第十三章 轴对称（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十三章 轴对称（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列图片是几所名牌大学的校徽，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 2．如图，与关于直线对称，交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了成轴对称图形的性质，根据成轴对称图形的性质逐项判断即可． 【详解】解：因为与关于直线对称， 所以，，，与不一定平行，故A，B，C项一定正确，D项不一定正确． 故选：D． 3．如图，的面积等于6，边，现将沿所在直线翻折，使点落在直线上的处，点在直线上，则线段的长不可能是（   ） A．3 B．4 C．5.5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题关键．过作于，于，根据折叠得出，根据角平分线性质得出；接下来根据三角形的面积求出，即可得出点到的最短距离． 【详解】解：过作于，于． 将沿所在直线翻折，使点落在直线上的处， ， ． 的面积等于6，， ， ， ，即点到的最短距离是4， 的长不可能为3． 故选：A 4．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质，平面镜中的成像与现实中的事物恰好左右颠倒，并关于镜面对称，由此可得题中图形在现实中的样子. 【详解】根据镜面对称的性质可得，题中图形在现实中的图形为 故选：C. 【点睛】本题考查了平面镜成像的特征，可以看成是数学里图形沿一条直线翻折后的变化. 5．在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键． 根据题意分两种情况，当是锐角三角形时，当是钝角三角形时，讨论求解即可； 【详解】解：分两种情况： 当是锐角三角形时，如图： 是的垂直平分线， ， ， ； 当是钝角三角形时，如图： 是的垂直平分线， ， ， ， ； 综上所述：这个等腰三角形的顶角为或， 故选：C． 6．如图，在三边都不相等的中，，垂足为M，，垂足为N，且，Q在AC上，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，平行线的性质与判定等等：先证明得到，再由等边对等角推出，则，据此可判断①②；再根据，即可判断③；由平行线的性质得到，由，得到，据此可判断④． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 故选：C． 7．如图，已知，点在射线上，点在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．32 B．510 C．256 D．64 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，进而发现规律是解题关键．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：A 8．如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交、边于点E、F，点D为边的中点，点M为直线上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质． 连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴，解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的最小值为6． 故选：C． 9．若点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，根据这种关系转化为方程组的问题． 点关于轴的对称点为，则点的坐标是，点关于轴的对称点为，则的的坐标是，因而就得到关于，的方程组，从而求出，，得出点的坐标． 【详解】解：点关于轴的对称点为，则点的坐标是，点关于轴的对称点为，则的的坐标是， 根据题意得：， 解得：， 点的坐标为． 故选：D． 10．如图，在中，，点是射线上两点，且，若，，则下列结论中①是等腰直角三角形；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】结合，，可证明，即可判断结论①；证明，结合全等三角形的性质可得，即可判断结论②；结合，易得，进而可知，即可判断结论③；证明，由“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，，结合，易得，即可判断结论④． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，故结论①正确； ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即，故结论②正确； ∵， ∴，， ∴， ∴，故结论③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，故结论④正确． 综上所述，结论正确的有①②③④，共计4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角直角三角形的性质、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质、证明是解题的关键． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 12．如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3，以AB两点为圆心，大于AB的长为半径画圆，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相较于点D，则△BDC的周长为 ． 【答案】8 【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，则根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△BDC的周长=AB+BC． 【详解】解：由作法得MN垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴△BDC的周长=DB+DC+BC =DA+DC+BC =AC+BC =AB+BC =5+3 =8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线）．也考查了线段垂直平分线的性质．熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键． 13．如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是 度． 【答案】 【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出，求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵等腰中，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵是的中垂线， ∴ ∴， ∴， ∵，平分， ∴垂直平分， ∴， ∴ ∵点沿折叠后与点重合， ∴垂直平分线段， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，三角形的内角和定理，中垂线及等腰三角形的性质，解题的关键是能正确作出辅助线． 14．在△ABC中，∠ABC=45，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，下列结论： ①∠FCD=45 ②AE=EC   ③S△ABF：S△AFC=AD：FD ④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长． 正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据题意利用全等三角形的性质和三角形面积公式和三角形公共边以及线段垂直平分线的性质进行综合分析判断即可. 【详解】解：∵∠ABC=45°， ∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角， 而∠ADB=∠ADC=90°， ∴△BDF≌△ADC， ∴FD=CD， ∴∠FCD=∠CFD=45°， ∴①正确； 若AE=EC，则∵BE⊥AC， ∴BA=BC，显然不可能，故②错误； ∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高， ∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一条公共边， ∴S△ABF：S△AFC =BD：CD， ∵AD=BD ，FD=CD， ∴S△ABF：S△AFC=AD：FD， ∴③正确； 若BF=2EC，根据①得BF=AC， ∴AC=2EC， 即E为AC的中点， ∴BE为线段AC的垂直平分线， ∴AF=CF，BA=BC， ∴AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+CD， 即△FDC周长等于AB的长， ∴④正确． 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高． 15．如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 【详解】解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（9分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小，并求出P点坐标．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2) (3)点P即为所求 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可作出关于x轴的对称图形． （2）根据轴对称的性质即可写出点C关于关于y轴的对称点的坐标． （3）连接交y轴于点P，根据两点之间线段最短即可使得周长最小． 【详解】（1）如图所示，即为所求． （2）点C关于关于y轴的对称点的坐标． （3）如图，点P即为所求． 17．（8分）如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得，利用，进而证明； （2）由则在的中垂线上，再证明可得，故在的中垂线上，则垂直平分． 本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 与全等； 理由：，， 即， 在与中， ， ； （2）解：如图：连接，    由（1）， 在的中垂线上， ， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， 垂直平分． 18．（8分）如图，四边形． (1)尺规作图：作的平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，证明：点C 在的平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的判定，三线合一定理： （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）可证明垂直平分，由三线合一定理可知平分，即点C 在的平分线上． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴由三线合一定理可知平分， ∴点C 在的平分线上． 19．（8分）在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 【答案】①③④能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形，②不能，图见解析． 【分析】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，根据等腰三角形的判定对个选项逐一分析，只有不能被一条直线分成两个小等腰三角形，此题的4个选项中只有图有点难度． 【详解】解：如图所示： ①作的角平分线，则分为两个小等腰三角形； ②不能过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形； ③过点作的垂线，则分为两个小等腰三角形； ④以为顶点，为一边在三角形内部作一个度角，则分为两个小等腰三角形． 20．（8分）如图，，点E为上一点，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行线的性质得到，然后根据三角形全等的判定证明即可； （2）根据全等的性质得到，然后运用三角形内角和定理计算即可； 【详解】（1）解： 在和中 （2） 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练运用这些知识解决问题是关键． 21．（9分）【阅读理解】如图， (1)如图1，在四边形中，，E是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 某同学给出了解决这个问题的一种思路：如图2，延长交的延长线于点F，通过证明，得到，从而把，，转化到一个三角形中，由此即可判断，，之间的数量关系．请利用该同学的解题思路或用你自己的方法直接写出，，之间的数量关系； (2)如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长； (3)如图4，是的中线，是的中线，且，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)4 (3)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形中线的定义，垂直平分线的性质等，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． （1）先判断出，推出，再通过等量代换证明，根据等角对等边得出，即可得出； （2）延长，交于点．先利用证明，推出，，结合，可知是的垂直平分线，进而可得； （3）延长至F，使，先证，推出，，再证，由全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）解：，理由如下： 延长交的延长线于点F， ， ，， 又点E是的中点， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，延长，交于点． ， ， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， 是的垂直平分线， ； （3）解：，理由如下： 如图，延长至F，使， 是的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ，． 是的中线， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 22．（12分）在中，，点E在是边上一动点（不与A、B重合），连接，点P是直线上一个动点． (1)如图1，，E是中点，，N是射线上一个动点，若使得的值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点M和点N的位置，并简述画法；直接写出的最小值； (2)如图3，，连接，且．求证：． 【答案】(1)绘图及说明见解析，5 (2)见解析 【分析】（1）画法：作点M关于的对称点，过作交于点P，交于点N，根据作图直接写出的最小值即可； （2）过P作于点F，于点D，通过导角得到，则．再证明，得到由平行线间间距相等可得，则，即可证明垂直平分则． 【详解】（1）解：作点M关于的对称点，过作交于点P，交于点N， ∵，E是中点， ∴， ∵，点是M关于的对称点， ∴，且点在上， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴在中， ∴得到最小值为5； （2）解：过P作于点F，于点D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ 由平行线间间距相等可得， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 23．（13分）如图，    (1)问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段之间的数量关系为______； (2)拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；②相等 (2)；，理由见详解； (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到，，即可得到的度数；由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，即可得到线段、、之间的数量关系； （3）证明，得到，推出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：①和都是等边三角形， ，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 故答案为：； ②， ， 故答案为：； （2）解：和都是等腰直角三角形，， ，， ，   在与中，， ， ， ，点B、D、E在同一条直线上， ， ， ， 都是等腰直角三角形，， ， ， ， 的度数为，线段之间的数量关系为：； （3）解：根据（1）（2）中结论可知：，得， 和都是等腰三角形，， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列图片是几所名牌大学的校徽，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，与关于直线对称，交于点，则下列结论不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，的面积等于6，边，现将沿所在直线翻折，使点落在直线上的处，点在直线上，则线段的长不可能是（   ） A．3 B．4 C．5.5 D．6 4．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌的部分号码为（   ） A． B． C． D． 5．在中，，的垂直平分线与所在直线的夹角为，则这个等腰三角形的顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 6．如图，在三边都不相等的中，，垂足为M，，垂足为N，且，Q在AC上，，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，已知，点在射线上，点在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．32 B．510 C．256 D．64 8．如图，等腰的面积为9，底边的长为3，腰的垂直平分线分别交、边于点E、F，点D为边的中点，点M为直线上一动点，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 9．若点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，点是射线上两点，且，若，，则下列结论中①是等腰直角三角形；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，，，则图中的等腰三角形有 个． 12．如图，已知AB=AC，AB=5，BC=3，以AB两点为圆心，大于AB的长为半径画圆，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相较于点D，则△BDC的周长为 ． 13．如图，在等腰中，，，的平分线与的中垂线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是 度． 14．在△ABC中，∠ABC=45，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，下列结论： ①∠FCD=45 ②AE=EC   ③S△ABF：S△AFC=AD：FD ④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长． 正确结论的序号是 ． 15．如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（9分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于x轴的对称图形； (2)请直接写出点C关于y轴的对称点的坐标： ； (3)在y轴上找一点P，使得周长最小，并求出P点坐标．（保留作图痕迹） 17．（8分）如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 18．（8分）如图，四边形． (1)尺规作图：作的平分线；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若，证明：点C 在的平分线上． 19．（8分）在如图的三角形中，若，哪些能被过一个顶点的一条直线分成两个小等腰三角形？能被过一个顶点的一条直线分为两个小等腰三角形的请作出这条直线． 20．（8分）如图，，点E为上一点，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．（9分）【阅读理解】如图， (1)如图1，在四边形中，，E是的中点，若是的平分线，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 某同学给出了解决这个问题的一种思路：如图2，延长交的延长线于点F，通过证明，得到，从而把，，转化到一个三角形中，由此即可判断，，之间的数量关系．请利用该同学的解题思路或用你自己的方法直接写出，，之间的数量关系； (2)如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长； (3)如图4，是的中线，是的中线，且，请判断线段与线段的数量关系，并说明理由． 22．（12分）在中，，点E在是边上一动点（不与A、B重合），连接，点P是直线上一个动点． (1)如图1，，E是中点，，N是射线上一个动点，若使得的值最小，应如何确定M点和点N的位置？请你在图2中画出点M和点N的位置，并简述画法；直接写出的最小值； (2)如图3，，连接，且．求证：． 23．（13分）如图，    (1)问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段之间的数量关系为______； (2)拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$