精品解析：江苏省扬州市宝应中学2024-2025学年高三上学期期初考试数学试题

江苏省宝应中学24-25学年第一学期高三年级期初考试 （数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则“”是“在区间上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知为奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 5. 某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 7. 已知角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知及其导函数的定义域均为，记，，若关于对称，是偶函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 在区间的最小值为 11. Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（    ） A. B. Sigmoid函数是单调减函数 C. 函数的最大值是 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_________． 13. 已知正实数满足，则的最小值是_________． 14. 已知的定义域为且对于任意正数都有，且当时，，则不等式的解集为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义域为R的偶函数. （1）求实数的值； （2）若对任意，都有成立，求实数k的取值范围. 16. 已知，，设. （1），求函数的值域. （2）若，且，求的值. 17. 如图，三棱锥中， ，， ，D是棱AB的中点，点E在棱AC上. （1）下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）； ①平面⊥平面； ②； ③. （2）若三棱锥的体积为，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面与平面所成二面角的大小. 18. 在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军. 比赛采用“双败淘汰制”：首先，四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”. 接着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名. 然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名. 最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，且不同对阵的结果相互独立. （1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，则哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 19. 已知函数，函数与的图象关于对称， （1）求的解析式； （2）在定义域内恒成立，求的值； （3）求证：，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省宝应中学24-25学年第一学期高三年级期初考试 （数学） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，即可计算得结果. 【详解】. 故选：B 【点睛】本题考查诱导公式的化简求值，属于基础题. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过解指数不等式求出集合，通过解一元二次不等式求出集合，利用交集的定义即可求出结果． 【详解】由，得，∴ 由得， ∴ 所以. 故选：B. 3. 已知函数，则“”是“在区间上单调递增”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，，，∴在上单调递增，故充分性成立， 当在单调递增，∴，即，∴，故必要性不成立， 所以“”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件. 故选：B 4. 已知为奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质建立方程，求解参数，再求值即可. 【详解】∵为奇函数， ∴， ∴，即，解得， 经检验符合题意，所以. 故选：A. 5. 某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及三角形面积公式列式计算即得. 【详解】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，依题意可得，解得， 所以. 该圆锥体积为 故选：B 6. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】根据正态分布的知识得，则， ， 当且仅当，即时取等. 故选：D 7. 已知角，满足，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到，故，利用正切和角公式得到方程，求出. 【详解】因为， ， 所以， 即，则， 因为，所以， 其中， 故，解得. 故选：B. 8. 已知及其导函数的定义域均为，记，，若关于对称，是偶函数，则（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知直接得，由复合函数求导法则可得，进一步有，由此即可得解. 【详解】若关于对称，则的图象关于轴对称， 所以，两边求导得， 因为是偶函数，所以，令，就有， 即有， 所以， 所以. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，，下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据基本不等式、二次函数的性质和对数运算性质判断各选项即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确； ， 根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误； 因为，即， 当且仅当，即时取等号， 所以，即最大值，故C错误； ，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，故D正确． 故选：AD． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 在区间的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出，可得A正确，B错误；由诱导公式可得C正确；整体代入由正弦函数的值域可得D正确. 【详解】由题意得， 由图象可得， 又，所以， 由五点法可得， 所以. A：由以上解析可得，故A正确； B：由以上解析可得，故B错误； C：，故C正确； D：当时，， 所以最小值为，故D正确； 故选：ACD. 11. Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（    ） A. B. Sigmoid函数是单调减函数 C. 函数的最大值是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求出导函数，代入验证可以判断A；利用导数研究函数的单调性，进而可以判断B；利用基本不等式，可以判断C；易知函数关于点对称,进而可以求D. 【详解】由函数得. 对于A，，故A正确； 对于B， ，，则Sigmoid函数是增函数，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，因为＋＋1， 所以，D正确． 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数定义得到，由诱导公式求出答案. 【详解】根据题意得到， 故. 故答案为： 13. 已知正实数满足，则的最小值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题设得且，代入目标式得，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题设且，则， 所以， 当且仅当，时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为： 14. 已知的定义域为且对于任意正数都有，且当时，，则不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意求出，，，得出是函数的零点，令，则是函数的零点，由当时，得出时，，再证明为增函数，即可求解不等式． 【详解】因为对于任意正数都有， 所以，即， ，即， ，即， 所以是函数的零点， 令，则，即是函数的零点， 因为当时，，令，则， 所以时，，， 且， 任取，且， ， 即， 因为，且， 所以， 所以， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为， 所以， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义域为R的偶函数. （1）求实数的值； （2）若对任意，都有成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由偶函数定义求得参数值； （2）由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得范围． 【小问1详解】 由偶函数定义知：， 即， ∴对成立，. 【小问2详解】 由（1）得：； ∵，∴，当且仅当即时等号成立， ∴， ∴，即，解得：或 ， 综上，实数的取值范围为. 16. 已知，，设. （1），求函数的值域. （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算和三角恒等变换化简可得，再由定义域区间求值域即可； （2）由，求得，由二倍角公式可得，又，再由两角和的正切公式计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， ，，， 所以函数的值域为． 【小问2详解】 由题设，又，则， 所以，所以， 所以， 所以. 17. 如图，三棱锥中， ，， ，D是棱AB的中点，点E在棱AC上. （1）下面有①②③三个命题，能否从中选取两个命题作为条件，证明另外一个命题成立？如果能，请你选取并证明（只要选取一组并证明，选取多组的，按第一组记分）； ①平面⊥平面； ②； ③. （2）若三棱锥的体积为，以你在（1）所选的两个条件作为条件，求平面与平面所成二面角的大小. 【答案】（1） 选择①②，可证明③. 由，是线段的中点，得⊥. 又平面⊥平面，平面平面，且平面； 所以⊥平面， AC平面ABC，得⊥， 又⊥；，平面， 所以⊥平面． 因为平面，所以， 若选择①③，可证明②. 由，是线段的中点，得⊥. 又平面⊥平面，平面平面，且平面； 所以⊥平面， 平面，得， 又⊥，，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以． 选择②③，可证明①. 由，是线段的中点，得⊥ 因为⊥，⊥， 平面，， 所以⊥平面． PD平面PDE，得⊥， ,平面，所以⊥平面． 又平面，故平面⊥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）若选择①②，则只需证明⊥平面，结合线面垂直的性质定理即可得证；若选择①③，则只需证明⊥平面，结合线面垂直的性质定理即可得证；若选择②③，则只需证明⊥平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证. （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 选择①②，可证明③，证明略； 若选择①③，可证明②，证明略； 选择②③，可证明①证明略； 【小问2详解】 方法一：由（1），选择①②，则③成立. 取线段的中点F，连接， 则由，及是线段的中点， 得⊥. 由（1）知，⊥平面， 以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系三棱锥的体积，且， ，得，得 所以由，是线段的中点，⊥，得： . 所以，，，. 设面与面的法向量分别为，， 则 ， 得：，所以面的一个法向量为. ， 得：，所以面的一个法向量为. 设平面与平面所成二面角为， 则， 因为，所以面与面所成二面角的大小为． 方法二：延长交的延长线于Q，连接， 则平面与平面. 由三棱锥的体积为，且， ，得，解得. 又由，及是线段的中点，⊥， 在等腰直角三角形中，，， 连结CD，在中，，，， 在等腰直角三角形中，，， 在中，， 在中，由，所以， 又由（1）知，⊥平面，是在面内射影， 由三垂线逆定理得：， 则即为二面角的平面角， ， 所以面与面所成二面角的大小为. 18. 在一场羽毛球比赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军. 比赛采用“双败淘汰制”：首先，四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“胜区”，败者进入“败区”. 接着，“胜区”中两人对阵，胜者进入“决赛区”；“败区”中两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名. 然后，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者进入“决赛区”，败者获第三名. 最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，且不同对阵的结果相互独立. （1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：四人通过抽签分成两组，每组中的两人对阵，每组的胜者进入“决赛区”，败者淘汰；最后，“决赛区”的两人进行冠军决赛，胜者获得冠军. 已知甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p()，则哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 【答案】（1）①；② （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）① 甲获得第四名，需要在甲参与的两场比赛中都失败，结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；② 明确随机变量所有可能取值，然后结合对立事件概率和独立事件概率公式分别求出对应的概率，即可求得分布列和期望； （2）分别求出两种赛制甲夺冠概率，再利用作差法比较两概率的大小，取夺冠概率最大的赛制对甲夺冠有利. 【小问1详解】 ①记“甲获得第四名”为事件，又，则； ②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量， 则的所有可能取值为2，3，4， 连败两局：， 可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负； ， ； 则的分布列如下： 2 3 4 0.16 0.552 0.288 所以数学期望. 【小问2详解】 在“单败淘汰制”下，甲获冠军须比赛两场，且两场都胜，则甲获得冠军的概率为. (ii) 在“双败淘汰制”下，设事件V为“甲获冠军”， 设事件A为“甲比赛三场，连胜三场”，则； 设事件B为“甲比赛四场：胜负（胜区败）胜（赢败区胜）胜（决赛区胜）”， 则； 设事件C为“甲比赛四场：负胜（败区胜）胜（赢胜区败）胜（决赛区胜）”， 则； 所以 . 由，且， 当时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； 当时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； 当时，两种赛制甲夺冠的概率一样. 19. 已知函数，函数与的图象关于对称， （1）求的解析式； （2）在定义域内恒成立，求的值； （3）求证：，. 【答案】（1），. （2） （3）证明：由（2）可知：，则，即， 则. 又由（2）可知：在上恒成立， 则在上恒成立且当且仅当时取等， 令，，则， 即， 则 ， 综上，，得证. 【解析】 【分析】（1）设图象上任意一点坐标为，利用其对称点在的图象上可得函数的解析式； （2）令，可得为的一个极大值点，求得，再证明当时，在恒成立即可； （3）由（2）可知：，可得，进而可得，利用在上恒成立，令利用可得答案. 【小问1详解】 依题意，设图象上任意一点坐标为， 则其关于对称的点在图象上， 则， 则， 故； 【小问2详解】 令，， 则在恒成立，又， 且在上是连续函数，则为的一个极大值点， ，， 下证当时，在恒成立， 令，， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 故，在上恒成立，又， 则时，恒成立， 综上，； 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：形如的恒成立的求解策略：1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $