专题2.1 二次函数与反比例函数全章十四类必考点（必考点分类集训）-2024-2025学年九年级数学上册必考点分类集训系列（沪科版）

专题2.1 二次函数与反比例函数全章十四类必考点 【沪科版】 【考点1 根据题目信息识别和判断函数图象】 1 【考点2 二次函数图象与系数的关系】 7 【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】 16 【考点4 二次函数图象的几何变换】 21 【考点5 由二次函数的最值求字母的值】 24 【考点6 由二次函数的性质求代数式最值】 28 【考点7 由二次函数的性质求几何最值】 32 【考点8 二次函数的实际应用】 38 【考点9 二次函数中的存在性问题】 49 【考点10 二次函数中的新定义问题】 66 【考点11 反比例函数系数k的几何意义】 85 【考点12 反比例函数图象上点的坐标特征】 90 【考点13 反比例函数与一次函数综合】 94 【考点14 反比例函数的实际应用】 101 【考点1 根据题目信息识别和判断函数图象】 1．（2024春•九龙坡区校级期末）函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一次函数的性质判定m、n的符号，进一步判定二次函数的开口方向和对称轴的位置进行判断． 【解答】解：∵函数y＝mx2+nx与x轴的交点坐标为（0，0）和（，0），函数y＝mx+n与x轴的交点坐标为（，0）， ∴抛物线和直线的有一个交点在x轴上，故选项A、C、D不合题意； 若函数y＝mx+n经过一三四象限，m＞0，n＜0， ∴二次函数y＝mx2+nx的图象开口向上， ∵对称轴x0， ∴在y轴的右侧，故选项B符合题意； 故选：B． 2．（2024•胶州市校级二模）一次函数y＝bx﹣a和二次函数y＝ax2+x+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论． 【解答】解：A．∵二次函数图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴a＞0，b＜0， ∴一次函数y＝bx﹣a过二，三，四象限，故本选项符合题意； B．∵二次函数图象开口向下，与y轴交点在正半轴， ∴a＜0，b＞0， ∴一次函数y＝bx﹣a图象应该过第一、二、三象限，抛物线的对称轴为，故本选项不符合题意； C．∵二次函数图象开口向上，与y轴交点在负半轴， ∴a＞0，b＜0， ∴一次函数y＝bx﹣a图象应该过第二、三、四象限，故本选项不符合题意； D．∵二次函数图象开口向下，与在y轴交点在正半轴， ∴a＜0，b＞0， ∴一次函数y＝bx﹣a图象应该过一、二，三象限，故本选项不符合题意． 故选：A． 3．（2024春•无为市月考）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝﹣x﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＜0，c＞0，从而判断出二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于正半轴，且二次函数y＝ax2+（b+1）x+c对称轴在y轴的左侧，得b＜﹣1，即可得出答案． 【解答】解：根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＜0，c＞0， 抛物线y＝ax2+（b+1）x+c对称轴为， ∴b＜﹣1， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于正半轴，对称轴为； 一次函数y＝﹣x﹣b的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 4．（2023秋•黔南州期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误． 【解答】解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x0，故选项错误； B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，对称轴x0，故选项正确； C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向下，故选项错误； D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝﹣ax2+2x+1的图象应该开口向上，故选项错误． 故选：B． 5．（2024•镇平县模拟）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），从而判断出二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的交点的横坐标为﹣1，3，即可得出答案． 【解答】解：由二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可知，a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的交点的横坐标为﹣1，3，故B正确． 故选：B． 6．（2024•安徽一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据抛物线对称轴为直线x＝1推出，再根据当x＝﹣1时，y＞0，得到3a+c＞0，由此即可得到答案． 【解答】解：∵对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴ ∵当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，即a+2a+c＞0， ∴3a+c＞0， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，且与y轴交于（0，2）， 故选：B． 7．（2024•卧龙区校级二模）如图，一次函数y1＝x与二次函数图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于第一象限的P、Q两点，得出函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴，即可进行判断． 【解答】解：由图象可知一次函数y＝x与二次函数y＝ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点， ∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，两个交点在x轴的正半轴， ∴A符合条件， 故选：A． 【考点2 二次函数图象与系数的关系】 1．（2023秋•禹城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＞0，②2a+b＝0，③b2＞4ac，④4a+2b+c＞0，⑤3a+c＜0中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据图象的对称轴、与x轴交点个数、与y轴交点位置进行判断即可． 【解答】解：如图： ∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵图象交y轴于正半轴， ∴c＞0， ∵对称轴是直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错； ∵b＝﹣2a， ∴b+2a＝0，故②对； ∵图象与x轴两个交点， ∴Δb2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，故③对； 根据图象可知（﹣1，0）关于x＝1对称的点为（3，0）， 故图象与x轴交点在﹣1和3之间，且开口向下， ∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故④对； 由图象知：x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0， ∵b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+c＜0，即3a+c＜0，故⑤对；共四个对， 故选：D． 2．（2024春•天府新区校级月考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论： ①abc＜0，②a2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．2 C．5 D．6 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，结合对称轴判断①；根据a＞0，c＜0可判断②；根据对称性求得x＝2时的函数值小于0，判断③；根据二次函数的性质即可判断④；根据二次函数的最值即可判断⑤． 【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， ∵对称轴为直线：x1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0，故①错误； ②∵a＞0，c＜0， ∴ac＜0， ∴a2＞4ac，故②正确； ③∵对称轴为直线x＝1，则x＝0与x＝2的函数值相等， ∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误； ④当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故④错误； ⑤当x＝1时，y取到最小值，此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c≤am2+bm+c， 故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确， 故选：B． 3．（2024•临邑县模拟）小红从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①b＞0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】观察图象易得a＞0，又，从而b＜0，2a﹣3b＞0，因此abc＞0，由此可以判定①②是正确的，而④是错误的；由图象，当x＝﹣1，y＝a﹣b+c，由点（﹣1，a﹣b+c）在第二象限可以判定a﹣b+c＞0，③是正确的；由图象，当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b，由点（2，c﹣4b）在第一象限可以判定c﹣4b＞0，⑤是正确的． 【解答】解：∵抛物线开口方向向上， ∴a＞0． 又对称轴是直线x， ∴ba＜0，故①错误． ∵与y轴交点在x轴的下方， ∴c＜0． ∴abc＞0，故②是正确． 由图象，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∴③是正确． 由对称轴是直线x， ∴3b＝﹣2a． ∴2a﹣3b＝4a＞0，故④是错误． 又由图象，当x＝2时，y＝4a+2b+c＝2×（﹣3b）+2b+c＝c﹣4b＞0， ∴⑤正确． 故选：B． 4．（2024•十堰模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）； ④a﹣b+c＞0； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0． 抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0． 抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0， 所以abc＜0． 故①错误； ②∵抛物线对称轴为直线x1， ∴b＝﹣2a，即2a+b＝0， 故②正确； ③∵抛物线对称轴为直线x＝1， ∴函数的最小值为：a+b+c， ∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c， 故③正确； ④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧， ∴当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， 故④正确； ⑤∵bx1bx2， ∴bx1bx2＝0， ∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0， 而x1≠x2， ∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2， ∵b＝﹣2a， ∴x1+x2＝2， 故⑤正确． 综上所述，正确的有②③④⑤． 故选：D． 5．（2024•宝安区二模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论： ①b＝2a； ②c﹣a＝n； ③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间； ④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0； ⑤一元二次方程ax2+（b）x+c＝0有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解； ②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解； ③根据抛物线的对称性即可求解； ④根据抛物线的平移即可求解； ⑤根据一元二次方程的判别式即可求解． 【解答】解：①因为抛物线的对称轴为x＝1， 即1，所以b＝﹣2a， 所以①错误； ②当x＝1时，y＝n， 所以a+b+c＝n，因为b＝﹣2a， 所以﹣a+c＝n， 所以②正确； ③因为抛物线的顶点坐标为（1，n）， 即对称轴为x＝1， 且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间， 所以抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间； 所以③正确； ④因为ax2+（b+2）x＜0，即ax2+bx＜﹣2x， 根据图象可知： 把抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象向下平移c个单位后图象过原点， 即可得抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的图象， 所以当x＜0时，ax2+bx＜﹣2x， 即ax2+（b+2）x＜0． 所以④正确； ⑤一元二次方程ax2+（b）x+c＝0， Δ＝（b）2﹣4ac， 因为根据图象可知：a＜0，c＞0， 所以﹣4ac＞0， 所以Δ＝（b）2﹣4ac＞0， 所以一元二次方程ax2+（b）x+c＝0有两个不相等的实数根． 所以⑤正确． 故选：D． 6．（2024•岚山区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（4，0），其对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＝0；④若关于x的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个实数根x1x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；⑤直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0的解集是0＜x＜4．其中正确结论的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】根据抛物线与方程、不等式的关系及二次函数的性质求解． 【解答】解：由图象得：a＜0，c＞0，b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0，故①是正确的； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴0＝ax2+bx+c有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0，故②是错误的； 根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点的横坐标分别为：﹣2，4， ∴当x＝﹣2时，4a﹣2b+c＝8a+c＝0，故③是正确的； 由图象得：抛物线与y＝﹣1的交点的横坐标分别位于﹣2的左边，4的右边， ∴x1＜﹣2，x2＞4；故④是正确的； ∵直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c）和（4，0）， ∴于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0即：ax2+bx+c＞kx﹣4k的解集是0＜x＜4，故⑤是正确的； 故选：B． 7．（2024春•五莲县期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2，下列说法；①c﹣3a＞0；②4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；③若图象上存在点A（x1，y1）和B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2；④若直线y＝px+q与抛物线两交点横坐标为分别为﹣1，﹣4．则不等式ax2+（b﹣p）x+c＜q的解集为4＜x＜﹣1．其中正确个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的对称轴得出b＝4a，由图象可得，当x＝﹣1时，y＞0，即可判断①；用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，即可判断②；利用二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系即可判断③；利用二次函数与一次函数的交点问题即可判断④． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x＝﹣2， ∴2， ∴b＝4a，代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c， 由图象可得：当x＝﹣1时，y＞0， 即：a×（﹣1）2+4a×（﹣1）+c＞0， ∴c﹣3a＞0，故①正确； 设4a2﹣2ab≥at（at+b），则4a﹣2b≤at•t﹣bt， ∴4a﹣2b+c≤at•t﹣bt+c， ∵左侧为x＝﹣2时的函数值，右侧为x＝t时的函数值，显然不成立，故②错误； 由题意得：x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c﹣y1＝0的两个根， 从图象上看，由于二次函数具有对称性，x1、x2关于直线x＝﹣2对称， ∴当且仅当m＜﹣2＜m+3时，存在点A（x1，y1）和B（x2，y2）， 当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2， 即m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，故③正确； 直线y＝px+q与抛物线两交点横坐标为分别为﹣1和﹣4，则不等式ax2+（b﹣p）x+c＜q， 即：ax2+bx+c＜px+q的解集为：x＜﹣4或x＞﹣1，故④错误； 综上所述，正确的有①③，共2个， 故选：B． 【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】 1．（2023秋•义乌市期末）已知二次函数y＝﹣mx2+2mx+4（m＞0）经过点A（﹣2，y1），点B（1，y2），点C（3，y3），那么y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2 【分析】根据函数解析式求出抛物线对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质求判断即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣mx2+2mx+4的对称轴为直线x1， ∵m＞0， ∴抛物线开口向下， ∴x＝1时，y2最大， ∵1﹣（﹣2）＝3＞3﹣1＝2， ∴y3＞y1， ∴y1，y2，y3的大小关y1＜y3＜y2． 故选：B． 2．（2024春•鼓楼区校级期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．不能确定 【分析】首先求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性即可解决问题． 【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2， ∴对称轴x＝1，顶点坐标为（1，2）， ∴当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时， 观察图象可知：y2＜y1＜y3， 故选：B． 3．（2024•三元区一模）若二次函数y＝﹣x2﹣bx﹣c的图象过不同的几个点A（﹣1，a）、B（3，a）、C（﹣2，y1）、D（，y2）、E（，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【分析】由A（﹣1，a）B（3，a）的对称性，可求函数的对称轴为直线x＝1，再根据二次函数的性质，即可判断y1＜y2＜y3． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣bx﹣c的图象过点A（﹣1，a）、B（3，a）， ∴开口向下，对称轴为直线x1， ∴当x≤1时，y随x的增大而增大， ∵E（，y3）关于对称轴的对称点为（2），且﹣221， ∴y1＜y2＜y3； 故选：A． 4．（2024春•镇海区期末）已知二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2（a≠0）的图象上有两点A（x1，p），B（x2，q），其中x1＜x2，则（　　） A．若a＞0，当x1+x2＞﹣5，则p＞q B．若a＞0，当x1+x2＜﹣3，则p＞q C．若a＜0，当x1+x2＞﹣3，则p＞q D．若a＜0，当x1+x2＜﹣5，则p＞q 【分析】由二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2得，当y＝2时，a（x﹣m+4）（x+m）＝0，解得x1＝m﹣4，x2＝﹣m，则二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2经过点 （m﹣4，2），（﹣m，2），则对称轴为直线 ，再逐项推理即可． 【解答】解：由二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2得，当y＝2时，a（x﹣m+4）（x+m）＝0，解得x1＝m﹣4，x2＝﹣m， ∴二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2经过点 （m﹣4，2），（﹣m，2）， ∴对称轴为直线 ， A、若a＞0，当 x1+x2＞﹣5 时， ∵ 则p＜q，故不符合题意； B、若a＞0，当 x1+x2＜﹣3 时， ∵ 则p＜q，故不符合题意； C、若a＜0，当 x1+x2＞﹣3时， 则p＞q，故符合题意； D、若a＜0，当 x1+x2＜﹣5， ∴，则p＜q，故不符合题意； 故选：C． 5．（2024春•浦江县期末）点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3），D（4，y4）是二次函数y＝﹣2x2﹣4x+c+2图象上的四个点，下列说法一定正确的是（　　） A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y3y4＜0，则y1y2＜0 D．若y2y3＜0，则y1y4＞0 【分析】根据函数的表达式可得抛物线开口向下，对称轴为直线x1，再根据函数的单调性得知，y2＞y3＞y1＞y4，接着判断每个选项即可得出答案． 【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+c+2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x1， ∴A（﹣4，y1）关于对称轴的对称点为（2，y1），B（﹣2，y2）关于对称轴的对称点为B（0，y2）， ∵0＜1＜2＜4，且当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴y2＞y3＞y1＞y4， A．若y1y2＞0， 则y1，y2，y3同号， 则y4可能与它们同号，也可能异号 则y3y4＞0或y3y4＜0，故本选项不符合题意； B．若y1y4＞0， 则y2y3同号或者y2y3异号， 故本选项不符合题意； C．若y3y4＜0， 则y4＜0，y3＞0， 则y2＞0，y1＞0或y1＜0， 故本选项不符合题意； D．若y2y3＜0， 则y2＞0，y3＜0， 则y1＜0，y4＜0， 则y1y4＞0． 故本选项符合题意． 故选：D． 6．（2024•赣榆区三模）已知点A（x1，y1）在直线y＝﹣x﹣6上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣2上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　） A．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣4 B．﹣10＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣4＜x1+x2+x3＜0 D．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣8 【分析】求得直线与抛物线的交点的横坐标，把抛物线的顶点纵坐标代入直线解析式，求得对应的x的值，即可求得x1取值范围，根据抛物线的对称性求得x2+x3＝﹣2，从而求得x1+x2+x3的取值范围． 【解答】解：令﹣x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣2，整理得x2+3x﹣4＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣4， ∴直线y＝﹣x﹣6与抛物线的交点的横坐标为1，﹣4， ∵y＝﹣x2﹣4x﹣2＝﹣（x+2）2+2， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点为（﹣2，2）， 把y＝2代入y＝﹣x﹣6，解得x＝﹣8， 若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则﹣8＜x1＜﹣4，x2+x3＝﹣4， ∴﹣12＜x1+x2+x3＜﹣8， 故选：D． 7．（2024春•海淀区校级期中）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上的两点，当t﹣1＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+4 时，下列说法正确的是（　　） A．若，则y1≤y2 B．若y1＜y2，则 C．若y1＞y2，则 D．若，则y1≥y2 【分析】根据二次函数性质逐项分析判断即可． 【解答】解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1， 当x＝0时，y＝1，且x1＜x2， A．当t时，x1，x2， 则点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，故y1＞y2， 故时，y1＞y2， 故A错误，不符合题意； B．若y1＜y2，则A、B在对称轴的异侧或右侧， 当A、B在对称轴的右侧时， 则t≥2， 当A、B在对称轴的异侧时， 则t+2﹣1≥1﹣（t﹣1）， 解得：t； 综上，t； 故B错误，不符合题意； 若y1＞y2，则点A、B在对称轴异侧或左侧， 当A、B在对称轴异侧时，则1﹣t﹣1≥t+4﹣1， 解得：t； 当A、B在对称轴左侧时， 则t+4≤1， 解得：t≤﹣3， 则t≤﹣3， 故C错误，不符合题意； 当t时， 则x1，x2， 则点A到对称轴的距离大于或等于点B到对称轴的距离，故y1＞y2， ∴，则y1≥y2， 故D正确，符合题意； 故选：D． 【考点4 二次函数图象的几何变换】 1．（2024春•北碚区校级月考）将抛物线C1：y＝3x2+ax+b向左平移1个单位，向上平移1个单位后得到新抛物线C2：y＝3x2+3x﹣17，则a﹣b的值为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【解答】解：依题意，y＝3x2+ax+b向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到：y＝3（x+1）2+a（x+1）+b+1 ＝3x2+6x+3+ax+a+b+1 ＝3x2+（6+a）x+a+b+4， ∴6+a＝3，a+b+4＝﹣17， 解得：a＝﹣3，b＝﹣18， ∴a﹣b＝﹣3﹣（﹣18）＝15， 故选：B． 2．（2024•阎良区三模）将二次函数y＝x2﹣6x+m2+6（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点（1，5），则m的值为（　　） A．0 B．1或﹣1 C．2或﹣2 D．3或﹣3 【分析】先求出平移后的解析式，再把（1，5）代入解析式求值即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣6x+m2+6＝（x﹣3）2+m2﹣3， ∴将二次函数y＝x2﹣6x+m2+6（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到y＝（x﹣3+1）2+m2﹣3﹣2，即y＝（x﹣2）2+m2﹣5， ∵经过点（1，5）， ∴5＝1+m2﹣5， 解得m＝±3， 故选：D． 3．（2024•广西模拟）将抛物线y1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C． D． 【分析】先确定抛物线y1的顶点坐标为（0，1），再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点（0，1）变换后所得对应点的坐标为（0，﹣1），然后利用顶点式写出旋转后抛物线． 【解答】解：抛物线y1的顶点坐标为（0，1），点关于原点O的对称点的坐标为（0，﹣1），此时旋转后抛物线的开口方向相反，所以旋转后的抛物线的解析式为yx2﹣1． 故选：D． 4．（2024•岳麓区校级模拟）二次函数y＝m（x+3）2﹣3（m为常数且m≠0）的图象与y轴交于点A．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转180°，旋转后的图象与y轴交于点B，若AB＝12，则m的值为（　　） A．1或 B．1或﹣3 C．3 D． 【分析】先求解A的坐标，再求解旋转后的解析式及B的坐标，再利用AB＝12，再建立方程求解即可． 【解答】解：∵二次函数y＝m（x+3）2﹣3（m为常数且m≠0）的图象与y轴交于点A． ∴当x＝0时，y＝9m﹣3， ∴A（0，9m﹣3）， ∵二次函数y＝m（x+3）2﹣3的图象以原点为旋转中心旋转180°， ∴旋转后的解析式为：﹣y＝m（﹣x+3）2﹣3即y＝﹣m（x﹣3）2+3， 当x＝0时，y＝﹣9m+3， ∴B（0，﹣9m+3）， ∵AB＝12， ∴|9m﹣3﹣（﹣9m+3）|＝12，即|18m﹣6|＝12， 解得：m＝1或， 故选：A． 5．（2024•鼓楼区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣4的图象沿直线x＝2翻折，它能够与另一个二次函数的图象重合，另一个二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2+4 B．y＝x2﹣6x+8 C．y＝x2﹣8x+12 D．y＝﹣x2﹣4 【分析】直接根据平面直角坐标系中，点关于直线对称的特点得出答案． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4的图象的顶点为（0，﹣4）， ∴沿直线x＝2翻折后的二次函数y＝x2﹣4的图象的顶点为（4，﹣4）， ∴另一个二次函数的表达式为y＝（x﹣4）2﹣4，即y＝x2﹣8x+12． 故选：C． 6．（2024春•肇东市校级月考）将抛物线y＝2（x+1）2+3沿x轴翻折后对应的函数解析式为 　 　． 【分析】由抛物线y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3），可得沿x轴翻折后的顶点坐标是（﹣1，﹣3），即可求解． 【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3），则沿x轴翻折后顶点坐标是（﹣1，﹣3），开口向下， ∴新抛物线解析式是：y＝﹣2（x+1）2﹣3， 故答案是：y＝﹣2（x+1）2﹣3． 7．（2023秋•太仓市期中）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣1沿y轴翻折所得新抛物线的解析式为 　 　． 【分析】根据点关于y轴对称的特点即可求得． 【解答】解：∵点关于y轴对称时“纵坐标相等，横坐标互为相反数”， ∴把抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣1沿y轴翻折所得新抛物线的解析式为y＝﹣3（﹣x+2）2﹣1，即y＝﹣3（x﹣2）2﹣1． 故答案为：y＝﹣3（x﹣2）2﹣1． 【考点5 由二次函数的最值求字母的值】 1．（2023秋•榆林期末）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得在﹣3≤x≤2的范围内函数取最小值时x的值，进而求解． 【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c＝﹣（x+1）2+c2﹣2c+1， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣3）， ∴在﹣3≤x≤2的范围内，x＝2时，y＝﹣4﹣4+c2﹣2c＝c2﹣2c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值， ∴（c﹣1）2﹣9＝﹣5， 解得c＝3或c＝﹣1， 故选：A． 2．（2024春•鄞州区校级期末）若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　） A． B． C． D．或 【分析】分两组情况讨论，当m≤2时，则当x＝m时，有最小值求得m；当m＞2时，则x＝2时，y有最小解得m2，即可求得m． 【解答】解：∵yx2﹣mx+1（x﹣m）2+（m2+1）， ∴图象f的对称轴为直线x＝m， 当m≤2时，抛物线开口向上， ∴当x＝m时，y有最小值，y最小m2+1＝0， 解得m， 当m＞2时，抛物线开口向上，在﹣4≤x≤2时，y随x的增大而减小， ∴x＝2时，y有最小值，y最小（2﹣m）2+（m2+1）＝0， 解得m（不合题意，舍去）， 综上，m． 故选：B． 3．（2024春•榆阳区校级月考）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+5有最大值4，则实数m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1或2 C．2或﹣3 D．2或﹣3或﹣1 【分析】求出二次函数对称轴为直线x＝m，再分m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【解答】解：二次函数对称轴为直线x＝m， ①m＜﹣2时，x＝﹣2取得最大值，﹣（﹣2﹣m）2+5＝4 解得m＝﹣3； ②﹣2≤m≤1时，x＝m取得最大值为5，不合题意； ③m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+5＝4， 解得m＝2． 故选：C． 4．（2023•绵竹市模拟）当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　） A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或 【分析】分类讨论：m＜﹣2，﹣2≤m≤1，m＞1，根据函数的增减性，可得答案． 【解答】解：当m＜﹣2，x＝﹣2时，y最大＝﹣（﹣2﹣m）2+m2+1＝4，解得m（舍）， 当﹣2≤m≤1，x＝m时，y最大＝m2+1＝4，解得m； 当m＞1，x＝1时，y最大＝﹣（1﹣m）2+m2+1＝4， 解得m＝2， 综上所述：m的值为或2， 故选：B． 5．（2024•子洲县三模）已知抛物线y＝2x2﹣4x+3在自变量x的值满足m≤x≤m+2时，与其对应的函数值y的最大值为9，则m的值为（　　） A．﹣1或5 B．﹣1或2 C．﹣1或1 D．1或4 【分析】依据题意，由抛物线为y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，从而抛物线开口向上，当x＝1时，y取最小值为1；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，再根据m+2≤1、m≥1和m＜1＜m+2分别进行分类讨论，结合对应的函数值y的最大值为9，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线为y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1， ∴抛物线开口向上，当x＝1时，y取最小值为1；当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大． ①当m+2≤1时，即m≤﹣1， ∴当x＝m时，y取最大值为2m2﹣4m+3＝9． ∴m＝﹣1或m＝3（舍去）． ②当m≥1时， ∴当x＝m+2时，y取最大值为2（m+2）2﹣4（m+2）+3＝9． ∴m＝﹣3（舍去）或m＝1． ③当m＜1＜m+2时，即﹣1＜m＜1， ∴当x＝m或x＝m+2时，y取最大值为2m2﹣4m+3＝9或2（m+2）2﹣4（m+2）+3＝9． ∴m＝﹣1或m＝3，或m＝﹣3或m＝1，均不符合题意． 综上，m＝﹣1或m＝1． 故选：C． 6．（2024•邢台三模）点A（a，b1），B（a+2，b2）在函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，当a≤x≤a+2时，函数的最大值为4，最小值为b1，则a的取值范围是（　　） A．0≤a≤2 B．﹣1≤a≤2 C．﹣1≤a≤1 D．﹣1≤a≤0 【分析】先求出抛物线的对称轴及顶点坐标，然后分三种情况讨论：①点B与顶点（1，4）重合时；②当点A，B对称时；③当点A，B不对称时；分别求出a的范围，最后可得a的取值范围． 【解答】解：由y＝﹣x2+2 x+3＝﹣（x﹣1）2+4，得抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，4）． 由题意得A点在B点的左边． 如图3，当点B与顶点（1，4）重合时，a+2＝1，解得a＝﹣1； 当点A，B对称时，a＝0．此时若函数的最大值为4，最小值为b1； 当点A，B不对称时，A点离对称轴远，B点离对称轴近， ∴1﹣a＞（a+2）﹣1， 解得a＜0， ∴a的取值范围是﹣1≤a≤0． 故选：D． 7．（2023•江阳区校级模拟）当2b﹣2≤x≤2b+1时，抛物线y＝﹣（x﹣b）2+4b﹣1有最大值2，则b的值为（　　） A．1或 B．7或1 C．7或 D．1或 【分析】求得抛物线y＝﹣（x﹣b）2+4b﹣1的顶点坐标为（b，4b﹣1），分2b﹣2＞b，2b+1＜b和2b﹣2≤b≤2b+1，三种情况讨论，即可求解． 【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣b）2+4b﹣1的顶点坐标为（b，4b﹣1），且开口向下， 当2b﹣2＞b，即b＞2时，有﹣（2b﹣2﹣b）2+4b﹣1＝2， 解得b＝1（舍去）或b＝7； 当2b+1＜b，即b＜﹣1时，有﹣（2b+1﹣b）2+4b﹣1＝2， 整理得b2﹣2b+4＝0，Δ＝4﹣16＜0，方程无实数解； 当2b﹣2≤b≤2b+1，即﹣1≤b≤2时，有4b﹣1＝2， 解得； 综上，b的值为7或， 故选：C． 【考点6 由二次函数的性质求代数式最值】 1．（2023•江都区一模）已知y2﹣2x+4＝0，则x2+y2+2x的最小值是（　　） A．8 B．﹣8 C．﹣9 D．9 【分析】由已知得y2＝2x﹣4≥0，代入x2+y2+2x再配方，利用非负数的性质即可求解． 【解答】解：∵y2﹣2x+4＝0， ∴y2＝2x﹣4≥0， ∴2x﹣4≥0， ∴x≥2， ∴x2+y2+2x＝x2+2x﹣4+2x＝x2+4x+4﹣8＝（x+2）2﹣8， ∵（x+2）2≥0，x≥2， ∴x＝2时最小值是8． 故选：A． 2．（2023秋•如皋市校级月考）已知实数a、b满足a﹣b2＝2，则代数式a2﹣3b2+a﹣9的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣9 【分析】由a﹣b2＝2可得a与b2的数量关系，将代数式a2﹣3b2+a﹣9化为只含a的代数式并配方求解． 【解答】解：∵a﹣b2＝2， ∴b2＝a﹣2， ∴a2﹣3b2+a﹣9＝a2﹣3（a﹣2）+a﹣9＝a2﹣2a﹣3＝（a﹣1）2﹣4，， ∵b2＝a﹣2≥0， ∴a≥2， ∴a＝2时，代数式（a﹣1）2﹣4的最小值为﹣3， 故选：B． 3．（2024•浙江模拟）已知：，，m+n＝2，则下列说法中正确的是（　　） A．n有最大值4，最小值1 B．n有最大值3，最小值 C．n有最大值3，最小值1 D．n有最大值3，最小值 【分析】依据题意，由m+n＝2，从而n＝2﹣m（a﹣1）2+3，进而根据二次函数的性质可得，n≤3，再结合1≤b≤4，可得1≤n≤4，最后可得n的范围，故可判断得解． 【解答】解：由题意，∵m+n＝2， ∴n＝2﹣m＝2﹣（a2﹣a）a2+a（a﹣1）2+3． 又当a＝0时，n；a＝4时，n；a＝1时，n取最大值为3． ∴当0≤a≤4时，n≤3． ∵1≤b≤4， ∴1． ∴14． ∴1≤n≤4． 又n≤3， ∴1≤n≤3． ∴n有最大值3，最小值1． 故选：C． 4．（2023秋•潜山市期末）已知s，t是实数，点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上，设w＝t2+s2+2s，则w的最大值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【分析】根据题意t2＝﹣2s2+6s，代入w＝t2+s2+2s即可得到w＝﹣（s﹣4）2+16，利用二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：∵点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上， ∴t2＝﹣2s2+6s， ∵t2≥0， ∴﹣2s2+6s≥0， ∴0≤s≤3， ∴w＝t2+s2+2s ＝﹣2s2+6s+s2+2s ＝﹣s2+8s ＝﹣（s﹣4）2+16， ∴s＝3时，w有最大值， ∴w的最大值为15． 故选：A． 5．（2022秋•泗洪县期末）已知非负数x，y，z满足x+y＝3，z﹣3x＝4，设s＝﹣x2+y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D． 【分析】用x表示出y、z并求出x的取值范围，再代入S整理成关于x的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出a、b的值，再相减即可得解． 【解答】解：∵x+y＝3，z﹣3x＝4， ∴y＝3﹣x，z＝4+3x， ∵y，z都是非负数， ∴， 解不等式①得，x≤3， 解不等式②得，， ∴， 又∵x是非负数， ∴0≤x≤3， s＝﹣x2+y+z＝﹣x2+3﹣x+4+3x＝﹣（x﹣1）2+8， ∴对称轴为直线x＝1， ∴x＝3时，最小值b＝﹣（3﹣1）2+8＝4， x＝1时，最大值a＝8， ∴a﹣b＝8﹣4＝4． 故选：C． 6．（2024•邗江区校级一模）若实数x，y满足关系式3x2+y2＝6x，则2x2+y2的最大值为 　 　． 【分析】将已知等式适当变形得到用含有x的代数式表示2x2+y2的形式，利用配方法变形后，依据x的取值范围即可求得结论． 【解答】解：∵3x2+y2＝6x， ∴2x2+y2＝﹣x2+6x． ∵2x2+y2＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9． ∵3x2+y2＝6x， ∴y2＝﹣3x2+6x． ∵y2≥0， ∴﹣3x2+6x≥0． 解得：0≤x≤2． ∴当x＝2时， 2x2+y2的最大值为：﹣（2﹣3）2+9＝8． 故答案为：8． 7．（2024•高港区三模）已知p2﹣2ap+1＝0，q2﹣2（a﹣1）q﹣2a+2＝0，且a≥2，设t＝a（p+q），则t的最小值为 　 　． 【分析】依据题意，由q2﹣2（a﹣1）q﹣2a+2＝0，可得q2﹣2aq+2q﹣2a+2＝0，故（q+1）2﹣2a（q+1）+1＝0，又p2﹣2ap+1＝0，从而p和（q+1）是方程x2﹣2ax+1＝0的两个根，则p+q+12a，进而p+q＝2a﹣1，求得t＝a（p+q）＝a（2a﹣1）＝2a2﹣a＝2（a）2，再结合a≥2，可由二次函数的性质判断得解． 【解答】解：由题意，∵q2﹣2（a﹣1）q﹣2a+2＝0， ∴q2﹣2aq+2q﹣2a+2＝0． ∴q2+2q+1﹣2aq﹣2a+1＝0． ∴（q+1）2﹣2a（q+1）+1＝0． 又p2﹣2ap+1＝0， ∴p和（q+1）是方程x2﹣2ax+1＝0的两个根， ∴p+q+12a． ∴p+q＝2a﹣1． ∴t＝a（p+q）＝a（2a﹣1）＝2a2﹣a＝2（a）2． ∵当a时，t随a的增大而增大， ∴当a≥2时，有当a＝2时，t取最小值为2（2）26． 故答案为：6． 【考点7 由二次函数的性质求几何最值】 1．（2024•雁塔区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，M是抛物线y＝x2+x﹣2在第三象限上的一点，过点M作x轴和y轴的垂线，垂足分别为P，Q，则四边形OPMQ的周长的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【分析】设M（m，m2+m﹣2）（﹣2＜m＜0），则MQ＝﹣m，MP＝﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣m+2，于是四边形OPMQ的周长L＝2（﹣m2﹣m+2﹣m）＝﹣2（m2+2m﹣2）＝﹣2（m+1）2+6，根据二次函数性质求解． 【解答】解：令y＝0，则x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1， ∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0），（1，0）， 设M（m，m2+m﹣2）（﹣2＜m＜0），则MQ＝﹣m，MP＝﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣m+2， ∴令四边形OPMQ的周长为L，L＝2（﹣m2﹣m+2﹣m）＝﹣2（m2+2m﹣2）＝﹣2（m+1）2+6， ∵﹣2＜0， ∴m＝﹣1时，L取最大值，为6． 故选：D． 2．（2023秋•贵池区期末）正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【分析】作PM⊥AD于M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（4﹣x），由三角形面积公式得出S△APF2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果． 【解答】解：作PM⊥AD于M， ∵BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠ADB＝45°， ∴△PDM是等腰直角三角形， ∴PM＝DM， 设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x， ∵AP＝PF， ∴AM＝FM＝4﹣x， ∴AF＝2（4﹣x）， ∵S△APFAF•PM， ∴S△APF2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴当x＝2时，S△APF有最大值4， 故选：C． 3．（2023秋•宣化区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为（　　） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【分析】由题意得：AP＝t，PD＝5﹣t，根据三角形面积公式可得△PCD的面积y与t的关系式，由图得：S△DEF+S△PDCS正方形EFPC，代入可得结论． 【解答】解：设△PCD的面积为y cm2， 由题意得：AP＝t cm，PD＝（5﹣t）cm， ∴yCD•PD， ∵四边形EFPC是正方形， ∴S△DEF+S△PDCS正方形EFPC， ∵PC2＝PD2+CD2， ∴PC2＝22+（5﹣t）2＝t2﹣10t+29， ∴S△DEF（t2﹣10t+29）﹣（5﹣t）t2﹣4t（t﹣4）2， 当t为4s时，△DEF的面积最小，且最小值为cm2． 故选：A． 4．（2024•石家庄模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t s，那么△PBQ的面积S的最大值为 　 　mm2． 【分析】根据题意得到AP＝2t mm，BQ＝4t mm，则BP＝（12﹣2t）mm，有三角形的面积公式可得SBP×BQ（12﹣2t）×4t＝24t﹣4t2（0＜t＜6），利用二次函数的性质即可求得△PBQ的面积S的最大值． 【解答】解：根据题意有：AP＝2t mm，BQ＝4t mm， ∵AB＝12mm，BC＝24mm， ∴BP＝（12﹣2t）mm， ∴SBP×BQ（12﹣2t）×4t＝24t﹣4t2， ∵BQ＝4t＞0，BP＝12﹣2t， ∴0＜t＜6， 故S关于t的函数解析式为S＝24t﹣4t2（0＜t＜6）； ∵S＝24t﹣4t＝﹣4（t﹣3）2+36， ∵﹣4＜0， ∴当t＝3时，△PBQ的面积S有最大值36mm2． 故答案为：36． 5．（2024•宜兴市一模）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，将△BCF沿着BC方向向右平移到△EGH，连接DH、EH，当DE＝EH时，DH长是 　 ；运动过程中，△DEH的面积的最小值是 　 ． 【分析】结合图形，由已知先证明CGHF为正方形，设BE＝x，则CF＝FH＝HG＝x，求出x的长，进而求出DH；由S△DEH＝S△DEC+S梯形DCGH得到S△DEH（x）2，利用二次函数的性质即可求得△DEH的面积的最小值． 【解答】解：连接FH， ∵△EGH≌△BCF， ∴∠DCB＝∠G＝90°，FC＝GH，BC＝EG＝3， ∴FC∥GH，BE＝CG， ∴四边形FCGH是平行四边形， ∴四边形FCGH是矩形， ∵BE＝CF， ∴CG＝CF， ∴四边形CGHF为正方形， ∴EH＝CF， 设BE＝x，则CF＝FH＝HG＝x， ∴EC＝3﹣x， ∵DE＝EH， ∴（3﹣x）2+22＝32+x2， 解得x， ∴CF＝FH， ∴DF＝2﹣x＝2， ∴DH； ∵S△DEH＝S△DEC+S梯形DCGH﹣S△EHG（3﹣x）×2（2+x）•xx+3（x）2， ∵0， ∴△DEH的面积的最小值是． 故答案为：，． 6．（2024•祁阳市二模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 　 　． 【分析】先求得直线AD的解析式，进而得到设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b），由此得出BF＝AE，即可得出EF＝6﹣b，利用S△FGH＝S△EFG+S△EFHEF•OG得出S△FGH（6﹣b）•b（b﹣3）2+4.5，根据二次函数的性质即可求得△FGH的最大面积． 【解答】解：由题意可知A（0，2）， ∴设直线AD为y＝kx+2， 把D（1，0）代入得，k+2＝0，解得k＝﹣2， ∴直线AD为y＝﹣2x+2， ∵EG∥AD， ∴设直线EG的解析式为y＝﹣2x+b，则G（0，b）， 当y＝2时，x， ∴E（，2）， ∴AE， ∴BF＝AE， ∴EF＝4﹣26﹣b， ∴S△FGH＝S△EFG+S△EFHEF•OG（6﹣b）•b（b﹣3）2+4.5， ∵0， ∴△FGH的最大面积为4.5， 故答案为：4.5． 7．（2024•大武口区校级模拟）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，设点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长； （3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长． （3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC＝S△MNC+S△MNBMN（OD+DB）MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），则： a（0+1）（0﹣3）＝3，a＝﹣1； ∴抛物线的解析式：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3． （2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有： ， 解得 ； 故直线BC的解析式：y＝﹣x+3． 已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）； ∴故MN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m（0＜m＜3）． （3）如图； ∵S△BNC＝S△MNC+S△MNBMN（OD+DB）MN•OB， ∴S△BNC（﹣m2+3m）•3（m）2（0＜m＜3）； ∴当m时，△BNC的面积最大，最大值为 ． 【考点8 二次函数的实际应用】 1．（2024•广水市模拟）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元． （1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 　 　m2，花卉B的种植面积是 　 　m2，花卉C的种植面积是 　 　m2． （2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ （3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值． 【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案； （2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）先根据花卉A与B的种植面积之和不超过560m2建立不等式，得到x≥8，再设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，得到y关于x的二次函数，根据二次函数的图形性质即可得到答案． 【解答】解：（1）∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m， ∴花卉A的面积为：（40﹣x）（20﹣x）＝（x2﹣60x+800）m2， 花卉B的面积为：x（40﹣x﹣10）＝（﹣x2+30x）m2， 花卉C的面积为：x（20﹣x）＝（﹣x2+20x）m2， 故答案为：（x2﹣60x+800）；（﹣x2+30x）；（﹣x2+20x）； （2）∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元， ∴A，B两种花卉的总产值分别为2×（x2﹣60x+800）百元和3×（﹣x2+30x）百元， ∵A，B两种花卉的总产值相等， ∴200×（x2﹣60x+800）＝300×（﹣x2+30x）， ∴x2﹣42x+320＝0， 解方程得x＝32（舍去）或x＝10， ∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等； （3）∵花卉A与B的种植面积之和为：x2﹣60x+800+（﹣x2+30x）＝（﹣30x+800）m2， ∴﹣30x+800≤560， ∴x≥8， ∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元， ∴y＝2（x2﹣60x+800）+3（﹣x2+30x）+4（﹣x2+20x）， ∴y＝﹣5x2+50x+1600， ∴y＝﹣5（x﹣5）2+1725， ∴当x≥8时，y随x的增加而减小， ∴当x＝8时，y最大，且y＝﹣5（8﹣5）2+1725＝1680（百元）， 故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元． 2．（2024•江岸区校级模拟）小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中I、II、III三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各有两边与长方形边重合，矩形MFNC（区域II）是这两个正方形的重叠部分，如图所示． （1）若花卉均价为450元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为300元/米2，且花卉和草坪裁种总价不超过65400元，求S的最大值； （2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：3． ①求MF，FN的长； ②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为150元/米2，80元/米2，150元/米2，且边BN的长不小于边ME长的倍．求图中I、II、II三个区域栽种花卉总价W元的最大值． 【分析】（1）先求出长方形空地的面积，从而可得栽种花卉和草坪的面积，再根据“总价不超过65400元”建立一元一次不等式，然后求解即可得； （2）①设AB＝a米，EF＝b米，根据正方形的性质、线段的和差可得MF、FN的长，再根据MF：FN＝1：2可得a、b的关系等式，由此即可得出答案；②先在①的基础上，求出W关于a的函数表达式，再根据题意求出a的取值范围，然后利用二次函数的性质即可得． 【解答】解：（1）长方形空地的面积为16×12＝192（米2）， 由题意得：450S+300（192﹣S）≤65400， 解得：S≤52， 故S的最大值为52米2． （2）①设AB＝a米，EF＝b米， ∵四边形ABCD和EFGH均为正方形， ∴AD＝AB＝a米，FG＝EF＝b米， ∴MF＝AD+EF﹣16＝（a+b﹣16）米， FN＝AB+FG﹣12＝（a+b﹣12）米， 又∵， ∴． ∴a+b＝18． ∴MF＝18﹣16＝2（米），FN＝18﹣12＝6（米）， 答：MF的长为2米，FN的长为6米． ②由①可知，a+b＝20，即b＝20﹣a， ∴ME＝16﹣AD＝16﹣a， DM＝12﹣FG＝12﹣b＝12﹣（20﹣a）＝a﹣8， BN＝16﹣EF＝16﹣b＝16﹣（20﹣a）＝a﹣4，NG＝12﹣AB＝12﹣a， 则由题意得： w＝150（16﹣a）（a﹣8）+80×4×8+150（12﹣a）（a﹣4）＝﹣300（a﹣10）2+6160， 又∵BNME且AB＜12， ∴a﹣4（16﹣a）且a＜12， 解得：a＜12， 由二次函数的性质可知，当a＜12时，W随a的增大而减小， 则当a时，w取得最大值，最大值为﹣300×（10）2+6160＝6026（元）． 答：图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价w的最大值为6026元． 3．（2024•襄城区模拟）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．两种产品成本价、售价及每日需支付的专利费如下表所示： 类别产品 成本价（元/件） 售价（元/件） 每日需支付的专利费（元） A m （m为常数，且4≤m≤6） 8 30 B 12 20 y 其中A产品每日最多产销500件，B产品每日最多产销300件，B产品每日需支付专利费y（元）与每日产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2． （1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润；（A产品的最大日利润用含m的代数式表示） （3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由． 【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】 【分析】（1）根据利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费即可列出解析式，注意取值范围． （2）根据解析式系数a确定增减性，再结合x得取值范围选择合适的值得出最大值． （3）分类讨论当什么情况下A、B利润一样，什么情况下A利润大于B以及什么情况下A利润小于B 即可得出结论． 【解答】解：（1）根据题意，得w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）． w2＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2） ＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）． （2）∵8﹣m＞0，∴w1随x的增大而增大，又0≤x≤500， ∴当x＝500时，w1有最大值，即w最大＝﹣500m+3970（元）． ∵w2＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520． 又∵﹣0.01＜0．对称轴x＝400． ∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大， ∴当x＝300时，w2最大＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）． （3）①若w1最大＝w2最大，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1， ②若w1最大＞w2最大，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1， ③若w1最大＜w2最大，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1． 又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润： 当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可； 当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销； 当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销． 答：当A产品成本价为5.1元时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大，当A产品4≤m＜5.1时，工厂选择A产品产销日利润最大，当5.1＜m≤6时，工厂选择B产品产销日利润最大． 4．（2024•天山区校级一模）某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间．两周内将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）①从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示： 时间x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15 售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量（斤） 80﹣3x 120﹣x 储存和损耗费用（元） 40+3x 3x2﹣64x+400 已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大． ②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果． 【分析】（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据题意作出取舍即可； （2）①写出当1≤x＜9时的一次函数关系式，根据一次函数的性质得出此时y的最大值；写出当9≤x＜15时的二次函数关系式，根据二次函数的性质得出此时y的最大值，两者比较即可得出答案；②当1≤x＜9时，由﹣17.7x+352≥330，解得此时符合题意的天数；当9≤x＜15时，令y＝330得一元二次方程，解方程，根据二次函数与一元二次方程的关系可得此时符合题意的天数，两种情况的天数之和即为所求． 【解答】解：（1）设该种水果每次降价的百分率为x，由题意得： 10（1﹣x）2＝8.1， 解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去）， ∴x＝0.1＝10%， ∴该种水果每次降价的百分率为10%； （2）①当1≤x＜9时，第一次降价后的价格是：10×（1﹣10%）＝9（元）， ∴y＝（9﹣4.1）×（80﹣3x）﹣（40+3x） ＝﹣17.7x+352， ∵﹣17.7＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝1时，y最大，最大值为： y＝﹣17.7×1+352＝334.3； 当9≤x＜15时， y＝（8.1﹣4.1）×（120﹣x）﹣（3x2﹣64x+400） ＝﹣3x2+60x+80 ＝﹣3（x﹣10）2+380， ∵﹣3＜0， ∴当x＝10时，y有最大值，最大值为380． 综上所述， y，第10天时的销售利润最大； ②当1≤x＜9时，由﹣17.7x+352≥330， 解得：x， 有1天的销售利润不低于330元； 当9≤x＜15时，令y＝330得： ﹣3x2+60x+80＝330， 解得：x1＝10，x2＝10， ∴当10x＜10时，﹣3x2+60x+80≥330， 又∵9≤x＜15， ∴9≤x＜10， ∴有6天的销售利润不低于330元． 综上所述，共有7天的销售利润不低于330元． 5．（2024•大冶市一模）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（1≤x≤28，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤28且x为整数）成一次函数关系且满足z＝﹣2x+100．已知该纪念品成本价为20元/件． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； （3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值． 【分析】（1）根据表中数据可知y是x的一次函数，然后用待定系数法求函数解析式； （2）设总利润为w元，根据总利润＝每个纪念品的利润×销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值； （3）设第20天总利润为w1元，根据总利润＝每个纪念品的利润×销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求出函数取得最大值时x的值，再根据最大利润是20250，解出a的值． 【解答】解：（1）由表格信息可知y是x的一次函数，设y关于x的函数表达式为y＝kx+b， 把（1，220）和（2，240）代入可得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为y＝20x+200（1≤x≤28）； （2）设总利润为w元， 则w＝y（z﹣20）＝（20x+200）（﹣2x+80）＝﹣40x2+1200x+16000＝﹣40（x﹣15）2+25000， ∵﹣40＜0，1≤x≤28， ∴当x＝15时，w最大，最大值25000， 答：第15天利润最大，最大值为25000元； （3）由题意可得： 第20天开始每件商品的单价为（﹣2x+100﹣a）元， 每件商品的利润为：﹣2x+100﹣a﹣20＝（﹣2x+80﹣a）元， 设此时利润为w1元， 则w1＝（20x+200）（﹣2x+80﹣a）＝﹣40x2+（1200﹣20a）x+200（80﹣a）， 对称轴， 又∵a＝﹣40＜0且20≤x≤28， ∴w1随x的增大而减小， 当x＝20时，w1有最大值为20250， ∴（20×20+200）（﹣2×20+80﹣a）＝20250， 解得：a＝6.25． 综上：第20天时，利润最大为20250元时，此时a＝6.25． 6．（2024•江岸区模拟）某次军训中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小明在教官的指导下用手榴弹（模拟手榴弹）进行一次试投：如图所示，把小明投出的手榴弹的运动路线看成一条开口向下的抛物线，抛物线过原点，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡OA的坡度为1：10，山坡上A处的水平距离OB为30米． （1）求这条抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）A处有一棵树AC，AC＝4.4米，则小明投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由； （3）求手榴弹在飞行的过程中离坡面OA的最大高度是多少米． 【分析】（1）根据顶点坐标和过原点求出抛物线的解析式； （2）利用坡度求出AB，再根据二次函数关系式求出当x＝30时，y的值，再进行比较即可； （3）求出OA的关系式，设M（m，m2+m），N（m，m），利用MN（m﹣18）2，由函数的性质求出最大值即可． 【解答】解：（1）由题意得：顶点（20，10），且抛物线过原点， 所以设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣20）2+10， 把（0，0）代入得：0＝a（0﹣20）2+10， 解得a， ∴抛物线的解析式为：y（x﹣20）2+10x2+x； （2）∵山坡OA的坡度为1：10，OB＝30米， ∴AB＝3米， ∵AC＝4.4米， ∴BC＝3+4.4＝7.4（米）， 当x＝30时，y900+30＝7.5， ∵7.5＞7.4， ∴小明投出的手榴弹能越过这棵树； （3）设直线OA的关系式为y＝kx，把A（30，3）代入可得k， ∴直线OA的关系式为yx， 如图： 设M（m，m2+m），N（m，m）， ∴MN＝（m2+m）mm2m（m﹣18）2， ∵0， ∴当m＝18时，MN最大为8.1， 答：飞行的过程中手榴弹离坡面的最大高度是8.1米． 7．（2024•梁园区校级四模）嘉嘉和淇淇在进行羽毛球比赛，某同学借此次情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长，嘉嘉在点A（6，1）处发球，羽毛球（看成点）的运动路线为抛物线C1的一部分．当球运动到最高点时，离嘉嘉站立的位置水平距离为3m，其高度为2m，淇淇恰在点B（0，c）处将球击回．在与点O水平距离3m处设有一个高为1.5m的球网MN、P，Q为两侧边界．与球网的距离均为7m（注意：运动员在接/发球时，身体不可以接触球网，否则犯规）． （1）求抛物线C1的解析式和c的值（不必写x的取值范围）； （2）当羽毛球被淇淇击回后，其运动路线为抛物线C2：yc的一部分． ①试通过计算判断此球能否过网？是否出界？ ②嘉嘉在球场上C（d，0）处准备接球，原地起跳后使得球拍达到最大高度m，若嘉嘉因接球高度不够而失球，直接写出d的取值范围． 【分析】（1）设抛物线 C1的解析式为 y＝a（x﹣3）2+2，由C1经过点A（6，1），求出a的值即可； （2）①令x＝3求出y的值与1.5比较即可，令y＝0，解方程求出x的值与10比较即可； ②根据x＝d时，y以及d＞3求出d的取值范围． 【解答】解：（1）依题意，嘉嘉发球时，球在（3，2）处达到最高点， 设抛物线 C1 的解析式为 y＝a（x﹣3）2+2， ∵C1经过点A（6，1）， ∴1＝a（6﹣3）2+2， 解得， ∴抛物线 C1 的解析式为； 当x＝0 时，y＝1， ∴c＝1； （2）①由（1）得c＝1，故抛物线 C2 的解析式为， 当x＝3时， ∴球可以过网； 当y＝0时，x2x+1＝0， 整理得x2﹣8x﹣5＝0， 解得（舍去），， 由题意可得，OQ＝3+7＝10（m）， ∵， ∴球没有出界， 综上，球可以过网，球没有出界； ②由题意得：d2d+1， 解得1＜d＜7． ∵嘉嘉在球网的右侧， ∴d＞3， ∴d的取值范围为3＜d＜7． 【考点9 二次函数中的存在性问题】 1．（2024•德阳模拟）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）将B（4，0）代入，待定系数法求解析式，进而分别令x，y＝0，解方程即可求解； （2）根据题意，对称轴为直线x＝1，设P（1，n），根据勾股定理BC2＝42+42＝32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2，分①当∠BCP＝90°时，②当∠CBP＝90°时，③当∠BPC＝90°时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解； （3）存在点M使AM+OM最小，作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，求得直线AQ的解析式，直线BC的解析式为y＝﹣x+4，联立方程即可求解． 【解答】解：（1）将B（4，0）代入， 即， 解得：， ∴， 令x＝0，则， 令y＝0，则， 解得：x1＝4，x2＝﹣2，A（﹣2，0），C（0，4）； （2）存在点P，使△BCP是直角三角形， ∵，对称轴为直线x＝1， 设P（1，n）， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴BC2＝42+42＝32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2， ①当∠BCP＝90°时，BP2＝BC2+PC2， ∴（4﹣1）2+n2＝32+12+（4﹣n）2， 解得：n＝5； ②当∠CBP＝90°时，PC2＝BC2+BP2， ∴12+（4﹣n）2＝（4﹣1）2+n2+32 解得：n＝﹣3； ③当∠BPC＝90°时，BC2＝BP2+PC2，32＝（4﹣1）2+n2+12+（4﹣n）2 解得：或， 综上所述：P（1，5），（1，﹣3），（1，2），（1，2）； （3）存在点M使AM+OM最小，理由如下： 作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ， 由对称性可知，OM＝QM， ∴AM+OM＝AM+QM≥AQ， 当A、M、Q三点共线时，AM+OM有最小值， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴OB＝OC， ∴∠CBO＝45°， 由对称性可知∠QBM＝45°， ∴BQ⊥BO， ∴Q（4，4）， 设直线AQ的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AQ的解析式， 设直线BC的解析式为y＝mx+4， ∴4m+4＝0， ∴m＝﹣1， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4， 联立方程组， 解得：， ∴M（，）． 2．（2024•龙江县模拟）如图，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作PM⊥x轴，与线段BC交于点M，垂足为点H，若PM＝MH时，求△PBC的面积； （3）若以P，M，C为顶点的三角形是以∠PMC为底角的等腰三角形时，求线段MP的长； （4）已知点Q是直线PC上一点，在（3）的条件下，直线PM上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）先求出C点坐标，进而求出直线BC的解析式，设P（m，﹣2m2+2m+4）（0＜m＜2），则：M（m，﹣2m+4），根据PM＝MH列出方程，求出m的值，进而求出P点坐标，分割法求出三角形的面积即可； （3）分PM＝PC和CP＝CM两种情况，进行讨论求解； （4）求出直线PC的解析式，设，利用平移思想求出Q点坐标，进而求出K点坐标，再验证CK⊥KM即可． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线，过点B（2，0）， ∴， 解得：， ∴y＝﹣2x2+2x+4； （2）∵y＝﹣2x2+2x+4， ∴当x＝0时，y＝4， ∴C（0，4）， ∵图象过点B（2，0），对称轴为直线， ∴A（﹣1，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+4，把B（2，0）代入，得：k＝﹣2， ∴y＝﹣2x+4， 设P（m，﹣2m2+2m+4）（0＜m＜2），则：M（m，﹣2m+4）， ∵PM＝MH， ∴PH＝2MH，即：﹣2m2+2m+4＝2（﹣2m+4）， 解得：m＝1或m＝2（舍去）； ∴P（1，4），M（1，2）， ∴PM＝2， ∴； （3）设P（m，﹣2m2+2m+4）（0＜m＜2），则：M（m，﹣2m+4）， ∴PM＝﹣2m2+2m+4+2m﹣4＝﹣2m2+4m， ①当PM＝PC＝﹣2m2+4m时，过点C作CE⊥PH，如图1，则CE＝m， ∴PE＝EH﹣PH＝4+2m2﹣2m﹣4＝2m2﹣2m， 在Rt△CEP中，由勾股定理，得：（﹣2m2+4m）2＝m2+（2m2﹣2m）2， 解得：m＝0（舍去）或； ∴； ②当CP＝CM时，过点C作CE⊥PM，如图2，则：PM＝2ME， ∵ME＝HE﹣MH＝4+2m﹣4＝2m， ∴﹣2m2+4m＝4m， 解得：m＝0（不合题意，舍去）； 故； （4）直线PM上存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形；理由如下： 由（3）可知：，， 设直线PC的解析式为y＝k1x+4，把代入得：， ∴， 设， 若以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形，只能是四边形CMQK为矩形， ∴CM∥KQ，CM＝KQ，KC⊥CM， ∵点C先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点M， ∴将点K先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点Q， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴CM2+CK2＝KM2， 则四边形CMQK为矩形，满足题意； 故． 3．（2024春•南川区期中）已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和△QHC的面积； （3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）先求出AC的直线解析式，然后假设P点坐标，即可得到H和Q点的坐标，然后四边形OAPC分成△OAC和△APC求出面积和P点坐标得关系，根据二次函数最值问题的即可求出S的最大值，从而求得P点坐标和Q点坐标，从而得到△QHC的面积； （3）根据菱形的性质，得出△PMC为等腰三角形，再根据腰的不同分类讨论，即可求解． 【解答】（1）解：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵yx2x+2与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）， 与y轴交于点A， ∴当x＝0时，y＝2， 当y＝0时，x2x+2＝0， 解得：x＝﹣1或x＝4， ∴A（0，2），B（﹣1，0），C（4，0）， ∴OA＝2，OB＝1，OC＝4， ∴AB，BC＝5，AC＝2， ∵，即AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°； （2）设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∵A（0，2），C（4，0）， ∴， 解得： ∴直线AC的解析式为：yx+2， ∵点P（m，n）是抛物线yx+2在第一象限部分上的点，PH⊥x轴， ∴P（m，m2m+2），H（m，0），Q（m，m+2）， ∴PQm2m+2﹣（m+2）m2+2m， ∵S△OAC•OA•OC2×4＝4， S△APCPQ（xC﹣xA）（m2+2m）（4﹣0）＝﹣m2+4m， ∴S四边形OAPC＝S△OAC+S△APC＝﹣m2+4m+4＝﹣（m﹣2）2+8， ∴S＝﹣m2+4m+4， ∴当m＝2时，S四边形OAPC的最大值为8，此时P（2，3）， ∴Q（2，1），H（2，0）， ∴S△QHC•CH•QH2×1＝1； （3）存在， 理由如下：∵yx2x+2， ∴抛物线的对称轴为直线x， 设M（，t）， 由（1）（2）可知，P（2，3），C（4，0）， ∴PM2＝（2）2+（3﹣t）2＝t2﹣6t，PC2＝（2﹣4）2+（0﹣3）2＝13，MC2＝（4）2+（t﹣0）2＝t2， 由菱形的对称性可知，若P，C，M，N为顶点的四边形是菱形， ∴△PCM为等腰三角形， ①当PM＝PC时， t2﹣6t13， 解得：t， ∴M（（，）或（，）； ②当CM＝PC时， t213， 解得：t＝±， ∴M（，）或（，）； ③当MC＝MP时， t2﹣6tt2， 解得：t， ∴M（，）； 综上所述，点M坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（，）． 4．（2023秋•陵城区期末）如图，抛物线与直线AB交于点．点D是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），经过点D且与y轴平行的直线交直线AB于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点．是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求得点C、D坐标以及直线AB的解析式，根据平行四边形的性质得到PQ∥y轴，且PQ＝CD＝3，设，则，由解一元二次方程即可求解． 【解答】解：（1）由题意，将点代入中，得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形． 由得顶点D坐标为， 设直线AB的解析式为y＝kx+t， 将点代入，得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为， 当x＝2时，，∴， ∴， ∵以点P，Q，C，D为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形，CD在抛物线对称轴上， ∴PQ∥y轴，且PQ＝CD＝3， 由题意，设，则， ∴， ∴①或②， 解①得m＝1或m＝2（舍去），则Q（1，1）； 解②得m＝﹣2或m＝5，则或Q（5，3）， 综上，符合条件的Q坐标为（1，1）或或（5，3）． 5．（2024•武威二模）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E，点D是BE的中点． （1）求m的值； （2）求该抛物线对应的函数关系式； （3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先求出点D 和点E 坐标，再根据中点坐标公式，即可求出m； （2）易得B（﹣2，3），根据二次函数的对称性得出A（4，0），设抛物线对应的函数关系式为y＝ax2+bx+c，把B（﹣2，3），O（0，0），A（4，0）代入，求出a、b、c的值，即可得出抛物线对应的函数关系式为． （3）连接CD，易得C（2，0），则BC＝CE，进而得出CD是BE的垂直平分线，用待定系数法求出CD所在直线的函数表达式为，与二次函数表达式联立求解即可． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2x﹣1＝﹣1， ∴D（0，﹣1）， 当x＝2时，y＝﹣2x﹣1＝﹣2×2﹣1＝﹣5， ∴E（2，﹣5）， ∵B（﹣2，m），点D是BE的中点， ∴m﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣（﹣5）， 解得：m＝3． （2）∵m＝3， ∴B（﹣2，3）， ∵该抛物线经过原点O，对称轴x＝2， ∴A（4，0）， 设抛物线对应的函数关系式为y＝ax2+bx+c， 把B（﹣2，3），O（0，0），A（4，0）代入得： ， 解得：， ∴抛物线对应的函数关系式为． （3）连接CD， ∵对称轴x＝2与x轴交于点C， ∴C（2，0）， ∵B（﹣2，3），E（2，﹣5）， ∴， ∴BC＝CE， ∴点C在BE的垂直平分线上， ∵点D是BE的中点， ∴CD是BE的垂直平分线， 设CD所在直线的函数表达式为y＝kx+t， 把D（0，﹣1），C（2，0）代入得： ， 解得：， ∴CD所在直线的函数表达式为， 联立得：， 解得：，， ∴或． 6．（2024春•青山区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）、C（0，﹣2）． （1）求抛物线表达式； （2）点Q是位于第四象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求点Q的坐标； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c，求出a，b，c的值，即可得到抛物线表达式； （2）过点Q作MQ∥y轴交BC于点M，求出BC解析式，设，则，得出，得到t2+3t，当t时，S△BCQ取最大值，最大值为，当时，，△BCQ的面积最大时，点Q坐标为； （3）分三种情况讨论即可． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣2）代入y＝ax2+bx+c， 得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）过点Q作MQ∥y轴交BC于点M， 设BC：y＝mx+n， 将B（3，0），C（0，﹣2）代入， 得：， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴t2+3t， ∴当t时，S△BCQ取最大值，最大值为， 当时，， ∴△BCQ的面积最大时，点Q坐标为； （3）∵， ∴对称轴为x， 设点P（1，a）， ∵B（3，0）、C（0，﹣2）， ∴BP2＝4+a2，CP2＝1+（a+2）2，BC， ①BP＝CP， ∴4+a2＝1+（a+2）2， ∴， ∴； ②BP＝BC， ∴4+a2＝13， ∴a＝±3， ∴P（1，3）或P（1，﹣3）； ③CP＝BC， ∴1+（a+2）2＝13， ∴a， ∴或； 综上所述，或P（1，3）或P（1，﹣3）或或． 7．（2024•连州市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接BC，CP，BP． （1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）△BCP的面积是否存在最大值？若存在，请求出△BCP面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设直线AQ与直线BC交于点Q，若存在∠AQB与∠ACB中一个是另一个的2倍，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把点B和点C的坐标代入抛物线，即可得抛物线表达式，抛物线的表达式化为顶点式即可得其顶点坐标； （2）由三角形的面积公式得到二次函数关系式，由二次函数最值的求法解答； （3）需要分两种情况，当∠AQB＝2∠ACB及∠ACB＝2∠AQB，再根据题目中条件求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点B（﹣3，0）、C（0，﹣3）， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3． ∵y＝x2+2x﹣3＝﹣（x+1）2﹣4， 即顶点坐标为：（﹣1，﹣4）； （2）如图1，过点P作PD∥y轴，交BC于点D， ∵B（﹣3，0），C（0，﹣3）， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3， 设点P的坐标为（p，p2+2p﹣3），则D的坐标为（p，﹣p﹣3）， ∴PD＝﹣p﹣3﹣p2﹣2p+3＝﹣p2﹣3p， ∴S△BCP3（﹣p2﹣3p）（p）2， ∴当p时，△BCP面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）； （3）设Q（m，﹣m﹣3）， Ⅰ，当∠AQB＝2∠ACB，如图2， ∵∠AQB＝∠ACB+∠QAC， ∴∠EQAC＝∠ACQ， ∴AQ＝CQ，即点Q在线段AC的垂直平分线上， ∵抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3．令y＝0，则x2+2x﹣3＝0． 解得x＝﹣3或1， ∴A（1，0），C（0，﹣3）， ∴（1﹣m）2+（﹣m﹣3）2＝m2+（﹣m﹣3+3）2，解得m， ∴点Q的坐标为（，）； Ⅱ，当∠ACB＝2∠AQB时，如图3， ∵∠ACB＝∠AQB+∠CAQ， ∴∠AQB＝∠CAQ， ∴AC＝CQm2+（﹣m﹣3+3）2， ∴m2+（﹣m﹣3+3）2＝（）2， ∴m或（舍去）， ∴点Q的坐标为（，3）； 当∠AC′C＝∠ACB＝2∠AQ′B时，AC′＝AC，C′Q′＝AC′， 设C′（n，﹣n﹣3）， ∴（1﹣n）2+（﹣n﹣3）2＝（）2，解得n＝﹣2或0（舍去）， ∴C′（﹣2，﹣1）， ∴（﹣2﹣m）2+（﹣m﹣3+1）2＝（）2， ∴m＝﹣2或﹣2（舍去）， ∴点Q的坐标为（﹣2，1）； 综上，点Q的坐标为（，）或（，3）或（﹣2，1）． 【考点10 二次函数中的新定义问题】 1．（2024•南通一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”． （1）在函数①y＝﹣x+3，②y，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是 　 　；（填序号） （2）设函数y（x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值； （3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣1）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 【分析】（1）在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解，可知y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”；同理可得y，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”； （2）在y中，令y＝﹣x得A（2，﹣2）或（﹣2，2）；在y＝2x+b中，令y＝﹣x得B（，），当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2），可得AB2＝2（2）2，BC2（2）2，AC2＝4，分三种情况列方程可得答案； （3）设M（0，m），m＜﹣1，求出抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1），而点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1），可得旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m，令y＝﹣x得x2﹣3x﹣2m＝0，根据旋转后的图象上恰有1个“平衡点”，知x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根，故9+8m＝0，m，从而得M的坐标为（0，）． 【解答】解：（1）根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在y＝﹣x+3中，令y＝﹣x得﹣x＝﹣x+3，方程无解， ∴y＝﹣x+3的图象上不存在“平衡点”； 同理可得y，y＝x2+x+7的图象上不存在“平衡点”，y＝﹣x2+2x+1的图象上存在“平衡点”； 故答案为：③； （2）在y中，令y＝﹣x得﹣x， 解得x＝2或x＝﹣2， ∵x＞0， ∴A（2，﹣2）； 在y＝2x+b中，令y＝﹣x得﹣x＝2x+b， 解得x， ∴B（，）， 当A（2，﹣2）时，C（0，﹣2）， ∴AB2＝2（2）2，BC2（2）2，AC2＝4， 若AB＝BC，则2（2）2（2）2， 解得b＝﹣3； 若AB＝AC，则2（2）2＝4， 解得b＝﹣36或b＝36； 若BC＝AC，则（2）2＝4， 解得b＝0或b＝﹣6（此时A，B重合，舍去）； ∴b的值为﹣3或﹣36或36或0； （3）设M（0，m），m＜﹣1， ∵y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1， ∴抛物线y＝x2+2x的顶点为（﹣1，﹣1）， 点（﹣1，﹣1）关于M（0，m）的对称点为（1，2m+1）， ∴旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+2m+1＝﹣x2+2x+2m， 在y＝﹣x2+2x+2m中，令y＝﹣x得： ﹣x＝﹣x2+2x+2m， ∴x2﹣3x﹣2m＝0， ∵旋转后的图象上恰有1个“平衡点”， ∴x2﹣3x﹣2m＝0有两个相等实数根， ∴Δ＝0，即9+8m＝0， ∴m， ∴M的坐标为（0，）． 2．（2024•长沙模拟）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为y． （1）已知点A（﹣5，10）在一次函数y＝ax﹣5的相关函数的图象上，求a的值； （2）已知二次函数y＝﹣x2+4x． ①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值； ②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x的相关函数的最大值和最小值． （3）在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（，1）、（，1），连接MN．直接写出线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围． 【分析】（1）先求出y＝ax﹣5的相关函数，然后代入求解，即可得到答案； （2）先求出二次函数的相关函数，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x，然后可求得此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y＝x2+4x，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当﹣3≤x≤3时的最大值和最小值； （3）首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围． 【解答】解：（1）根据题意， 一次函数y＝ax﹣5的相关函数为， ∴把点A（﹣5，10）代入y＝﹣ax+5，则﹣a×（﹣5）+5＝10， ∴a＝1； （2）根据题意，二次函数y＝﹣x2+4x的相关函数为y， ①当m＜0时，将B（m，）代入y＝x2﹣4x得m2﹣4m， 解得：m＝2（舍去）或m＝2， 当m≥0时，将B（m，）代入y＝﹣x2+4x得：﹣m2+4m， 解得：m＝2或m＝2， 综上所述：m＝2或m＝2或m＝2． ②当﹣3≤x＜0时，y＝x2﹣4x，抛物线的对称轴为x＝2，此时y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣3时，有最大值，即 y＝（﹣3）2﹣4×（﹣3）， ∴此时y的最大值为． 当0≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x，抛物线的对称轴为x＝2， 当x＝0有最小值，最小值为， 当x＝2时，有最大值，最大值为y， 综上所述，当﹣3≤x≤3时，函数y＝﹣x2+4x的相关函数的最大值为，最小值为； （3）如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点， ∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3， 如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1， ∴﹣n＝1， 解得：n＝﹣1； ∴当﹣3＜n＜﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点， 如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n＝1， 如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（，1）， ∴2﹣n＝1，解得：n， ∴1＜n时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是﹣3＜n＜﹣1或1＜n， 3．（2024•兴隆台区校级三模）我们定义【a，b，c】为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y＝2x2﹣3x+5的“特征数”是【2，﹣3，5】，函数y＝x+2的“特征数”是【0，1，2】，函数y＝﹣2x的“特征数”是【0，﹣2，0】． （1）若一个函数的特征数是【1，﹣4，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 　 ． （2）将“特征数”是【0，，﹣1】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 　 　． （3）当“特征数”是【1，﹣2m，m2﹣3m】的函数在直线x＝m﹣2和直线x＝1之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求m的值． （4）点A（﹣2，1）关于y轴的对称点为点D，点B（﹣2，﹣3m﹣1）关于y轴的对称点为点C．当若（3）中的抛物线与四边形ABCD的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出m的值．（m为常数） 【分析】（1）由函数的特征数是【1，﹣4，1】，知函数为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y＝x2﹣2，即可得到答案； （2）由函数的“特征数”是【0，，﹣1】，得函数解析式为yx﹣1，将图象向上平移2个单位得新函数解析式为yx+1； （3）“特征数”是【1，﹣2m，m2﹣3m】的函数解析式为y＝x2﹣2mx+m2﹣3m＝（x﹣m）2﹣3m，抛物线的顶点为（m，﹣3m），对称轴是直线x＝m，分四种情况：①当m﹣2＜1＜m，即1＜m＜3时，抛物线的最高点在x＝m﹣2处取得，有（m﹣2﹣m）2﹣3m＝5，②当1＜m﹣2＜m，即m＞3时，抛物线的最高点在x＝1处取得，有（1﹣m）2﹣3m＝5，③当m﹣2＜m＜m+2＜1，即m＜﹣1时，抛物线的最高点在x＝1取得，有5＝（1﹣m）2﹣3m，④当m﹣2＜m＜1＜m+2，即﹣1＜m＜1时，抛物线的最高点在x＝m﹣2处取得，有（m﹣2﹣m）2﹣3m＝5，分别解方程可得答案； （4）由抛物线的顶点坐标为（m，﹣3m），且﹣3m＞﹣3m﹣1，分四种情况：①当﹣3m﹣1＜1＜﹣3m，即m时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；②当1＜﹣3m﹣1＜﹣3m，即m时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意；③﹣3m﹣1＜﹣3m＜1，即m时，有两种情况：抛物线与直线y＝1有两个交点，可得M（m，1），N（m，1），故（mm）2﹣3m＝1，抛物线与矩形相邻两边有交点，可得M（﹣1，1），故（﹣1﹣m）2﹣3m＝1，④当m＞2时，可得xM＝2m﹣5，故（2m﹣5﹣m）2﹣3m＝1，解方程可得答案． 【解答】解：（1）∵函数的特征数是【1，﹣4，1】， ∴函数为y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3， 将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y＝x2﹣2， ∴函数y＝x2﹣2的“特征数”是【1，0，﹣2】， 故答案为：【1，0，﹣2】； （2）∵函数的“特征数”是【0，，﹣1】， ∴函数解析式为yx﹣1， 将函数yx﹣1的图象向上平移2个单位得新函数解析式为yx+1， 故答案为：yx+1； （3）“特征数”是【1，﹣2m，m2﹣3m】的函数解析式为y＝x2﹣2mx+m2﹣3m＝（x﹣m）2﹣3m， 抛物线的顶点为（m，﹣3m），对称轴是直线x＝m， 由抛物线的性质可知，当x＝m+2与x＝m﹣2时，y相等且m﹣2＜m， ①当m﹣2＜1＜m，即1＜m＜3时，抛物线的最高点在x＝m﹣2处取得， ∴y＝（m﹣2﹣m）2﹣3m＝5， 解得m，不符合题意，舍去； ②当1＜m﹣2＜m，即m＞3时，抛物线的最高点在x＝1处取得， ∴（1﹣m）2﹣3m＝5， 解得m或m（舍去）， ③当m﹣2＜m＜m+2＜1，即m＜﹣1时，抛物线的最高点在x＝1取得， ∴5＝（1﹣m）2﹣3m， 解得m1（舍去）或m（舍去）， ④当m﹣2＜m＜1＜m+2，即﹣1＜m＜1时，抛物线的最高点在x＝m﹣2处取得， ∴（m﹣2﹣m）2﹣3m＝5， 解得m， 综上所述，m的值为或； （4）由（3）知抛物线的顶点坐标为（m，﹣3m），且﹣3m＞﹣3m﹣1， ①当﹣3m﹣1＜1＜﹣3m，即m时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ②当1＜﹣3m﹣1＜﹣3m，即m时，抛物线与矩形没有交点，不符合题意； ③﹣3m﹣1＜﹣3m＜1，即m时， 需要分以下两种情况： 抛物线与直线y＝1有两个交点，如图， ∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， ∴MN＝3， ∴M（m，1），N（m，1）； ∴（mm）2﹣3m＝1， 解得m， 抛物线与矩形相邻两边有交点，如图， ∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3，P到y轴距离与B到y轴距离都为2， ∴M到y轴距离为1，即xM＝﹣1， ∴M（﹣1，1）， ∴（﹣1﹣m）2﹣3m＝1， 解得m＝0（舍去）或m＝1； ④当m＞2时，如图： ∵两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3， ∴m﹣xP+m﹣xM＝3， 又xP＝2， ∴xM＝2m﹣5（﹣2＜xM＜2）， ∴M（2m﹣5，1）， ∴（2m﹣5﹣m）2﹣3m＝1， 解得m或m（舍去）， 综上所述，m的取值为或1或m． 4．（2024•龙岗区校级模拟）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”． 函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”． 【举例】已知点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上． 点A（1，3）的“纵横值”为y﹣x＝3﹣1＝2； 函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为 　 　； ②求出函数yx（2≤x≤4）的“最优纵横值”； （2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线x上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数y＝﹣x2+（2b+1）x﹣b2+3，当﹣1≤x≤4时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 【分析】（1）①根据定义直接求解即可； ②根据定义先求出1≤y≤2，再求“最优纵横值”为2； （2）先确定函数的解析式为y＝﹣x2+3x+c，再由y﹣x＝﹣（x﹣1）2+c+1的最优纵横值为5，得到c+1＝5，解得c＝4； （3）先求y﹣x＝﹣（x﹣b）2+3，再分类讨论：当b＞4时，﹣16+8b﹣b2+3＝2，解得b＝5或b＝3（舍）；当b＜﹣1时，﹣1﹣2b﹣b2+3＝2，解得b＝0（舍）或b＝﹣2． 【解答】解：（1）①∵B（﹣6，2）， ∴2﹣（﹣6）＝8， ∴点B（﹣6，2）的“纵横值”为8， 故答案为：8； ②y﹣xx﹣x， ∵2≤x≤4， ∴1≤y≤2， ∴函数yx（2≤x≤4）的“最优纵横值”为2； （2）∵抛物线的顶点在直线x上， ∴b＝3， ∴y＝﹣x2+3x+c， ∴y﹣x＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1， ∵最优纵横值为5， ∴c+1＝5， 解得c＝4； （3）∵y﹣x＝﹣x2+2bx﹣b2+3＝﹣（x﹣b）2+3， ∴当x＝b时，y﹣x有最大值3， 当b＞4时，﹣16+8b﹣b2+3＝2，解得b＝5或b＝3（舍）； 当b＜﹣1时，﹣1﹣2b﹣b2+3＝2，解得b＝0（舍）或b＝﹣2； 综上所述：b的值为5或﹣2． 5．（2024春•海州区校级月考）我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“向光函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”． （1）判断一次函数y＝x+1和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理； （2）若一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式； （3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件： ①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围． 【分析】（1）假设存在“向光函数”，设“幸福点”坐标为P（m，n），则Q（﹣m，n），分别代入一次函数y＝x+1和反比例函数，得到关于x的一元二次方程，解方程可得m1＝1，m2＝﹣3，根据向光函数的定义，即可得到“幸福点”坐标； （2）因为一次函数y＝x﹣k和反比例函数只有一个“幸福点”，则一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个交点，联立一次函数y＝﹣x﹣k与反比例函数得到关于x的一元二次方程，得到关于x的一元二次方程，令Δ＝0，求出k的值，即可求出“向光函数”的解析式； （3）一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），则A、B关于y轴对称的点A′、B′一定在y＝﹣ax+b，上，根据“向光函数”y＝ax2+bx+c满足的条件可以得出b＝2a﹣1，c＝1﹣3a，进而表示边形ACBD的面积为S，即可求的取值范围． 【解答】解：（1）一次函数y＝x+1和反比例函数存在“向光函数”，理由如下： 点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．设“幸福点”坐标为P（m，n），则Q（﹣m，n）， ∴， 解并检验得：，， ∴一次函数y＝x+2和反比例函数是存在“向光函数”，“幸福点”坐标为（1，2），（﹣2，﹣1）； （2）∵一次函数y＝x﹣k关于y轴对称的直线函数解析式为y＝﹣x﹣k，而且一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”， 所以y＝﹣x﹣k与反比例函数只有一个交点， ∴y＝﹣x﹣k③，， 整理得：x2+kx+（k+3）＝0， Δ＝k2﹣4（k+3）＝0， 解得：k1＝﹣2，k2＝6， 当k＝﹣2时，则一次函数y＝x+2与反比例函数只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：y＝x2+2x+1， 当k＝6时，则一次函数y＝x﹣6与反比例函数只有一个“幸福点”，向光函数”的解析式为：y＝x2﹣6x+9， ∴“向光函数”的解析式为：y＝x2+2x+1或y＝x2﹣6x+9． （3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧）， ∴A、B关于y轴对称的点A′、B′一定在y＝﹣ax+b上，且是y＝﹣ax+b与的交点坐标， ∴， 整理得：ax2﹣bx+c＝0， 又∵“向光函数”为y＝ax2+bx+c， ∴y＝ax2﹣bx+c与“向光函数”为y＝ax2+bx+c关于y轴对称， ∴xB﹣xA＝xA′﹣xB′， ∵“向光函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件：①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0， ∴D（1，0），c＜0， ∴， ∴， 即“向光函数”为y＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a）， 又∵a＞b＞0， ∴， ∴， 又∵“向光函数”y＝ax2+bx+c与x轴交于C、D两点（C在D左侧），y＝ax2﹣bx+c与“向光函数”为y＝ax2+bx+c关于y轴对称， ∴ax2﹣（2a﹣1）x+（1﹣3a）＝0， ∴x1＝﹣1，， ∴xB′＝﹣1，， ∴xB＝1，， ∴B（1，3a﹣1），， 令“向光函数”y＝ax2+bx+c中，y＝0得0＝ax2+bx+c即0＝ax2+（2a﹣1）x+（1﹣3a）， 解得x1＝1，， ∴xD＝1，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围是：． 6．（2024•无锡模拟）定义：把函数C1：y1＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）的图象绕点P（O，n）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数，C2的图象顶点纵坐标为m． （1）当n＝0时，求新函数C2的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）若a＝1，当x≤m时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1+y2＝7，求C2的解析式； （3）当n＝1时，C2的图象与直线y＝2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围　 　． 【分析】（1）先将函数C1写成顶点式，从而得出其顶点坐标，再得出n＝0时，点P的坐标，然后根据对称性得出新函数C2的顶点坐标； （2）先由a＝1得出函数C1的解析式，再分段讨论：①当x时，②当m时，从而可解得m的值，则可求得C2的解析式； （3）先得出n＝1时点A，B，D的坐标，再分①当a＞0时，②当a＜0时，两大类情况，分别画图分析解得相应的a的取值范围即可． 【解答】解：（1）∵y1＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a， ∴函数C1的顶点坐标为（2，﹣9a）． ∵当n＝0时，点P的坐标为（0，0）， ∴新函数C2的顶点坐标为（﹣2，9a）； （2）∵a＝1， ∴函数C1：y1＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9， ∴函数C1的顶点坐标为（2，﹣9）． 把x代入函数C1，得： y1＝（）2﹣4×（）﹣5， 根据抛物线的对称性可知，当x时y2． ①当x时，y1+y2＜7，不符合题意，舍去）． ②当m时，y2＝﹣9，y1＝m2﹣4m﹣5， ∴y1+y2＝m2﹣4m﹣5﹣9＝7， 解得m1＝7，m2＝﹣3（不合题意，舍去）． ∴y2＝﹣（x+2）2+7＝﹣x2﹣4x+3， ∴C2的解析式为y2＝﹣x2﹣4x+3； （3）∵n＝1，函数C1：y1＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a， ∴函数C2：y2＝﹣a（x+2）2+2+9a， ∵当y2＝2时，x＝1或﹣5；当x＝0时，y2＝5a+2， ∴点A，B，D的坐标分别为（1，2），（﹣5，2），（0，5a+2）． ∵线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′， ∴点A'的坐标为（0，3），点D'的坐标为（﹣5a，2）． ①当a＞0时， 当点D'在点B的左侧（含点B）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图1： ∴﹣5a≤﹣5， ∴a≥1； 当点D'在点B的右侧，且点D在点A'的下方（含点A'）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图2： ∴5a+2≤3， 解得a， ∴0＜a． ②当a＜0时，点D在点A'的下方（含点A'）时，线段A'D'与函数C2的图象有公共点，如图3： ∴﹣5a≥1， ∴a． 综上所述，a或0＜a或a≥1． 7．（2024春•雨花区期末）定义：若一个函数图象与直线y＝﹣x有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，例如：y＝x+2图象与y＝﹣x的交点是（﹣1，1），则y＝x+2是“零和函数”，交点（﹣1，1）是“零和点”． （1）以下两个函数：①y＝2x﹣1，②y＝x2+x+4，是“零和函数”的是 　 　（填写序号）； （2）一个“零和函数”y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），顶点恰好是“零和点”，求该二次函数的解析式； （3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a＜0）的图象上有两个不同的“零和点”A（x1，y1）和B（x2，y2），且，该二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，若已知，求M的取值范围． 【分析】（1）由“零和函数”定义，列方程组求解即可得到答案； （2）由y＝x2+mx+n的顶点恰好是“零和点”，求出的顶点，再由y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），得到4+2m+n＝0，联立方程组求解即可得到答案； （3）由“零和函数”定义，联立，得到ax2+（b+1）x+c＝0，由根与系数关系及得到（b+1）2＝5a2﹣15a，从而将化为M＝﹣（a﹣2）2+9结合Δ＞0，利用二次函数图象与性质即可得到答案． 【解答】解：（1）若一个函数图象与直线y＝﹣x有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，据此联立得： ， 解得，即函数y＝2x﹣1的图象与直线y＝﹣x有交点，为，由“零和函数”定义可得①是“零和函数”； 联立， 则x2+2x+4＝0，由Δ＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，得方程组无解，即函数y＝x2+x+4的图象与直线y＝﹣x无交点，由“零和函数”定义可得②不是“零和函数”； 故答案为：①； （2）一个“零和函数”y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），顶点恰好是“零和点”， ∴的顶点为， ∴， ∵y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0）， ∴4+2m+n＝0， 联立， 则m2+10m+16＝0，即（m+2）（m+8）＝0，解得m＝﹣2或m＝﹣8，∵y＝x2+mx+n是“零和函数”， ∴或， ∴该二次函数的解析式y＝x2﹣2x或y＝x2﹣8x+12； （3）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a＜0）的图象上有两个不同的“零和点”A（x1，y1）和B（x2，y2）， ∴联立， 则﹣x＝ax2+bx+c，即ax2+（b+1）x+c＝0， ∴，， ∵， ∴， ∵二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是， ∴，则（b+1）2＝5a2﹣15a， ∴ ＝a﹣a2+3a+5 ＝﹣a2+4a+5 ＝﹣（a﹣2）2+9， ∵有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（b+1）2+30a＞0， ∴b2+2b+1+30a＞0， ∴（ 5a2﹣15a﹣1）+1+30a＞0， ∴a2+3a＞0， ∴a（a+3）＞0， ∵题中已知条件a＜0， ∴a＜﹣3， ∴M的取值范围是M＜﹣16， ∴当a＜0时，M随着a的增大而增大，即M的取值范围是M＜﹣16． 【考点11 反比例函数系数k的几何意义】 1．（2023秋•南乐县期末）下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为6的有（　　） A．4个 B．2个 C．3个 D．1个 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解． 【解答】解：第1个图中，阴影面积为3，故不符合题意； 第2个图中，阴影面积为，故不符合题意； 第3个图中，阴影面积为，故不符合题意； 第4个图中，阴影面积为，故符合题意； 故选：D． 2．（2023春•朝阳区校级期末）两个反比例函数C1：和C2：在第一象限内的图象如图所示，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据反比函数比例系数k的几何意义得到S△AOC＝S△BODk|，S矩形PCOD＝|2|＝2，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形PAOB的面积． 【解答】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴， ∴S△AOC＝S△BOD|k|，S矩形PCOD＝|2|＝2， ∴四边形PAOB的面积＝2﹣2•1． 故选：A． 3．（2024•大观区校级三模）已知反比例与的图象如图所示，B为x轴正半轴上一动点，过点B作AC∥y轴，分别交反比例函数与的图象于点A，C，点D，E（点E在点D的上方）在y轴上，且DE＝AC，则四边形ACDE的面积为（　　） A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 【分析】利用反比例函数系数k的几何意义可得S△AOB＝2，，再根据同底等高的三角形面积相等，得到S△ADC＝S△AOC，由平行四边形的面积公式进而求出答案． 【解答】解：连接AD、OA、OC， ∵AC∥y轴，DE＝AC， ∴四边形ACDE为平行四边形， ∴S四边形ACDE＝2S△ADC， ∵AC∥y轴， ∴S△ADC＝S△AOC， 由反比例函数系数k的几何意义得， ，， ∴， ∴S四边形ACDE＝2S△AOC＝7， 故选：B． 4．（2024春•宜宾期末）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C在x轴上，顶点B在第二象限，边BC的中点D横坐标为﹣6，反比例函数的图象经过点A、D．若S△AOD＝9，则k的值为（　　） A．﹣12 B．9 C．﹣9 D．﹣6 【分析】作DE⊥x轴，AF⊥x轴，垂足分别为E、F，根据k值的几何意义可知S梯形ADEF＝S△AOD＝9，即可得出（）（﹣3+6）＝9，解得k＝﹣12． 【解答】解：如图，作DE⊥x轴，AF⊥x轴，垂足分别为E、F， ∵边BC的中点D横坐标为﹣6， ∴D（﹣6，），则A（﹣3，）， 根据反比例函数k值的几何意义， S梯形ADEF＝S△AOD＝9， ∴（）（﹣3+6）＝9， 解得k＝﹣12． 故选：A． 5．（2024•古浪县三模）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（　　） A． B． C． D．12 【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数． 【解答】解：∵四边形OCBA是矩形， ∴AB＝OC，OA＝BC， 设B点的坐标为（a，b）， ∵BD＝3AD， ∴D（，b）， ∵点D，E在反比例函数的图象上， ∴k，∴E（a，）， ∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝abk•（b）＝9， ∴k， 故选：C． 6．（2024春•通榆县月考）双曲线L1：和双曲线L2：如图所示，设点P在L1上，PC⊥x轴于点C，交L2于点A，PD⊥y轴于点D，交L2于点B，则△AOB的面积为（　　） A． B． C．2 D．3 【分析】设点，表示出A、B、C、D四个点，利用矩形面积见三角形面积即可得到答案； 【解答】解：设点， ∵PC⊥x轴于点C，交L2于点A，PD⊥y轴， ∴，C（m，0），，， ∴S△AOB＝S四边形OCPD﹣S△AOC﹣S△DOB﹣S△APB ＝3 ， 故选：A． 7．（2024•港南区四模）如图，过点O作直线与双曲线y（k≠0）交于A，B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D．在x轴、y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且AE＝AF．设图中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1，S2的数量关系是　2S1＝S2　． 【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，根据反比例函数图象系数k的几何意义即可得出S矩形ODBC＝﹣k、S△AOMk，再根据中位线的性质即可得出S△EOF＝4S△AOM＝﹣2k，由此即可得出S1、S2的数学量关系． 【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示． ∵AM⊥x轴，BC⊥x轴，BD⊥y轴， ∴S矩形ODBC＝﹣k，S△AOMk． ∵AE＝AF．OF⊥x轴，AM⊥x轴， ∴AMOF，ME＝OMOE， ∴S△EOFOE•OF＝4S△AOM＝﹣2k， ∴2S矩形ODBC＝S△EOF， 即2S1＝S2． 故答案为：2S1＝S2． 【考点12 反比例函数图象上点的坐标特征】 1．（2024•滨海新区校级模拟）如果x1＜0＜x2＜x3，点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 【分析】根据反比例函数的性质进行判断即可． 【解答】解：在反比例函数中，﹣（k2+1）＜0，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵x1＜0＜x2＜x3， ∴点A（x1，y1）在第二象限，y1＞0， 点B（x2，y2），C（x3，y3）分布在第四象限， ∵x2＜x3， ∴y2＜y3＜，0 ∴y2＜y3＜y1， 故选：D． 2．（2024•宁波模拟）已知点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y（k＜0）的图象上，若x1＜x2，则（　　） A．（x1+x2）（y1+y2）＜0 B．（x1+x2）（y1+y2）＞0 C．x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0 D．x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0 【分析】点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y（k＜0）的图象上，且x1＜x2，但不知道这两个点所在的象限，因此分三种情况讨论得出答案，（1）两点同在第二象限，（2）两点同在第四象限，（3）点（x1，y1）在第二象限而点（x2，y2）在第四象限． 【解答】解：∵k＜0 ∴双曲线位于二四象限， ∵点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y（k＜0）的图象上，且x1＜x2， ∴x1﹣x2＜0 （1）点（x1，y1）和点（x2，y2）都在第二象限，由反比例函数的性质可得： x1+x2＜0，y1+y2＞0，y1﹣y2＜0； （2）点（x1，y1）和点（x2，y2）都在第四象限，由反比例函数的性质可得： x1+x2＞0，y1+y2＜0，y1﹣y2＜0； （3）点（x1，y1）在第二象限而点（x2，y2）在第四象限，由反比例函数的性质可得： x1•x2＜0，y1﹣y2＞0； 因此：x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0是正确的． 故选：D． 3．（2024•沅江市校级开学）在函数（m为常数）的图象上有三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y1，y2，y3的大小关系即可． 【解答】解：∵﹣m2﹣3＜0， ∴函数为常（m为常数）的图象在二、四象限，且在每一象限内y随（x﹣1）的增大而增大， ∵﹣4＜﹣2＜0， ∴点（﹣4，y1），（﹣2，y2）在第二象限， ∴y2＞y1＞0， ∵1＞0， ∴点（2，y3）在第四象限， ∴y3＜0， ∴y3＜y1＜y2． 故选：D． 4．（2024•甘谷县三模）已知（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）为双曲线上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y1y3＜0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y3＜0 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再对各选项进行逐一判断即可． 【解答】解：反比例函数中， ∵k＝﹣1， ∴函数图象的两个分支分别位于第二四象限． A、若x1x2＞0，则y1y3可能大于0，可能小于0，本选项不符合题意； B、若x1x3＜0，则y1y2可能大于0，可能小于0，本选项不符合题意； C、若x2x3＞0，则y1y3＞可能大于0，可能小于0，本选项不符合题意； D、若x2x3＜0，则y1y3＜0，本选项符合题意． 故选：D． 5．（2024春•诸暨市期末）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【解答】解：∵丨k丨+1＞0， ∴反比例函数图象分布在第一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． ∵点（3，y3）， ∴y3＞0， ∵﹣2＜﹣1， ∴0＞y1＞y2， ∴y2＜y1＜y3， 故选：B． 6．（2024•邯郸二模）已知m≠0，n≠0，若点（m，n）与点（m+2，n﹣2）在反比例函数的图象上，则（　　） A．m﹣n＝2 B．n﹣m＝2 C．m＝n D．m＝﹣n 【分析】根据反比例函数图象与性质，将（m，n），（m+2，n﹣2）代入函数表达式得到等式，整理即可得到答案． 【解答】解：∵点（m，n）与点（m+2，n﹣2）在反比例函数的图象上， ∴﹣k＝mn＝（m+2）（n﹣2）， 整理得n﹣m＝2， 故选：B． 7．（2024春•德清县期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，当x1＜x2＜0时，有y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C． D． 【分析】依据题意，由反比例函数的图象与性质进行判断可以得解． 【解答】解：由题意，∵反比例函数y的图象上，当x1＜x2＜0时，y1＞y2， ∴当x＜0时，y随x的增大而减小． ∴1﹣2m＞0． ∴m． 故选：C． 【考点13 反比例函数与一次函数综合】 1．（2024秋•颍上县校级月考）如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1）、B（﹣1，n）两点，与x轴相交于点C． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接OA、OB，求△AOB的面积； （3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集． 【分析】（1）将已知点坐标代入反函数表达式，再求解B的坐标，再求解一次函数的解析式即可； （2）先求解D的坐标，结合点A，点B的坐标，然后根据△AOB的面积＝S△AOD﹣S△BOD即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【解答】解：（1）将A（﹣3，1）代入，得m＝﹣3， ∴反比例的解析式为； 把B（﹣1，n）代入， ∴n＝3， ∴B（﹣1，3）， 将A（﹣3，1），B（﹣1，3）代入y＝kx+b，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为y＝x+4， （2）对于y＝x+4， 当x＝0时，y＝4 ∴点D的坐标为（0，4）， ∴点B的坐标为（﹣1，3），A（﹣3，1）， ∴△AOB的面积； （3）观察图象，当x＜0时，关于x的不等式的解集是x＜﹣3或﹣1＜x＜0． 2．（2024•建始县模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1）、B（a，﹣2）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）在y轴上取一点P，使PA﹣PC的值最大，并求出PA﹣PC的最大值及点P的坐标． 【分析】（1）直接用待定系数法即可求解； （2）由点A（﹣2，1）、B（1，﹣2），结合图象即可求解； （3）由一次函数与y轴的交点为P（0，﹣1），可得PA﹣PC的值最大，最大值即为AC的长度，再利用勾股定理求解即可． 【解答】解：（1）把A（﹣2，1）代入， 得m＝﹣2×1＝﹣2，则反比例函数解析式为， 把B（a，﹣2）代入， 得﹣2a＝﹣2， 解得a＝1， 则B点坐标为B（1，﹣2）， 把A（﹣2，1）、B（1，﹣2）代入y＝kx+b得， ， 解得：， 则一次函数解析式为y＝﹣x﹣1； （2）∵点A（﹣2，1）、B（1，﹣2）， ∴由图可得，不等式解集范围是：x＜﹣2或0＜x＜1， （3）一次函数解析式为y＝﹣x﹣1，令x＝0，则y＝﹣1， ∴一次函数与y轴的交点为P（0，﹣1）， 此时，PA﹣PC的值最大，最大值即为AC的长度，过点A作AD⊥x轴于点D，直线AB与x轴的交点为C，在y＝﹣x﹣1中，令y＝0，则x＝﹣1，即直线y＝﹣x﹣1与x轴交于点C（﹣1，0）， ∵A（﹣2，1）， ∴AD＝1，CD＝﹣1﹣（﹣2）＝1， ∴ ∴PA﹣PC的最大值，P点的坐标为P（0，﹣1）． 3．（2024•鄞州区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y图象于A（，4），B（3，m）两点． （1）求m，n的值； （2）点E是y轴上一点，且S△AOB＝S△EOB，求E点的坐标； （3）请你根据图象直接写出不等式kx+b的解集． 【分析】（1）把点A（，4）代入y中，利用待定系数法求得n的值，即可求得反比例函数的解析式，进而把B（3，m）代入求得的解析式，即可求得m的值；根据待定系数法即可求得直线CD的表达式； （2）根据待定系数法即可求得直线AB的表达式，即可求得直线与y轴的交点，根据S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD求得△AOB的面积，设E点的坐标为（0，a），根据S△AOB＝S△EOB得到关于a的方程，解方程求得a，从而求得E点的坐标； （3）根据图象即可求得． 【解答】（1）把点A（，4）代入y中，得：n4＝6， ∴反比例函数的解析式为y， 将点B（3，m）代入y得m2； （2）设直线AB的表达式为y＝kx+b， 把A（，4），B（3，2）代入得， 解得 ∴直线AB的表达式为yx+6， ∴D点的坐标为（0，6）， ∴S△AOB＝S△BOD﹣S△AOD6×36， 设E点的坐标为（0，a）， ∵S△AOB＝S△EOB， ∴|a|×3， 解得：|a|＝3， ∴E点的坐标为（0，3）或（0，﹣3）； （3）不等式kx+b的解集是x＜0或x＜3． 4．（2024•富顺县二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b的解集； （3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题． （2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题． （3）根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC，求出△OAB的面积，设P（m，0），构建方程即可解决问题． 【解答】解：（1）∵反比例函数y的图象经过点A（﹣1，m），B（n，﹣3）， ∴﹣1×m＝﹣6，﹣3n＝﹣6， 解得m＝6，n＝2， ∴A（﹣1，6），B（2，﹣3）， 把A、B的坐标代入y＝kx+b得， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝﹣3x+3． （2）观察图象，不等式kx+b的解集为：﹣1≤x＜0或x≥2． （3）连接OA，OB，由题意C（0，3）， S△AOB＝S△AOC+S△BOC3×13×2， 设P（m，0）， 由题意•|m|•32， 解得m＝±6， ∴P（6，0）或（﹣6，0）． 5．（2024•东兴区校级二模）如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于点A（2，3），B（n，1）． （1）求双曲线及直线对应的函数表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集． （3）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（﹣2，0），点D在y轴上．连接AD，BD，则△ABD的面积是 　 　． 【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象及交点坐标，直接写出不等式解集即可； （3）先求出平移后直线解析式，利用S△ABD＝S△BMD﹣S△AMD代入数据计算即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与双曲线相交于点A（2，3），B（n，1）， ∴m＝2×3＝1×n． ∴m＝6，n＝6， ∴反比例函数解析式为y， ∵A（2，3），B（6，1）在直线y＝kx+b的图象上， ，解得， ∴一次函数解析式为y． （2）根据函数图象及交点坐标，不等式的解集为2＜x＜6或x＜0． （3）如图，设直线AB交y轴位点于M， 在直线y中，当x＝0时，y＝4， ∴M（0，4），即OM＝4， 设直线AB平移后的解析式为yx+q，函数图象过点C（﹣2，0）， ∴（﹣2）+q＝0，解得q＝﹣1， ∴平移后直线解析式为y， ∴D（0，﹣1）， ∴MD＝5， ∴S△ABD＝S△BMD﹣S△AMD10． 故答案为：10． 【考点14 反比例函数的实际应用】 1．（2023秋•福州期末）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段是渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式； （2）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【分析】（1）设BC段的函数解析式为y＝kx+b，把（10，3）和（30，6）代入得求得BC段的函数解析式为yx，设CD段的函数解析式为y，把（30，6）代入求得CD段的函数解析式为y； （2）把y＝4分别代入yx和y得到x或x＝45，于是得到结论． 【解答】解：（1）设BC段的函数解析式为y＝kx+b， 把（10，3）和（30，6）代入得， 解得， ∴BC段的函数解析式为yx， 设CD段的函数解析式为y， 把（30，6）代入得6， ∴m＝180， ∴CD段的函数解析式为y； （2）把y＝4分别代入yx和y得， x或x＝45， ∵452828， ∴本次消毒有效． 2．（2023秋•梅里斯区期末）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）求出y与x之间的函数关系； （2）开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？说明理由． 【分析】（1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）根据上题求出的AB和CD的函数表达式，再分别求第5分钟和第30分钟的注意力指数，最后比较判断； （3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能． 【解答】解：（1）当0≤x≤10时，设线段AB所在的直线的解析式为y1＝k1x+20（k1≠0）， 把B（10，40）代入得，k1＝2， ∴y1＝2x+20． 当10≤x≤25时，y2＝40， 当x≥25时， 设C、D所在双曲线的解析式为， 把C（25，40）代入得，k3＝1000， ∴， ∴y与x之间的函数关系为：； （2）当x＝5时，y1＝2×5+20＝30， 当x＝30时， ∴y1＜y3， ∴第30分钟注意力更集中． （3）能达到； 令y1＝36， ∴36＝2x+20， ∴x＝8， 令y3＝36， ∴， ∴ ∵27.8﹣8＝19.8＞19， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 3．（2024•河东区一模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段：当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）点A的注意力指标数是 　 　； （2）当0≤x＜10时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． 【分析】（1）设CD的解析式为：，将C（20，48）代入即可求解； （2）当0≤x＜10时，设AB的解析式为y＝kx+b，代入A，B两点的坐标即可求解； （3）分别求解当y≥36时，；当y≥36时，；即可判断． 【解答】解：（1）设CD的解析式为：， 由C（20，48）得k＝960， ∴D（40，24）， 由图可知：点A的注意力指标数是24． （2）当0≤x＜10时，设AB的解析式为y＝kx+b， ∴， ∴． ∴． （3）：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36． 理由：当y≥36时，， 解得x≥5； 当20≤x≤40时，反比例函数解析为， 当y≥36时，， 解得． ∴当时，注意力指标数都不低于36． 而， ∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36． 4．（2023秋•介休市期末）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 【分析】（1）应用待定系数法分段求函数解析式； （2）观察图象可得； （3）代入临界值y＝10即可． 【解答】解：（1）设线段AB解析式为y＝k1x+b（k≠0） ∵线段AB过点（0，10），（2，14） 代入得 解得 ∴AB解析式为：y＝2x+10（0≤x＜5） ∵B在线段AB上当x＝5时，y＝20 ∴B坐标为（5，20） ∴线段BC的解析式为：y＝20（5≤x＜10） 设双曲线CD解析式为：y（k2≠0） ∵C（10，20） ∴k2＝200 ∴双曲线CD解析式为：y（10≤x≤24） ∴y关于x的函数解析式为： y （2）由（1）恒温系统设定恒温为20℃ （3）把y＝10代入y中，解得，x＝20 ∴20﹣10＝10 答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害． 5．（2023秋•兰山区校级月考）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 　 　，自变量x的取值范围为 　 　；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 　 　． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 　 　分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y＝k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y，把点（8，6）代入即可； （2）把y＝1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x； （3）把y＝3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，＞等于10就有效． 【解答】解：（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y＝k1x（k1＞0）代入（8，6）为6＝8k1 ∴k1设药物燃烧后y关于x的函数关系式为yk2＞0）代入（8，6）为6 ∴k2＝48 ∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为yx（0≤x≤8）药物燃烧后y关于x的函数关系式为y（x＞8） （2）结合实际，令y中y≤1.6得x≥30 即从消毒开始，至少需要经过 30分钟后，员工才能回到办公室． （3）把y＝3代入yx，得：x＝4 把y＝3代入y，得：x＝16 ∵16﹣4＝12 所以这次消毒是有效的． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 二次函数与反比例函数全章十四类必考点 【沪科版】 【考点1 根据题目信息识别和判断函数图象】 1 【考点2 二次函数图象与系数的关系】 5 【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】 7 【考点4 二次函数图象的几何变换】 8 【考点5 由二次函数的最值求字母的值】 9 【考点6 由二次函数的性质求代数式最值】 10 【考点7 由二次函数的性质求几何最值】 11 【考点8 二次函数的实际应用】 12 【考点9 二次函数中的存在性问题】 16 【考点10 二次函数中的新定义问题】 19 【考点11 反比例函数系数k的几何意义】 22 【考点12 反比例函数图象上点的坐标特征】 24 【考点13 反比例函数与一次函数综合】 25 【考点14 反比例函数的实际应用】 27 【考点1 根据题目信息识别和判断函数图象】 1．（2024春•九龙坡区校级期末）函数y＝mx2+nx（m≠0）与y＝mx+n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•胶州市校级二模）一次函数y＝bx﹣a和二次函数y＝ax2+x+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•无为市月考）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝﹣x﹣b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4．（2023秋•黔南州期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+a和y＝﹣ax2+2x+2（a是常数，且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•镇平县模拟）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的图象大致为（　　） A． B． C． D． 6．（2024•安徽一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．（2024•卧龙区校级二模）如图，一次函数y1＝x与二次函数图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点2 二次函数图象与系数的关系】 1．（2023秋•禹城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，则以下五个结论①abc＞0，②2a+b＝0，③b2＞4ac，④4a+2b+c＞0，⑤3a+c＜0中，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024春•天府新区校级月考）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论： ①abc＜0，②a2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数）．其中结论正确的个数为（　　） A．3 B．2 C．5 D．6 3．（2024•临邑县模拟）小红从图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条信息：①b＞0；②abc＞0；③a﹣b+c＞0；④2a﹣3b＝0；⑤c﹣4b＞0，你认为其中正确信息的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（2024•十堰模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）； ④a﹣b+c＞0； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024•宝安区二模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论： ①b＝2a； ②c﹣a＝n； ③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间； ④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0； ⑤一元二次方程ax2+（b）x+c＝0有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024•岚山区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点为（4，0），其对称轴为直线x＝1，其部分图象如图所示，有下列5个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＝0；④若关于x的方程ax2+bx+c＝﹣1有两个实数根x1x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；⑤直线y＝kx﹣4k（k≠0）经过点（0，c），则关于x的不等式ax2+（b﹣k）x+c+4k＞0的解集是0＜x＜4．其中正确结论的个数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（2024春•五莲县期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2，下列说法；①c﹣3a＞0；②4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；③若图象上存在点A（x1，y1）和B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2；④若直线y＝px+q与抛物线两交点横坐标为分别为﹣1，﹣4．则不等式ax2+（b﹣p）x+c＜q的解集为4＜x＜﹣1．其中正确个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点3 二次函数图象上点的坐标特征】 1．（2023秋•义乌市期末）已知二次函数y＝﹣mx2+2mx+4（m＞0）经过点A（﹣2，y1），点B（1，y2），点C（3，y3），那么y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2 2．（2024春•鼓楼区校级期末）已知二次函数y＝（x﹣1）2+2的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．不能确定 3．（2024•三元区一模）若二次函数y＝﹣x2﹣bx﹣c的图象过不同的几个点A（﹣1，a）、B（3，a）、C（﹣2，y1）、D（，y2）、E（，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 4．（2024春•镇海区期末）已知二次函数y＝a（x﹣m+4）（x+m）+2（a≠0）的图象上有两点A（x1，p），B（x2，q），其中x1＜x2，则（　　） A．若a＞0，当x1+x2＞﹣5，则p＞q B．若a＞0，当x1+x2＜﹣3，则p＞q C．若a＜0，当x1+x2＞﹣3，则p＞q D．若a＜0，当x1+x2＜﹣5，则p＞q 5．（2024春•浦江县期末）点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（1，y3），D（4，y4）是二次函数y＝﹣2x2﹣4x+c+2图象上的四个点，下列说法一定正确的是（　　） A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0 C．若y3y4＜0，则y1y2＜0 D．若y2y3＜0，则y1y4＞0 6．（2024•赣榆区三模）已知点A（x1，y1）在直线y＝﹣x﹣6上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝﹣x2﹣4x﹣2上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（　　） A．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣4 B．﹣10＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣4＜x1+x2+x3＜0 D．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣8 7．（2024春•海淀区校级期中）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣2ax+1（a＞0）上的两点，当t﹣1＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+4 时，下列说法正确的是（　　） A．若，则y1≤y2 B．若y1＜y2，则 C．若y1＞y2，则 D．若，则y1≥y2 【考点4 二次函数图象的几何变换】 1．（2024春•北碚区校级月考）将抛物线C1：y＝3x2+ax+b向左平移1个单位，向上平移1个单位后得到新抛物线C2：y＝3x2+3x﹣17，则a﹣b的值为（　　） A．12 B．15 C．18 D．21 2．（2024•阎良区三模）将二次函数y＝x2﹣6x+m2+6（m为常数）的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位后得到的二次函数图象经过点（1，5），则m的值为（　　） A．0 B．1或﹣1 C．2或﹣2 D．3或﹣3 3．（2024•广西模拟）将抛物线y1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C． D． 4．（2024•岳麓区校级模拟）二次函数y＝m（x+3）2﹣3（m为常数且m≠0）的图象与y轴交于点A．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转180°，旋转后的图象与y轴交于点B，若AB＝12，则m的值为（　　） A．1或 B．1或﹣3 C．3 D． 5．（2024•鼓楼区一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2﹣4的图象沿直线x＝2翻折，它能够与另一个二次函数的图象重合，另一个二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2+4 B．y＝x2﹣6x+8 C．y＝x2﹣8x+12 D．y＝﹣x2﹣4 6．（2024春•肇东市校级月考）将抛物线y＝2（x+1）2+3沿x轴翻折后对应的函数解析式为 　 　． 7．（2023秋•太仓市期中）在平面直角坐标系中，把抛物线y＝﹣3（x+2）2﹣1沿y轴翻折所得新抛物线的解析式为 　 　． 【考点5 由二次函数的最值求字母的值】 1．（2023秋•榆林期末）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值（　　） A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3 2．（2024春•鄞州区校级期末）若当﹣4≤x≤2时，二次函数的最小值为0，则m＝（　　） A． B． C． D．或 3．（2024春•榆阳区校级月考）当﹣2≤x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+5有最大值4，则实数m的值为（　　） A．﹣3 B．﹣1或2 C．2或﹣3 D．2或﹣3或﹣1 4．（2023•绵竹市模拟）当﹣2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（　　） A．2 B．2或 C．2或或 D．2或或 5．（2024•子洲县三模）已知抛物线y＝2x2﹣4x+3在自变量x的值满足m≤x≤m+2时，与其对应的函数值y的最大值为9，则m的值为（　　） A．﹣1或5 B．﹣1或2 C．﹣1或1 D．1或4 6．（2024•邢台三模）点A（a，b1），B（a+2，b2）在函数y＝﹣x2+2x+3的图象上，当a≤x≤a+2时，函数的最大值为4，最小值为b1，则a的取值范围是（　　） A．0≤a≤2 B．﹣1≤a≤2 C．﹣1≤a≤1 D．﹣1≤a≤0 7．（2023•江阳区校级模拟）当2b﹣2≤x≤2b+1时，抛物线y＝﹣（x﹣b）2+4b﹣1有最大值2，则b的值为（　　） A．1或 B．7或1 C．7或 D．1或 【考点6 由二次函数的性质求代数式最值】 1．（2023•江都区一模）已知y2﹣2x+4＝0，则x2+y2+2x的最小值是（　　） A．8 B．﹣8 C．﹣9 D．9 2．（2023秋•如皋市校级月考）已知实数a、b满足a﹣b2＝2，则代数式a2﹣3b2+a﹣9的最小值是（　　） A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣9 3．（2024•浙江模拟）已知：，，m+n＝2，则下列说法中正确的是（　　） A．n有最大值4，最小值1 B．n有最大值3，最小值 C．n有最大值3，最小值1 D．n有最大值3，最小值 4．（2023秋•潜山市期末）已知s，t是实数，点（s，t2）在函数y＝﹣2x2+6x的图象上，设w＝t2+s2+2s，则w的最大值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 5．（2022秋•泗洪县期末）已知非负数x，y，z满足x+y＝3，z﹣3x＝4，设s＝﹣x2+y+z的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D． 6．（2024•邗江区校级一模）若实数x，y满足关系式3x2+y2＝6x，则2x2+y2的最大值为 　 　． 7．（2024•高港区三模）已知p2﹣2ap+1＝0，q2﹣2（a﹣1）q﹣2a+2＝0，且a≥2，设t＝a（p+q），则t的最小值为 　 　． 【考点7 由二次函数的性质求几何最值】 1．（2024•雁塔区校级四模）在平面直角坐标系xOy中，M是抛物线y＝x2+x﹣2在第三象限上的一点，过点M作x轴和y轴的垂线，垂足分别为P，Q，则四边形OPMQ的周长的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（2023秋•贵池区期末）正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 3．（2023秋•宣化区期末）如图，矩形ABCD中，AB＝2cm，AD＝5cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）．连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则△DEF面积最小值为（　　） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 4．（2024•石家庄模拟）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t s，那么△PBQ的面积S的最大值为 　 　mm2． 5．（2024•宜兴市一模）如图，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝3，E、F分别是边BC、CD上的动点，且BE＝CF，将△BCF沿着BC方向向右平移到△EGH，连接DH、EH，当DE＝EH时，DH长是 　 ；运动过程中，△DEH的面积的最小值是 　 ． 6．（2024•祁阳市二模）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，矩形ABCO，B点坐标为（4，2），A、C分别在y轴、x轴上；若D点坐标为（1，0），连结AD，点E、点F分别从A点、B点出发，在AB上相向而行，速度均为1个单位/每秒，当E、F两点相遇时，两点停止运动；过E点作EG∥AD交x轴于H点，交y轴于G点，连结FG、FH，在运动过程中，△FGH的最大面积为 　 　． 7．（2024•大武口区校级模拟）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点． （1）求此抛物线的解析式； （2）若点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作NM∥y轴交抛物线于N，设点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长； （3）在（2）的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 【考点8 二次函数的实际应用】 1．（2024•广水市模拟）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元． （1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 　 　m2，花卉B的种植面积是 　 　m2，花卉C的种植面积是 　 　m2． （2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ （3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值． 2．（2024•江岸区校级模拟）小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中I、II、III三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各有两边与长方形边重合，矩形MFNC（区域II）是这两个正方形的重叠部分，如图所示． （1）若花卉均价为450元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为300元/米2，且花卉和草坪裁种总价不超过65400元，求S的最大值； （2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：3． ①求MF，FN的长； ②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为150元/米2，80元/米2，150元/米2，且边BN的长不小于边ME长的倍．求图中I、II、II三个区域栽种花卉总价W元的最大值． 3．（2024•襄城区模拟）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．两种产品成本价、售价及每日需支付的专利费如下表所示： 类别产品 成本价（元/件） 售价（元/件） 每日需支付的专利费（元） A m（m为常数，且4≤m≤6） 8 30 B 12 20 y 其中A产品每日最多产销500件，B产品每日最多产销300件，B产品每日需支付专利费y（元）与每日产销x（件）满足关系式y＝80+0.01x2． （1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润；（A产品的最大日利润用含m的代数式表示） （3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由． 【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】 4．（2024•天山区校级一模）某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间．两周内将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）①从第一次降价的第1天算起，第x天（x为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示： 时间x（天） 1≤x＜9 9≤x＜15 售价（元/斤） 第1次降价后的价格 第2次降价后的价格 销量（斤） 80﹣3x 120﹣x 储存和损耗费用（元） 40+3x 3x2﹣64x+400 已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x（天）的利润为y（元），求y与x（1≤x＜15）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大． ②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果． 5．（2024•大冶市一模）中国元素几乎遍布卡塔尔世界杯的每一个角落，某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自世界杯开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x天（1≤x≤28，且x为整数）与该天销售量y（件）之间满足函数关系如表所示： 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y（件） 220 240 260 280 300 320 340 … 为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（元）与第x天（1≤x≤28且x为整数）成一次函数关系且满足z＝﹣2x+100．已知该纪念品成本价为20元/件． （1）求y关于x的函数表达式； （2）求这28天中第几天销售利润最大，并求出最大利润； （3）商店担心随着世界杯的结束该纪念品的销售情况会不如从前，决定在第20天开始每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天销售量y（件）仍然满足原来函数关系，问第几天的销售利润取得最大值，若最大利润是20250元，求a的值． 6．（2024•江岸区模拟）某次军训中，借助小山坡的有利地势，优秀学员小明在教官的指导下用手榴弹（模拟手榴弹）进行一次试投：如图所示，把小明投出的手榴弹的运动路线看成一条开口向下的抛物线，抛物线过原点，手榴弹飞行的最大高度为10米，此时它的水平飞行距离为20米，山坡OA的坡度为1：10，山坡上A处的水平距离OB为30米． （1）求这条抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）A处有一棵树AC，AC＝4.4米，则小明投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由； （3）求手榴弹在飞行的过程中离坡面OA的最大高度是多少米． 7．（2024•梁园区校级四模）嘉嘉和淇淇在进行羽毛球比赛，某同学借此次情境编制了一道数学题，请解答这道题． 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长，嘉嘉在点A（6，1）处发球，羽毛球（看成点）的运动路线为抛物线C1的一部分．当球运动到最高点时，离嘉嘉站立的位置水平距离为3m，其高度为2m，淇淇恰在点B（0，c）处将球击回．在与点O水平距离3m处设有一个高为1.5m的球网MN、P，Q为两侧边界．与球网的距离均为7m（注意：运动员在接/发球时，身体不可以接触球网，否则犯规）． （1）求抛物线C1的解析式和c的值（不必写x的取值范围）； （2）当羽毛球被淇淇击回后，其运动路线为抛物线C2：yc的一部分． ①试通过计算判断此球能否过网？是否出界？ ②嘉嘉在球场上C（d，0）处准备接球，原地起跳后使得球拍达到最大高度m，若嘉嘉因接球高度不够而失球，直接写出d的取值范围． 【考点9 二次函数中的存在性问题】 1．（2024•德阳模拟）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2024•龙江县模拟）如图，已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P作PM⊥x轴，与线段BC交于点M，垂足为点H，若PM＝MH时，求△PBC的面积； （3）若以P，M，C为顶点的三角形是以∠PMC为底角的等腰三角形时，求线段MP的长； （4）已知点Q是直线PC上一点，在（3）的条件下，直线PM上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024春•南川区期中）已知抛物线与x轴交于点B、C两点（点B在点C的左侧），与y轴交于点A． （1）判断△ABC的形状，并说明理由． （2）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，过点P作PH⊥x轴于H，交AC于点Q，设四边形OAPC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标和△QHC的面积； （3）在（2）的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标． 4．（2023秋•陵城区期末）如图，抛物线与直线AB交于点．点D是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），经过点D且与y轴平行的直线交直线AB于点C． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若点D为抛物线的顶点，点P是抛物线上的动点，点Q是直线AB上的动点．是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是以CD为边的平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024•武威二模）如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x＝2与x轴交于点C，直线y＝﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m），且与y轴、直线x＝2分别交于点D、E，点D是BE的中点． （1）求m的值； （2）求该抛物线对应的函数关系式； （3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PB＝PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2024春•青山区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0）、C（0，﹣2）． （1）求抛物线表达式； （2）点Q是位于第四象限内抛物线上的一个动点，当△QBC的面积最大时，求点Q的坐标； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 7．（2024•连州市二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），点P是第三象限内抛物线上的一个动点，连接BC，CP，BP． （1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）△BCP的面积是否存在最大值？若存在，请求出△BCP面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）设直线AQ与直线BC交于点Q，若存在∠AQB与∠ACB中一个是另一个的2倍，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点10 二次函数中的新定义问题】 1．（2024•南通一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点（﹣1，1）是函数y＝x+2的图象的“平衡点”． （1）在函数①y＝﹣x+3，②y，③y＝﹣x2+2x+1，④y＝x2+x+7的图象上，存在“平衡点”的函数是 　 　；（填序号） （2）设函数y（x＞0）与y＝2x+b的图象的“平衡点”分别为点A、B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C．当△ABC为等腰三角形时，求b的值； （3）若将函数y＝x2+2x的图象绕y轴上一点M旋转180°，M在（0，﹣1）下方，旋转后的图象上恰有1个“平衡点”时，求M的坐标． 2．（2024•长沙模拟）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为y． （1）已知点A（﹣5，10）在一次函数y＝ax﹣5的相关函数的图象上，求a的值； （2）已知二次函数y＝﹣x2+4x． ①当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值； ②当﹣3≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x的相关函数的最大值和最小值． （3）在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为（，1）、（，1），连接MN．直接写出线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点时n的取值范围． 3．（2024•兴隆台区校级三模）我们定义【a，b，c】为函数y＝ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y＝2x2﹣3x+5的“特征数”是【2，﹣3，5】，函数y＝x+2的“特征数”是【0，1，2】，函数y＝﹣2x的“特征数”是【0，﹣2，0】． （1）若一个函数的特征数是【1，﹣4，1】，将此函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图象对应的函数“特征数”是 　 ． （2）将“特征数”是【0，，﹣1】的函数图象向上平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式是 　 　． （3）当“特征数”是【1，﹣2m，m2﹣3m】的函数在直线x＝m﹣2和直线x＝1之间的部分（包括边界点）的最高点的纵坐标为5时，求m的值． （4）点A（﹣2，1）关于y轴的对称点为点D，点B（﹣2，﹣3m﹣1）关于y轴的对称点为点C．当若（3）中的抛物线与四边形ABCD的边有两个交点，且两个交点到抛物线的对称轴的距离之和为3时，直接写出m的值．（m为常数） 4．（2024•龙岗区校级模拟）【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点A（x，y）是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“y﹣x”称为点A的“纵横值”． 函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵值”． 【举例】已知点A（1，3）在函数y＝2x+1图象上． 点A（1，3）的“纵横值”为y﹣x＝3﹣1＝2； 函数y＝2x+1图象上所有点的“纵横值”可以表示为y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，当3≤x≤6时，x+1的最大值为6+1＝7，所以函数y＝2x+1（3≤x≤6）的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点B（﹣6，2）的“纵横值”为 　 　； ②求出函数yx（2≤x≤4）的“最优纵横值”； （2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点在直线x上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数y＝﹣x2+（2b+1）x﹣b2+3，当﹣1≤x≤4时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 5．（2024春•海州区校级月考）我们定义：点P在一次函数y＝ax+b上，点Q在反比例函数上，若存在P、Q两点关于y轴对称，我们称二次函数y＝ax2+bx+c为一次函数和y＝ax+b反比例函数的“向光函数”，点P称为“幸福点”．例如：点P（﹣1，﹣2）在y＝x﹣1上，点Q（1，﹣2）在上，P、Q两点关于y轴对称，此时二次函数y＝x2﹣x﹣2为一次函数y＝x﹣1和反比例函数的“向光函数”，点P（﹣1，﹣2）是“幸福点”． （1）判断一次函数y＝x+1和反比例函数是否存在“向光函数”，若存在，请求出“幸福点”坐标；若不存在，请说明理； （2）若一次函数y＝x﹣k与反比例函数只有一个“幸福点”，求其“向光函数”的解析式； （3）已知一次函数y＝ax+b与反比例函数有两个“幸福点”A、B（A在B左侧），其“向光函数”y＝ax2+bx+c与轴x交于C、D两点（C在D左侧），若有以下条件： ①a+b+c＝0②“向光函数”经过点（﹣3，4），③a＞b＞0，记四边形ACBD的面积为S，求的取值范围． 6．（2024•无锡模拟）定义：把函数C1：y1＝ax2﹣4ax﹣5a（a≠0）的图象绕点P（O，n）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数，C2的图象顶点纵坐标为m． （1）当n＝0时，求新函数C2的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）若a＝1，当x≤m时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1+y2＝7，求C2的解析式； （3）当n＝1时，C2的图象与直线y＝2相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段AD绕点（0，2）逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围　 　． 7．（2024春•雨花区期末）定义：若一个函数图象与直线y＝﹣x有交点，该函数就称为“零和函数”，两个函数图象的交点称为“零和点”，例如：y＝x+2图象与y＝﹣x的交点是（﹣1，1），则y＝x+2是“零和函数”，交点（﹣1，1）是“零和点”． （1）以下两个函数：①y＝2x﹣1，②y＝x2+x+4，是“零和函数”的是 　 　（填写序号）； （2）一个“零和函数”y＝x2+mx+n（m，n均为常数）图象与x轴有交点（2，0），顶点恰好是“零和点”，求该二次函数的解析式； （3）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c均为常数，且a＜0）的图象上有两个不同的“零和点”A（x1，y1）和B（x2，y2），且，该二次函数的图象与y轴交点的纵坐标是，若已知，求M的取值范围． 【考点11 反比例函数系数k的几何意义】 1．（2023秋•南乐县期末）下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为6的有（　　） A．4个 B．2个 C．3个 D．1个 2．（2023春•朝阳区校级期末）两个反比例函数C1：和C2：在第一象限内的图象如图所示，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024•大观区校级三模）已知反比例与的图象如图所示，B为x轴正半轴上一动点，过点B作AC∥y轴，分别交反比例函数与的图象于点A，C，点D，E（点E在点D的上方）在y轴上，且DE＝AC，则四边形ACDE的面积为（　　） A．6.5 B．7 C．7.5 D．8 4．（2024春•宜宾期末）如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点C在x轴上，顶点B在第二象限，边BC的中点D横坐标为﹣6，反比例函数的图象经过点A、D．若S△AOD＝9，则k的值为（　　） A．﹣12 B．9 C．﹣9 D．﹣6 5．（2024•古浪县三模）如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（　　） A． B． C． D．12 6．（2024春•通榆县月考）双曲线L1：和双曲线L2：如图所示，设点P在L1上，PC⊥x轴于点C，交L2于点A，PD⊥y轴于点D，交L2于点B，则△AOB的面积为（　　） A． B． C．2 D．3 7．（2024•港南区四模）如图，过点O作直线与双曲线y（k≠0）交于A，B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D．在x轴、y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且AE＝AF．设图中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1，S2的数量关系是　2S1＝S2　． 【考点12 反比例函数图象上点的坐标特征】 1．（2024•滨海新区校级模拟）如果x1＜0＜x2＜x3，点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），都在反比例函数的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1 2．（2024•宁波模拟）已知点（x1，y1）和点（x2，y2）在反比例函数y（k＜0）的图象上，若x1＜x2，则（　　） A．（x1+x2）（y1+y2）＜0 B．（x1+x2）（y1+y2）＞0 C．x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0 D．x1x2（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0 3．（2024•沅江市校级开学）在函数（m为常数）的图象上有三点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 4．（2024•甘谷县三模）已知（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）为双曲线上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（　　） A．若x1x2＞0，则y1y3＜0 B．若x1x3＜0，则y1y2＞0 C．若x2x3＞0，则y1y3＞0 D．若x2x3＜0，则y1y3＜0 5．（2024春•诸暨市期末）已知点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1 6．（2024•邯郸二模）已知m≠0，n≠0，若点（m，n）与点（m+2，n﹣2）在反比例函数的图象上，则（　　） A．m﹣n＝2 B．n﹣m＝2 C．m＝n D．m＝﹣n 7．（2024春•德清县期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上，当x1＜x2＜0时，有y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＞0 C． D． 【考点13 反比例函数与一次函数综合】 1．（2024秋•颍上县校级月考）如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于A（﹣3，1）、B（﹣1，n）两点，与x轴相交于点C． （1）分别求出一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接OA、OB，求△AOB的面积； （3）直接写出当x＜0时，关于x的不等式的解集． 2．（2024•建始县模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1）、B（a，﹣2）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数图象的两个交点，直线AB与x轴交于点C． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）在y轴上取一点P，使PA﹣PC的值最大，并求出PA﹣PC的最大值及点P的坐标． 3．（2024•鄞州区模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数y图象于A（，4），B（3，m）两点． （1）求m，n的值； （2）点E是y轴上一点，且S△AOB＝S△EOB，求E点的坐标； （3）请你根据图象直接写出不等式kx+b的解集． 4．（2024•富顺县二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（﹣1，m），B（n，﹣3）两点，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于点C． （1）求一次函数的解析式； （2）根据函数的图象，直接写出不等式kx+b的解集； （3）点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标． 5．（2024•东兴区校级二模）如图，直线y＝kx+b与双曲线相交于点A（2，3），B（n，1）． （1）求双曲线及直线对应的函数表达式； （2）请直接写出关于x的不等式的解集． （3）将直线AB向下平移至CD处，其中点C（﹣2，0），点D在y轴上．连接AD，BD，则△ABD的面积是 　 　． 【考点14 反比例函数的实际应用】 1．（2023秋•福州期末）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段是渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式； （2）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 2．（2023秋•梅里斯区期末）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）求出y与x之间的函数关系； （2）开始上课后第5分钟时与第30分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？说明理由． 3．（2024•河东区一模）通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当0≤x＜10和10≤x＜20时，图象是线段：当20≤x≤40时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： （1）点A的注意力指标数是 　 　； （2）当0≤x＜10时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； （3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要20分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由． 4．（2023秋•介休市期末）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？ 5．（2023秋•兰山区校级月考）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时，y关于x的函数关系式为 　 　，自变量x的取值范围为 　 　；药物燃烧后，y关于x的函数关系式为 　 　． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过 　 　分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 $$