标是(－1，0)，点D的坐标为(－2，4)，则点C的坐标为____________． 15．如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE，BC于点H，G，则BG＝____． 三、解答题 16．(如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F.求证：DF＝BE＋EF. 17．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边DC和边CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE，AF，求证：AE＝AF. 18．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M. 求证：AE＝BF. 19．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形． (1)求证：△ABE≌△DCE； (2)求∠AED的度数． 20．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE. (1)求证：△BAE≌△CDE； (2)求∠AEB的度数． 21．如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积． 答案 一、 1-8 DCDDA BDC 二、 9. 2 10. －1 11. 2 12. 135° 13. 14. (2，5) 15. 1 三、 16. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，∵CE⊥BG，DF⊥CE，∴∠BEC＝∠DFC＝90°，∴∠BCE＋∠CBE＝90°＝∠BCE＋∠DCF，∴∠CBE＝∠DCF，在△CBE和△DCF中，∴△CBE≌△DCF(AAS)，∴CF＝BE，CE＝DF，∵CE＝EF＋CF，∴DF＝BE＋EF 17. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，∴∠ABF＝90°＝∠D.又∵DE＝BF，∴△ABF≌△ADE(SAS)，∴AE＝AF 18. 证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠ABE＝∠BCF＝90°， ∵CE＝DF，∴BE＝CF，∴△AEB≌△BFC(SAS)，∴AE＝BF 19. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形， ∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°， ∴∠ABE＝∠DCE＝30°，∴△ABE≌△DCE(SAS) (2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝(180°－∠ABE)＝×(180°－30°)＝75°.又∵∠BAD＝90°，∴∠EAD＝∠BAD－∠BAE＝90°－75°＝15°， 同理可得∠ADE＝15°，∴∠AED＝180°－∠EAD－∠ADE＝180°－15°－15°＝150° 20. 解：(1)∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°， ∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°， ∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE(SAS) (2)∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°， ∴∠AEB＝×(180°－150°)＝15° 21. (1) 证明：∵四边形ABCD为正方形，∴CD＝AB，∠ABE＝∠CDF＝45°， 又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF(SAS) (2) 解：连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，又∵DF＝BE，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形，∵AB＝3，∴AC＝BD＝6， ∵BE＝DF＝2，∴EF＝2，∴四边形AECF的面积＝AC·EF＝×6×2＝6 学科网（北京）股份有限公司 $$