第四章 整式的加减（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（山西专用，人教版2024）

第四章 整式的加减（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．在多项式中，最高次项的系数和常数项分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列说法中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数也是0 C．单项式的系数是1，次数是1 D．单项式的系数是，次数是2 4．不改变代数式的值，下列添括号错误的是（    ） A． B． C． D． 5．已知多项式与多项式的差中不含有，则的值（    ） A． B． C．11 D．1 6．已知，，那么的值为（    ） A． B． C．9 D．10 7．如图是2022年12月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中5个数（如2、8、9、10、16）．若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的5个数，则这5个数的和可能为（    ） A．41 B．46 C．75 D．116 8．下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 9．下列各组中不是同类项的是（   ） A．与 B． 与 C．与 D．与 10．一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如果单项式y与的和是单项式，那么的值为 ． 12．有理数在数轴上的位置如图所示，化简： ． 13．如图，所示是一个长方形，阴影部分的面积 ．（用含x的代数式） 14．若多项式是四次三项式，则 ． 15．已知，，则的值为 ． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）化简： (1)； (2) 17．（9分）已知． (1)化简：； (2)若，，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求此时的值． 18．（9分）日历上的规律：下图是2023年11月的日历，图中的阴影区域是在日历中选取的一块九宫格． (1)九宫格中，四个角上的四个数之和与九宫格中央这个数有什么关系？ (2)请你自选一块九宫格进行计算，观察四个角上的四个数之和与九宫格中央那个数是否还有这种关系．（用虚线框圈出你所选定的九宫格） (3)试说明原理． 19．（8分）【教材呈现】下题是课本93页17题： 如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？ 【阅读理解】小海在做作业时采用如下的方法，解答如下： 由题意得， ∴， ∴代数式的值为． 【解决问题】 （1）小海的计算过程体现了 的数学思想； A．数形结合；B．整体；C．分类讨论；D．函数 （2）若代数式的值为3，求代数式的值； 【能力提升】 （3）已知，，，求的值． 20．（8分）【阅读与思考】有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以2，得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则 ____________； (2)已知，求的值； (3)已知，，则代数式的值为 ______________． 21．（9分）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定 (1)计算的值． (2)当、b在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 22．（12分）我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时， ①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费__________元． ②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费__________元． ③某户8月份用了的水，求该户8月份应缴纳的水费__________元． (2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为__________元（用含，的式子表示）． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含的式子表示） 23．（12分）将连续的奇数1，3，5，7，⋯排成如图的数表，用图中所示的十字框可任意框出5个数． [探究规律一]：设十字框中间的奇数为a，则框中五个奇数之和用含a的代数式表示为 　 　； [结论]：这说明能被十字框框中的五个奇数之和一定是自然数p的奇数倍，这个自然数p是 　 　． [探究规律二]：落在十字框中间且又是第二列的奇数是15，27，39，51⋯则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数），同样，落在十字框中间且又是第三列，第四列的奇数分别可表示为 　 　，　 　（用含m的式子）； [运用规律]： （1）已知被十字框框中的五个奇数之和为6025，则十字框中间的奇数是 　 　；这个奇数落在从左往右第 　 　列； （2）被十字框框中的五个奇数之和可能是425吗？可能是2025吗？说说你的理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 整式的加减（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．在多项式中，最高次项的系数和常数项分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的相关概念，熟练掌握多项式的相关概念是解题的关键． 根据多项式的相关概念即可解答． 【详解】解：在多项式中，最高次项的系数和常数项分别为和， 故选：B． 2．在下列各式：①； ②； ③； ④；⑤中，整式个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查整式的定义，单项式与多项式统称为整式，根据整式的概念逐项验证即可得到答案，熟记整式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：①； ②； ③； ④；⑤中，整式有①； ②； ③；⑤；共4个， 故选：C． 3．下列说法中正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数也是0 C．单项式的系数是1，次数是1 D．单项式的系数是，次数是2 【答案】D 【分析】本题考查单项式的系数与次数，根据单项式的系数：数字因式，次数：所有字母的指数和，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，原说法错误，不符合题意； B、单项式a的系数是1，次数也是1，原说法错误，不符合题意； C、单项式的系数是，次数是1，原说法错误，不符合题意； D、单项式的系数是，次数是2，原说法正确，符合题意； 故选D． 4．不改变代数式的值，下列添括号错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据添加括号法则分析判断即可． 【详解】解：根据添括号法则，可得 ，故A选项正确，不符合题意； ，故B选项正确，不符合题意，而C选项错误，符合题意； ，故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了添加括号法则，理解并掌握添加括号法则是解题关键． 5．已知多项式与多项式的差中不含有，则的值（    ） A． B． C．11 D．1 【答案】A 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题．利用整式的加减运算法则，化简后，根据差中不含，得到的系数为0，求出的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】解： ； ∵差中不含， ∴， ∴， ∴； 故选A． 6．已知，，那么的值为（    ） A． B． C．9 D．10 【答案】A 【分析】去括号，合并同类项后，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选A． 【点睛】本题考查整式加减中的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，利用整体思想求解，是解题的关键． 7．如图是2022年12月的日历表，在此日历表中用阴影十字框选中5个数（如2、8、9、10、16）．若这样的阴影十字框上下左右移动选中这张日历表中的5个数，则这5个数的和可能为（    ） A．41 B．46 C．75 D．116 【答案】C 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据所给数据得到阴影十字框中的五个数字之和是5的倍数．设阴影十字框中间的数为x，得到其余4个数的代数式，把这5个数相加，可得和为，再逐一分析各选项中的数即可． 【详解】解：设阴影十字框中正中间的数为x，则这个数的和为 ， 即这个数的和为5的倍数， A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：C 8．下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了去括号法则的应用能力，运用去括号法则对各选项进行逐一计算、辨别． 【详解】解：， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C符合题意； ， 选项D不符合题意， 故选：C． 9．下列各组中不是同类项的是（   ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】此题考查了同类项的概念，根据同类项的概念逐项判断即可，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 、 与所含字母相同，相同字母的指数不相同，不是同类项，故符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 、与所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意； 故选：． 10．一组有序排列的数：，，，…，，…（为正整数）．对于其中任意相邻的三个数，中间的数等于其前后两个数的积．已知，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数的规律探究，完全平方公式．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 根据题意，计算可得，，，，，，，，，，……可推导一般性规律为每6个数为一个循环，则，，，由，可得，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，，，， 同理，，，， ∴，，，，，，，，，…… ∴可推导一般性规律为每6个数为一个循环， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，则， 解得，， ∴， 故选：B． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．如果单项式y与的和是单项式，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项，掌握同类项的定义是解题的关键． 根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解． 【详解】解：单项式与的和是单项式， 与是同类项， ，， ，， ， 故答案为：． 12．有理数在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的点表示数，有理数的绝对值的性质，相反数的和为0，观察数轴，得出a，b，c的大小，判断各式符号，再化简绝对值即可． 【详解】解：由数轴可知，，， 所以， 故答案为： 13．如图，所示是一个长方形，阴影部分的面积 ．（用含x的代数式） 【答案】/ 【分析】本题考查了用代数式表示几何图形的面积及整式的化简，解题的关键是注意整式的化简过程中正负号的变化法则． 根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个非阴影的直角三角形的面积即可求解． 【详解】根据题意得：． 故答案为：． 14．若多项式是四次三项式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的定义，根据多项式是四次三项式可知，，可得、的值，即可得解．掌握多项式的定义是解题的关键．也考查了求代数式的值． 【详解】解：∵多项式是四次三项式， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 15．已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了“整体代换法”求整式的值，能将原整式化为是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以，， 所以， 所以， 故答案为：． 三、解答题：共8题，共75分。 16．（8分）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号然后再合并同类项即可； （2）先去括号然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．（9分）已知． (1)化简：； (2)若，，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）根据整式的加减计算法则求解即可； （2）根据（1）所求，利用整体代入法求解即可； （3）根据（1）所求可知，再由题意得到，据此求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：由（1）可知， ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴， ∴． 18．（9分）日历上的规律：下图是2023年11月的日历，图中的阴影区域是在日历中选取的一块九宫格． (1)九宫格中，四个角上的四个数之和与九宫格中央这个数有什么关系？ (2)请你自选一块九宫格进行计算，观察四个角上的四个数之和与九宫格中央那个数是否还有这种关系．（用虚线框圈出你所选定的九宫格） (3)试说明原理． 【答案】(1)四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了整式的加减应用： （1）求出四个角上的四个数之和与九宫格中央这个数，从而验证它们的关系． （2）选择如下图的九宫格，验证他们的关系即可． （3）设九宫格中央这个数为a，列等式进行验证即可． 【详解】（1）解：根据题意得：四个角上的四个数分别为6，22，8，20，九宫格中央这个数为14， ∵， ∴四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍． （2）解：如图，， 所以四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍．（选取的九宫格不唯一．）    （3）解：设九宫格中央这个数为a， 那么左上角的数为，右上角的数为， 左下角的数为，右下角的数为，   四个数的和为， 即四个角上的四个数之和等于九宫格中央这个数的4倍． 19．（8分）【教材呈现】下题是课本93页17题： 如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？ 【阅读理解】小海在做作业时采用如下的方法，解答如下： 由题意得， ∴， ∴代数式的值为． 【解决问题】 （1）小海的计算过程体现了 的数学思想； A．数形结合；B．整体；C．分类讨论；D．函数 （2）若代数式的值为3，求代数式的值； 【能力提升】 （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）B；（2）7；（3） 【分析】此题考查了整式的加减——化简求值，掌握去括号，合并同类项的运算法则，利用整体代入的思想是解题的关键． （1）把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为整体思想； （2）原式变形后，把代入计算即可求出值； （3）原式变形后，把，，代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为整体思想； 故选：B； （2）， ， ； （3），，， ∴      ． 20．（8分）【阅读与思考】有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”爱动脑筋的吴同学这样来解：原式．我们把看成一个整体，把式子两边乘以2，得． 整体思想是中学数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，仿照上面的解题方法，完成下面问题： (1)已知，则 ____________； (2)已知，求的值； (3)已知，，则代数式的值为 ______________． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】此题考查了整式的加减化简求值，掌握去括号，合并同类项的运算法则，利用整体代入的思想是解此题的关键． （1）利用整体代入的思想代入计算即可； （2）首先把整式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入计算即可； （3）首先把代数式进行变形，然后再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：3； （2）解： 当时， ； （3）解：∵，， ∴ ． 故答案为：． 21．（9分）对于有理数a、b，定义一种新运算“”，规定 (1)计算的值． (2)当、b在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 【答案】(1)20 (2) (3)不一定，理由见解析 【分析】本题考查新定义运算及数轴，解答的关键是根据新定义，转化成有理数的运算，整式的运算． （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）根据数轴上点的位置判断出与的正负，利用绝对值的代数意义计算即可得到结果； （3）当时，不一定有或者，举例即可． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： ， ， 则； （2）解：根据题意可得，， ∴ ∴； （3）解：由得， 不一定有或者， 例如：取，则， 此时等式成立，但且； 22．（12分）我市某小区居民使用自来水2023年标准缴费如下（水费按月缴纳）： 用户月用水量 单价 不超过的部分 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 (1)当时， ①某户1月份用了的水，求该户1月份应缴纳的水费__________元． ②某户4月份用了的水，求该户4月份应缴纳的水费__________元． ③某户8月份用了的水，求该户8月份应缴纳的水费__________元． (2)设某户月用水量为，当时，该户应缴纳的水费为__________元（用含，的式子表示）． (3)当时，甲、乙两户一个月共用水，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含的式子表示） 【答案】(1)①6；②27；③60 (2) (3)当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元 【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算，可以分别计算出该用户1月份，4月份，8月份应缴纳的水费； （2）根据所给的收费标准进行分段计算，可以计算出当时，该用户应缴纳的水费； （3）分当时，当时，当时，三种情况根据所给的收费标准讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知： ①某用户1月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：6； ②某用户4月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：27； ③某用户8月份用了水，则该用户这个月应缴纳的水费为：（元）； 故答案为：60； （2）由题意可得： （元）， ∴当时，该户应缴纳的水费为元， 故答案为：； （3）∵， ∴， 当时，甲用水量超过但不超过，乙用水量超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量超过但不超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 当时，甲的用水量超过，乙的用水量不超过， ∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： ； 综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 23．（12分）将连续的奇数1，3，5，7，⋯排成如图的数表，用图中所示的十字框可任意框出5个数． [探究规律一]：设十字框中间的奇数为a，则框中五个奇数之和用含a的代数式表示为 　 　； [结论]：这说明能被十字框框中的五个奇数之和一定是自然数p的奇数倍，这个自然数p是 　 　． [探究规律二]：落在十字框中间且又是第二列的奇数是15，27，39，51⋯则这一列数可以用代数式表示为（m为正整数），同样，落在十字框中间且又是第三列，第四列的奇数分别可表示为 　 　，　 　（用含m的式子）； [运用规律]： （1）已知被十字框框中的五个奇数之和为6025，则十字框中间的奇数是 　 　；这个奇数落在从左往右第 　 　列； （2）被十字框框中的五个奇数之和可能是425吗？可能是2025吗？说说你的理由． 【答案】[探究规律一]：，[结论]：5；[探究规律二]：，；（1）1205；在第3列；（2）不可能是425，可能是2025，理由见解析． 【分析】探究规律一：可设正中间的数为a，根据表中框的数得到其余数的表示方法，相加即可；看含有哪个因数即可； 探究规律二：若为第二列的奇数，起始数为3，每相邻2个数之间的数相隔12，那么这列的数是在3的基础上增加几个12； 同理可得其余列数中的奇数与各列起始数之间的关系即可； 运用规律：（1）即可得到中间的数，根据中间的数÷12得到的余数，看符合第一行中的哪个奇数，即可得到相应的列数； （2）除以5后看在哪一列，若在最左边一列或最右边一列则不能反之则能． 【详解】解：探究规律一：设正中间的数为a，易得上下，左右2数之和均为中间数的2倍，则5个数之和为；其中含有因数5，所以一定是5的倍数； 故答案为：5a；5； 探究规律二：若为第三列的奇数，起始数为5，每相邻2个数之间的数相隔12， ∴这列的数为：； 同理可得第四列的奇数分别可表示为． 故答案为：，． （1）；，所以在第3列， （2）不可能是425，可能是2025． 理由：∵， 又中间的数不可能在第一列， 五个奇数之和不可能是； 同理：， 中间的数在第五列， 则五个奇数之和有可能是2025 【点睛】本题考查的是有理数的规律型，解题的关键是仔细观察已有数据的特点，从而得出规律． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$