专项训练：动量守恒模型归纳（举一反三）【十六大题型】-2024-2025学年高二物理举一反三系列（人教版2019选择性必修第一册）

专项训练：动量守恒模型归纳【十六大题型】 【人教版2019】 目录 【题型1 完全弹性碰撞：动碰静】 2 【题型2 完全弹性碰撞：动碰动】 6 【题型3 “子母球”模型】 10 【题型4 碰撞后粘连问题】 16 【题型5 子弹打木块模型】 21 【题型6 滑块－弹簧模型】 25 【题型7 滑块－光滑圆弧轨道模型】 30 【题型8 绳连接体模型】 36 【题型9 多次碰撞问题】 41 【题型10 电场＋动量】 46 【题型11 传送带模型中的动量、能量问题】 51 【题型12 爆炸类问题】 57 【题型13 火箭的原理】 61 【题型14 “人船”模型】 65 【题型15 弹簧弹开两物体模型】 68 【题型16 气球和人模型】 71 【题型1 完全弹性碰撞：动碰静】 【例1】（多选）（24-25高三上·湖北·开学考试）质量为和的两个物体在光滑水平面上正碰，其位置坐标x随时间t变化的图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．碰撞前静止 B．碰撞后的运动方向不变 C． D．该碰撞为非弹性碰撞 【答案】AC 【解析】A．根据图像斜率表示速度可知碰撞前静止，碰撞后的运动方向发生改变，故A正确，B错误； C．碰撞前的速度为 碰撞后的速度为 碰撞前的速度为0，碰撞后的速度为 根据动量守恒定律得 可得两物体的质量之比为 故C正确； D．碰撞前系统的总动能为 碰撞后系统的总动能为 则有 可知两物体的碰撞为弹性碰撞，故D错误。 故选AC。 【变式1-1】（23-24高二下·北京通州·期末）动量守恒定律是一个独立的实验定律，它适用于目前为止物理学研究的一切领域。运用动量守恒定律解决二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。如图所示，质量分别为和的球1和球2构成一系统，不考虑系统的外力作用。球1以速度（方向沿x轴正向）与静止的球2发生弹性碰撞，若速度不在两球球心的连线上，碰撞之后两球的速度、都会偏离的方向，偏角分别为、。下列说法正确的是（　　） A．两小球在球心连线方向动量不守恒 B．两小球的相互作用力方向与速度方向共线 C．两小球碰后速度大小满足 D．两小球碰后速度大小满足 【答案】C 【解析】A．碰撞为弹性碰撞，动量守恒和机械能守恒，则两小球在球心连线方向动量守恒，A错误； B．对球1，由动量定理得 与不共线，故两小球的相互作用力方向与方向共线，与方向不共线，B错误； C．规定x轴的正方向为正方向，x轴方向的动量守恒表达式如下 规定y轴的正方向为正方向，y轴方向的动量守恒表达式如下 C正确； D．球1以速度（方向沿x轴正向）与静止的球2发生完全弹性碰撞，机械能守恒，则 D错误； 故选C。 【变式1-2】（23-24高二下·新疆阿勒泰·期末）如图所示，质量为mA=2kg的A球和质量为mB=4kg的B球，原来均静止在光滑水平面上。现给A球一个向右的v0=6m/s初速度，之后与B球发生对心碰撞。若是弹性碰撞，求碰后A球的速度。 【答案】-2m/s，负号表示碰后A的速度方向向左 【解析】两球发生弹性碰撞，碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，以向右为正方向，有 ， 联立，解得 负号表示碰后A的速度方向向左。 【变式1-3】（23-24高二下·贵州六盘水·期末）如图所示，一质量为m的物块P静止在水平桌面上，质量为3m的光滑物块Q以大小为的速度向右运动并与P发生弹性正撞，碰撞时间极短。碰撞后，P和Q先后从桌面的右端滑出，并落在地面上同一位置。P与桌面间的动摩擦因数为，P和Q可视为质点，不计空气阻力。求： （1）P、Q碰撞后瞬间的速度大小； （2）P在桌面上运动过程中产生的热量； （3）与P碰撞后，Q在桌面上运动的时间。 【答案】（1），；（2）；（3） 【解析】（1）设碰后瞬间Q的速度大小为，P的速度大小为，由动量守恒和能量守恒得 联立解得 （2）由于碰后P和Q离开桌面后在空中都做平抛运动，并先后落到地面上的同一地点，设P离开桌面时的速度大小为，则 设物块P在桌面上运动过程中产生的热量为Q，则根据能量守恒定律对P在桌面上运动的过程有 解得 （3）对P在桌面上运动过程分析有 由于Q光滑，故碰后Q在桌面上以速度匀速直线运动，设与P碰后，Q在桌面上运动的时间为t，则 解得 【题型2 完全弹性碰撞：动碰动】 【例2】（2024·河北沧州·三模）甲、乙两小球在光滑的水平面上沿同一直线相向运动，已知小球甲的质量小于小球乙的质量，两小球碰撞前后的位移随时间的变化规律如图所示。则下列说法正确的是（　　） A．图线A为碰前乙的位移—时间图像 B．图线C为碰后甲的位移—时间图像 C．小球甲、乙的质量之比为1∶2 D．两小球的碰撞为非弹性碰撞 【答案】A 【解析】AB．由图像可知图线对应的小球的速度大小分别为 由题意小球甲的质量小于小球乙的质量，即碰前小球乙的动量大于小球甲的动量，又由于碰撞过程两小球组成的系统动量守恒，碰后系统的动量方向与碰前小球乙的方向相同，结合实际分析可知碰后小球乙静止，小球甲反弹，所以图线为碰前小球乙的图线，图线为碰后小球乙的图线，故A正确，B错误； C．由碰撞过程动量守恒定律得 由以上解得 故C错误； D．碰前系统的动能为 碰后系统的动能为 显然 所以该碰撞为弹性碰撞，故D错误。 故选A。 【变式2-1】（2023·湖南邵阳·二模）“引力弹弓效应”是指在太空运动的探测器，借助行星的引力来改变自己的速度。如图所示，以太阳为参考系，设行星运动的速度为，探测器的初速度大小为，在图示情况下，探测器在远离行星后速度大小为。探测器和行星虽然没有发生直接的碰撞，但是在行星的运动方向上，其运动规律可以与两个质量不同的钢球在同一条直线上发生的弹性碰撞规律作类比。那么下列判断中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据动量守恒定律 根据能量守恒定律 解得 又因为 解得 故选B。 【变式2-2】（22-23高二下·福建泉州·期中）如图，质量为m=1kg的A球用长为L=1m的轻质细线悬挂于固定点O，初始时细线与竖直向下夹角为37°，将A由静止释放。与此同时，质量为M=3m的B球沿光滑水平面向左运动，两球恰好在O点正下方发生弹性正碰，碰后B球恰好静止。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力，g取10m/s2。A、B碰撞前，A球在O点正下方绳的拉力为 N，B球碰前速度应为 m/s。 【答案】14 2 【解析】[1]A摆下过程，由动能定理有 得 A球在O点正下方时，根据牛顿第二定律可得 解得 [2]设B球碰前速度为，A球碰后速度为，A、B碰撞过程满足由动量守恒和机械能守恒；以向左为正方向，则有 ， 解得 【变式2-3】（2024·天津·二模）如图所示，水平面上固定一倾角的光滑斜面，斜面长为。一质量的物块A以初速度从底端冲上斜面，恰好能到达斜面顶端。若在A以初速度刚要冲上斜面时，另一质量的物块B恰好从斜面顶端由静止释放，经过一段时间A、B发生弹性碰撞（碰撞时间极短），已知A、B均可视为质点，重力加速度，求： （1）物块A的初速度的大小； （2）两物块碰撞前运动的时间t； （3）碰撞后瞬间物块B的速度的大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）恰好能到达斜面顶端，由牛顿第二定律有 由匀变速直线运动有 解得 （2）A与B相向运动的过程中，两物块加速度相等，对A物体有 对B物体有 又有 解得 （3）以沿斜面向上为正方向，碰撞前，对A物体有 对B物体有 A、B发生弹性碰撞，动量守恒 因为弹性碰撞，所以机械能守恒有 解得 ， 【题型3 “子母球”模型】 【例3】（23-24高二下·北京丰台·期末）如图所示，弹性小球A和B叠放在一起，从距地面高度为h处自由落下，落地瞬间，B先与地面碰撞，后与A 碰撞，h远大于两小球直径，小球B 的质量远大于小球A质量。假设所有的碰撞均为竖直方向内弹性碰撞，且碰撞时间均可忽略不计，不考虑空气阻力，则下列判断中正确的是（　　） A．下落过程中A 与B 之间存在相互作用 B．小球B与地面碰撞后，小球B的速度为零 C．A 与B 第一次碰后小球A 弹起的最大高度约为4h D．A 与B 第一次碰后小球A 弹起的最大高度约为9h 【答案】D 【解析】A．不考虑空气阻力，下落过程是自由落体运动，完全失重状态，则两个小球之间没有力的作用，A错误； B．下降过程为自由落体运动，由匀变速直线运动的速度位移公式得 解得触地时两球速度相同，为 B球碰撞地之后，速度瞬间反向，大小相等，故B错误； CD．选A与B碰撞过程为研究过程，碰撞前后动量守恒，设碰后A、B速度大小分别为v1、v2，选向上方向为正方向，由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 解得 碰后小球A弹起的最大高度 故D正确，C错误。 【变式3-1】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）如图所示为大球和小球叠放在一起、在同一竖直线上进行的超级碰撞实验，可以使小球弹起并上升到很大高度。将质量为（）的大球（在下），质量为m的小球（在上）叠放在一起，从距地面高h处由静止释放，h远大于球的半径，不计空气阻力。假设大球和地面、大球与小球的碰撞均为完全弹性碰撞，且碰撞时间极短。下列说法正确的是（    ） A．两球一起下落过程中，小球对大球的弹力大小为 B．大球与地面第一次碰撞过程中，地面对大球平均作用力的冲量大小为 C．无论k取什么值，大球与小球碰撞后大球的速度均不能为0 D．若大球的质量远大于小球的质量，小球上升的最大高度约为9h 【答案】D 【解析】A．两球一起下落过程中都做自由落体运动，小球对大球的弹力大小为0，A错误； B．下落过程中由自由落体运动规律得 解得大球与地面碰撞前的速度大小为 根据动量定理可得 B错误； C．以向上为正方向，大球碰撞地之后，速度瞬间反向，大小相等，两球碰撞前后动量守恒，机械能守恒，设碰撞前小球和大球的速度分别为v，碰后大球的速度为v1，小球的速度为v2，由动量守恒定律 由机械能守恒定律 两式联立解得 可知当 时，大球与小球碰撞后大球的速度为0，C错误； D．大球与地面碰撞后，速度瞬间反向，大小不变，两球发生弹性碰撞，两球碰撞过程系统内力远大于外力，系统动量守恒、机械能守恒，设碰撞后小球速度大小为v1，大球速度大小为v2，选向上为正方向，由动能量守恒和机械能守恒 解得 当M≫m时，不考虑m影响，则 小球上升高度为 D正确； 故选D。 【变式3-2】（多选）（23-24高二上·广东广州·期中）如图所示，将两个质量分别为m1＝60g、m2＝30g的小球A、B叠放在一起，中间留有小空隙，从初始高度h0＝1.8m处由静止释放。A球与地面碰撞后立即以原速率反弹，A球与B球碰撞的时间为0.01s，不计空气阻力，取向上为正方向，B球的速度时间图像如图乙所示，g取10m/s2（　　） A．两球下落过程中，B球对A球有竖直向下的压力 B．B球与A球碰前的速度大小均为6m/s C．两球碰撞过程中，B球的重力冲量与A对B球的冲量大小之比为1∶101 D．A、B两球发生的是弹性碰撞 【答案】BC 【解析】A．小球A、B叠放在一起做自由落体运动，两球之间的弹力为零，故A错误； B．由乙图可知，A球与B球碰前，B球做自由落体运动，运动时间为0.6s，则碰前B球的速度大小为 A球落地速度大小 落地所用时间 A球与地面碰撞后以原速率返回，可得返回时两球马上相碰，故B正确； C．根据动量定理，A和B相互作用过程中，B动量的变化量等于B球所受合力的冲量 重力的冲量为 可得 故C正确； D．因为A、B作用时间极短，重力对系统的冲量远小于系统总动量，可以视系统动量守恒，根据动量守恒定律得 得A碰后速度为 根据计算 可知碰撞后，系统机械能有损失，不是弹性碰撞，故D错误。 故选BC。 【变式3-3】（23-24高一下·吉林长春·期末）伽利略大炮是一种极为简易的机械发射装置，由伽利略于1590年左右发明。现我们共同研究伽利略大炮的实验，先将1kg的弹性大球单独自由释放，落地反弹高度为下落高度的0.64倍。现在弹性大球上将弹性小球逐个叠放，并将它们从距地面0.8m高处同时自由释放，如图所示。已知各球相互接触且重心在同一竖直线上，每个弹性球的质量为该球下面接触球质量的，各球之间均发生弹性碰撞，作用时间极短，无论弹性大球上面是否叠放弹性小球及叠放几个弹性小球，弹性大球与地面碰撞过程中能量损失均保持不变，重力加速度g取，忽略空气阻力，球均可看作质点。 （1）若将弹性大球单独从距地面0.8m高处自由释放，求弹性大球与地面第一次碰撞时地面对弹性大球所做的功； （2）若弹性大球上端只放一个弹性小球，求两球第一次碰撞过程中弹性大球对弹性小球的冲量大小； （3）若弹性大球上叠放了2个弹性小球，则第2个弹性小球上升的最大高度为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）设弹性大球质量为，与地面碰撞前速度为，与地面碰撞后速度为，取向上为正，地面对弹性大球所做的功为W，则下落过程中 上升过程中 解得 ， 根据动能定理可得 （2）设弹性大球与地面碰撞前的速度为，与地面碰撞后的速度大小为，则 ， 联立可得 ， 弹性小球与弹性大球发生弹性碰撞，设弹性大球碰后的速度为，弹性小球碰前与碰后的速度分别为，则 ， 联立解得 由动量定理得 （3）由（2）可得第一个弹性小球与弹性大球碰撞之后速度为 整理得 同理可得第二个弹性小球与第一个弹性小球碰撞之后的速度为 整理可得 由运动学规律可得 则 【题型4 碰撞后粘连问题】 【例4】（24-25高三上·山东德州·开学考试）如图所示，质量为的小球A从距离地面高度处向上斜抛，抛出时的速度大小为，方向与水平方向夹角为，在A抛出的同时有一质量为2m的黏性小球B从某高度处自由下落，当A上升到最高点时恰能击中竖直下落中的黏性小球B，AB两球碰撞时间极短，碰后AB两球粘在一起落回地面。已知A球上升和下落过程时间相等。不计空气阻力，取。下列说法正确的是（　　） A．小球A上升至最高处时水平位移是20m B．小球B下落时离地面的高度是37.5m C．小球A抛出点距地面的高度为11.25m D．小球A抛出点距落地点的水平距离为60m 【答案】B 【解析】A．小球上升至最高处时的时间 水平位移是 选项A错误； B．碰前B下落的高度 碰前B的竖直速度 碰后AB的竖直速度为vy，则由竖直方向动量守恒 解得 vy=10m/s 然后一起落地下落的高度 可得小球B下落时离地面的高度是 H=h1+h2=37.5m 选项B正确； C．小球从抛出到最高点的高度 则小球A抛出点距地面的高度 选项C错误； D．两球碰撞水平方向动量守恒可得 可得 vx=m/s 则小球抛出点距落地点的水平距离为 选项D错误。 故选B。 【变式4-1】（23-24高二下·贵州遵义·期末）汽车碰撞实验是检测汽车安全性能的手段。如图，为了检测汽车甲的安全性能，工程师让甲车以的速度在水平地面上与静止的汽车乙发生正碰（碰撞前甲已失去动力），碰撞后两车共速，从碰撞开始到两车恰好共速所用时间。甲车总质量（含假人），乙车总质量，不考虑地面阻力，则（　　） A．两车共同速度大小为 B．因，碰撞时甲对乙的力始终小于乙对甲的力 C．碰撞过程中乙对甲的平圴作用力大小为 D．若其他条件不变，越大，两车间平均作用力就越小 【答案】A 【解析】A．依题意，碰撞过程系统动量守恒，可得 解得 故A正确； B．根据牛顿第三定律可知，碰撞时甲对乙的力始终等于乙对甲的力，故B错误； C．根据动量定理，可得 联立，解得 若其他条件不变，越大，两车间平均作用力就越大，代入数据，解得 故CD错误。 故选A。 【变式4-2】（24-25高二上·河北张家口·开学考试）长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为m1的小球A，处于静止状态。A获得一速度vA后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A回到最低点时，质量为m2的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并也恰好能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻力，重力加速度为g，求： （1）A获得一速度vA时，轻绳对小球A的拉力大小； （2）A、B碰撞过程中损失的机械能∆E。 【答案】（1）6m1g （2） 【解析】（1）恰好能通过圆周轨迹的最高点，此时轻绳的拉力刚好为零，设在最高点时的速度大小为，由牛顿第二定律有 从最低点到最高点的过程中，取轨迹最低点处重力势能为零，由机械能守恒定律有 对最低点受力分析可得 解得轻绳对小球的拉力大小 （2）设两球粘在一起时的速度大小为粘在一起后恰能通过圆周轨迹的最高点，需满足 要达到上述条件，碰后两球速度方向必须与碰前的速度方向相同，以此方向为正方向，设碰前瞬间的速度大小为，由动量守恒定律有 根据能量守恒定律可得，两球碰撞过程中损失的机械能 【变式4-3】（23-24高二上·广东广州·阶段练习）超市为节省收纳空间，常常将手推购物车相互嵌套进行收纳。如图所示，两辆相同的购物车静止在水平地面上，第一辆车在工作人员猛推一下后，沿直线运动时与第二辆车嵌套在一起，整体继续运动了1m后停了下来。已知每辆购物车的质量，人推车的时间及两车相碰的时间均极短，车运动时受到的阻力恒为车重的，取重力加速度大小，求： （1）两辆车嵌套后在地面上运动的时间t； （2）两辆车在嵌套过程中损失的机械能。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）对整体，根据牛顿第二定律，可得 解得 正向过程为匀减速直线运动减速到零，逆向过程为初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式，可得 解得 （2）嵌套后，对整体减速过程，根据速度公式，可得 解得 嵌套过程中时间极短，动量守恒，根据动量守恒定律，得 解得 在嵌套过程中损失的机械能为 解得 【题型5 子弹打木块模型】 【例5】（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）在光滑水平地面上静止放置着由轻弹簧连接的物块A和B、开始时弹簧处于原长，一颗质量为m的子弹以水平初速度v射入物块A并留在其中（子弹与物块相互作用时间极短，可忽略不计），已知物块A和B的质量均为m，则在以后的运动过程中，弹簧弹性势能的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】子弹打入木块A时由动量守恒 当A（包括子弹）和B共速时弹簧弹性势能最大，则由动量守恒和能量关系可知 联立解得 故选D。 【变式5-1】（2023·广东东莞·模拟预测）如图所示，质量为m的子弹以水平初速度射入静止在光滑水平面上的质量为M的木块中，子弹未从木块中射出，最后共同速度为v，在此过程中，木块在地面上滑动的距离为s，子弹射入木块的深度为d，子弹与木块间的相互作用力为f，以下关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A. 对子弹由动能定理可知 即 选项A正确，不符合题意； B. 对子弹和木块的系统由能量关系可知 选项B正确，不符合题意； C. 对子弹和木块系统由动量守恒定律可知 选项C正确，不符合题意； D. 对木块由动能定理 选项D错误，符合题意。 故选D。 【变式5-2】（多选）（24-25高二上·河北张家口·开学考试）质量的小车静止在光滑的水平面上，车长，现有一质量为（可视为质点）的物块，以水平向右的速度从左端滑上小车，如图所示，最后在小车上某处与小车保持相对静止，物块与小车间的动摩擦因数，，下列说法正确的是（　　） A．在此过程中摩擦力对物块做的功为 B．物块与小车的共同速度大小 C．在此过程中系统产生的内能 D．若物块不滑离小车，物块的速度不能超过 【答案】BC 【解析】B．设物块与小车的共同速度为，以水平向右为正方向，根据动量守恒定律有 解得 故B正确； A．对物块，根据动能定理有 解得 故A错误； C．根据 可知在此过程中系统产生的内能为0.24J，故C正确； D．设物块恰好不滑离小车时的初速度为，物块到达木板最右端时的速度为。由动量守恒定律及能量守恒可得 联立解得 故D错误。 故选BC。 【变式5-3】（23-24高二上·江苏南京·期末）如图所示，在固定的光滑水平杆（杆足够长）上，套有一个质量为的光滑金属圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着一个质量为的物块，现有一质量为的子弹以的水平速度射入物块并留在物块中（不计空气阻力和子弹与物块作用的时间，取，求： （1）圆环、物块和子弹所组成的这个系统损失的机械能； （2）物块所能达到的最大高度； （3）金属圆环的最大速度。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）子弹射入物块过程中，系统的动量守恒，取向右方向为正方向，根据动量守恒定律得则有 得 机械能只在该过程有损失，损失的机械能有 解得 （2）物块（含子弹）在向上摆动过程中，以物块（含子弹）和圆环组成的系统为研究对象，根据系统水平方向的动量守恒则有 解得 根据机械能守恒定律有 代入数据可解得 （3）当子弹、物块、圆环达到共同速度后，子弹和物块将向下摆动，在此过程中圆环一直受绳子水平向右的分力作用，圆环速度一直增大，当子弹和物块运动到圆环正下方时圆环速度最大。 设此时子弹和物块的速度为，圆环速度为，则有 及 由上述两式联立可解得 故金属圆环的最大速度为。 【题型6 滑块－弹簧模型】 【例6】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，光滑水平地面上质量为的物体以速率向右运动，质量为的物体左端固定有一轻弹簧，以速率向左运动。弹簧的形变始终在弹性限度内，在与弹簧接触到弹簧压缩量最大的过程中，下列说法正确的是（    ） A．弹簧对的冲量大小为 B．的位移大小之比为 C．弹簧对做的功与对做的功相同 D．当的速度为零时，弹簧的弹性势能最大 【答案】A 【解析】A．当共速时，弹簧的压缩量最大，规定水平向左为正方向，由动量守恒定律得 对由动量定理得 联立解得 故A正确； B．与弹簧接触到的速度减小为零的过程中，因此．从的速度为零到的速度达到的过程中，均向左运动，的位移减小，的位移增大，因此，故B错误： C．由动能定理得，弹簧对做的功为 弹簧对做的功为 故C错误； D．当共速时，弹簧的压缩量最大，弹簧的弹性势能最大，故D错误。 故选A。 【变式6-1】（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为和的两物块相连接，并且静止在光滑的水平面上。现使瞬间获得水平向右的速度，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得（   ） A．在、时刻两物块达到共同速度且弹簧都处于压缩状态 B．从到时刻弹簧由压缩状态逐渐恢复原长 C．两物块的质量之比为 D．在时刻两物块的动量大小之比为 【答案】D 【解析】A．由题图乙可知、时刻两物块达到共同速度，总动能最小，根据系统机械能守恒可知，此时弹性势能最大，时刻弹簧处于压缩状态，时刻弹簧处于伸长状态，故A错误； B．结合题图乙可知两物块的运动过程，开始时逐渐减速，逐渐加速，弹簧被压缩，时刻二者速度相同，系统动能最小，势能最大，弹簧被压缩至最短，然后弹簧逐渐恢复原长，继续加速，先减速为零，然后反向加速，时刻，弹簧恢复原长状态，因为此时两物块速度相反，因此弹簧的长度将逐渐增大，两物块均减速，时刻，两物块速度相等，系统动能最小，弹簧最长，因此从到过程中弹簧由伸长状态恢复原长，故B错误； C．从开始到时刻，由系统动量守恒可得 将，代入得 故C错误； D．在时刻，的速度为，的速度为，又 则动量大小之比为 故D正确。 故选D。 【变式6-2】（24-25高三上·河北·开学考试）如图所示，在一个倾角为的固定斜面底端固定一个挡板，挡板连接一个劲度系数为的轻弹簧，轻弹簧上端与一质量为的光滑滑块相连且处于静止状态，静止时所在位置为。某时刻将一个质量也为的滑块从离点距离处由静止释放，滑块与斜面之间的动摩擦因数为。两滑块均可视为质点，滑块与滑块碰后粘连在一起，在运动过程中，弹簧始终在弹性限度内，当其形变量为时，弹性势能为，已知重力加速度。求： （1）滑块与滑块碰撞前瞬间的速度大小； （2）二者共同运动过程中的最大速度（结果可保留根号）。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）滑块下滑过程中由动能定理得 解得 （2）开始时平衡，故 之间发生碰撞，动量守恒 碰后共同向下运动，达到最大速度时 由功能关系得 解得二者共同运动过程中的最大速度 【变式6-3】（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块B上，另一端与滑块C接触但未连接，该整体静止放在离地面高为H=5m的光滑水平桌面上，现有一滑块A从光滑曲面上离桌面h=0.45m高处由静止开始滑下，与滑块B发生碰撞并粘在一起压缩弹簧推动滑块C向前运动，经一段时间，滑块C脱离弹簧，然后在水平桌面上运动一段距离后从桌面边缘飞出．已知mA=2kg，mB=1kg，mC=3kg，g=10m/s2，求： （1）滑块A与滑块B碰撞结束瞬间的速度大小； （2）压缩过程中弹簧的最大弹性势能； （3）滑块C落地点与桌面边缘的水平距离。 【答案】（1）；（2）3J；（3）2m 【解析】（1）设滑块A与滑块B碰撞前瞬间速度大小为，滑块A从光滑曲面上h高处由静止开始滑下的过程，根据机械能守恒可得 解得 3m/s 滑块A与B碰撞结束瞬间具有共同速度v2，根据动量守恒可得 解得滑块A与滑块B碰撞结束瞬间的速度为 （2）滑块A、B发生碰撞后与滑块C一起压缩弹簧，当滑块A、B、C速度相等时，弹簧压缩量达到最大，弹性势能最大，根据动量守恒可得 解得 根据系统机械能守恒可得 解得压缩过程中弹簧的最大弹性势能为 （3）被压缩弹簧再次恢复自然长度时，滑块C脱离弹簧，设滑块A、B的速度为v4，滑块C的速度为，根据系统动量守恒和机械能守恒可得 联立解得 滑块C从桌面边缘飞出后做平抛运动，则有 联立解得滑块C落地点与桌面边缘的水平距离为 【题型7 滑块－光滑圆弧轨道模型】 【例7】（多选）（24-25高二上·河北保定·开学考试）如图所示，质量为3kg、半径为4.6m、圆心为点的四分之一光滑圆弧槽静止在光滑水平地面上，且其底端与水平地面相切。质量为1kg的小球（可视为质点）以的初速度沿着水平地面向右运动，取重力加速度大小。对于小球刚冲上圆弧槽到上升至最高点的过程，下列说法正确的是（    ） A．该过程小球和圆弧槽构成的系统动量守恒 B．该过程小球和圆弧槽构成的系统机械能守恒 C．小球能上升的最高点到水平地面的高度为5.4m D．小球运动到圆弧轨道上与点等高处时的速度大小为 【答案】BC 【解析】A．小球与圆弧槽组成的系统水平方向不受外力，因此水平方向上系统动量守恒，但竖直方向上合外力不为零，因此系统动量不守恒，A错误； B．该过程小球与光滑圆弧槽组成的系统只有重力做功，机械能守恒，B正确； CD．假设小球不能从圆弧槽最高点飞出，当小球沿圆弧面上升至最高点时，设二者共同速度v1，设球的质量为m，槽的质量为M，小球的初速度为根据动量守恒定律有 代入数据解得 所以系统动能的减少量 重力势能的增加量 不满足机械能守恒定律，则假设不成立，由此可知小球能从圆弧槽最高点飞出，设小球在圆弧最高处的速度为v2，此时圆弧槽水平方向与小球水平方向的速度均为，根据能量守恒定律有 代入数据可得 小球在竖直方向上的速度 故小球离开圆弧槽能上升的高度 小球能上升的最高点到水平地面的高度为 C正确，D错误。 故选BC。 【变式7-1】（多选）（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，水平面上有一质量为5m的小球B与轻弹簧连接，还有质量为2m、半径为R的圆弧形槽C，其底部与水平面平滑相切，最初B、C均静止。一质量为m的小球A从距槽C顶端3R处自由落下后恰好滑入槽C，不计一切摩擦，则（　　） A．球A沿槽C下滑过程中，槽C对球A做负功 B．整个过程中球A、球B和槽C构成的系统动量守恒 C．球A第一次滑至槽C最低点过程中，球A水平向左位移为 D．球A与弹簧作用后，能够追上槽C 【答案】ACD 【解析】A．球A沿槽C下滑过程中，水平方向动量守恒，AC组成的系统机械能守恒，C向右运动机械能增加，球A对槽C做正功，则槽C对球A做负功，故A正确； B．整个过程中球A、球B和槽C构成的系统水平方向动量守恒，故B错误； C．球A到槽C上端时的速度为v1，由机械能守恒定律 解得 球A到槽C组成的系统，设球A到最低点时的速度为vA，规定水平向左为正方向，水平方向动量守恒 则 由几何关系 联立解得，球A第一次滑至槽C最低点过程中，球A水平向左位移为 故C正确； D．由能量守恒 其中 联立解得 ，方向水平向左 ，方向水平向右 对球A和球B由动量守恒定律 由机械能守恒定律 联立解得 ，方向水平向右 因为 所以球A与弹簧作用后，能够追上槽C，故D正确。 故选ACD。 【变式7-2】（23-24高一下·吉林·期末）如图所示，在水平面上放置一半径为的半圆槽，A、B为槽左、右两端的最高点且位于同一水平线上，C为圆槽最低点。现让一个小球（可视为质点）从槽右侧最高点B无初速释放。已知小球和半圆槽的质量分别为和，不计一切摩擦阻力，重力加速度为。求： （1）小球第一次通过C点时的速度的大小； （2）整个运动过程中，半圆槽向右运动的最大距离。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）从B点释放后到C点，根据水平方向的动量守恒有 根据能量守恒定律有 解得 （2）由水平方向动量守恒有 可得 同时 可得 【变式7-3】（24-25高二上·山西晋中·开学考试）如图，光滑水平面上有带有光滑圆弧轨道的滑块，其质量为2m，一质量为m的小球以速度v0沿水平面滑上轨道，并能从轨道上端飞出，则： （1）小球从轨道上端飞出后，能上升的最大高度为多大？ （2）滑块能达到的最大速度为多大？ 【答案】（1） （2） 【解析】（1）小球和滑块在水平方向上动量守恒，规定小球运动的初速度方向为正方向，当小球从轨道上端飞出时，小球与滑块具有水平上的相同的速度，根据动量守恒，则有 解得 根据机械能守恒，有 解得小球能上升的最大高度为 （2）小球从轨道左端离开滑块时，滑块的速度最大，根据动量守恒，则有 根据机械能守恒，则有 联立可得 此时滑块的速度大小为。 【题型8 绳连接体模型】 【例8】（23-24高三下·江苏·开学考试）如图所示为某弹跳玩具，底部是一个质量为m的底座，通过弹簧与顶部一质量M =2m的小球相连，同时用轻质无弹性的细绳将底座和小球连接，稳定时绳子伸直而无张力。用手将小球按下一段距离后释放，小球运动到初始位置处时，瞬间绷紧细绳，带动底座离开地面，一起向上运动。某次游戏时发现，底座离开地面后能上升h高，则（　　） A．用手将小球按下一段距离后，弹簧的弹性势能 B．绳子绷紧前的瞬间，小球的动能为 C．绳子绷紧瞬间，系统损失的机械能为 D．玩具离开地面上升到最高点的过程中，重力做功 【答案】C 【解析】ABC．设细绳绷紧后瞬间，小球和底座一起向上运动的速度大小为，底座离开地面后能上升h高，则有 设细绳绷紧前瞬间，小球的速度为，根据动量守恒可得 可得 则绳子绷紧前的瞬间，小球的动能为 则绳子绷紧瞬间，系统损失的机械能为 用手将小球按下一段距离后，在绳子绷紧前的瞬间，减小的弹性势能转化成小球的动能和重力势能，故弹性势能满足 故AB错误，C正确； D．玩具离开地面上升到最高点的过程中，重力做功为 故D错误。 故选C。 【变式8-1】（多选）（23-24高三上·江西南昌·期中）如图所示，物块A、B通过不可伸长的轻绳绕过光滑轻质定滑轮连接，已知mA=3m，mB=m，t=0时刻通过一个弹射装置（图中未画出）给物块A一个竖直向上的初速度v0=2m/s，然后瞬间移开弹射装置，物块A、B均可视为质点，全过程A、B既没有落地，也没有碰到滑轮。重力加速度g取10m/s2，则正确的是（　　） A．0.1s时，A的速度大小为1.5m/s B．0.1s时，B的速度大小为1m/s C．物体B下落的最大高度为0.325m D．物体B下落的最大高度为0.225m 【答案】BD 【解析】AB．瞬间移开弹射装置，A的速度大于B的速度，所以绳子会松弛，绳子没有弹力，则A做竖直上抛运动，B做自由落体运动，0.1s时，A的速度大小为 B的速度大小为 故A错误，B正确； CD．设经过t时刻，绳子再次紧绷，则有A的位移大小等于B的位移大小，即 解得 此时A的速度大小为 B的速度大小为 根据沿着绳子方向上动量守恒可得 可得 此时根据牛顿第二定律有 联立解得 则物块B接着以速度，加速度向下减速，则物体B下落的最大高度为 故C错误，D正确。 故选BD。 【变式8-2】（多选）（2022·山东枣庄·二模）足够大的光滑水平面上，一根不可伸长的细绳一端连接着质量为的物块，另一端连接质量为的木板，绳子开始是松弛的。质量为的物块放在长木板的右端，与木板间的滑动摩擦力的大小等于最大静摩擦力大小。现在给物块水平向左的瞬时初速度，物块立即在长木板上运动。已知绳子绷紧前，、已经达到共同速度；绳子绷紧后，、总是具有相同的速度；物块始终未从长木板上滑落．下列说法正确的是（　　） A．绳子绷紧前，、达到的共同速度大小为 B．绳子刚绷紧后的瞬间，、的速度大小均为 C．绳子刚绷紧后的瞬间，、的速度大小均为 D．最终、、三者将以大小为的共同速度一直运动下去 【答案】ACD 【解析】A．绳子绷紧前，、已经达到共同速度，设、达到的共同速度大小为，根据动量守恒定律可得 解得 A正确； BC．绳子刚绷紧后的瞬间，、具有相同的速度，、组成的系统满足动量守恒，则有 解得 B错误，C正确； D．、、三者最终有共同的速度，、、组成的系统满足动量守恒，则有 解得 D正确； 故选ACD。 【变式8-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，倾角为的斜面足够长，区间光滑，长度为，其余部分粗糙程度相同。长为的轻绳连接两个相同的小滑块、。开始时处于点，轻绳恰好伸直。由静止同时释放、，经过一段时间后，、发生弹性碰撞。再经过一段时间轻绳突然绷紧，、达到共同速度，并一起匀速运动。已知重力加速度大小为，求 （1）滑块与斜面粗糙部分之间的动摩擦因数； （2）滑块从静止释放至运动到点的时间； （3）滑块、一起匀速运动的速率。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）、一起匀速运动时，对、整体有 解得 （2）、一起下滑距离，对、整体有 解得 由位移公式可得 解得 此时、的速度为 从运动至，因绳子松弛，故对有 由位移公式可得 解得 又 解得 （3）运动至点后匀速运动，此时速度为 之后、发生弹性碰撞，由于质量相同，所以碰后交换速度，直至轻绳绷紧，二者以相同的速度匀速运动，该过程系统动量守恒，则有 解得 【题型9 多次碰撞问题】 【例9】（多选）（23-24高二下·湖北·期末）如图所示，光滑圆环水平放置并固定，、、为圆环上的三等分点，圆环内有质量为和的小球A和B（）。初始时小球A以初速度沿圆环切线方向运动，与静止的小球B在点发生碰撞，两小球始终在圆环内运动。若小球A与B之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于、、点，则小球的质量比可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】AD 【解析】两球碰后速度分别为、，根据动量守恒以及机械能守恒可得 联立解得 ， 因为所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，则 ①若第二次碰撞发生在图中的点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B通过的路程之比为 且 可得 由两质量均为正数，故，即 对第二次碰撞，设A、B碰撞后速度大小分别为，，根据动量守恒以及机械能守恒可得 联立解得 ， 故第三次碰撞发生在点、第四次碰撞发生在点，以此类推，满足题意。 ②若第二次碰撞发生在图中的点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B通过的路程之比为 且 可得 两质量均为正数，故，即 根据①的分析可证，，满足题意。 故选AD。 【变式9-1】（23-24高二下·江西·阶段练习）台球是青年喜爱的运动项目，球员出杆击打白球，运动白球撞击彩色球使其入洞并计分。假设在光滑水平面的一条直线上依次放4个质量均为m的弹性红球，质量为2m的白球以初速度与4号红球发生碰撞，假设发生的碰撞均为弹性正碰，则多次碰后，白球最终的速度大小为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，光滑水平面一条直线上依次放4个质量均为m的弹性红球，质量为2m的白球以初速度v0与4号红球发生弹性正碰；根据一动碰一静的弹性碰撞特点可知 解得 每碰撞一次白球的速度变为原来的，由于红球质量相等，且为弹性正碰，则4号球每次将速度传给右侧球，故白球与4号球碰撞4次后，白球速度 故选C。 【变式9-2】（多选）（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在一光滑地面上有2024个相同大小的光滑小球，从2号到2024号小球质量均为m；1号球质量为M，且M＞m，1号球以v0的速度向右运动，与2号球发生弹性碰撞，此后所有碰撞均为弹性碰撞，从1号球开始运动起，下列说法正确的是（　　） A．小球2共发生了4044次碰撞 B．小球2共发生了4045次碰撞 C．小球2023最终速度为0 D．小球2023最终速度为 【答案】BD 【解析】CD．1号球以v0的速度向右运动，与2号球发生弹性碰撞，有 解得 ， 然后2号球以速度与3号球发生弹性碰撞，因质量相等，则交换速度，再这样重复交换速度，共发生2023次碰撞，最后2024号球以速度向右匀速直线离开；然后1号球以速度再次与2号球发生弹性碰撞，有 解得 ， 然后2号球以速度与3号球发生弹性碰撞，因质量相等，则交换速度，再这样重复交换速度，共发生2022次碰撞，最后2023号球以速度向右匀速直线离开，故C错误，D正确； AB．根据重复多次弹性碰撞的过程分析可知，每离开一个球，2号球均要与1号球和3号球碰撞1次，共计两次碰撞，最后3号球匀速离开后，1号球和2号球最后再碰撞一次，然后2号球匀速离开，则小球2共发生的碰撞次数为 故A错误，B正确。 故选BD。 【变式9-3】（23-24高三下·陕西商洛·开学考试）如图所示，质量均为的个物块等间距地静止在粗糙水平面上，间距为。物块与水平面之间的动摩擦因数为，现给物块1一个瞬时冲量，使其获得一定初速度（未知），运动后物块1与物块2碰撞并粘在一起，运动后再与物块3发生完全非弹性碰撞，依次最终个物块粘在一起继续运动后恰好静止。已知所有碰撞时间极短，物块均可看成质点，忽略空气阻力，重力加速度为。 （1）求物块1与物块2碰撞过程中损失的机械能与碰撞前瞬间物块1的动能之比； （2）自物块1获得瞬时冲量后至全部物块停止运动的过程中，求因摩擦损失的机械能。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）设物块1与物块2碰撞前的速度为v，则物块1与物块2碰撞过程，根据动量守恒有 根据能量守恒可得，物块1与物块2碰撞过程中损失的机械能为 故物块1与物块2碰撞过程中损失的机械能与碰撞前瞬间物块1的动能之比为 （2）第一次碰撞前，因摩擦损失的机械能为 第一次碰撞后到第二次碰撞前，因摩擦损失的机械能为 第二次碰撞后到第三次碰撞前，因摩擦损失的机械能为 第次碰撞后到第次碰撞前，因摩擦损失的机械能为 个物块粘在一起后到全部物块停止，因摩擦损失的机械能为 则自物块1获得瞬时冲量后至全部物块停止运动的过程中，因摩擦损失的机械能为 【题型10 电场＋动量】 【例10】（23-24高三上·安徽亳州·期末）如图所示，在光滑绝缘水平面上方，O′O两侧有大小相等方向相反的匀强电场，电场强度大小均为E，在电场中的A、B位置同时由静止释放带电的绝缘球。A、B两位置到O的距离均为d，A位置小球1的电荷量为+3q、质量为3m、B位置小球2的电荷量为+q、质量为m。小球的直径与d相比可以忽略，匀强电场对小球的电场力远大于两个小球之间的库仑力，两小球间的碰撞为弹性碰撞且碰撞前后小球各自的带电量不变。求： （1）两小球第一次碰撞前瞬间各自的速度大小； （2）两小球第一次碰撞后瞬间各自的速度。 【答案】（1），；（2）， 【解析】（1）由于水平面光滑，分析小球受力，由牛顿第二定律得两个小球的加速度大小相等    根据位移公式 得两个小球到的时间相等；由运动学公式 得两个小球到的速度大小相等，代入得    小球1速度方向向右，小球2速度方向向左； （2）规定向右为正方向，设碰后小球1的速度为，小球2的速度为，两小球发生的是弹性碰撞，由动量守恒得    有机械能守恒得    联立得碰后小球1的速度    小球2的速度 方向向右。 【变式10-1】（23-24高二上·河南开封·阶段练习）如图所示，水平的长直轨道上点左侧存在电场强度为的匀强电场，材料不同的两个小物块静止在轨道上，其中质量为、带电荷量为的与轨道摩擦力很小忽略不计，质量为的与轨道的动摩擦因数且不带电静止于点，滑块位于点左侧与相距处。现由静止释放滑块，一段时间后滑块运动到点，在点与滑块第一次发生碰撞，与的碰撞都是弹性碰撞，求： （1）第一次发生碰撞过后的速度与的速度； （2）第一次发生碰撞过后，与各自速度减小为零所用的时间和 （3）最终停下来的位置距离点的距离。 【答案】（1）；；（2）；（3） 【解析】（1）对M，根据动能定理可得 解得 M与N发生弹性碰撞，由动量守恒定律可得 由机械能守恒定律可得 解得 ， （2）碰后对M和N分别有动量定理得 ， 解得 （3）从M静止开始运动，由于每次都是N静止等待M追上后发生弹性碰撞，碰撞后两者的速率都是碰撞前M的速率一半，到最终经过无数次碰撞M和N的速率将会无限趋近于零，由于弹性碰撞不损失机械能，故M最初的电势能最终全部转化为N与地面摩擦所产生的热量，由能量守恒定律可得 解得 【变式10-2】（23-24高三上·山西运城·开学考试）如图所示，在光滑水平面上N点的左侧有一场强E=4×103N/C的匀强电场，质量为mB=1.5kg的绝缘木板B静止在N点右侧，质量为mC=0.5kg的小物块C（可视为质点）静止在B的右端上，BC间动摩擦因数μ=0.2，将mA=lkg、电量q=1×10-3C的带电小滑块A（可视为质点）由静止释放，运动s=2m到达N点，与B发生弹性碰撞，此后C恰好未从B上滑落，求： （1）A运动到N点时的动量； （2）滑块C的最大速度； （3）木板B的长度。 【答案】（1）4kg·m/s，方向水平向右（2）2.4m/s；（3）1.92m 【解析】（1）A运动s的过程中，由动能定理得 解得 则A运动到N点时的动量为 方向水平向右。 （2）AB发生弹性碰撞，由动量守恒可得 由机械能守恒可得 联立解得 ， B与C相互作用至共速，由动量守恒得 解得 可知滑块C的最大速度为。 （3）对B与C由能量守恒得 解得木板B的长度为 【变式10-3】（23-24高二下·河南焦作·期末）如图所示，固定在平台上的绝缘轨道由光滑圆弧轨道AB和光滑水平轨道BC组成，处于水平向右的匀强电场中，MC为电场右边界。一质量为3m、带电量为的小球a，从轨道最高点A由静止释放，运动到最低点B与质量为m的绝缘球b（不带电）发生弹性碰撞，a与b碰撞前的向心加速度大小为g。碰撞后，b从平台边缘C点飞出平台，a刚好可以运动到C点。重力加速度大小为g，碰撞过程中电荷不发生转移，圆弧半径，求： （1）电场强度的大小E； （2）若重力加速度g取，球b在BC段运动的时间t。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由动能定理，可得 根据牛顿第二定律，可得 联立，解得 ， （2）碰撞过程动量守恒、机械能守恒，可得 ， 联立，解得 a球由B到C过程，有 b球由B到C过程，有 联立，解得 【题型11 传送带模型中的动量、能量问题】 【例11】（多选）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，左侧有一长为的传送带，以速度顺时针转动，右侧有一质量为、足够长的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为的小物块（可视为质点）以初速度从传送带的左端滑上传送带，并且小物块能无机械能损失的滑上长木板。已知小物块与传送带、长木板间的动摩擦因数均为，不计空气阻力，g取。则（　　） A．小物块滑上长木板的速度为5m/s B．小物块的最终速度为2m/s C．长木板的最终动能为6J D．最终木板和木块系统产生的内能为24J 【答案】BCD 【解析】A．小物块在传送带做匀减速运动的加速度大小为 设小物块在传送带上一直做匀减速直线运的，小物块滑上长木板的速度为，根据运动学公式可得 解得 假设成立，则小物块滑上长木板的速度为，故A错误； BD．小物块滑上长木板，小物块与长木板达到共速时，则根据动量守恒可得 解得 根据能量守恒可得 解得最终木板和木块系统产生的内能为 故BD正确； C．长木板的最终动能为 故C正确。 故选BCD。 【变式11-1】（多选）（23-24高三上·福建宁德·阶段练习）如图所示，以v=5m/s的速度顺时针匀速转动的水平传送带，左端与粗糙的弧形轨道平滑对接，右端与光滑水平面平滑对接。水平面上有位于同一直线上、处于静止状态的5个相同小球，小球质量m0=0.2kg。质量m=0.1kg的物体从轨道上高h=4.0m的P点由静止开始下滑，滑到传送带上的A点时速度大小v0=7m/s，物体和传送带之间的动摩擦因数μ=0.5，传送带AB之间的距离L=3.4m。物体与小球、小球与小球之间发生的都是弹性正碰，重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．物体第一次碰撞小球1时的速度是5m/s B．物体第一次向右通过传送带的过程中，摩擦生热为1.2J C．物体第一次与小球碰撞后，在传送带上向左滑行的最大距离为 D．第1个小球最终的速度大小为5m/s 【答案】AC 【解析】AB．物体滑上传送带后，在滑动摩擦力作用下匀减速运动，加速度大小为 减速至与传送带速度相等时所用的时间 匀减速运动的位移 传送带位移 物体第一次向右通过传送带的过程中，摩擦生热为 物体与传送带共速后以该速度滑上光滑水平面与小球1碰撞，故物体第一次碰撞小球1时的速度是5m/s，故A正确，B错误； C．物体与小球1发生弹性正碰，设物体反弹回来的速度大小为的，小球1被撞后的速度大小为，由动量守恒和能量守恒定律得 解得 物体被反弹回来后，在传送带上向左运动过程中，由运动学公式得 解得 故C正确； D．由于小球质量相等，且发生的都是弹性正碰，它们之间将进行速度交换。由C项可知，物体第一次返回还没到传送带左端速度就减小为零，接下来将再次向右做匀加速运动，直到速度增加到，再跟小球1发生弹性正碰，同理由动量守恒和能量守恒定律可得，第二次碰后，物体和小球的速度大小分别为 以此类推，物体与小球1经过n次碰撞后，他们的速度大小分别为 故第1个小球最终的速度大小不可能为，故D错误。 故选AC。 【变式11-2】（23-24高一下·天津·期末）如图所示，光滑水平台面上放两个相同小物块A、B，右端N处与水平传送带理想连接，传送带水平部分长度，沿逆时针方向以恒定速度匀速转动。物块A、B（大小不计，视作质点）与传送带间的动摩擦因数均为，物块A、B质量分别为，。开始时A、B静止，A、B间压缩一轻质短弹簧。现解除锁定，弹簧弹开A、B，弹开后B滑上传送带，A掉落到地面上的Q点，已知水平台面高，Q点与水平台面右端的水平距离，g取。 （1）求物块A脱离弹簧时速度的大小； （2）求弹簧储存的弹性势能； （3）求物块B在水平传送带上运动的过程中摩擦力对物块B的冲量 【答案】（1）4m/s；（2）24J；（3），方向水平向左 【解析】（1）A飞出平台做平抛运动，则有 ， 解得 （2）对A、B构成的系统，根据动量守恒定律有 根据能量守恒定律有 解得 （3）物体向右滑上传送带时，先向右以初速度8m/s做匀减速直线运动，速度减为0后以相同加速度向左做匀加速直线运动，由于初速度的速度为2m/s，之后向左做匀速直线运动，规定向左为正方向，可知，根据动量定理，物块B在水平传送带上运动的过程中摩擦力对物块B的冲量 解得 方向水平向左。 【变式11-3】（23-24高二下·贵州毕节·期末）如图所示，水平传送带以4m/s的速度顺时针匀速转动，传送带左右两端的距离为4m，传送带右端的正上方有一悬点O，用长为1m、不可伸长的轻绳悬挂一质量为0.1kg的小球，小球与传送带上表面平齐但不接触。将质量为0.2kg的小物块无初速轻放在传送带左端，小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短。碰后瞬间小物块以2m/s的速度水平向右离开传送带，小球碰后绕O点做圆周运动，上摆至最高点后返回。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.4，重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计，计算时小物块和小球大小可以忽略。求： （1）小物块从传送带左端运动至右端（小球处）所经历的时间； （2）小物块与小球碰后瞬间，小球获得的速度大小； （3）小球运动到最高点时，轻绳对小球的拉力大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）对物块，根据牛顿第二定律 解得 设物体经过时刻加速达到传送带速度，即 解得 物块的位移 匀速行驶的位移 匀速行驶时间 解得 小物块从传送带左端运动至右端（小球处）所经历的时间为 （2）物块与小球相碰后小球获得的速度为，物块碰前速度为v，由动量守恒得 解得 （3）小球向上摆动过程机械能守恒，设上升的最大高度为h，则有 解得 与竖直方向的夹角余弦值 在最高点将重力分解在沿绳方向和垂直绳方向，由于速度为零，向心力为零，所以轻绳的拉力就等于重力沿绳方向的分力，即 【题型12 爆炸类问题】 【例12】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）一个质量为m的小型炸弹自水平地面朝右上方射出，在最高点以水平向右的速度v飞行时，突然爆炸为质量相等的甲、乙、丙三块弹片，如图所示。爆炸之后乙自静止自由下落，丙沿原路径回到原射出点。若忽略空气阻力，则爆炸过程释放的化学能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取向右为正，根据动量守恒 解得甲的速度为 由能量守恒定律，爆炸过程释放的化学能为 故选D。 【变式12-1】（23-24高二下·福建福州·期末）据外媒报道，中国最新的洲际弹道导弹东风-51已经研发完成，东风-51采用固体燃料发动机，最多可携带14枚分导式多弹头。假设一枚在空中飞行的东风-51导弹，质量为，飞行到某点时速度的方向水平，大小为，方向如图所示，导弹在该点突然炸裂成两部分，其中质量的一个弹头沿着v的方向飞去，其速度大小为，求 （1）炸裂后另一块质量的弹头的速度； （2）炸裂后导弹两部分总动能比炸裂前增加了多少。 【答案】（1），方向与v的方向相反；（2） 【解析】（1）设初速度v的方向为正方向，爆炸前后水平方向动量守恒，则有 其中 解得 可知炸裂后另一块质量的弹头的速度大小为，方向与v的方向相反。 （2）炸裂前导弹的动能为 炸裂后导弹两部分总动能为 则炸裂后导弹两部分总动能比炸裂前增加了 【变式12-2】（23-24高二下·山西长治·期中）双响爆竹，其一响之后，腾空再发一响，因此得名二踢脚。如图所示，质量为0.1kg的二踢脚竖立在地面上被点燃后发出一响，向下喷出少量高压气体（此过程位移可忽略）后获得20m/s的速度竖直升起，到达最高点时恰好发生第二响，立即被炸成的A、B两块，其中质量的A部分以的速度向南水平飞出。已知第二响释放的能量有30%转化为A、B的机械能，不计二踢脚内火药的质量和所受的空气阻力，取，求： （1）A、B两部分落地时的距离L； （2）第二响释放的能量。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）A、B两部分落地的时间为 炸成的A、B两块时，根据在水平方向动量守恒 其中 解得 炸成的A、B两块后，两部分分别做平抛运动，则两部分水平位移分别为 则，A、B两部分落地时的距离L为 （2）由题意可知 其中 解得 【变式12-3】（23-24高二下·湖南岳阳·阶段练习）如图，A、B质量分别为m1=1kg，m2=2kg，置于小车C上，小车的质量为m3=1kg，A、B与小车的动摩擦因数0.5，小车静止在光滑的水平面上。某时刻炸药爆炸，若A、B间炸药爆炸的能量有12J转化为A、B的机械能，其余能量转化为内能。A、B始终在小车表面水平运动，小车足够长，求： （1）炸开后A、B获得的速度各是多少？ （2）A、B在小车上滑行的时间各是多少？ 【答案】（1）,；（2）0.8s，0.3s 【解析】（1）炸药爆炸瞬间A、B系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得 A、B的机械能总量为12J，故有 联立解得 ，（不合实际，舍去） 或者 ， （2）爆炸后AB在C上滑动，B先与C相对静止，设此时A的速度为v3，B、C的速度为v4，该过程中ABC组成的系统动量守恒。设该过程的时间为t3，对A应用动量定理 对B应用动量定理 对C应用动量定理 代入数据得 ，， 之后，A在C是滑动直到相对静止，根据系统的动量守恒，有 解得 设A滑动的总时间为t，则 ， 解得 【题型13 火箭的原理】 【例13】（2024·海南·模拟预测）小明制作了一个火箭模型，火箭模型质量为（含燃料），开始火箭模型静置在地面上，点火后在极短时间内以相对地面的速度竖直向下喷出质量为的燃气，喷气过程中忽略重力和空气阻力的影响，下列说法正确的是（    ） A．火箭喷气过程机械能守恒 B．火箭的推力来源于空气对它的反作用力 C．喷气结束时火箭模型的动量大小为 D．喷气结束时火箭模型的速度大小为 【答案】C 【解析】A．系统体统所受合外力为零，满足动量守恒，但机械能不守恒，A错误； B．火箭的推力是燃料燃烧产生的高温高压气体向后喷出时对火箭的反作用力，B错误； C．开始总动量为零，规定气体喷出的方向为正方向，根据动量守恒定律得 喷气结束时火箭模型的动量大小 C正确； D． 根据 解得 D错误。 故选C。 【变式13-1】（23-24高三下·辽宁·期中）航天梦由来已久，明朝万户，他把多个自制的火箭绑在椅子上，自己坐在椅子上，双手举着大风筝，设想利用火箭的推力，翱翔天际，然后利用风筝平稳着陆。假设万户及所携设备（火箭（含燃料）、椅子、风筝等）总质量为M，点燃火箭后在极短的时间内，质量为m的炽热燃气相对地面以的速度竖直向下喷出。忽略此过程中空气阻力的影响，重力加速度为g，下列说法中正确的是（    ） A．在燃气喷出后的瞬间，火箭的速度大小为 B．火箭在向下喷气上升的过程中，火箭机械能守恒 C．喷出燃气后万户及所携设备能上升的最大高度为 D．在燃气喷出后上升过程中，万户及所携设备动量守恒 【答案】A 【解析】A．在燃气喷出后的瞬间，万户及所携设备组成的系统动量守恒，设火箭的速度大小为v，规定火箭运动方向为正方向，则有 解得火箭的速度大小为 故A正确； B．在火箭喷气过程中，燃料燃烧时产生的向后喷出的高温高压气体对万户及所携设备做正功，所以火箭机械能不守恒，故B错误； C．喷出燃气后，万户及所携设备做竖直上抛运动，根据运动学公式可得，最大上升高度为 故C错误； D．在燃气喷出后上升过程中，万户及所携设备因为受重力，系统动量不守恒，故D错误。 故选A。 【变式13-2】（2025·安徽蚌埠·一模）某科研小组试验一款火箭，携带燃料后的总质量为M。先将火箭以初速度从地面竖直向上弹出，上升到高度时点燃燃料，假设质量为m的燃气在一瞬间全部竖直向下喷出，若燃气相对火箭喷射出的速率为u，重力加速度为g，不计空气阻力。求： （1）火箭到达高度时的速度大小； （2）燃气全部喷出后火箭的速度大小； （3）火箭上升的最大高度。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）由机械能守恒可得 解得火箭到达高度时的速度大小为 （2）由动量守恒可得 解得燃气全部喷出后火箭的速度大小为 （3）设火箭上升的最大高度为，根据机械能守恒可得 解得 【变式13-3】（2024·江苏·高考真题）嫦娥六号探测器于5月3日在中国文昌航天发射场发射升空并进入地月转移轨道，探测器经过轨道修正、近月制动，顺利进入环月轨道飞行。此后探测器经历着路器和上升器组合体、轨道器和返回器组合体的分离。已知嫦娥六号探测器在轨速度为v0，着陆器对应的组合体A与轨道器对应的组合体B分离时间为Δt，分离后B的速度为，且与v0同向，A、B的质量分别为m、M。求： （1）分离后A的速度vA大小； （2）分离时A对B的推力大小。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）组合体分离前后动量守恒，取v0的方向为正方向，有 解得 （2）以B为研究对象，对B列动量定理有 解得 【题型14 “人船”模型】 【例14】（24-25高二上·辽宁·开学考试）如图所示，平板车停在光滑的水平面上，某工人（可视为质点）在平板车上卸货，该工人从固定在平板车上右端的货厢左边缘水平向左跳出，恰好落在平板车左边缘上的P点（该工人落在P点瞬间与平板车共速）。已知平板车长度4m，货厢长度为1m，高度为h=1.25m，工人的质量为m，平板车连同货厢的质量为M=5m，g取10 m/s²。则下列说法正确的是（    ） A．平板车最终的速度大小为0.5m/s B．工人水平方向移动的距离为4m C．平板车最终移动的距离为2.5m D．工人水平向左跳出时的速度大小为5m/s 【答案】D 【解析】A．工人与平板车在水平方向动量守恒，则 解得 故A错误； BC．根据人船模型可得 解得 ， 故工人水平方向移动的距离为2.5m，平板车最终移动的距离为0.5m，故BC错误； D．对工人做平抛运动过程，有 解得 故D正确。 故选D。 【变式14-1】（多选）（24-25高三上·山东济南·开学考试）如图所示，某科研团队对研发的人形机器人进行跳跃测试。小车静置于光滑水平地面上，机器人静止站立在平台右端点。测试时机器人以初速度（大小未知）水平跳出，落到小车上的点，此过程中机器人消耗能量为（大小未知）。已知机器人的质量为，小车的质量为点与点高度差为，水平距离为，重力加速度为，机器人可以看作质点，假设机器人消耗的能量全部转化为动能，不考虑空气阻力，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】根据人和车系统水平方向动量守恒 根据平抛运动规律 ， 由能量守恒得 联立解得 ， 故选AC。 【变式14-2】（多选）（23-24高二下·福建南平·期末）如图，在一次特警训练中，质量为140kg的小车静止在光滑的水平面上，A、B为小车的两端。质量为70kg的特警站在A端，起跳后恰好落到B端，相对地面的位移为2m。该过程不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小车后退了1m B．小车后退了 C．小车AB长为3m D．小车AB长为 【答案】AC 【解析】设小车质量为M，人的质量为m，对系统，在水平方向上由动能定理得 两边同时乘以得 即 设小车长度为L，则 联立解得 ， 故选AC。 【变式14-3】（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）如图所示，质量为的小船，长为，浮在静水中．开始时质量为的人站在船头，人和船均处于静止状态，不计水的阻力，若此人从船头向船尾行走： （1）当人的速度大小为时，船的速度大小为多少； （2）当人恰走到船尾时，船前进的距离。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据动量守恒定律可得 解得 （2）由图可知 解得 【题型15 弹簧弹开两物体模型】 【例15】（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）A、B两物体质量分别为和，与水平地面之间的动摩擦因数分别为和，开始时两物体之间有一压缩的轻弹簧（不拴接），并用细线将两物体拴接在一起放在水平地面上。现将细线剪断，则两物体将被弹簧弹开，最后两物体都停在水平地面上。下列判断正确的是（    ） A．在两物体被弹开的过程中，因为弹簧弹力，A、B两物体组成的系统动量不守恒 B．在脱离弹簧后两物体的运动过程中，因为摩擦力，两物体组成系统动量不守恒 C．在弹簧弹开两物体以及脱离弹簧后两物体的运动过程中，A、B两物体组成的系统动量守恒 D．两物体不一定同时停在地面上 【答案】C 【解析】ABC．因为A、B与地面之间的摩擦力分别为 在弹簧弹开两物体以及脱离弹簧后两物体的运动过程中，A、B两物体组成的系统受合外力为零，则系统的动量守恒，选项AB错误，C正确； D．在弹簧弹开两物体以及脱离弹簧后两物体的运动过程中，因系统的总动量为零，则当一个物体停下来速度为零时，另一个物体的速度一定也为零，即两物体一定同时停在地面上，选项D错误。 故选C。 【变式15-1】（22-23高一下·辽宁营口·阶段练习）如图所示，水平面左侧有一足够长的、相对水平面高为H的光滑平台，质量为M的滑块与质量为m的小球之间有一个处于压缩且锁定状态的轻弹簧（弹簧不与滑块和小球连接），系统处于静止状态。某时刻弹簧解除锁定，小球离开平台后做平抛运动，落到水平面上时落点到平台的距离为s，重力加速度为g，则滑块的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】小球射出时，设其速度为，系统在水平方向上动量守恒，取向右为正方向，对系统在水平方向上，由动量守恒有 小球做平抛运动，有 联立解得 故选C。 【变式15-2】（22-23高三上·福建福州·期末）如图所示，两块小木块A和B中间夹上轻弹簧用细线扎在一起，放在光滑的水平台面上，烧断细线，弹簧将小木块A、B弹出，最后落到水平地面上，根据图中的有关数据，可以判定下列说法中正确的是（弹簧原长远小于桌面长度）（　　） A．小木块A先落到地面上 B．两小木块质量之比 C．两小木块离开桌面时，动能之比 D．两小木块在空中飞行时所受的冲量大小之比 【答案】D 【解析】AB．题意中可知桌面光滑，则弹簧、A、B组成的系统动量守恒。设A、B两物块速度的大小分别为、，则 根据，由下落高度相同，则AB下落时间相同。A和B平抛的水平距离之比为 则 小物块的质量之比为 弹簧原长远小于桌面长度，且AB与桌边缘距离均为，则两物块分离后，在平抛运动之前，B的速度较大，所以B到达桌边用时更短，平抛后AB下落时间相同。故B先落到地面上。故AB错误； C．两小木块离开桌面时，动能之比为 故C错误； D．两小木块在空中飞行时所受的冲量大小之比 故D正确。 故选D。 【变式15-3】（22-23高二上·湖南长沙·期中）如图所示，质量分别为mA和mB的A、B两物体间有一与物体不连接的轻弹簧，两物体用轻细线连接在一起并使弹簧处于压缩状态，水平面光滑，现剪断细线，则在弹簧对两物体施加作用力的整个过程中（   ） A．无论A，B质量为多大，弹簧弹力对两物体的冲量相同 B．若mA < mB，则弹簧弹力对A的冲量大小小于对B的冲量大小 C．若mA < mB，则弹簧弹力对A所做的功大于对B所做的功 D．无论A，B质量为多大，弹簧弹力对两物体做的功相同 【答案】C 【解析】AB．剪断细线弹开过程，AB所受弹力大小相等，方向相反，作用时间相等，弹力对两物体的冲量大小相等，方向相反，AB错误； CD．弹簧弹力对A，B所做的功等于A的动能增加量，由与 则A，B的动能增加量与质量成反比，C正确，D错误。 故选C。 【题型16 气球和人模型】 【例16】（23-24高二上·湖北·期中）如图所示，大气球质量为，载有质量为的人，静止在空气中距地面高的地方，气球下方悬一根质量可忽略不计的绳子，此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面，为了安全到达地面，则绳长至少为（不计人的身高，可以把人看作质点）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设人的质量为m1，气球的质量为m2，系统所受重力与浮力平衡，合外力为零，根据系统动量守恒得 人与气球运动的距离分别为 ， 联立可得 又 代入数据，解得绳长至少为 故选D。 【变式16-1】（20-21高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图所示，大气球质量为25kg，载有质量为50kg的人，静止在空气中距地面20m高的地方，气球下方悬一根质量可忽略不计的绳子，此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面，为了安全到达地面，则这绳长至少应为（　　）（不计人的高度，可以把人看作质点） A．60m B．40m C．30m D．10m 【答案】A 【解析】以向下为正方向，对人和气球组成的系统由动量守恒得 则 解得 则绳长至少应为 故选A。 【变式16-2】（22-23高二上·山西运城·阶段练习）热气球因其色彩艳丽，场面壮观，成为企业宣传所采用的独具特色的广告媒体.如图所示的热气球静止于距水平地面H的高处，一质量为M的人从热气球上沿软绳向下运动。已知热气球的质量为m，软绳质量忽略不计，热气球所受的浮力不变，若要人能安全到达地面，则绳长至少为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设绳长至少为，根据“人船模型”的推论可得 解得 故选C。 【变式16-3】（21-22高三·全国·课时练习）质量为M的热气球下吊一架轻的绳梯，梯上站着质量为m的人，气球以v0速度匀速上升。如果人加速向上爬，当他相对于绳梯的速度达到v时（　　） A．人相对于地面的速度为 B．人相对于地面的速度为 C．气球相对于地面的速度为 D．气球相对于地面的速度为 【答案】C 【解析】AB．和不是同一时刻的速度，和无实际意义，故AB错误； CD．当人相对于绳梯的速度达到v时，气球相对于地面的速度设为，则人相对于地面的速度应为，根据动量守恒定律有 可得 故C正确，D错误。 故选C。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项训练：动量守恒模型归纳【十六大题型】 【人教版2019】 目录 【题型1 完全弹性碰撞：动碰静】 2 【题型2 完全弹性碰撞：动碰动】 3 【题型3 “子母球”模型】 5 【题型4 碰撞后粘连问题】 7 【题型5 子弹打木块模型】 9 【题型6 滑块－弹簧模型】 11 【题型7 滑块－光滑圆弧轨道模型】 13 【题型8 绳连接体模型】 14 【题型9 多次碰撞问题】 17 【题型10 电场＋动量】 18 【题型11 传送带模型中的动量、能量问题】 20 【题型12 爆炸类问题】 22 【题型13 火箭的原理】 24 【题型14 “人船”模型】 26 【题型15 弹簧弹开两物体模型】 27 【题型16 气球和人模型】 29 【题型1 完全弹性碰撞：动碰静】 【例1】（多选）（24-25高三上·湖北·开学考试）质量为和的两个物体在光滑水平面上正碰，其位置坐标x随时间t变化的图像如图所示。下列说法正确的是（　　） A．碰撞前静止 B．碰撞后的运动方向不变 C． D．该碰撞为非弹性碰撞 【变式1-1】（23-24高二下·北京通州·期末）动量守恒定律是一个独立的实验定律，它适用于目前为止物理学研究的一切领域。运用动量守恒定律解决二维问题时，可以在相互垂直的x、y两个方向上分别研究。如图所示，质量分别为和的球1和球2构成一系统，不考虑系统的外力作用。球1以速度（方向沿x轴正向）与静止的球2发生弹性碰撞，若速度不在两球球心的连线上，碰撞之后两球的速度、都会偏离的方向，偏角分别为、。下列说法正确的是（　　） A．两小球在球心连线方向动量不守恒 B．两小球的相互作用力方向与速度方向共线 C．两小球碰后速度大小满足 D．两小球碰后速度大小满足 【变式1-2】（23-24高二下·新疆阿勒泰·期末）如图所示，质量为mA=2kg的A球和质量为mB=4kg的B球，原来均静止在光滑水平面上。现给A球一个向右的v0=6m/s初速度，之后与B球发生对心碰撞。若是弹性碰撞，求碰后A球的速度。 【变式1-3】（23-24高二下·贵州六盘水·期末）如图所示，一质量为m的物块P静止在水平桌面上，质量为3m的光滑物块Q以大小为的速度向右运动并与P发生弹性正撞，碰撞时间极短。碰撞后，P和Q先后从桌面的右端滑出，并落在地面上同一位置。P与桌面间的动摩擦因数为，P和Q可视为质点，不计空气阻力。求： （1）P、Q碰撞后瞬间的速度大小； （2）P在桌面上运动过程中产生的热量； （3）与P碰撞后，Q在桌面上运动的时间。 【题型2 完全弹性碰撞：动碰动】 【例2】（2024·河北沧州·三模）甲、乙两小球在光滑的水平面上沿同一直线相向运动，已知小球甲的质量小于小球乙的质量，两小球碰撞前后的位移随时间的变化规律如图所示。则下列说法正确的是（　　） A．图线A为碰前乙的位移—时间图像 B．图线C为碰后甲的位移—时间图像 C．小球甲、乙的质量之比为1∶2 D．两小球的碰撞为非弹性碰撞 【变式2-1】（2023·湖南邵阳·二模）“引力弹弓效应”是指在太空运动的探测器，借助行星的引力来改变自己的速度。如图所示，以太阳为参考系，设行星运动的速度为，探测器的初速度大小为，在图示情况下，探测器在远离行星后速度大小为。探测器和行星虽然没有发生直接的碰撞，但是在行星的运动方向上，其运动规律可以与两个质量不同的钢球在同一条直线上发生的弹性碰撞规律作类比。那么下列判断中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高二下·福建泉州·期中）如图，质量为m=1kg的A球用长为L=1m的轻质细线悬挂于固定点O，初始时细线与竖直向下夹角为37°，将A由静止释放。与此同时，质量为M=3m的B球沿光滑水平面向左运动，两球恰好在O点正下方发生弹性正碰，碰后B球恰好静止。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，不计空气阻力，g取10m/s2。A、B碰撞前，A球在O点正下方绳的拉力为 N，B球碰前速度应为 m/s。 【变式2-3】（2024·天津·二模）如图所示，水平面上固定一倾角的光滑斜面，斜面长为。一质量的物块A以初速度从底端冲上斜面，恰好能到达斜面顶端。若在A以初速度刚要冲上斜面时，另一质量的物块B恰好从斜面顶端由静止释放，经过一段时间A、B发生弹性碰撞（碰撞时间极短），已知A、B均可视为质点，重力加速度，求： （1）物块A的初速度的大小； （2）两物块碰撞前运动的时间t； （3）碰撞后瞬间物块B的速度的大小。 【题型3 “子母球”模型】 【例3】（23-24高二下·北京丰台·期末）如图所示，弹性小球A和B叠放在一起，从距地面高度为h处自由落下，落地瞬间，B先与地面碰撞，后与A 碰撞，h远大于两小球直径，小球B 的质量远大于小球A质量。假设所有的碰撞均为竖直方向内弹性碰撞，且碰撞时间均可忽略不计，不考虑空气阻力，则下列判断中正确的是（　　） A．下落过程中A 与B 之间存在相互作用 B．小球B与地面碰撞后，小球B的速度为零 C．A 与B 第一次碰后小球A 弹起的最大高度约为4h D．A 与B 第一次碰后小球A 弹起的最大高度约为9h 【变式3-1】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）如图所示为大球和小球叠放在一起、在同一竖直线上进行的超级碰撞实验，可以使小球弹起并上升到很大高度。将质量为（）的大球（在下），质量为m的小球（在上）叠放在一起，从距地面高h处由静止释放，h远大于球的半径，不计空气阻力。假设大球和地面、大球与小球的碰撞均为完全弹性碰撞，且碰撞时间极短。下列说法正确的是（    ） A．两球一起下落过程中，小球对大球的弹力大小为 B．大球与地面第一次碰撞过程中，地面对大球平均作用力的冲量大小为 C．无论k取什么值，大球与小球碰撞后大球的速度均不能为0 D．若大球的质量远大于小球的质量，小球上升的最大高度约为9h 【变式3-2】（多选）（23-24高二上·广东广州·期中）如图所示，将两个质量分别为m1＝60g、m2＝30g的小球A、B叠放在一起，中间留有小空隙，从初始高度h0＝1.8m处由静止释放。A球与地面碰撞后立即以原速率反弹，A球与B球碰撞的时间为0.01s，不计空气阻力，取向上为正方向，B球的速度时间图像如图乙所示，g取10m/s2（　　） A．两球下落过程中，B球对A球有竖直向下的压力 B．B球与A球碰前的速度大小均为6m/s C．两球碰撞过程中，B球的重力冲量与A对B球的冲量大小之比为1∶101 D．A、B两球发生的是弹性碰撞 【变式3-3】（23-24高一下·吉林长春·期末）伽利略大炮是一种极为简易的机械发射装置，由伽利略于1590年左右发明。现我们共同研究伽利略大炮的实验，先将1kg的弹性大球单独自由释放，落地反弹高度为下落高度的0.64倍。现在弹性大球上将弹性小球逐个叠放，并将它们从距地面0.8m高处同时自由释放，如图所示。已知各球相互接触且重心在同一竖直线上，每个弹性球的质量为该球下面接触球质量的，各球之间均发生弹性碰撞，作用时间极短，无论弹性大球上面是否叠放弹性小球及叠放几个弹性小球，弹性大球与地面碰撞过程中能量损失均保持不变，重力加速度g取，忽略空气阻力，球均可看作质点。 （1）若将弹性大球单独从距地面0.8m高处自由释放，求弹性大球与地面第一次碰撞时地面对弹性大球所做的功； （2）若弹性大球上端只放一个弹性小球，求两球第一次碰撞过程中弹性大球对弹性小球的冲量大小； （3）若弹性大球上叠放了2个弹性小球，则第2个弹性小球上升的最大高度为多少？ 【题型4 碰撞后粘连问题】 【例4】（24-25高三上·山东德州·开学考试）如图所示，质量为的小球A从距离地面高度处向上斜抛，抛出时的速度大小为，方向与水平方向夹角为，在A抛出的同时有一质量为2m的黏性小球B从某高度处自由下落，当A上升到最高点时恰能击中竖直下落中的黏性小球B，AB两球碰撞时间极短，碰后AB两球粘在一起落回地面。已知A球上升和下落过程时间相等。不计空气阻力，取。下列说法正确的是（　　） A．小球A上升至最高处时水平位移是20m B．小球B下落时离地面的高度是37.5m C．小球A抛出点距地面的高度为11.25m D．小球A抛出点距落地点的水平距离为60m 【变式4-1】（23-24高二下·贵州遵义·期末）汽车碰撞实验是检测汽车安全性能的手段。如图，为了检测汽车甲的安全性能，工程师让甲车以的速度在水平地面上与静止的汽车乙发生正碰（碰撞前甲已失去动力），碰撞后两车共速，从碰撞开始到两车恰好共速所用时间。甲车总质量（含假人），乙车总质量，不考虑地面阻力，则（　　） A．两车共同速度大小为 B．因，碰撞时甲对乙的力始终小于乙对甲的力 C．碰撞过程中乙对甲的平圴作用力大小为 D．若其他条件不变，越大，两车间平均作用力就越小 【变式4-2】（24-25高二上·河北张家口·开学考试）长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为m1的小球A，处于静止状态。A获得一速度vA后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A回到最低点时，质量为m2的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并也恰好能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻力，重力加速度为g，求： （1）A获得一速度vA时，轻绳对小球A的拉力大小； （2）A、B碰撞过程中损失的机械能∆E。 【变式4-3】（23-24高二上·广东广州·阶段练习）超市为节省收纳空间，常常将手推购物车相互嵌套进行收纳。如图所示，两辆相同的购物车静止在水平地面上，第一辆车在工作人员猛推一下后，沿直线运动时与第二辆车嵌套在一起，整体继续运动了1m后停了下来。已知每辆购物车的质量，人推车的时间及两车相碰的时间均极短，车运动时受到的阻力恒为车重的，取重力加速度大小，求： （1）两辆车嵌套后在地面上运动的时间t； （2）两辆车在嵌套过程中损失的机械能。 【题型5 子弹打木块模型】 【例5】（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）在光滑水平地面上静止放置着由轻弹簧连接的物块A和B、开始时弹簧处于原长，一颗质量为m的子弹以水平初速度v射入物块A并留在其中（子弹与物块相互作用时间极短，可忽略不计），已知物块A和B的质量均为m，则在以后的运动过程中，弹簧弹性势能的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023·广东东莞·模拟预测）如图所示，质量为m的子弹以水平初速度射入静止在光滑水平面上的质量为M的木块中，子弹未从木块中射出，最后共同速度为v，在此过程中，木块在地面上滑动的距离为s，子弹射入木块的深度为d，子弹与木块间的相互作用力为f，以下关系式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）（24-25高二上·河北张家口·开学考试）质量的小车静止在光滑的水平面上，车长，现有一质量为（可视为质点）的物块，以水平向右的速度从左端滑上小车，如图所示，最后在小车上某处与小车保持相对静止，物块与小车间的动摩擦因数，，下列说法正确的是（　　） A．在此过程中摩擦力对物块做的功为 B．物块与小车的共同速度大小 C．在此过程中系统产生的内能 D．若物块不滑离小车，物块的速度不能超过 【变式5-3】（23-24高二上·江苏南京·期末）如图所示，在固定的光滑水平杆（杆足够长）上，套有一个质量为的光滑金属圆环，轻绳一端拴在环上，另一端系着一个质量为的物块，现有一质量为的子弹以的水平速度射入物块并留在物块中（不计空气阻力和子弹与物块作用的时间，取，求： （1）圆环、物块和子弹所组成的这个系统损失的机械能； （2）物块所能达到的最大高度； （3）金属圆环的最大速度。 【题型6 滑块－弹簧模型】 【例6】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）如图所示，光滑水平地面上质量为的物体以速率向右运动，质量为的物体左端固定有一轻弹簧，以速率向左运动。弹簧的形变始终在弹性限度内，在与弹簧接触到弹簧压缩量最大的过程中，下列说法正确的是（    ） A．弹簧对的冲量大小为 B．的位移大小之比为 C．弹簧对做的功与对做的功相同 D．当的速度为零时，弹簧的弹性势能最大 【变式6-1】（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为和的两物块相连接，并且静止在光滑的水平面上。现使瞬间获得水平向右的速度，以此刻为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，从图像信息可得（   ） A．在、时刻两物块达到共同速度且弹簧都处于压缩状态 B．从到时刻弹簧由压缩状态逐渐恢复原长 C．两物块的质量之比为 D．在时刻两物块的动量大小之比为 【变式6-2】（24-25高三上·河北·开学考试）如图所示，在一个倾角为的固定斜面底端固定一个挡板，挡板连接一个劲度系数为的轻弹簧，轻弹簧上端与一质量为的光滑滑块相连且处于静止状态，静止时所在位置为。某时刻将一个质量也为的滑块从离点距离处由静止释放，滑块与斜面之间的动摩擦因数为。两滑块均可视为质点，滑块与滑块碰后粘连在一起，在运动过程中，弹簧始终在弹性限度内，当其形变量为时，弹性势能为，已知重力加速度。求： （1）滑块与滑块碰撞前瞬间的速度大小； （2）二者共同运动过程中的最大速度（结果可保留根号）。 【变式6-3】（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，一轻质弹簧的一端固定在滑块B上，另一端与滑块C接触但未连接，该整体静止放在离地面高为H=5m的光滑水平桌面上，现有一滑块A从光滑曲面上离桌面h=0.45m高处由静止开始滑下，与滑块B发生碰撞并粘在一起压缩弹簧推动滑块C向前运动，经一段时间，滑块C脱离弹簧，然后在水平桌面上运动一段距离后从桌面边缘飞出．已知mA=2kg，mB=1kg，mC=3kg，g=10m/s2，求： （1）滑块A与滑块B碰撞结束瞬间的速度大小； （2）压缩过程中弹簧的最大弹性势能； （3）滑块C落地点与桌面边缘的水平距离。 【题型7 滑块－光滑圆弧轨道模型】 【例7】（多选）（24-25高二上·河北保定·开学考试）如图所示，质量为3kg、半径为4.6m、圆心为点的四分之一光滑圆弧槽静止在光滑水平地面上，且其底端与水平地面相切。质量为1kg的小球（可视为质点）以的初速度沿着水平地面向右运动，取重力加速度大小。对于小球刚冲上圆弧槽到上升至最高点的过程，下列说法正确的是（    ） A．该过程小球和圆弧槽构成的系统动量守恒 B．该过程小球和圆弧槽构成的系统机械能守恒 C．小球能上升的最高点到水平地面的高度为5.4m D．小球运动到圆弧轨道上与点等高处时的速度大小为 【变式7-1】（多选）（23-24高三下·重庆·阶段练习）如图所示，水平面上有一质量为5m的小球B与轻弹簧连接，还有质量为2m、半径为R的圆弧形槽C，其底部与水平面平滑相切，最初B、C均静止。一质量为m的小球A从距槽C顶端3R处自由落下后恰好滑入槽C，不计一切摩擦，则（　　） A．球A沿槽C下滑过程中，槽C对球A做负功 B．整个过程中球A、球B和槽C构成的系统动量守恒 C．球A第一次滑至槽C最低点过程中，球A水平向左位移为 D．球A与弹簧作用后，能够追上槽C 【变式7-2】（23-24高一下·吉林·期末）如图所示，在水平面上放置一半径为的半圆槽，A、B为槽左、右两端的最高点且位于同一水平线上，C为圆槽最低点。现让一个小球（可视为质点）从槽右侧最高点B无初速释放。已知小球和半圆槽的质量分别为和，不计一切摩擦阻力，重力加速度为。求： （1）小球第一次通过C点时的速度的大小； （2）整个运动过程中，半圆槽向右运动的最大距离。 【变式7-3】（24-25高二上·山西晋中·开学考试）如图，光滑水平面上有带有光滑圆弧轨道的滑块，其质量为2m，一质量为m的小球以速度v0沿水平面滑上轨道，并能从轨道上端飞出，则： （1）小球从轨道上端飞出后，能上升的最大高度为多大？ （2）滑块能达到的最大速度为多大？ 【题型8 绳连接体模型】 【例8】（23-24高三下·江苏·开学考试）如图所示为某弹跳玩具，底部是一个质量为m的底座，通过弹簧与顶部一质量M =2m的小球相连，同时用轻质无弹性的细绳将底座和小球连接，稳定时绳子伸直而无张力。用手将小球按下一段距离后释放，小球运动到初始位置处时，瞬间绷紧细绳，带动底座离开地面，一起向上运动。某次游戏时发现，底座离开地面后能上升h高，则（　　） A．用手将小球按下一段距离后，弹簧的弹性势能 B．绳子绷紧前的瞬间，小球的动能为 C．绳子绷紧瞬间，系统损失的机械能为 D．玩具离开地面上升到最高点的过程中，重力做功 【变式8-1】（多选）（23-24高三上·江西南昌·期中）如图所示，物块A、B通过不可伸长的轻绳绕过光滑轻质定滑轮连接，已知mA=3m，mB=m，t=0时刻通过一个弹射装置（图中未画出）给物块A一个竖直向上的初速度v0=2m/s，然后瞬间移开弹射装置，物块A、B均可视为质点，全过程A、B既没有落地，也没有碰到滑轮。重力加速度g取10m/s2，则正确的是（　　） A．0.1s时，A的速度大小为1.5m/s B．0.1s时，B的速度大小为1m/s C．物体B下落的最大高度为0.325m D．物体B下落的最大高度为0.225m 【变式8-2】（多选）（2022·山东枣庄·二模）足够大的光滑水平面上，一根不可伸长的细绳一端连接着质量为的物块，另一端连接质量为的木板，绳子开始是松弛的。质量为的物块放在长木板的右端，与木板间的滑动摩擦力的大小等于最大静摩擦力大小。现在给物块水平向左的瞬时初速度，物块立即在长木板上运动。已知绳子绷紧前，、已经达到共同速度；绳子绷紧后，、总是具有相同的速度；物块始终未从长木板上滑落．下列说法正确的是（　　） A．绳子绷紧前，、达到的共同速度大小为 B．绳子刚绷紧后的瞬间，、的速度大小均为 C．绳子刚绷紧后的瞬间，、的速度大小均为 D．最终、、三者将以大小为的共同速度一直运动下去 【变式8-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，倾角为的斜面足够长，区间光滑，长度为，其余部分粗糙程度相同。长为的轻绳连接两个相同的小滑块、。开始时处于点，轻绳恰好伸直。由静止同时释放、，经过一段时间后，、发生弹性碰撞。再经过一段时间轻绳突然绷紧，、达到共同速度，并一起匀速运动。已知重力加速度大小为，求 （1）滑块与斜面粗糙部分之间的动摩擦因数； （2）滑块从静止释放至运动到点的时间； （3）滑块、一起匀速运动的速率。 【题型9 多次碰撞问题】 【例9】（多选）（23-24高二下·湖北·期末）如图所示，光滑圆环水平放置并固定，、、为圆环上的三等分点，圆环内有质量为和的小球A和B（）。初始时小球A以初速度沿圆环切线方向运动，与静止的小球B在点发生碰撞，两小球始终在圆环内运动。若小球A与B之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于、、点，则小球的质量比可能为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式9-1】（23-24高二下·江西·阶段练习）台球是青年喜爱的运动项目，球员出杆击打白球，运动白球撞击彩色球使其入洞并计分。假设在光滑水平面的一条直线上依次放4个质量均为m的弹性红球，质量为2m的白球以初速度与4号红球发生碰撞，假设发生的碰撞均为弹性正碰，则多次碰后，白球最终的速度大小为（　　） A．0 B． C． D． 【变式9-2】（多选）（23-24高一下·四川成都·期末）如图所示，在一光滑地面上有2024个相同大小的光滑小球，从2号到2024号小球质量均为m；1号球质量为M，且M＞m，1号球以v0的速度向右运动，与2号球发生弹性碰撞，此后所有碰撞均为弹性碰撞，从1号球开始运动起，下列说法正确的是（　　） A．小球2共发生了4044次碰撞 B．小球2共发生了4045次碰撞 C．小球2023最终速度为0 D．小球2023最终速度为 【变式9-3】（23-24高三下·陕西商洛·开学考试）如图所示，质量均为的个物块等间距地静止在粗糙水平面上，间距为。物块与水平面之间的动摩擦因数为，现给物块1一个瞬时冲量，使其获得一定初速度（未知），运动后物块1与物块2碰撞并粘在一起，运动后再与物块3发生完全非弹性碰撞，依次最终个物块粘在一起继续运动后恰好静止。已知所有碰撞时间极短，物块均可看成质点，忽略空气阻力，重力加速度为。 （1）求物块1与物块2碰撞过程中损失的机械能与碰撞前瞬间物块1的动能之比； （2）自物块1获得瞬时冲量后至全部物块停止运动的过程中，求因摩擦损失的机械能。 【题型10 电场＋动量】 【例10】（23-24高三上·安徽亳州·期末）如图所示，在光滑绝缘水平面上方，O′O两侧有大小相等方向相反的匀强电场，电场强度大小均为E，在电场中的A、B位置同时由静止释放带电的绝缘球。A、B两位置到O的距离均为d，A位置小球1的电荷量为+3q、质量为3m、B位置小球2的电荷量为+q、质量为m。小球的直径与d相比可以忽略，匀强电场对小球的电场力远大于两个小球之间的库仑力，两小球间的碰撞为弹性碰撞且碰撞前后小球各自的带电量不变。求： （1）两小球第一次碰撞前瞬间各自的速度大小； （2）两小球第一次碰撞后瞬间各自的速度。 【变式10-1】（23-24高二上·河南开封·阶段练习）如图所示，水平的长直轨道上点左侧存在电场强度为的匀强电场，材料不同的两个小物块静止在轨道上，其中质量为、带电荷量为的与轨道摩擦力很小忽略不计，质量为的与轨道的动摩擦因数且不带电静止于点，滑块位于点左侧与相距处。现由静止释放滑块，一段时间后滑块运动到点，在点与滑块第一次发生碰撞，与的碰撞都是弹性碰撞，求： （1）第一次发生碰撞过后的速度与的速度； （2）第一次发生碰撞过后，与各自速度减小为零所用的时间和 （3）最终停下来的位置距离点的距离。 【变式10-2】（23-24高三上·山西运城·开学考试）如图所示，在光滑水平面上N点的左侧有一场强E=4×103N/C的匀强电场，质量为mB=1.5kg的绝缘木板B静止在N点右侧，质量为mC=0.5kg的小物块C（可视为质点）静止在B的右端上，BC间动摩擦因数μ=0.2，将mA=lkg、电量q=1×10-3C的带电小滑块A（可视为质点）由静止释放，运动s=2m到达N点，与B发生弹性碰撞，此后C恰好未从B上滑落，求： （1）A运动到N点时的动量； （2）滑块C的最大速度； （3）木板B的长度。 【变式10-3】（23-24高二下·河南焦作·期末）如图所示，固定在平台上的绝缘轨道由光滑圆弧轨道AB和光滑水平轨道BC组成，处于水平向右的匀强电场中，MC为电场右边界。一质量为3m、带电量为的小球a，从轨道最高点A由静止释放，运动到最低点B与质量为m的绝缘球b（不带电）发生弹性碰撞，a与b碰撞前的向心加速度大小为g。碰撞后，b从平台边缘C点飞出平台，a刚好可以运动到C点。重力加速度大小为g，碰撞过程中电荷不发生转移，圆弧半径，求： （1）电场强度的大小E； （2）若重力加速度g取，球b在BC段运动的时间t。 【题型11 传送带模型中的动量、能量问题】 【例11】（多选）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，左侧有一长为的传送带，以速度顺时针转动，右侧有一质量为、足够长的木板静止在光滑水平桌面上，另一质量为的小物块（可视为质点）以初速度从传送带的左端滑上传送带，并且小物块能无机械能损失的滑上长木板。已知小物块与传送带、长木板间的动摩擦因数均为，不计空气阻力，g取。则（　　） A．小物块滑上长木板的速度为5m/s B．小物块的最终速度为2m/s C．长木板的最终动能为6J D．最终木板和木块系统产生的内能为24J 【变式11-1】（多选）（23-24高三上·福建宁德·阶段练习）如图所示，以v=5m/s的速度顺时针匀速转动的水平传送带，左端与粗糙的弧形轨道平滑对接，右端与光滑水平面平滑对接。水平面上有位于同一直线上、处于静止状态的5个相同小球，小球质量m0=0.2kg。质量m=0.1kg的物体从轨道上高h=4.0m的P点由静止开始下滑，滑到传送带上的A点时速度大小v0=7m/s，物体和传送带之间的动摩擦因数μ=0.5，传送带AB之间的距离L=3.4m。物体与小球、小球与小球之间发生的都是弹性正碰，重力加速度g=10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．物体第一次碰撞小球1时的速度是5m/s B．物体第一次向右通过传送带的过程中，摩擦生热为1.2J C．物体第一次与小球碰撞后，在传送带上向左滑行的最大距离为 D．第1个小球最终的速度大小为5m/s 【变式11-2】（23-24高一下·天津·期末）如图所示，光滑水平台面上放两个相同小物块A、B，右端N处与水平传送带理想连接，传送带水平部分长度，沿逆时针方向以恒定速度匀速转动。物块A、B（大小不计，视作质点）与传送带间的动摩擦因数均为，物块A、B质量分别为，。开始时A、B静止，A、B间压缩一轻质短弹簧。现解除锁定，弹簧弹开A、B，弹开后B滑上传送带，A掉落到地面上的Q点，已知水平台面高，Q点与水平台面右端的水平距离，g取。 （1）求物块A脱离弹簧时速度的大小； （2）求弹簧储存的弹性势能； （3）求物块B在水平传送带上运动的过程中摩擦力对物块B的冲量 【变式11-3】（23-24高二下·贵州毕节·期末）如图所示，水平传送带以4m/s的速度顺时针匀速转动，传送带左右两端的距离为4m，传送带右端的正上方有一悬点O，用长为1m、不可伸长的轻绳悬挂一质量为0.1kg的小球，小球与传送带上表面平齐但不接触。将质量为0.2kg的小物块无初速轻放在传送带左端，小物块运动到右端与小球正碰，碰撞时间极短。碰后瞬间小物块以2m/s的速度水平向右离开传送带，小球碰后绕O点做圆周运动，上摆至最高点后返回。已知小物块与传送带间的动摩擦因数为0.4，重力加速度g取10m/s2，空气阻力不计，计算时小物块和小球大小可以忽略。求： （1）小物块从传送带左端运动至右端（小球处）所经历的时间； （2）小物块与小球碰后瞬间，小球获得的速度大小； （3）小球运动到最高点时，轻绳对小球的拉力大小。 【题型12 爆炸类问题】 【例12】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）一个质量为m的小型炸弹自水平地面朝右上方射出，在最高点以水平向右的速度v飞行时，突然爆炸为质量相等的甲、乙、丙三块弹片，如图所示。爆炸之后乙自静止自由下落，丙沿原路径回到原射出点。若忽略空气阻力，则爆炸过程释放的化学能为（　　） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24高二下·福建福州·期末）据外媒报道，中国最新的洲际弹道导弹东风-51已经研发完成，东风-51采用固体燃料发动机，最多可携带14枚分导式多弹头。假设一枚在空中飞行的东风-51导弹，质量为，飞行到某点时速度的方向水平，大小为，方向如图所示，导弹在该点突然炸裂成两部分，其中质量的一个弹头沿着v的方向飞去，其速度大小为，求 （1）炸裂后另一块质量的弹头的速度； （2）炸裂后导弹两部分总动能比炸裂前增加了多少。 【变式12-2】（23-24高二下·山西长治·期中）双响爆竹，其一响之后，腾空再发一响，因此得名二踢脚。如图所示，质量为0.1kg的二踢脚竖立在地面上被点燃后发出一响，向下喷出少量高压气体（此过程位移可忽略）后获得20m/s的速度竖直升起，到达最高点时恰好发生第二响，立即被炸成的A、B两块，其中质量的A部分以的速度向南水平飞出。已知第二响释放的能量有30%转化为A、B的机械能，不计二踢脚内火药的质量和所受的空气阻力，取，求： （1）A、B两部分落地时的距离L； （2）第二响释放的能量。 【变式12-3】（23-24高二下·湖南岳阳·阶段练习）如图，A、B质量分别为m1=1kg，m2=2kg，置于小车C上，小车的质量为m3=1kg，A、B与小车的动摩擦因数0.5，小车静止在光滑的水平面上。某时刻炸药爆炸，若A、B间炸药爆炸的能量有12J转化为A、B的机械能，其余能量转化为内能。A、B始终在小车表面水平运动，小车足够长，求： （1）炸开后A、B获得的速度各是多少？ （2）A、B在小车上滑行的时间各是多少？ 【题型13 火箭的原理】 【例13】（2024·海南·模拟预测）小明制作了一个火箭模型，火箭模型质量为（含燃料），开始火箭模型静置在地面上，点火后在极短时间内以相对地面的速度竖直向下喷出质量为的燃气，喷气过程中忽略重力和空气阻力的影响，下列说法正确的是（    ） A．火箭喷气过程机械能守恒 B．火箭的推力来源于空气对它的反作用力 C．喷气结束时火箭模型的动量大小为 D．喷气结束时火箭模型的速度大小为 【变式13-1】（23-24高三下·辽宁·期中）航天梦由来已久，明朝万户，他把多个自制的火箭绑在椅子上，自己坐在椅子上，双手举着大风筝，设想利用火箭的推力，翱翔天际，然后利用风筝平稳着陆。假设万户及所携设备（火箭（含燃料）、椅子、风筝等）总质量为M，点燃火箭后在极短的时间内，质量为m的炽热燃气相对地面以的速度竖直向下喷出。忽略此过程中空气阻力的影响，重力加速度为g，下列说法中正确的是（    ） A．在燃气喷出后的瞬间，火箭的速度大小为 B．火箭在向下喷气上升的过程中，火箭机械能守恒 C．喷出燃气后万户及所携设备能上升的最大高度为 D．在燃气喷出后上升过程中，万户及所携设备动量守恒 【变式13-2】（2025·安徽蚌埠·一模）某科研小组试验一款火箭，携带燃料后的总质量为M。先将火箭以初速度从地面竖直向上弹出，上升到高度时点燃燃料，假设质量为m的燃气在一瞬间全部竖直向下喷出，若燃气相对火箭喷射出的速率为u，重力加速度为g，不计空气阻力。求： （1）火箭到达高度时的速度大小； （2）燃气全部喷出后火箭的速度大小； （3）火箭上升的最大高度。 【变式13-3】（2024·江苏·高考真题）嫦娥六号探测器于5月3日在中国文昌航天发射场发射升空并进入地月转移轨道，探测器经过轨道修正、近月制动，顺利进入环月轨道飞行。此后探测器经历着路器和上升器组合体、轨道器和返回器组合体的分离。已知嫦娥六号探测器在轨速度为v0，着陆器对应的组合体A与轨道器对应的组合体B分离时间为Δt，分离后B的速度为，且与v0同向，A、B的质量分别为m、M。求： （1）分离后A的速度vA大小； （2）分离时A对B的推力大小。 【题型14 “人船”模型】 【例14】（24-25高二上·辽宁·开学考试）如图所示，平板车停在光滑的水平面上，某工人（可视为质点）在平板车上卸货，该工人从固定在平板车上右端的货厢左边缘水平向左跳出，恰好落在平板车左边缘上的P点（该工人落在P点瞬间与平板车共速）。已知平板车长度4m，货厢长度为1m，高度为h=1.25m，工人的质量为m，平板车连同货厢的质量为M=5m，g取10 m/s²。则下列说法正确的是（    ） A．平板车最终的速度大小为0.5m/s B．工人水平方向移动的距离为4m C．平板车最终移动的距离为2.5m D．工人水平向左跳出时的速度大小为5m/s 【变式14-1】（多选）（24-25高三上·山东济南·开学考试）如图所示，某科研团队对研发的人形机器人进行跳跃测试。小车静置于光滑水平地面上，机器人静止站立在平台右端点。测试时机器人以初速度（大小未知）水平跳出，落到小车上的点，此过程中机器人消耗能量为（大小未知）。已知机器人的质量为，小车的质量为点与点高度差为，水平距离为，重力加速度为，机器人可以看作质点，假设机器人消耗的能量全部转化为动能，不考虑空气阻力，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（多选）（23-24高二下·福建南平·期末）如图，在一次特警训练中，质量为140kg的小车静止在光滑的水平面上，A、B为小车的两端。质量为70kg的特警站在A端，起跳后恰好落到B端，相对地面的位移为2m。该过程不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小车后退了1m B．小车后退了 C．小车AB长为3m D．小车AB长为 【变式14-3】（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）如图所示，质量为的小船，长为，浮在静水中．开始时质量为的人站在船头，人和船均处于静止状态，不计水的阻力，若此人从船头向船尾行走： （1）当人的速度大小为时，船的速度大小为多少； （2）当人恰走到船尾时，船前进的距离。 【题型15 弹簧弹开两物体模型】 【例15】（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）A、B两物体质量分别为和，与水平地面之间的动摩擦因数分别为和，开始时两物体之间有一压缩的轻弹簧（不拴接），并用细线将两物体拴接在一起放在水平地面上。现将细线剪断，则两物体将被弹簧弹开，最后两物体都停在水平地面上。下列判断正确的是（    ） A．在两物体被弹开的过程中，因为弹簧弹力，A、B两物体组成的系统动量不守恒 B．在脱离弹簧后两物体的运动过程中，因为摩擦力，两物体组成系统动量不守恒 C．在弹簧弹开两物体以及脱离弹簧后两物体的运动过程中，A、B两物体组成的系统动量守恒 D．两物体不一定同时停在地面上 【变式15-1】（22-23高一下·辽宁营口·阶段练习）如图所示，水平面左侧有一足够长的、相对水平面高为H的光滑平台，质量为M的滑块与质量为m的小球之间有一个处于压缩且锁定状态的轻弹簧（弹簧不与滑块和小球连接），系统处于静止状态。某时刻弹簧解除锁定，小球离开平台后做平抛运动，落到水平面上时落点到平台的距离为s，重力加速度为g，则滑块的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【变式15-2】（22-23高三上·福建福州·期末）如图所示，两块小木块A和B中间夹上轻弹簧用细线扎在一起，放在光滑的水平台面上，烧断细线，弹簧将小木块A、B弹出，最后落到水平地面上，根据图中的有关数据，可以判定下列说法中正确的是（弹簧原长远小于桌面长度）（　　） A．小木块A先落到地面上 B．两小木块质量之比 C．两小木块离开桌面时，动能之比 D．两小木块在空中飞行时所受的冲量大小之比 【变式15-3】（22-23高二上·湖南长沙·期中）如图所示，质量分别为mA和mB的A、B两物体间有一与物体不连接的轻弹簧，两物体用轻细线连接在一起并使弹簧处于压缩状态，水平面光滑，现剪断细线，则在弹簧对两物体施加作用力的整个过程中（   ） A．无论A，B质量为多大，弹簧弹力对两物体的冲量相同 B．若mA < mB，则弹簧弹力对A的冲量大小小于对B的冲量大小 C．若mA < mB，则弹簧弹力对A所做的功大于对B所做的功 D．无论A，B质量为多大，弹簧弹力对两物体做的功相同 【题型16 气球和人模型】 【例16】（23-24高二上·湖北·期中）如图所示，大气球质量为，载有质量为的人，静止在空气中距地面高的地方，气球下方悬一根质量可忽略不计的绳子，此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面，为了安全到达地面，则绳长至少为（不计人的身高，可以把人看作质点）（　　） A． B． C． D． 【变式16-1】（20-21高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）如图所示，大气球质量为25kg，载有质量为50kg的人，静止在空气中距地面20m高的地方，气球下方悬一根质量可忽略不计的绳子，此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面，为了安全到达地面，则这绳长至少应为（　　）（不计人的高度，可以把人看作质点） A．60m B．40m C．30m D．10m 【变式16-2】（22-23高二上·山西运城·阶段练习）热气球因其色彩艳丽，场面壮观，成为企业宣传所采用的独具特色的广告媒体.如图所示的热气球静止于距水平地面H的高处，一质量为M的人从热气球上沿软绳向下运动。已知热气球的质量为m，软绳质量忽略不计，热气球所受的浮力不变，若要人能安全到达地面，则绳长至少为（　　） A． B． C． D． 【变式16-3】（21-22高三·全国·课时练习）质量为M的热气球下吊一架轻的绳梯，梯上站着质量为m的人，气球以v0速度匀速上升。如果人加速向上爬，当他相对于绳梯的速度达到v时（　　） A．人相对于地面的速度为 B．人相对于地面的速度为 C．气球相对于地面的速度为 D．气球相对于地面的速度为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$