函数与导数-辽宁省部分市2023-2024学年高三下学期模拟试题分类汇编

辽宁省部分市2023-2024学年下学期高三模拟试题分类汇编 ----函数与导数 一、单选题 1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）函数.若对任意，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁丹东·二模）已知函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁沈阳·三模）已知是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则等于（    ） A． B． C． D．1 5．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数在上无极值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·辽宁大连·一模）若奇函数，则的最小值为（   ）. A． B． C． D． 8．（2024·辽宁抚顺·三模）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·辽宁大连·一模）设函数则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·辽宁丹东·一模）若，，，则（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 11．（2024·辽宁大连·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，满足，且对任意，，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2024·辽宁丹东·二模）已知函数的定义域为，满足，当，，则（    ） A． B．在上单调递减 C．在上有极小值 D． 13．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（    ） A．在上为减函数 B．当时， C． D．在上有且只有1个零点 14．（2024·辽宁大连·一模）已知函数是定义域为R的可导函数，若，且，则（    ） A．是奇函数 B．是减函数 C． D．是的极小值点 15．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知定义域为R的函数，满足，且，，则（    ） A． B．图像关于对称 C． D． 三、填空题 16．（2024·辽宁丹东·模拟预测）已知，那么的近似值为 .（保留小数点后一位数字） 17．（2024·辽宁沈阳·三模）已知，且，若，且，则正整数的值为 . 18．（2024·辽宁沈阳·二模）已知函数，则 ． 19．（2024·辽宁辽阳·一模）若，则 ， . 20．（2024·辽宁大连·一模）已知实数，且，则的最小值为 四、解答题 21．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若，求函数在区间上的零点个数. 22．（2024·辽宁沈阳·三模）已知函数（其中），. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)当时，若恒成立，求的取值范围. 23．（2024·辽宁鞍山·二模）已知函数，． (1)若曲线在处的切线与轴垂直，求实数的值； (2)讨论函数的单调性． 24．（2024·辽宁抚顺·三模）设函数，． (1)讨论的单调性． (2)证明：． (3)当时，证明：． 25．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且在上单调递减，求的取值范围. 26．（2024·辽宁大连·一模）已知函数的定义域为区间值域为区间，若则称是的缩域函数. (1)若是区间的缩域函数，求a的取值范围； (2)设为正数，且若是区间的缩域函数，证明： （i）当时，在单调递减; （ii） 参考答案： 1．A 【分析】根据条件得到恒成立，构造函数，利用的单调性，得到在区间上恒成立，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最大值，即可求解. 【详解】因为， 因为对任意，都有，即恒成立， 令，易知在定义域上单调递增， 所以在区间上恒成立，也即在区间上恒成立， 令，则，由，得到，由，得到， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，得到， 故选：A. 【点睛】关键点点晴：，构造函数，从而将问题转化成在区间上恒成立，再构造函数，求出的最大值，即可求解. 2．B 【分析】令，作出函数的图象，结合图象得出关于的方程根的情况，再根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解. 【详解】如图，作出函数的图象， 令， 由图可知，当时，关于的方程有个不同的实数根， 当或时，关于的方程只有个实数根， 因为关于x的方程有三个不同实数根， 所以关于的方程的一个根在上，另一个根在上， 或方程的两个根一个为，另一个在上， 若为方程的根时，则， 当时，方程的另一个根为，不符题意， 当时，方程的另一个根为，不符题意， 若为方程的根时，则或， 当时，方程的另一个根为，不符题意， 当时，方程只有一个根为，不符题意， 若关于的方程的一个根在上，另一个在上时， 令， 则，即，解得， 综上所述，实数t的取值范围是. 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素： （1）二次项系数的符号； （2）判别式； （3）对称轴的位置； （4）区间端点函数值的符号. 结合图象得出关于参数的不等式组求解. 3．D 【分析】根据题意，利用导数求得函数的单调性，结合对数的运算性质，进而求得的大小关系，得到答案. 【详解】因为函数，可得， 当时，；当时，； 当时，， 所以在和上递增，在上递减， 因为，可得，所以， 又因为，， 所以，所以，即，所以. 故选：D. 4．A 【分析】根据偶函数的性质得到，再由奇函数的性质得到，从而推导出，再由所给解析式及周期性计算可得. 【详解】因为为偶函数，所以， 即， 所以， 又是奇函数，所以， 即，所以， 则， 所以是以为周期的周期函数， 又当时，，所以， 则， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的奇偶性，推导出函数的周期性，从而利用周期性求出函数值. 5．A 【分析】若在上单调递增，则在上恒成立，参变分离得到在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数定义域为，则， 若在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以， 因为， 所以“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 6．D 【分析】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果. 【详解】由题意得，，故， 因为函数在上无极值， 所以在R上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则. 综上，. 故选：D. 7．B 【分析】利用奇函数的定义与对数运算可得，结合奇函数的定义域可得，在利用基本不等式即可得的最小值. 【详解】若为奇函数，则， 所以， 则，整理得， 又因为，奇函数的定义域满足， 即，结合可得，即， 故 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值. 故选：B. 8．A 【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象. 【详解】易知，因为，令，得，或， 则时，，时，， 所以在和上单调递减，在上单调递增， 所以选项A符合题意, 故选：A. 9．C 【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为，进而得解. 【详解】因为， 所以 ， 设，显然定义域为，， 又， 所以为上的奇函数， 又， 所以在上单调递增， 又，则， 所以，即， 所以，解得， 则满足的的取值范围是． 故选：C． 10．B 【分析】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解. 【详解】由，，，可得， 所以，则. 故选：B. 11．BD 【分析】令，可判定A不正确；令，得到，结合为奇函数，则为偶函数，得到和，得出和是周期函数，可判定B正确；由函数的周期性，结合和，可得判定C错误；求得，结合周期性，可得判定以D正确. 【详解】对于A中，令，可得， 因为，所以，所以A不正确； 对于B中，令，可得， 所以， 因为函数为奇函数，则为偶函数， 所以， 联立可得， 即， 所以， 所以函数是周期为3的函数，所以，所以B正确； 对于C中，由，可得， 且，因为数是周期为3的函数， 可得，所以C错误； 对于D中， 由，可得 令，可得，所以， 因为函数周期为3的函数，即，可得 所以函数是周期为3的函数，可得，所以， 令，可得，所以， 所以，可得 所以，所以D正确. 故选：BD. 12．ABD 【分析】对于A，代值即可；对于B，求出的函数即可判断单调性；对于C，求出的函数，并通过导数判断极值即可；对于D，列出，并根据对称性计算每个函数值即可. 【详解】A选项：因为， 当时，， 所以， 所以，故A正确． B选项：令， 所以， 所以， 即， 所以， 所以， 当时，在上单调递减，且， 当时，在上单调递减，且， 所以在上单调递减，故B正确． C选项：令， 所以， 所以， 即， 由B可得， ， 所以， 则在上递增，在上递减， 所以在上有极大值，故C不正确． D选项： 根据对称性， 由， 所以，， 所以 由时， 得， 即，故D正确． 故选：ABD. 13．BCD 【分析】根据题意，令，利用导数求得在上单调递增，结合，得到，可判定C正确；再由时，，可判定B正确；根据是定义在上的奇函数，结合单调性和零点的定义，可判定D正确．根据的单调性无法判断，可判定A错误． 【详解】由，可得． 令， 则当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 可得，所以，所以C正确； 因为，所以当时，， 又因为，所以当时，，所以B正确； 由是定义在上的奇函数，故当时，， 又因为，所以在上有且只有1个零点，所以D正确． 因为的单调性无法判断，所以A错误． 故选：BCD. 14．ACD 【分析】对于A：利用赋值法，令求出，令可确定奇偶性，对于BCD：将当作常数，作为变量，对原式求导，然后可通过赋值可得，结合导数判断的单调性及极值. 【详解】对于选项A：令，可得，解得； 令，可得， 且函数的定义域为，所以是奇函数，故A正确； 对于选项B：因为， 可得， 令，可得； 又因为，则，可得， 且，可得， 即，所以，故C正确； 对于选项D：因为， 令，解得或；令，解得； 可知在和上为增函数，在上为减函数， 所以是的极小值点，故B错误，D正确. 故选：ACD. 15．ACD 【分析】对A：借助赋值法，令，计算即可得；对B：借助赋值法，令，再令令，可得，故不可能关于对称，对C：借助赋值法，令，再令，再，计算即可得；对D：由C选项中所得可推导出函数的周期性，计算出一个周期内所有的函数值即可得. 【详解】对A：令，，则有， 即，故A正确； 对B：令，则有， 即有，故或，又，故， 令，则有，即， 故不可能关于对称，故B错误； 对C：令，则有， 即，故关于对称， 令，则有， 即，即， 即，由定义域为，故为偶函数， 令，则有， 即，即， 又，， 故，即，故C正确； 对D：由，， 则有，即， 则，即， 即有，故周期为， 由，，故，， 又，，故，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 16． 【分析】由导数的几何意义求出，，再由代入化简即可得出答案. 【详解】， 若，则. 故答案为：. 17．109 【分析】利用指数式与对数式互化关系，结合已知可得，构造函数，借助函数在上的图象、以点点为端点的线段，进行“割线放缩”求出值. 【详解】依题意，， 设，显然是增函数，从而是方程的唯一解， 由，且当时，，    得， 从而应略小于11，需要判断与10.9的大小关系，先估算的近似值. 考虑函数图象上两个点之间的线段，然后进行“割线放缩”， ， ，所以. 故答案为：109 【点睛】关键点点睛：考虑函数图象上两个点之间的线段，然后进行“割线放缩”是解决问题的关键. 18． 【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可. 【详解】，， ， 故答案为： 19． -2 2 【分析】第一空，根据对数的运算性质即可求得答案；第二空，化简为，求得其结果，再根据对数运算，即可求得答案. 【详解】因为，故； ， 故， 故答案为：-2；2. 20． 【分析】利用消元法得到的函数关系式，再利用导数讨论其单调性后可求最小值. 【详解】， 设，其中，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，此时， 故的最小值为. 故答案为：. 21．(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可得解； （2）结合（1）分，和两种情况讨论，求出函数的单调区间及极值，再结合零点的存在性定理即可得解. 【详解】（1）定义域为，由题意得， 当时，恒成立，所以在上单调递增. 当时，由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）， 由（1）知当时，在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，， 所以由零点存在性定理知，函数在上有1个零点； 当时，若，则，若，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 可得， 当时，，此时在上有1个零点， 当时，， 因为当时，，， 所以此时在上有2个零点， 当时，，此时在上无零点， 综上，当或时，在上有1个零点； 当时在上有2个零点； 当时在上无零点. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 22．(1) (2) 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）转化为，令，二次求导得到单调性和最小值，求出，得到答案. 【详解】（1）时，，， ，故， 故函数在点的切线方程为，即 （2）时，恒成立， 故， 令，定义域为， 则，令， 则在恒成立， 故在上单调递增， 又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， ， 所以，的取值范围是. 23．(1)1 (2)答案见解析 【分析】1）求导函数，根据导数的几何意义及切线与y轴垂直建立方程求解即可； （2）求导函数，按照和分类讨论，求出函数的单调性. 【详解】（1）依题意，， 则， 因为在处的切线与轴垂直，所以，解得； （2）由（1）知， 当时，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间， 当时，分以下三种情况： 若，则在定义域内恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 若，令得或，令得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 若，令得或，令得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 综上所述，当时，在区间单调递增，在区间单调递减； 当时，在区间单调递增，无递减区间； 当时，在区间单调递增，在区间单调递减； 当时，在区间单调递增，在区间单调递减. 24．(1)的增区间为，减区间为， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）对求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出和的解，即可求出结果； （2）对求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而求出的最小值，即可证明结果； （3）根据条件及（2）中结果得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，从而得到，即可证明结果. 【详解】（1）因为，易知定义域为，， 由，得到，由，得到或， 所以的增区间为，减区间为，. （2）因为，易知定义域为，， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以. （3）由（2）知，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号， 要证明，即证明， 令，则在区间上恒成立， 又，所以，所以，命题得证. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（3）问，通过转换，要证明，即证明，再构造函，利用的单调性及（2）中结论解决问题. 25．(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程； （2）依题意可得对恒成立，设，求出函数的导函数，当时推出矛盾，当时恒有，即可得到的单调性，即可得解. 【详解】（1）当时，，， 则，， 故所求切线方程为，即． （2）若在上单调递减，则对恒成立． 设，则， 令，则， 所以， 由，解得或． 当时，必存在，使得当时，， 则在上单调递增，所以当时，， 则在上单调递增， 同理得，当时，，则在上单调递增， 这与在上单调递减矛盾，所以不合题意． 当时，，，即，所以不合题意． 当时，恒有， ①当时，，则在上单调递减， ②当时，，得在上单调递增． 所以，所以对恒成立． 综上，的取值范围是． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 26．(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据缩域函数的定义及其区间，解不等式可得a的取值范围； （2）（i）易知可解得，结合（1）中单调性可得结论；（ii）由缩域函数的定义构造函数并将双变量转化为单变量问题，利用导数求得其单调性即可得结论. 【详解】（1）若是区间的缩域函数，则，； 即，解得； 可得，则； 令，则； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增. 所以，解得， 下面证明，即，也即； 令，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此可得，所以， 综上a的取值范围为 （2）（i）当时,若是区间的缩域函数，则， 即，进一步， 当时，，即，； 由（1）可知，当时，，则单调递减； 所以在区间上单调递减， （ii）若是区间的缩域函数，则； 故有，即； 设函数，则； 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 因为为正数且则，又， 所以在上单调递减，所以； 记，设，且，由的单调性可知，故； 记， 则， 当时，，单调递增； 故，即； 因为在上单调递减，故，即； 由，故， 所以，又因为， 故. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“缩域函数”的定义，并根据给定区间的范围合理构造函数并利用单调性对相应结论进行证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$