极值点偏移深度研究 讲义-2024届高三数学二轮复习

专题122——最深度极值点偏移深度研究 目录 专题01极值点偏移概念 1 专题02 极值点偏移问题判定定理 5 专题03 不含参数的极值点偏移问题 14 专题04 含参数的极值点偏移问题 20 专题05 含对数式的极值点偏移问题 35 专题06 含指数式的极值点偏移问题 44 专题07 极值点偏移问题的函数选取 54 专题08 极值点偏移的终极套路 84 专题01极值点偏移概念 一、极值点偏移的含义 众所周知,函数满足定义域内任意自变量都有,则函数关于直线对称;可以理解为函数在对称轴两侧,函数值变化快慢相同,且若为单峰函数,则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点,若的两根的中点为,则刚好有,即极值点在两根的正中间,也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等,则为极值点偏移:若单峰函数的极值点为,且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或,则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足,则与极值点必有确定的大小关系: 若,则称为极值点左偏;若,则称为极值点右偏.[来源:学_科_网Z_X_X_K] 如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边,我们称之为极值点左偏. 二、极值点偏移问题的一般题设形式: 1. 若函数存在两个零点且,求证:(为函数的极值点); 2. 若函数中存在且满足,求证:(为函数的极值点); 3. 若函数存在两个零点且,令,求证:; 4. 若函数中存在且满足,令,求证:. 三、问题初现,形神合聚 函数有两极值点,且. 证明:. 所以, 所以, 因为,,在上单调递减 所以,即.学科&网 已知函数的图象与函数的图象交于,过的中点作轴的垂线分别交,于点,问是否存在点,使在处的切线与在处的切线平行?若存在,求出的横坐标;若不存在,请说明理由. 四、招式演练 过点作曲线的切线. (1)求切线的方程; (2)若直线与曲线交于不同的两点,,求证:. 【答案】(1)(2)见解析 【解析】 试题分析:(1)先根据导数几何意义求切线斜率,再根据点斜式求切线方程. 因为,不妨设,. 设,则, 当时,,在单调递增,[来源:学*科*网Z*X*X*K] 所以,所以当时,. 因为,所以, 从而,因为,在单调递减,所以,即.学科&网 极值点偏移问题在近几年高考及各种模考,作为热点以压轴题的形式给出,很多学生对待此类问题经常是束手无策,而且此类问题变化多样,有些题型是不含参数的,而更多的题型又是含有参数的. 其实,此类问题处理的手段有很多,方法也就有很多,下面我们来逐一探索![来源:Z。xx。k.Com] [来源:学,科,网] [来源:Zxxk.Com] 专题02 极值点偏移问题判定定理 一、极值点偏移的判定定理 对于可导函数,在区间上只有一个极大(小)值点,方程的解分别为,且, (1)若,则,即函数在区间上极(小)大值点右(左)偏; (2)若,则,即函数在区间上极(小)大值点右(左)偏. 证明:(1)因为对于可导函数,在区间上只有一个极大(小)值点,则函数的单调递增(减)区间为,单调递减(增)区间为,由于,有,且,又,故,所以,即函数极(小)大值点右(左)偏; (2)证明略. 左快右慢(极值点左偏) 左慢右快(极值点右偏) 左快右慢(极值点左偏) 左慢右快(极值点右偏) 二、运用判定定理判定极值点偏移的方法 1、方法概述: (1)求出函数的极值点; (2)构造一元差函数; (3)确定函数的单调性; (4)结合,判断的符号,从而确定、的大小关系. 口诀:极值偏离对称轴,构造函数觅行踪;四个步骤环相扣,两次单调紧跟随. 2、抽化模型 答题模板:若已知函数满足,为函数的极值点,求证:. (1)讨论函数的单调性并求出的极值点; 假设此处在上单调递减,在上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com] (2)构造; 注:此处根据题意需要还可以构造成的形式.[来源:Zxxk.Com] (3)通过求导讨论的单调性,判断出在某段区间上的正负,并得出与的大小关系; 假设此处在上单调递增,那么我们便可得出,从而得到:时,. (4)不妨设,通过的单调性,,与的大小关系得出结论; 接上述情况,由于时,且,,故,又因为,且在上单调递减,从而得到,从而得证. (5)若要证明,还需进一步讨论与的大小,得出所在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证. 此处只需继续证明:因为,故,由于在上单调递减,故. 【说明】 (1)此类试题由于思路固定,所以通常情况下求导比较复杂,计算时须细心; (2)此类题目若试题难度较低,会分解为三问,前两问分别求的单调性、极值点,证明与(或与)的大小关系;若试题难度较大,则直接给出形如或的结论,让你给予证明,此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[来源:Z。xx。k.Com] 三、对点详析,利器显锋芒 已知函数. (1)求函数的单调区间和极值; (2)若,且,证明:. ∵,∴,在上单调递增,∴,∴.学科&网 函数与直线交于、两点. 证明:. 已知函数,若,且,证明:. 【解析】由函数单调性可知:若,则必有,。 所以, 而, 令,则 所以函数在为减函数,所以, 所以即,所以,所以. 已知函数有两个零点.设是的两个零点,证明:. 四、招式演练 已知函数,其中为自然对数的底数,是的导函数. ( )求的极值; ( )若,证明:当,且时, . 【答案】(1) 当时, 无极值; 当时, 有极小值;(2)详见解析. 学科&网 【解析】试题分析:( )求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可; ( )求出函数f(x)的导数,设函数F(x)=f(x)﹣f(﹣x),求出函数的导数,根据函数的单调性证明即可. 试题解析: ( )的定义域为, 当时, 在时成立 在上单调递增, 无极值. 当时, 解得学科&网 由 得;由 得 所以在上单调递减,在上单调递增, 故有极小值. ( )当时, 的定义域为, , 由,解得.当变化时, , 变化情况如下表: 0 0 + 单调递减 极小值 单调递增 ∵,且,则(不妨设) 已知函数,其中 (1)若函数有两个零点,求的取值范围; (2)若函数有极大值为,且方程的两根为,且,证明: . 【答案】(1);(2)见解析. 学科&网 (1)当时, 函数在上单调递增,不可能有两个零点 (2)当时, 0 - 极大值 的极大值为,由得; 因为, 所以在必存在一个零点; 显然当时, , 所以在上必存在一个零点; [来源:Zxxk.Com] [来源:Zxxk.Com] 专题03 不含参数的极值点偏移问题 函数的极值点偏移问题,其实是导数应用问题,呈现的形式往往非常简洁,涉及函数的双零点,是一个多元数学问题,不管待证的是两个变量的不等式,还是导函数的值的不等式,解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解,途径都是构造一元函数. 例.(2010天津理)已知函数 ,如果,且. 证明: 构造函数, 则, 所以在上单调递增,, 也即对恒成立. 由,则, 所以, 即,又因为,且在上单调递减, 所以,即证学&科网 法三:由,得,化简得…, 不妨设,由法一知,.[来源:Z+xx+k.Com] 令,则,代入式,得, 反解出, 则,故要证,[来源:学,科,网Z,X,X,K] 即证, 又因为,等价于证明:…, 构造函数,则, 故在上单调递增,, 从而也在上单调递增,,学&科网 构造, 则, 又令,则, 由于对恒成立,故, 在上单调递增, 所以,从而, 故在上单调递增,[来源:学*科*网Z*X*X*K] 由洛比塔法则知:, 即证,即证式成立,也即原不等式成立. 【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式,方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的,方法三、四则是利用构造新的变元,将两个旧的变元都换成新变元来表示,从而达到消元的目的. 例.(2013湖南文)已知函数,证明:当时,[来源:学科网ZXXK] 【解析】易知,在上单调递增,在上单调递减. 学&科网 招式演练: 已知函数,正实数满足. 证明:.[来源:学科网] 【解析】由,得 从而, 令,构造函数, 得,可知在上单调递减,在上单调递增,学&科网 所以,也即, 解得:. 已知函数. ( )求函数的单调区间; ( )若方程 有两个相异实根,,且,证明:. 【答案】( )在(0,1)递增, 在(1,+ 递减;( )见解析 (2)由(1)可设的两个相异实根分别为,满足 且, 由题意可知 又有(1)可知在递减 故 所以,令 专题04 含参数的极值点偏移问题 含参数的极值点偏移问题,在原有的两个变元的基础上,又多了一个参数,故思路很自然的就会想到:想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决;或者以参数为媒介,构造出一个变元的新的函数. 例1. 已知函数有两个不同的零点,求证:. 不妨设,记,则, 因此只要证明:, 再次换元令,即证 构造新函数, 求导,得在上递增,学*科网 所以,因此原不等式获证. 例2. 已知函数,为常数,若函数有两个零点,证明: 法二:利用参数作为媒介,换元后构造新函数: 不妨设, ∵,∴, ∴,欲证明,即证. ∵,∴即证, ∴原命题等价于证明,即证:,令,构造,此问题等价转化成为例1中思路2的解答,下略. 法三:直接换元构造新函数: 设, 则, 反解出:,学*科网 故,转化成法二,下同,略. 例3.已知是函数的两个零点,且. (1)求证:; (2)求证:. (2) 要证:,即证:,等价于, 也即,等价于,令 等价于,也等价于,等价于即证: 令,则, 又令,得,∴在单调递减, ,从而,在单调递减,∴,即证原不等式成立. 【点评】从消元的角度,消掉参数,得到一个关于的多元不等式证明,利用换元思想,将多元不等式变成了一元不等式,并通过构造函数证明相应不等式.学*科网 例4.已知函数,若存在,使,求证:.[来源:学科网ZXXK] 再证:. ∵, 而, ∴.证毕. 【招式演练】 设函数的图像与轴交于两点, (1)证明:; (2)求证:. (2)证明:由,易知且, 从而,令,则, 由于,下面只要证明:, 结合对数函数的图像可知,只需证:两点连线的斜率要比两点连线的斜率小即可, 又因为,即证:, 令,则, ∴在上单调递减,∴,学*科网 ∴原不等式成立. 设函数,其图像在点处切线的斜率为. 当时,令,设是方程的两个根, 是的等差中项,求证:(为函数的导函数). 设函数,函数为的导函数,且是的图像上不同的两点,满足,线段中点的横坐标为,证明: 【解析】∵,又依题意, 得在定义域上单调递增,所以要证,只需证, 即…… 不妨设,注意到,由函数单调性知,有,学*科网 构造函数,则, 当时,,即单调递减,当时,,从而不等式式成立,故原不等式成立. 学*科网 已知函数. (1)若,求函数在上的零点个数; (2)若有两零点(),求证:. 【点评】1.方程的变形方向:①是函数的两个零点,1是该函数的极值点.②是函数的两个零点,是该函数的极值点. 2.难点的证明依赖利用放缩. 已知函数 . ( )讨论的单调性; ( )设,证明:当时, ; ( )设是的两个零点,证明 . 【答案】( )在上单调递减,在上单调递增;( )当时,;( )证明过程见解析 ( )令,则 . 求导数,得 , 当时,,在上是减函数. 而, , 故当时, ( )由( )可知,当时,函数至多有一个零点, 故,从而的最小值为,且, 不妨设,则, , 由( )得 ,学*科网 从而,于是, 由( )知, . 学*科网 点晴:本题考查函数导数的单调性.不等式比较大小,函数的零点问题:在( )中通过求导,并判断导数的符号,分别讨论的取值,确定函数的单调区间.( )通过构造函数,把不等式证明问题转化为函数求最值问题,求函数当时的最大值小于零即可.( )要充分利用( )( )问的结论. 已知函数(). ( )若,求函数的单调递增区间; ( )若函数,对于曲线上的两个不同的点,,记直线的斜率为,若, 证明:. 【答案】(1)(2)见解析 由题设得 . 又 , ∴ . 不妨设, ,则,则 . 令 ,则,所以在上单调递增,所以,学*科网 故.[来源:Z xx k.Com] 又因为,因此,即. 又由知在上单调递减, 所以,即. 已知函数,. ( )求过点且与曲线相切的直线方程; ( )设,其中为非零实数,有两个极值点,且,求的取值范围; ( )在( )的条件下,求证:. 【答案】(1)(2)见解析[来源:Z xx k.Com] ∴,解得 ∴切线的斜率为,∴切线方程为 ( ) , 当时,即时, , 在上单调递增; 当时,由得, , ,故在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增; 当时,由得, , 在上单调递减,在上单调递增. 当时, 有两个极值点,即, ,即的范围是 点睛:利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 已知函数. (1)证明:当时,; (2)若函数有两个零点, (, ),证明: . 【答案】(1)详见解析(2)详见解析 试题解析: (1)欲证证, , 在上递增, (2), , [来源:学科网] 令,易知在递减, , , , , , , , , , , , ,[来源:Zxxk.Com] 要合题意,如图,,,右大于左,原题得证 专题05 含对数式的极值点偏移问题 前面我们已经指明并提炼出利用判定定理解决极值点偏移问题的策略:若的极值点为,则根据对称性构造一元差函数,巧借的单调性以及,借助于与 ,比较与的大小,即比较与的大小.有了这种解题策略,我们师生就克服了解题的盲目性,细细咀嚼不得不为其绝妙的想法喝彩。 本文将提炼出极值点偏移问题的又一解题策略:根据建立等式,通过消参、恒等变形转化为对数平均,捆绑构造函数,利用对数平均不等式链求解. 例. 已知函数 (1)讨论的单调性; (2)设,证明:当时,; (3)若函数的图象与轴交于两点,线段中点的横坐标为,证明:. 法二:构造以为主元的函数,设函数, 则,, 由,解得,学科&网 当时,,∴在上单调递增, 而, 所以,故当时,. 【问题的进一步探究】 对数平均不等式的介绍与证明 两个正数和的对数平均定义: 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系: (此式记为对数平均不等式) 取等条件:当且仅当时,等号成立. 只证:当时,.不失一般性,可设. 证明如下: (I)先证:……[来源:学科网ZXXK] 不等式 构造函数,则. 因为时,,所以函数在上单调递减, 故,从而不等式成立; (II)再证:……[来源:Z,xx,k.Com] 不等式 构造函数,则. 因为时,,所以函数在上单调递增, 故,从而不等式成立; 综合(I)(II)知,对,都有对数平均不等式成立,[来源:学科网] 当且仅当时,等号成立. 例题第(3)问另解:由 故要证 . 根据对数平均不等式,此不等式显然成立,故原不等式得证. 已知函数与直线交于两点. 求证: 由题于与交于不同两点,易得出则 ∴上式简化为: ∴ 招式演练: 已知函数(),曲线在点处的切线与直线垂直. (1)试比较与的大小,并说明理由; (2)若函数有两个不同的零点,证明: . 【答案】(1)(2)见解析学科&网 试题解析: (1)依题意得, 所以,又由切线方程可得,即,解得 此时, , 令,即,解得; 令,即,解得 所以的增区间为,减区间为 所以,即, , .[来源:学科网] (2)证明:不妨设因为 所以化简得, 可得, . 要证明,即证明,也就是 因为,所以即证学科&网 即,令,则,即证. 令(),由 故函数在是增函数,所以,即得证. 所以.学科&网 点睛:本题主要考查函数导数与切线的关系,考查利用导数来证明不等式,考查利用分析法和导数来证明不等式的方法.有关导数与切线的问题,关键的突破口在与切点和斜率,本题中已知切线和某条直线垂直,也即是给出斜率,利用斜率可求得函数的参数值.利用导数证明不等式通常先利用分析法分析,通过转化后再利用导数来证明. 已知函数[来源:学,科,网] ( )讨论函数的单调区间与极值; ( )若且恒成立,求的最大值; ( )在( )的条件下,且取得最大值时,设,且函数有两个零点,求实数的取值范围,并证明: 【答案】( )答案见解析;( )当时, 最大为1;( )证明过程见解析 ( )由( )知,当取最大值1时, ,记, ,不妨设,由题意,则, ,欲证明,只需证明,只需证明, 即证明,即证,设,则只需证明,也就是证明,记,所以,所以在单调递增,所以,所以原不等式成立. 已知函数,,其中 (1)若,讨论的单调区间; (2)已知函数的曲线与函数的曲线有两个交点,设两个交点的横坐标分别为,证明:. 【答案】( )见解析( )见解析. 【解析】( )由已知得, 学科&网 当时,,; 当时,. 故若,在上单调递增,在上单调递减; 故若,在上单调递减,在上单调递增. 取,即只需证明成立.即只需证成立. ,在区间上单调递增, 成立. 故原命题得证. 已知函数. (1)若在点处的切线与直线垂直,求函数的单调递增区间; (2)若方程有两个不相等的实数解,证明: . 【答案】( )和;( )见解析 ( )由 ,只要证 只需证,不妨设 即证, 只需证, 则在上单调递增, ,即证 专题06 含指数式的极值点偏移问题 近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型:在给定区间内研究两函数之间的不等关系. 要解决这类问题,往往是直接构造某个新函数,或者分离变量之后构造新的函数,通过研究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系. 这一类问题多数与指数函数有关,解题时除了直接构造一元函数求解,还可将问题转化为对数问题,再用对数平均不等式求解,本文对此类问题做一探究. (2016年新课标I卷理数压轴21题)已知函数有两个零点.证明:. 法二:参变分离再构造差量函数 由已知得:,不难发现,, 故可整理得: 设,则 那么,当时,,单调递减;当时,,单调递增.学科*网 设,构造代数式: 设,[来源:学#科#网Z#X#X#K] 则,故单调递增,有. 因此,对于任意的,. 由可知、不可能在的同一个单调区间上, 不妨设,则必有 令,则有 而,,在上单调递增,因此: 整理得:. 法三:参变分离再构造对称函数 由法二,得,构造, 利用单调性可证,此处略. 学科*网 法五:利用“对数平均”不等式 参变分离得:,由得,, 将上述等式两边取以为底的对数,得, 化简得:, 故 由对数平均不等式得:, , 从而 学科*网 等价于: 由,故,证毕. 学科*网 (2010天津理)已知函数 .如果,且. 证明:. 设函数 ,其图象与轴交于两点,且.证明:(为函数的导函数). 【解析】根据题意:,移项取对数得: ① ② ①-②得:,即: [来源:学*科*网Z*X*X*K] 招式演练: 已知函数在上有两个零点为. (1)求实数的取值范围; (2)求证:. 【答案】(1);(2)见解析.[来源:学科网ZXXK] 【解析】试题分析:(1)在上有两个零点等价于方程有两个根,即与有两个交点,研究函数 单调性,结合数形结合可得结果;(2), ,两式相除可得,设,只需证明即可. 试题解析:(1)∵在上有两个零点,∴方程,则,于是时, ,即在上单调递减;当时, ,即在 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性进而求最值、不等式恒成立问题以及不等式证明问题,属于难题.对于求不等式恒成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式,便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法. 已知函数. (1)求的单调区间; (2)证明:当时,. 【解析】 (1) 在上单调递增,在上单调递减; (2)由(1)知当时,. 不妨设,因为,即,则, 要证明,即,只需证明,即.[来源:学科网ZXXK] 而等价于, 令,则, 令,则, 所以单调递减,,即,所以单调递减, 所以,得证. 已知函数,若任意不同的实数满足,求证:. 方案一(差为自变量): 法三:令, 原式 ,则令, 设, 则在为减函数, 则时有最大值, 故,证毕. 已知函数,其中为自然对数的底数. (1)讨论函数的单调性; (2)若函数有两个零点,证明: . 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】( ). ①当时, ,则函数为R上的单调递增函数. ②当时,令,则. 若,则, 在上是单调减函数; 若,则, 在上是单调增函数. [来源:学科网ZXXK] 专题07 极值点偏移问题的函数选取 于极值点偏移问题,前文已多次提到其解题策略是将多元问题(无论含参数或不含参数)转化为一元问题,过程都需要构造新函数. 那么,关于新函数的选取,不同的转化方法就自然会选取不同的函数. 已知函数有两个不同的零点,,其极值点为. (1)求的取值范围; (2)求证:; (3)求证:; (4)求证:. 解:(1),若,则,在上单调递增,[来源:学。科。网] 至多有一个零点,舍去;则必有,得在上递减,学*科网 在上递增,要使有两个不同的零点,则须有. (严格来讲,还需补充两处变化趋势的说明:当时,;当时,). (3)由所证结论可以看出,这已不再是的极值点偏移问题,谁的极值点会是1呢?回到题设条件: (ii)构造函数,则[来源:学。科。网] 学*科网 (4)(i)同上; (ii)构造函数,则 学*科网 当时,,但因式的符号不容易看出,引进辅助函数,则,当时,,得在上递增,有,则,得在上递增,有,即; (iii)将代入(ii)中不等式得,又,,在上递增,故,.学*科网 点评:虽然做出来了,但判定因式及的正负时,均需要辅助函数的介入,费了一番功夫,虽然的极值点是1,理论上可以用来做(3)、(4)两问,但实践发现略显麻烦,我们还没有找到理想的函数. 再次回到题设条件: ,记函数,则有.接下来我们选取函数再解(3)、(4)两问. (3)(i),得在上递减,在上递增,有极小值,又当时,;当时,, 由不妨设. 【点评】用函数来做(3)、(4)两问,过程若行云流水般,格外顺畅.这说明在极值点偏移问题中,若函数选取得当,可简化过程,降低难度. 注1:第(2)问也可借助第(4)问来证:将,相加得. 注2:在第(ii)步中,我们为什么总是给定的范围?这是因为的范围较的范围小,以第(3)问为例,若给定,因为所构造的函数为,这里,且,得,则当时,无意义,被迫分为两类: ①若,则,结论成立; ②当时,类似于原解答.[来源:学科网ZXXK] 而给字,则不会遇到上述问题.当然第(4)问中给定或的范围均可,请读者自己体会其中差别. 【思考】 练习1:(查看热门文章里极值点偏移(1))应该用哪个函数来做呢? 提示:用函数来做,用函数来做.学*科网 练习2 :(安徽合肥2017高三第二次质量检测)已知 (1)求的单调区间; (2)设, ,为函数的两个零点,求证. 提示:将,两边取对数转化为指数方程处理. 【招式演练】 已知函数有两个零点, 求证:. 只要证:即证:,即证:,由的单调性知,只需证:,学*科网 同理构造函数,利用单调性证明,下略. 已知的图像上有两点,其横坐标为,且. (1)证明:; (2)证明:. 又构造函数:, 则, 故在上单调递增,由于时,, 且, 故必存在,使得, 故在上单调递减,在上单调递增, 又时,,且, 故在上恒成立, 也即在上恒成立, 令,有,学*科网 再由,且在上单调递增, 故,即证:成立. 综上:即证成立. 从而对恒成立,同理得出:. 综上:即证成立,也即原不等式成立. 学*科网 已知函数. (1)若曲线过点,求曲线在点处的切线方程; (2)求函数在区间上的最大值; (3)若函数有两个不同的零点, ,求证: . 【答案】(1);(2)当时, ,当时, ,当时, ;(3)证明见解析. 试题解析: (1)因为点在曲线上,所以,解得. 因为,所以切线的斜率为0, 所以切线方程为. (2)因为, ①当时, , , 所以函数在上单调递增,则; ②当,即时, , , 所以函数在上单调递增,则; ③当,即时, 函数在上单调递增,在上单调递减, 则;学*科网 ④当,即时, , , 函数在上单调递减,则. 综上,当时, ; 当时, ; 当时, . 令,则,于是, 令(), 则, 故函数在上是增函数, 所以,即成立,所以原不等式成立. 所以,即成立,所以原不等式成立.学*科网 【方法点晴】本题主要考查导数与切线的问题,考查导数与极值、最值的问题,考查构造函数法证明不等式的方法.第一问涉及求函数的参数,只需代入点的坐标解方程即可,涉及切线问题利用导数和斜率的对应关系易得.第二问求函数在某个区间上的最大值,需要对进行分类讨论,分类的依据是导数的零点是否在定义域内.第三问要证明不等式,先将其转化为同一个参数,然后利用导数求其最小值来求. 已知函数. (1)当时,求函数在上的最大值; (2)令,若在区间上为单调递增函数,求的取值范围; (3)当时,函数的图象与轴交于两点且,又是的导函数.若正常数满足条件.证明: <0. 【答案】(1)(2)(3),理由见解析 用分离参数在上恒成立,即求的最大值. 学*科网 (3)有两个实根, ,两式相减,又, .要证: ,只需证:,令可证. 试题解析:(1) 函数在[,1]是增函数,在[1,2]是减函数, 所以. 于是 . 要证: ,只需证: 只需证:.(*) 令,∴(*)化为 ,只证即可. 在(0,1)上单调递增,, 即.∴. 已知函数 ()当时,求的单调区间和极值. ()若对于任意,都有成立,求的取值范围 ; ()若且证明: 【答案】⑴详见解析;⑵详见解析. 试题解析:⑴ ①时,因为所以 函数的单调递增区间是,无单调递减区间,无极值; ②当时,令解得, 当时,当 所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是, 在区间上的极小值为无极大值. ⑵ 由题意, 即问题转化为对于恒成立. 即对于恒成立, 令,则 令,则 所以在区间上单调递增,故故 所以在区间上单调递增,函数 要使对于恒成立,只要, 又即证 构造函数 即[来源:学科网] 因为,所以即 所以函数在区间上单调递增,故 而故 所以即所以成立. 点睛:本题考查函数的单调性极值及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度大,属于难题.处理导数大题时,注意分层得分的原则,力争第一二问答对,第三问争取能写点,一般涉及求函数单调性及极值时,比较容易入手,求导后注意分类讨论,对于恒成立问题一般要分离参数,然后利用函数导数求函数的最大值或最小值,对于含有不等式的函数问题,一般要构造函数,利用函数的单调性来解决,但涉及技巧比较多,需要多加体会. 已知函数 ( )求的单调区间; ( )设极值点为,若存在,且,使,求证: 【答案】(1)增区间为: 减区间为: ;(2)见解析. 试题解析:( ) 的定义域为, 由得: 由得增区间为: 由得减区间为: ( )要证,只需证 由( )知在上为增函数, 在上是增函数, ,即 又成立,即 已知函数. (1)求的单调区间; (2)若函数, 是函数的两个零点, 是函数的导函数,证明: . 【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】试题分析:(1)先求函数导数,根据导函数是否变号进行讨论,当时, , 递增,当时,导函数有一零点,导函数先正后负,故得增区间为,减区间为;(2)利用分析法先等价转化所证不等式:要证明,只需证明 ,即证明,即证明,再令,构造函数,利用导数研究函数单调性,确定其最值: 在上递增,所以,即可证得结论. 试题解析:(1) 的定义域为, 当时, , 递增 当时, 递增; 递减 综上:∴当时, 的单调增区间为,单调减区间为 当时, 的单调增区间为 即证明,即证明 令,则 则, ∴在上递减, ,∴在上递增, 所以成立,即 点睛:利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 已知函数与的图象关于直线对称. (1)不等式对任意恒成立,求实数的最大值; (2)设在内的实根为, ,若在区间上存在,证明: . 【答案】(1)1(2)见解析 :要证: ,即证: ,只要证,即证,构造函数,其中.利用导数可得 在上单调递增,即得 试题解析:(1)由,所以, 设,∴. 由,∴, 在上单调递增; ,∴, 在上单调递减,所以,即,所以实数的最大值为. 而,故,而,从而, 因此当,即单调递增. 从而当时, ,即,故得证. 已知函数为实数)的图像在点处的切线方程为. (1)求实数的值及函数的单调区间; (2)设函数,证明时, . 【答案】(1)函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(2)见解析. 已知. ( )求的单调区间; ( )设,,为函数的两个零点,求证:. 【答案】( )见解析; ( )见解析. 【解析】试题分析: ( )根据导数,分类讨论,当时, ;当时, ,由 得, 时, , 时, ,即可得出单调区间;( )由( )知的单调递增区间为,单调递减区间为.不妨设,由条件知,即,构造函数, 与图像两交点的横坐标为, ,利用单调性只需证 构造函数利用单调性证明. 点睛:本题考查函数的单调性极值及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度大,属于难题.处理导数大题时,注意分层得分的原则,力争第一二问答对,第三问争取能写点,一般涉及求函数单调性及极值时,比较容易入手,求导后注意分类讨论,对于恒成立问题一般要分离参数,然后利用函数导数求函数的最大值或最小值,对于含有不等式的函数问题,一般要构造函数,利用函数的单调性来解决,但涉及技巧比较多,需要多加体会. 已知函数, . ( )若函数为定义域上的单调函数,求实数的取值范围; ( )若函数存在两个极值点, ,且,证明: . 【答案】(1).(2)详见解析. ②若,即,方程的两根为, ,当时, ,所以函数单调递减,当时, ,所以函数单调递增,不符合题意. 综上,若函数为定义域上的单调函数,则实数的取值范围为. ( )因为函数有两个极值点,所以在上有两个不等的实根, 即在有两个不等的实根, , 于是, 且满足, , , 同理可得. ,令, . , , ∵,∴, 又时, ,∴,则在上单调递增, 所以,即,得证. 已知函数与的图象在点处有相同的切线. ( )若函数与的图象有两个交点,求实数的取值范围; ( )若函数有两个极值点,,且,证明:. 【答案】( );( )证明过程见解析;[来源:学科网ZXXK] ( )由题意,函数,其定义域为, , 令,得,其判别式, 函数有两个极值点, ,等价于方程在内有两不等实根,又,故. 所以,且, , , 令, , 则, 由于,∴,故在上单调递减. 故. 所以, 所以. 点睛:此题主要考查函数导数的几何意义,以及函数单调性、最值在不等式证明中的综合应用能力等有关方面的知识,属于高档题型,也是高频考点.在问题( )中根据导数几何意义建立方程组,求出函数解析式,再由题意构造函数,将问题转化为求函数的零点个数,利用导数求出函数的最值、单调区间,从而求出实数的取值范围;在问题( )中,由( )可求出函数的解析式,依据导数与极值点的关系求出参数的范围,并求出参数与极值点的关系式,根据问题构造新的函数,再用函数的单调性证明不等式成立. 专题08 极值点偏移的终极套路 值点偏移问题在高考中很常见,此类问题以导数为背景考察学生运用函数与方程、数形结合、转换的思想解决函数问题的能力,层次性强,能力要求较高. 下面给出引例,通过探究,归纳总结出解决此类问题的一般性方法. 已知,.若有两个极值点,,且,求证:(为自然对数的底数). 解法一:齐次构造通解偏移套路 于是. 又,设,则.因此,,. 要证,即证:,.即:当时,有.设函数,,则, 所以,为上的增函数.注意到,,因此,.学&科网 于是,当时,有.所以,有成立,.学&科网 解法二 变换函数能妙解 证法2:欲证,需证.若有两个极值点,,即函数有两个零点.又,所以,,是方程的两个不同实根.显然,否则,函数为单调函数,不符合题意. 由, 解法三 构造函数现实力 证法3:由,是方程的两个不同实根得,令,,由于,因此,在,.[来源:Z*xx*k.Com] 设,需证明,只需证明,只需证明,即,即.来源: 微信公众号 中学数学研讨部落 即,,故在,故,即.令,则,因为,,在,所以,即.学&科网 解法四 巧引变量(一) 证法4:设,,则由得,设,则,.欲证, 解法五 巧引变量(二) 证法5:设,,则由得,设,则,. 欲证,需证, 即只需证明, 即, 设,, 故在,因此,命题得证.学&科网 已知函数,若方程有两个不相等的实数根,求证:. 欲证:,结合的单调性, 即证: 等价于证明: 令,构造函数, 求导由单调性易得原不等式成立,略. 法二:接后续解: 由得: 构造函数, 求导由单调性易得在恒成立, 又因为,故成立. 法三:接④后续解: 视为主元,设 则在上单调递增,故, 再结合,故成立. 法四:构造函数,学&科网 则, 从而在上单调递增,故,即 对恒成立, 从而,则, 由,且在单调递增,[来源:学科网] 故, 即,从而成立. 学&科网 招式演练: 已知函数有两个不同的零点. 求的最值; 证明: . 【答案】(1),无最小值 (2)见解析 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明,属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点,命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合,导数部分一旦出该类型题往往难度较大,要准确解答首先观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步构造函数利用导数证明. 已知函数, 为自然对数的底数. (1)讨论的单调性; (2)若函数的图象与直线交于两点,线段中点的横坐标为,证明: (为函数的导函数) 【答案】(1)见解析(2)见解析 (2)∵, ∴, 当时, 在上单调递增,与直线不可能有两个交点,故. 令,则;令,则,故在上单调递增,在上单调递减.不妨设,且, 要证,需证, 即证, 又,所以只需证,即证:当时, .学&科网 设,[来源:学#科#网Z#X#X#K] 则, ∴在上单调递减,又, 故,原不等式成立. 已知函数的图象的一条切线为轴.(1)求实数的值;(2)令,若存在不相等的两个实数满足,求证: .[来源:Z_xx_k.Com] 【答案】(1)(2)见解析 当时, , 记, 记函数的导函数为,则 , 故在上单调递增, 所以,所以, 不妨设,则, 而, ,有单调性知,即. 已知函数且函数图象上点处的切线斜率为. (1)试用含有的式子表示,并讨论的单调性; (2)对于函数图象上的不同两点如果在函数图象上存在点使得点处的切线,则称存在“跟随切线”.特别地,当时,又称存在“中值跟随切线”.试问:函数上是否存在两点使得它存在“中值跟随切线”,若存在,求出的坐标,若不存在,说明理由. 【答案】(1)见解析(2)不存在 令, 构造函数, 则, 则时,恒成立, 故在上单调递增从而得出不存在 试题解析: 函数的定义域为,且, 又,整理得. (1). 1)当时,易知, 时, 故在上单调递增,在上单调递减. 2)当地,令,解得或,则 ①当,即时, 在上恒成立,则在上递增. 当时,在及上单调递增:在上单调递减. 当时, 在上递增. 当时, 在及上单调递增; 在上递减. 点睛:对于导数问题,做题要特别注意在讨论时单调性受参数的影响,可以通过分析导数零点的大小来逐一分析,对于此题第二问的类型,要注意函数的构造和假设,分析函数单调性求最值从而得出结论. 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点. (1)求的取值范围. (2)设的两个极值点为,证明. 【答案】(1)(2)见解析 试题解析:(1)依题意,函数的定义域为,所以方程在有两个不同根.即方程在有两个不同根. 转化为,函数与函数的图象在上有两个不同交点 又,即时, , 时,, 所以在上单调增,在上单调减,从而. 又有且只有一个零点是1,且在时,,在时, ,所以由的图象, 要想函数与函数的图象在上有两个不同交点, 只需,即 (2)由(1)可知分别是方程的两个根,即, , 设,作差得, ,即. 原不等式等价于 令,则,, [来源:Z&xx&k.Com] 设, ,, ∴函数在上单调递增, ∴, 即不等式成立,故所证不等式成立. 点睛:利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等量关系,进而证明不等式.(2)根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数. 已知函数,A,B是曲线上两个不同的点. ( )求的单调区间,并写出实数的取值范围; ( )证明:. 【答案】( )的取值范围是;( )见解析. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及不等式的证明,属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点,命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合,导数部分一旦出该类型题往往难度较大,要准确解答首先观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,然后再化简或者进一步利用导数证明. 在高考创新试题层出不穷的大环境下,学生首先要掌握基本的知识方法和解题策略,对新题、难题的突破,更需在掌握双基的前提下,淡化特殊技巧、重视思想方法、去模式化的解题策略,以不变应万变,培养学生分析问题、解决问题的能力.只有学生学会自我分析,利用熟知的知识方法去解决各类未知的创新试题,教师才算成功培养学生解题思维,同时对学生认知的广阔性、逆向性也是一种需要. ( 1 ) 学科网(北京)股份有限公司 $$