2.5 一元二次方程的应用 （课件）2024-2025学年湘教版数学九年级上册

湘教版数学九年级上册 第2章 一元二次方程 2.5一元二次方程的应用(2) 教材分析 复习回顾 (1)正方形的面积计算公式:_____________; (2)长方形面积计算公式:_______________; (3)梯形的面积计算公式:______________; (4)菱形的面积计算公式:________________; (5)平行四边形的面积计算公式:____________; (6)圆的面积计算公式:___________. S=a2 S=ab S=ah 探究新知 1.如图所示，有一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为364cm2 ，求截去的小正方形的边长。 分析 ：本题的等量关系是：底面的长 宽=______ 解：设截去的小正方形的边长为xcm,则无盖盒子的底面长是______cm,宽为______cm. 列方程为:_______________________ 整理得：__________________ 解得：__________________ 因为x=______(不合题意，舍去) 答：截去的小正方形的边长为____cm. 364 (40-2x) (28-2x) (40-2x)(28-2x)=364 x2-34x+189=0 x1=7,x2=27 27 7 解：设道路边长宽为xm,则矩形的长为_____m,宽为______m，则 ______________________ 整理得：_______________ 解得：_______________ 又 x=_____(不合题意，舍去) 答：道路宽为_____m. 典例精讲 例1.如图所示,在宽为了20m,长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分),余下的部分种上草皮,要使草皮的面积为540m2 ,求道路的宽. 【归纳】这是一个利用平移变换的几何问题,将不规则的图形转化为规则图形，再利用代数的方法(列方程)来解决.这就是几何问题代数法。 (32-x) (20-x) (32-x)(20-x)=540 x2-52x+100=0 x1=2,x2=50 50 2 对应练习 1.如图所示,在宽为80米,长为100米的矩形空地上修的两条互相垂直的水泥路,余下部分作为草地.现要使草地的面积为7644平方米,求水泥路的宽应为多少米? 解：设水泥路程的宽应为x米，则 (100-x)(80-x)=7644 整理得，x2-180x+356=0 解得，x1=2,x2=178(不符合题意，舍去) 答：水泥路程的宽应为2米。 典例精讲 例2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm, 点P沿AC边从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q从点C向终点B以2cm/s的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动。问点P,Q出发几秒后，可使△PCQ的面积为9cm2? 解：设点P,Q出发xs后可使△PCQ的面积为9cm，则 AP=_______cm,PC=______cm,CQ=______cm. 列方程为:__________________ 整理得：__________________ 解得，__________________ 答：点P,Q出发_____s后可使△PCQ的面积为9cm. x (6-x) 2x x2-6x+9=0 x1=x2=3 3 解：设点P，Q出发xs后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半，则 整理得，x2-14x+24=0 解得，x1=2,x2=12(不符合题意，舍去) 答：点P，Q出发2s后可使△PCQ的面积为 Rt△ABC面积的一半。 对应练习 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q 同时从A、B两点出发,分别沿AC,BC向终点C移动,它们的速度都是1cm/s,且当其中一个到达终点时,另一点也随之停止移动,问点P、Q出发几秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半? 当堂检测 1.某单位准备将院内一块长30m、宽20m的长方形空地,建成一个矩形花园,要求在花园是修建两条纵向和一条横向的小道,剩余的地方种植花草,如图所示.要使种植花草的面积为532m2,那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等.) 30m 20m 解：设小道进出口的宽度应为x米，则 (30-2x)(20-x)=532 整理得，x2-35x+34=0 解得，x1=1,x2=34(不符合题意，舍去) 答：小道进出口的宽度庆为1米。 当堂检测 2.如图,是某年8月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如:6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,求这9个数中的最大数. 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 解：设这9个数中有最大数为x，则 x(x-16)=192 整理得，x2-16x-192=0 解得，x1=24,x2=-8(不符合题意，舍去) 答：这9个数中的最大数为24. 拓展提升 3.如图,在矩形ABCD中,BC=24cm,P、Q、M、N分别从点A,B,C,D同时出发,分别沿边AD,BC,CB,DA移动,且当有一个点先到达所在边的另一个端点时,其他各点出随之停止移动.已知移动一段时间后,若BQ=xcm(x≠0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm. (1)当x为何值时,P,N两点重合? (2)问Q,M两点能重合吗?若Q,M两点能重合, 则求出相应的x的值;若Q,M两点不能重合,请说明理由. (3)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形? A B C D P Q M N 课堂总结 $$