专题3.1 二次函数与反比例函数全章培优测试卷（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（沪科版）

第21章 二次函数与反比例函数全章培优测试卷 【沪科版】 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）若y＝（a2+a）是二次函数，那么（　　） A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3 2．（3分）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③m的值为0；④图象不经过第三象限． 上述结论中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．③④ D．②③ 4．（3分）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … ﹣1 ﹣0.67 ﹣0.29 0.14 0.62 … 那么关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 5．（3分）点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3），D（4，y4）是二次函数y＝﹣2x2﹣4x+c+2图象上的四个点，下列说法一定正确的是（　　） A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y3y4＜0，则y1y2＜0 D．若y2y3＜0，则y1y4＞0 6．（3分）一位同学在画二次函数y＝2x2﹣bx+3的图象时，把﹣b看成了+b，结果所画图象是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（　　） A．24 B．﹣24 C．﹣12 D．12 7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝acx+b的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．1或﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1或﹣1 D．1或﹣5 9．（3分★★★）设函数，，当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，a和k的值正确的是（　　） A．a＝2，k＝4 B．a＝2，k＝6 C．a＝12，k＝24 D． 10．（3分★★★★）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论： ①abc＜0； ②3a+c＞0； ③（a+c）2＜b2； ④a+b＜m（am﹣b）（m＞0）； ⑤方程ax2+bx+c﹣m2﹣1＝0有一正一负两个实数解． 其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线y＝ax2+bx+c，则a+b+c＝　 　． 12．（3分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上，则a＝　 　． 13．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是 　 　． 14．（3分）有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线x＝2；乙说：与x轴的两个交点的距离为6；丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，则这条抛物线解析式的顶点式是 　 　． 15．（3分★★★★）已知二次函数有最大值﹣3，则实数a的值为 　 　． 16．（3分★★★★）如图，两个反比例函数y和y（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，下列说法正确的是 　 　． ①△ODB与△OCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积始终等于矩形OCPD面积的一半，且为k1﹣k2； ③PA与PB始终相等； ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）已知y+1与x﹣2成反比例函数关系，且当x＝5时，y＝7．求： （1）y与x的函数关系式； （2）当x＝6时，y的值． 18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 1 3 … y … ﹣3 0 1 0 … （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 　 　时，y＞﹣3． 19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4mx+3m2，m≠0． （1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若m＞0，且两交点间的距离为2，求m的值． 20．（8分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售件数为y，每个月的销售利润为W元． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞4）元的其他费用，商家发现当售价每件不高于67元时，一个月的销售最大利润为2530，试求出a的值． 21．（8分）某市为了创建国家卫生城市，给市民营造干净卫生的环境，每天需要洒水车为绿化带浇水，如图：洒水车喷水口H离地竖直高度OH为2米．可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，H点是下边缘抛物线的最高点，下边缘喷水的最大射程OB＝1.5米，上边缘抛物线最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口H的距离为0.5米． （1）请分别求出上、下边缘抛物线的函数关系式；（不写自变量的取值范围） （2）此时，距喷水口水平距离为7米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 22．（8分★★★）如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数的图象交于点A、B两点，A点纵坐标为﹣3． （1）求点A的坐标与反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出满足不等式的x的取值范围； （3）将直线y＝﹣3x向上平移m个单位，交x轴于点E，当△AOE的面积为2时，求直线AB平移后的函数表达式． 23．（10分★★★★★）如图，直线yx+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x+c经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次函数与反比例函数全章培优测试卷 【沪科版】 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）若y＝（a2+a）是二次函数，那么（　　） A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3 【分析】根据二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答． 【解答】解：根据题意，得：a2﹣2a﹣1＝2 解得a＝3或﹣1 又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1 所以a＝3． 故选：D． 2．（3分）将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用配方法化成顶点式即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴将二次函数化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为． 故选：D． 3．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 m 3 … ①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③m的值为0；④图象不经过第三象限． 上述结论中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．③④ D．②③ 【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决． 【解答】解：由表格可知， 抛物线的对称轴是直线x1，故②错误， 抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①错误， 当y＝0时，x＝0或x＝2，故m的值为0，故③正确， 当y≤0时，x的取值范围是0≤x≤2，故④正确， 故选：C． 4．（3分）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … ﹣1 ﹣0.67 ﹣0.29 0.14 0.62 … 那么关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【分析】观察表中数据得到抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.2，0）和点（1.3，0）之间，更靠近点（1.3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程ax2+bx+c＝0一个根的近似值． 【解答】解：∵x＝1.2时，y＝ax2+bx+c＝﹣0.29； x＝1.3时，y＝ax2+bx+c＝0.14； ∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.2，0）和点（1.3，0）之间，且更靠近点（1.3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0有一个根约为1.27． 故选：C． 5．（3分）点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3），D（4，y4）是二次函数y＝﹣2x2﹣4x+c+2图象上的四个点，下列说法一定正确的是（　　） A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y3y4＜0，则y1y2＜0 D．若y2y3＜0，则y1y4＞0 【分析】根据函数的表达式可得抛物线开口向下，对称轴为直线x1，再根据函数的单调性得知，y2＞y3＞y1＞y4，接着判断每个选项即可得出答案． 【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+c+2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x1， ∴A（﹣4，y1）关于对称轴的对称点为（2，y1），B（﹣2，y2）关于对称轴的对称点为B（0，y2）， ∵0＜1＜2＜4，且当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴y2＞y3＞y1＞y4， A．若y1y2＞0， 则y1，y2，y3同号， 则y4可能与它们同号，也可能异号 则y3y4＞0或y3y4＜0，故本选项不符合题意； B．若y1y4＞0， 则y2y3同号或者y2y3异号， 故本选项不符合题意； C．若y3y4＜0， 则y4＜0，y3＞0， 则y2＞0，y1＞0或y1＜0， 故本选项不符合题意； D．若y2y3＜0， 则y2＞0，y3＜0， 则y1＜0，y4＜0， 则y1y4＞0． 故本选项符合题意． 故选：D． 6．（3分）一位同学在画二次函数y＝2x2﹣bx+3的图象时，把﹣b看成了+b，结果所画图象是由原图象向左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（　　） A．24 B．﹣24 C．﹣12 D．12 【分析】依据题意，先将二次函数y＝2x2﹣bx+3变形为顶点式y＝2（x2x）+32（x）2+3，再由平移的规律“上加下减，左加右减”得向左平移6个单位长度所得的解析式为y＝2（x6）2+3，最后结合画错的解析式y＝2x2+bx+3＝2（x）2+3，即可列式计算得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝2x2﹣bx+3＝2（x2x）+32（x）2+3， 又向左平移6个单位长度， ∴所得的解析式为y＝2（x6）2+3． 又结合画错的解析式y＝2x2+bx+3＝2（x）2+3， ∴6． ∴b＝12． 故选：D． 7．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y＝acx+b的大致图象正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的性质和反比例函数以及一次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴位于y轴右侧，与y轴的交点在y轴负半轴上， ∴a＞0，b＜0，c＜0， ∴ac＜0，ab＜0， ∴一次函数y＝acx+b的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y＝的图象在第二、四象限． 故选：D． 8．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　） A．1或﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1或﹣1 D．1或﹣5 【分析】利用配方法可得出：当x＝m时，y的最小值为1．分m＜﹣3，﹣3≤m≤﹣1和m＞﹣1三种情况考虑：当m＜﹣3时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值；当﹣3≤m≤﹣1时，y的最小值为1，舍去；当m＞﹣1时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较大值．综上，此题得解． 【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1， ∴当x＝m时，y的最小值为1． 当m＜﹣3时，在﹣3≤x≤﹣1中，y随x的增大而增大， ∴9+6m+m2+1＝5， 解得：m1＝﹣5，m2＝﹣1（舍去）； 当﹣3≤m≤﹣1时，y的最小值为1，舍去； 当m＞﹣1时，在﹣3≤x≤﹣1中，y随x的增大而减小， ∴1+2m+m2+1＝5， 解得：m1＝﹣3（舍去），m2＝1． ∴m的值为﹣5或1． 故选：D． 9．（3分）设函数，，当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣4，a和k的值正确的是（　　） A．a＝2，k＝4 B．a＝2，k＝6 C．a＝12，k＝24 D． 【分析】首先根据k与x的取值分析y1，y2，的增减性，然后根据增减性确定最值，进而求解． 【解答】解：∵k＞0， ∴y1随x的增大而减小， ∵2≤x≤3， ∴当x＝2时y1最大， 即， ∴k＝2a， ∵k＞0， ∴﹣k＜0， ∴y2随x的增大而增大， ∵2≤x≤3， ∴当x＝2时y2最小， 即， ∴k＝﹣2（a﹣4）， ∴2a＝﹣2（a﹣4）， 解得：a＝2， ∴k＝2a＝4， 故选：A． 10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论： ①abc＜0； ②3a+c＞0； ③（a+c）2＜b2； ④a+b＜m（am﹣b）（m＞0）； ⑤方程ax2+bx+c﹣m2﹣1＝0有一正一负两个实数解． 其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】依据题意，抛物线开口向上，对称轴是直线x1，抛物线与y轴于负半轴，又当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，从而逐个判断即可得解． 【解答】解：由题意，抛物线开口向上，对称轴是直线x1，抛物线与y轴于负半轴， ∴a＞0，b＝﹣2a＜0，c＜0． ∴abc＞0，故①错误． 又当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确． 由a﹣b+c＞0， ∴b﹣a﹣c＜0． 又当x＝1时，y＝a+b+c＝b+a+c＜0， ∴（b﹣a﹣c）（b+a+c）＞0． ∴b2﹣（a+c）2＞0． ∴（a+c）2＜b2，故③正确． 由题意，∵当x＝1时，y取最小值＝a+b+c， ∴对于m＞0，即﹣m＜0，都有a（﹣m）2﹣bm+c＞a+b+c． ∴am2﹣bm＞a+b． ∴a+b＜m（am﹣b），故④正确． 由题意，∵m2≥0， ∴m2+1≥1＞0． 又对于直线y＝m2+1与抛物线y＝ax2+bx+c的交点横坐标为一正一负， ∴方程ax2+bx+c＝m2+1，即ax2+bx+c﹣m2﹣1＝0有一正一负两个实数解，故⑤正确． 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线y＝ax2+bx+c，则a+b+c＝　﹣1　． 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线为y＝2（x﹣1+1）2﹣1﹣2，即y＝2x2﹣3， ∴a＝2，b＝0，c＝﹣3， ∴a+b+c＝2+0﹣3＝﹣1， 故答案为：﹣1． 12．（3分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上，则a＝　2　． 【分析】根据二次函数的最小值为0列式求解即可得到a的值，即可作答． 【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上 ∴且a﹣1＞0， 整理得，2a2﹣5a+2＝0且a＞1， 解得a1＝2，（舍去）， 故答案为：2． 13．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是 　﹣2≤x≤4　． 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式ax2﹣mx+c≤n的解集，本题得以解决． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点， ∴ax2+c≤mx+n的解集是﹣2≤x≤4． ∴不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是﹣2≤x≤4． 故答案为：﹣2≤x≤4． 14．（3分）有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线x＝2；乙说：与x轴的两个交点的距离为6；丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，则这条抛物线解析式的顶点式是 　y（x﹣2）2+3或y（x﹣2）2﹣3（答案不唯一）　． 【分析】依据题意，对称轴是直线x＝2，与x轴的两个交点距离为6，可得与x轴的两个交点的坐标为（﹣1，0），（5，0）；又结合顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，可得顶点的纵坐标为±3，得顶点坐标为（2，3）或（2，﹣3），进而可得用顶点式表示的抛物线的解析式，答案不唯一． 【解答】解：由题意，∵对称轴是直线x＝2，与x轴的两个交点距离为6， ∴可得抛物线与x轴的两个交点的坐标为（﹣1，0），（5，0）（答案不唯一）． 又顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9， ∴顶点坐标为（2，3）或（2，﹣3）． 故可设函数解析式为y＝a（x﹣2）2+3或y＝a（x﹣2）2﹣3； 把点（5，0）代入y＝a（x﹣2）2+3得a； 把点（5，0）代入y＝a（x﹣2）2﹣3得a． ∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为y（x﹣2）2+3或y（x﹣2）2﹣3（答案不唯一）． 故答案为：y（x﹣2）2+3或y（x﹣2）2﹣3（答案不唯一）． 15．（3分）已知二次函数有最大值﹣3，则实数a的值为 　或　． 【分析】本题是关于二次函数最值的“逆向问题”，由题设知，二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a的对称轴是直线x，而x的取值范围是x，所以要对是否在x的取值范围内讨论求解． 【解答】解：二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a的对称轴是直线x， （1）若，即﹣1≤a≤1，抛物线开口向下， 当x时，y最大值＝2a， ∵二次函数最大值﹣3，即a与﹣1≤a≤1矛盾，舍去． （2）若，即a＞1 当x时，y随x增大而减小， 当x时，y最大值＝﹣a2+4a﹣1， 由﹣a2+4a﹣1＝﹣3， 解得a＝2±． 又a＞1， ∴a＝2； （3）若，即a＜﹣1． 当x时，y随x增大而增大， 当x时，y最大值＝﹣a2﹣1， 由﹣a2﹣1＝﹣3， 解得a＝±． 又a＜﹣1，∴a． 综上所述，a＝2或a． 16．（3分）如图，两个反比例函数y和y（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，下列说法正确的是 　①④　． ①△ODB与△OCA的面积相等； ②四边形PAOB的面积始终等于矩形OCPD面积的一半，且为k1﹣k2； ③PA与PB始终相等； ④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点． 【分析】（1）根据反比例函数中k的几何意义可解决问题． （2）四边形PAOB的面积可用矩形PDOC面积减去△BDO和△AOC的面积之和，再结合k的几何意义即可． （3）借助参量将PA与PB表示出来，再比较． （4）由点A是PC中点，可得出k1与k2之间的关系，进而可判断点B是否为PD的中点． 【解答】解：因为点A和点B都在C2上，且四边形PDOC是矩形， 所以，． 故△ODB与△OCA的面积相等． 所以①正确． 因为点P在C1上，且且四边形PDOC是矩形， 所以S四边形PDOC＝k1， 又由①知：， 所以． 显然四边形PAOB的面积不一定等于矩形OCPD面积的一半． 所以②错误． 令P（m，）， 因为四边形PAOB是矩形， 则B（，），A（m，）． 所以PB，PA． 由此可见PA与PB不一定相等． 所以③错误． 由③知， 若点A是PC中点， 则PA，即， 得k1＝2k2． 则PBm． 即PB． 故点B是PD的中点． 所以④正确． 故答案为：①④． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17．（6分）已知y+1与x﹣2成反比例函数关系，且当x＝5时，y＝7．求： （1）y与x的函数关系式； （2）当x＝6时，y的值． 【分析】（1）根据反比例函数关系得定义，设设y+1，然后把已知的一组对应值代入求出k，从而得到y与x的函数关系式； （2）利用（1）中的解析式，计算自变量为5所对应的函数值即可． 【解答】解：（1）设y+1， 把x＝5，y＝7代入得7+1， 解得k＝24， 所以y+1， 所以y与x的函数关系式为y1； （2）当x＝6时，y1＝5． 18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 1 3 … y … ﹣3 0 1 0 … （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 　﹣3＜x＜5　时，y＞﹣3． 【分析】（1）设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（1，1）代入求出a即可； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）先利用对称性确定函数值为﹣3所对应的自变量的值，然后结合函数图象求解． 【解答】解：（1）设二次函数的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把（1，1）代入得1＝a×2×（﹣2）， 解得a， ∴二次函数的表达式为y（x+1）（x﹣3）， 即yx2x； （2）如图，抛物线的顶点坐标为（1，1）， （3）∵y＝﹣3时，x＝﹣3或x＝5， ∴当﹣3＜x＜5时，y＞﹣3． 故答案为：﹣3＜x＜5． 19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4mx+3m2，m≠0． （1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若m＞0，且两交点间的距离为2，求m的值． 【分析】（1）由题意得一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0，判断判根公式Δ与0的大小即可； （2）由题意知，解得符合要求的m的值． 【解答】（1）证明：由可得一元二次方程，x2﹣4mx+3m2＝0， ∴该二次方程的Δ＝（﹣4m）2﹣4×3m2＝4m2， ∵m≠0， ∴Δ＝4m2＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根，二次函数图象与x轴总有两个公共点； （2）解：由题意知， ∴， 解得m＝1或m＝﹣1（舍去）， ∴m的值为1． 20．（8分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售件数为y，每个月的销售利润为W元． （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ （3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞4）元的其他费用，商家发现当售价每件不高于67元时，一个月的销售最大利润为2530，试求出a的值． 【分析】（1）由题意得y与x的函数关系式即可； （2）由题意得W与x的解析式为：W＝（200﹣5x）（50+x﹣40），即可求解； （3）由题意得：W＝（200﹣5x）（50+x﹣40﹣a）＝﹣5x2+（150+5a）x+（2000﹣200a），函数的对称轴为直线，再根据二次函数性质即可求解． 【解答】解：（1）由题意得： y与x的函数关系式为：y＝200﹣5x； （2）由题意得：W＝（200﹣5x）（50+x﹣40）＝﹣5（x﹣15）2+3125， ∵﹣5＜0， ∴当x＝15时，W有最大值3125， 50+x＝65， ∴当售价定为每件65元，每个月的利润最大，最大的月利润是3125元； （3）由题意得：W＝（200﹣5x）（50+x﹣40﹣a）＝﹣5x2+（150+5a）x+（2000﹣200a）， 函数的对称轴为直线， ∵a＞4， ∴， ∵当售价每件不高于67元，即50+x≤67． ∴x≤17， ∵﹣5＜0，在对称轴左侧，W随x增大而增大， ∴当x＝17时，W有最大值，为2530，此时对称轴为直线x＝15． ∴（200﹣5×17）×（50+17﹣40﹣a）＝2530， 解得：a＝5， ∴a＝5． 21．（8分）某市为了创建国家卫生城市，给市民营造干净卫生的环境，每天需要洒水车为绿化带浇水，如图：洒水车喷水口H离地竖直高度OH为2米．可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，H点是下边缘抛物线的最高点，下边缘喷水的最大射程OB＝1.5米，上边缘抛物线最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口H的距离为0.5米． （1）请分别求出上、下边缘抛物线的函数关系式；（不写自变量的取值范围） （2）此时，距喷水口水平距离为7米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程． 【分析】（1）由题意知，A（2，2.5），H（0，2），B（1.5，0），把两个抛物线解析式设为顶点式，用待定系数法求解析式即可， （2）将y＝0代入，解得，，据此进行判断作答即可． 【解答】解：（1）根据题意得：上边缘抛物线的顶点是A（2，2.5）， 设上边缘抛物线的解析式是：y＝a（x﹣2）2+2.5， 把点H（0，2）代入得：2＝a（0﹣2）2+2.5， 解得：； ∴上边缘抛物线解析式为； ∵下边缘抛物线的顶点是H（0，2）， ∴设下边缘抛物线的解析式是y＝a′x2+2， 把点B（1.5，0）代入得：0＝2.25a′+2， 解得：， ∴下边缘抛物线解析式为； （2）令，则（x﹣2）2＝20， 解得：，， ∵， ∴该行人不会被洒水车淋到水． 22．（8分）如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数的图象交于点A、B两点，A点纵坐标为﹣3． （1）求点A的坐标与反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出满足不等式的x的取值范围； （3）将直线y＝﹣3x向上平移m个单位，交x轴于点E，当△AOE的面积为2时，求直线AB平移后的函数表达式． 【分析】（1）把y＝﹣3代入y＝﹣3x可得点A的横坐标，进而可得点A的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）利用对称性求出点B的坐标，再根据函数图象即可求解； （3）设E（a，0），则OE＝a，根据△AOE的面积为2可得，即得，得到，由直线y＝﹣3x向上平移m个单位后的函数表达式为y＝﹣3x+m，把代入计算即可求解； 【解答】解：（1）把y＝﹣3代入y＝﹣3x得，x＝1， ∴点A的坐标为（1，﹣3）， 把A（1，﹣3）代入得， ∴k＝﹣3， ∴反比例函数的表达式为y； （2）∵点A、B是正比例函数y＝﹣3x与反比例函数y图象的交点， ∴点A、B关于原点O对称， ∴B（﹣1，3）， 由图象可得，当﹣3＜x＜0或x＞3时，； （3）设E（a，0），则OE＝a， ∵△AOE的面积为2， ∴， 即a×3＝2， ∴a， ∴E（，0）， 将直线y＝﹣3x向上平移m个单位后的函数表达式为y＝﹣3x+m，把E（，0）代入得， 0＝﹣3m， ∴m＝4， ∴直线AB平移后的函数表达式为y＝﹣3x+4． 23．（10分）如图，直线yx+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x+c经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据一次函数求B和C的坐标，再利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），表示铅直高度EG的长，利用三角形面积公式及二次函数的最值得出点E的坐标； （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，x+4＝0， x＝6， ∴C（6，0）， 把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2x+c中得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：yx2x+4； （2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G， 设E（m，m2m+4），则G（m，m+4）， ∴EG＝（m2m+4）﹣（m+4）4m， ∴S△BECEG•OC6（4m）＝﹣2（m﹣3）2+18， ∵﹣2＜0， ∴S有最大值，此时E（3，8）； （3）yx2x+4（x2﹣5x）+4（x）2； 对称轴是：x， ∴A（﹣1，0） ∵点Q是抛物线对称轴上的动点， ∴Q的横坐标为， 在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形； ①如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3， ∵点M在直线yx+4上， ∴点M的坐标是（3，2）， 又∵点A的坐标是（﹣1，0），点Q的横坐标为， 根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为， ∴P（，）； ②如图3，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形， 由（2），可得点M的横坐标是3， ∵A（﹣1，0），且Q的横坐标为， ∴P的横坐标为， ∴P（，）； ③以AM为对角线时，如图4， ∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律， ∴点P的坐标是（，）， 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形， 点P的坐标是（，）或（，）或（，）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$