第十三章 轴对称（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十三章 全等三角形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了镜面对称的性质的运用，解答此题的关键是要注意联系生活实际． 镜面对称的性质：平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，据此判断即可． 【详解】解：实际时间最接近8时的时钟，在镜子里看起来应该是4点， 所以图C所示的时间最接近8时． 故选：C． 2．如果点和点关于直线对称，则的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形变化对称，根据两点关于直线对称，可求出，的值，进而解决问题． 【详解】因为点和点关于直线对称， 所以，， 则，， 所以． 故选：C． 3．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即，只需作线段的垂直平分线即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，即，只需作线段的垂直平分线即可． 故选B． 4．“二十四节气”是根据太阳在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置来划分的，是在我国春秋战国时期订立的一种用来指导农事的补充历法．下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的判断，根据将一个图形沿一条直线对折两边完全重合的图形叫轴对称图形直接判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， A选项图形不是轴对称图形，不符合题意， B选项图形是轴对称图形，符合题意， C选项图形不是轴对称图形，不符合题意， D选项图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 5．如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键． 由角平分线、平行线的性质可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．如图所示三角形纸片中，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为． 再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为，若，则的周长为，则长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，根据等角对等边可得，折叠的性质得，，，再根据的周长为，可得到关于的方程，求解即可．熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵三角形纸片中，， ∴， ∵将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为． 再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， 即， ∴， 即长为． 故选：B． 7．如图，平分，垂直平分于点，交的延长线于点，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质可判断选项A；根据等腰三角形三线合一性质可判断选项B；根据等腰三角形的性质及三角形外角性质可判断选项C；根据三角形角平分线的定义可判断选项D． 【详解】解：∵平分， ∴，故选项D的结论正确，不符合题意； ∵不一定是等腰三角形， ∴不能证明，故选项B的结论错误，符合题意； ∵垂直平分， ∴，故选项A的结论正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故选项C的结论正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 8．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于G，交于H，下面说法： ①；②；③；④．其中正确的是(　  　) A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①③④ 【答案】C 【分析】①无法证明是否同底等高的两个三角形面积相等即可判断；②根据三角形内角和定理求出，根据三角形外角性质即可推出；③根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断；④根据等腰三角形的判定方法即可判断． 【详解】解：∵无法证明， 故无法证明， 故①错误； 是角平分线， ， 是高， ， ， ，， ， ，， ，故②正确； 是高， ， ， ，， ， 是角平分线， ， ， 即，故③正确； 根据已知条件不能推出， 因此不能证明，故④错误； 综上可知，②③结论正确， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的角平分线、中线和高性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，难度一般，解题的关键是综合运用上述知识． 9．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D和点E；②以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；③以F为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点G；④过点G作射线交于点H．若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查复杂作图，等腰三角形的判定和性质等知识，证明，，推出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可知， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 10．如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，已知，点M，N在边上，，点P是边上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好只有一个，则x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的判定．根据等腰三角形的性质分类讨论，分别求解范围即可． 【详解】解：①如图1，当时，即，以M为圆心，以2为半径的圆交于点P，此时， 则点P，M，N构成的等腰三角形的点P恰好只有一个． ②如图2．当时，即，过点M作于点P， ∴． ∴， 作的垂直平分线交于点P，则． 此时，以点P，M，N构成的等腰三角形的点恰好有2个． 则当时，以P，M，N构成的等腰三角形恰好只有一个． 综上，当或时，以P，M，N构成的等腰三角形恰好只有一个． 故答案为：或 12．如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点，．的平分线交于点，连接，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是掌握相关知识．根据等腰直角三角形的性质可得，由折叠可得，由平分可得，推出，证明，得到，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， 由折叠可得：， ， 平分， ， ， ， 又， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E．若，，则的长是 ． 【答案】/2厘米 【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，连接，角平分线的性质，得到，证明，得到，证明，得到，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵平分，于D，于E， ∴，， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵垂直， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即：， ∴； 故答案为： 14．如图，在中，，将∠A 折起，使点 A落在边上的点处，折痕为．若 ，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，先根据直角三角形的性质，再由轴对称的性质和三角形的内角和定理可以求出结论，解答时利用三角形的内角和定理求解是关键． 【详解】解： 与关于成轴对称， 故答案为：． 15．如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接、，根据轴对称的性质、垂直平分线的性质可得，则欲求的最小值即为的最小值，即的最小值，则当时，即的值最小，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接、， 是、的对称轴， 即是线段的垂直平分线， ， 的最小值即为的最小值，即的最小值， 当时，即的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长， 在中，，，， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称的性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短及含角的直角三角形的性质，解题关键是找出点、的位置． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）年世界体育大会将于月日日在英国西米德兰兹郡伯明翰召开，其组织者于近日揭晓了这一盛会的官方标志，如图1．官方标志为一个抽象的心形，其中存在许多全等的三角形，其下半部分可简化为图2． 如图2，在等腰三角形中，，是边上两点，连接，．求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据可得，根据可得，根据三角形外角性质可得，运用“边角边”即可求解． 【详解】证明：∵是等腰三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且， ∴． 17．（8分）请根据题意，用尺规补全图形，并补全说理过程． (1)如图，在中，作的平分线交于点，以为边，作，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据以上作图，可以得到．请补充完整以下的说理过程： 平分， ①___________． ， ②___________． ． ③___________ ． 【答案】(1)见解析 (2)①．②．③ 【分析】（1）根据所给作图步骤作图即可； （2）根据角平分线得，根据平行线的性质得，进而利用等量代换及等角对等边即可得解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：平分， ①． ， ②． ． ③ ． 故答案为：①．②．③． 【点睛】本题主要考查了角平分线定义，尺规作平行线，尺规作角，平行线的性质及判定，等角对等边，熟练掌握平行线的性质及判定是解题的关键． 18．（8分）如图，，，于E． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）作交的延长线于，证明，得出，再由角平分线的判定定理即可得证； （2）由（1）可得：，证明得出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，作交的延长线于， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1）可得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 19．（10分）在中，，点是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接． (1)当点在边上时， ①如图1，若，则______； ②如图2，若，则______； ③观察以上结果，猜想与的数量关系，并利用图3说明理由． (2)当点在的延长线上时，如图4，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①②③或，理由见解析 (2) 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质： （1）等边对等角求出的度数，证明，得到，再根据角的和差关系，进行求解即可； （2）先证明，再根据平角的定义求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ①当时，则：； ②当时，则：； ③，理由如下： ∵， ∴ ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴． 20．（8分）阅读与思考 下面是小王同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日   星期二 数学推理真有趣 今天数学课上学习了如果交换某命题的条件和结论，可以得到一个新命题，这个命题是原命题的逆命题．例如：原命题是两直线平行，同位角相等，交换该命题的条件和结论，就可以得到该命题的逆命题是同位角相等，两直线平行…… 在数学中有很多类似的情况，例如：如图，E是上一点，①，②是的平分线，③，如果这三个条件中已知其中的任意两个，那么就能推导出第三个． 第一种情况：已知，如图，E是上一点；，是的平分线．求证：． 证明：∵，∴． ∵是的平分线，∴．∴．∴（依据） 第二种情况：已知，如图，E是上一点，，．求证：______ 证明：…… 第三种情况…… 任务： (1)以上证明过程中，依据是指______． (2)请你将日记中第二种情况的求证和第三种情况的已知和求证补充完整，并选择其中一种情况进行证明． 【答案】(1)等角对等边 (2)见解析 【分析】（1）根据等角对等边解答即可． （2）根据题意，写出已知，求证，给出证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角的平分线，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：依据是等角对等边， 故答案为：等角对等边． （2）解：第二种情况：求证：是的平分线． 故答案为：是的平分线． 第三种情况：已知，如图，E是上一点，是的平分线，．求证：． 选择第二种情况，证明如下 证明：∵， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴是的平分线， 选择第三种情况，证明如下： 证明：∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 21．（8分）中，点D是边中点，过点D的直线交边于点M，交边的延长线于点N，且． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时，请直接写出线段的数量关系． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）过点C作交于点E，证明是等边三角形，得到，证明得到，进而可得结论； （2）过点C作交于点F，同理，证明是等腰直角三角形，得到，证明得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明：过点C作交于点E，如图①， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 过点C作交于点F，如图②， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（12分）如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当D在线段上时，求证：． (2)请判断点D在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2)当点D在中点时，，理由见详解． (3)或或 【分析】（1）根据即可证明； （2）D运动到中点时，；利用等腰三角形的三线合一即可证明； （3）分D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上，画出四种图形，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：若， 又∵， ∴平分， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， ∴当点D在中点时，； （3）解：由（1）可知， ∴， 当时，则，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ①如图1：D在线段上时，若， 则． ②如图2，点D在的延长线上，， ③如图3，点D在的延长线上，此时，． ④如图4，． 综上所述，满足条件的的度数为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会运用分类讨论思想． 23．（13分）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，中，，其中； (1)如图1，求出点A和点B的坐标； (2)如图2，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．连接，设的面积为S，用含有t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点P在线段上时，过点B作于点B，连接，且；当时．求的面积 【答案】(1)； (2) (3)39 【分析】（1）利用非负数的和为零的性质及解二元一次方程组，即可求得m与n的值，从而求得两点的坐标； （2）分点P在线段上与原点左边两种情况考虑，利用三角形面积即可求解； （3）过点C作轴于D，则可证明，得，；由可求得；由得，由长方形面积减去面积的和，即可得所示结果三角形的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∴；； （2）解：∵，， ∴， 当点P在线段上时，即，此时； 则， ∴； 当点P在原点左边时，此时； 则， ∴； 综上，； （3）解：如图，过点C作轴于D， 则； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； ∴； ∵， ∴； ∵，且， ∴； ∴ ． 【点睛】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，割补法求图形面积等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 全等三角形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．小明在镜中看到身后墙上的时钟，实际时间最接近8时的是下图中的（ ） A． B． C． D． 2．如果点和点关于直线对称，则的值是（    ） A． B． C． D．5 3．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 4．“二十四节气”是根据太阳在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置来划分的，是在我国春秋战国时期订立的一种用来指导农事的补充历法．下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴对称图案的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（    ） A．9 B． C． D． 6．如图所示三角形纸片中，，将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为． 再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为，若，则的周长为，则长为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，平分，垂直平分于点，交的延长线于点，下列结论中不正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于G，交于H，下面说法： ①；②；③；④．其中正确的是(　  　) A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①③④ 9．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D和点E；②以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；③以F为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点G；④过点G作射线交于点H．若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．如图，中，分别是边上的动点，则的周长的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如图，已知，点M，N在边上，，点P是边上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好只有一个，则x的取值范围是 ． 12．如图，是等腰直角三角形，，将沿着一条直线折叠，使顶点的对应点刚好落在边上，这条折痕分别交，于点，．的平分线交于点，连接，若，则 °． 13．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于P点，于D，于E．若，，则的长是 ． 14．如图，在中，，将∠A 折起，使点 A落在边上的点处，折痕为．若 ，则 ．    15．如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）年世界体育大会将于月日日在英国西米德兰兹郡伯明翰召开，其组织者于近日揭晓了这一盛会的官方标志，如图1．官方标志为一个抽象的心形，其中存在许多全等的三角形，其下半部分可简化为图2． 如图2，在等腰三角形中，，是边上两点，连接，．求证：． 17．（8分）请根据题意，用尺规补全图形，并补全说理过程． (1)如图，在中，作的平分线交于点，以为边，作，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据以上作图，可以得到．请补充完整以下的说理过程： 平分， ①___________． ， ②___________． ． ③___________ ． 18．（8分）如图，，，于E． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 19．（10分）在中，，点是直线上一点，连接，以为边向右作，使得，，连接． (1)当点在边上时， ①如图1，若，则______； ②如图2，若，则______； ③观察以上结果，猜想与的数量关系，并利用图3说明理由． (2)当点在的延长线上时，如图4，请直接写出与的数量关系． 20．（8分）阅读与思考 下面是小王同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． x年x月x日   星期二 数学推理真有趣 今天数学课上学习了如果交换某命题的条件和结论，可以得到一个新命题，这个命题是原命题的逆命题．例如：原命题是两直线平行，同位角相等，交换该命题的条件和结论，就可以得到该命题的逆命题是同位角相等，两直线平行…… 在数学中有很多类似的情况，例如：如图，E是上一点，①，②是的平分线，③，如果这三个条件中已知其中的任意两个，那么就能推导出第三个． 第一种情况：已知，如图，E是上一点；，是的平分线．求证：． 证明：∵，∴． ∵是的平分线，∴．∴．∴（依据） 第二种情况：已知，如图，E是上一点，，．求证：______ 证明：…… 第三种情况…… 任务： (1)以上证明过程中，依据是指______． (2)请你将日记中第二种情况的求证和第三种情况的已知和求证补充完整，并选择其中一种情况进行证明． 21．（8分）中，点D是边中点，过点D的直线交边于点M，交边的延长线于点N，且． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时，请直接写出线段的数量关系． 22．（12分）如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当D在线段上时，求证：． (2)请判断点D在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 23．（13分）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，中，，其中； (1)如图1，求出点A和点B的坐标； (2)如图2，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．连接，设的面积为S，用含有t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点P在线段上时，过点B作于点B，连接，且；当时．求的面积 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$