精品解析：2023-2024学年九年级上学期沪科版数学期末综合试题

期末综合测试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在中，，若，则值为（） A. B. C. D. 2. 将抛物线C1：y＝（x－3）2＋2向左平移3个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　　）． A. y＝x2－2 B. y＝－x2＋2 C. y＝x2＋2 D. y＝－x2－2 3. 如图，三条直线，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数 (m为常数）的图象上存在两个二倍点，，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形中，，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点的对应点落在上，折痕是，连接，若，则点的长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，连接，则四边形的面积为（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 7. 已知抛物线（整数）与轴交于点，与轴交于点，且，则等于（　　） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，点是的中点，与交于点，则与四边形的面积之比（　　） A. B. C. D. 9. 若点、、在抛物线上，且，则 m 的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 10. 如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则长为（） A. B. C. 或 D. 或 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 设，则k的值为___________． 12. 如图，已知中，，，，若，则_______． 13. 已知二次函数，当时，函数值的最小值为1，则的值为_________． 14. 已知点在反比例函数的图象上，将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则k的值是______ 15. 如图，E是正方形的对角线的延长线上一点，且，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接交于点H．已知，则的值是_______． 16. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去……，则点的横坐标为________． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17. 如图，在四边形中，，，求的长． 18. 如图，在中，是边上的高． （1）求证：； （2）若，求长． 19. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（参考数据：，，） 20. 某公司经销的一种产品每件成本为40元，要求在90天内完成销售任务．已知该产品90天内每天的销售价格与时间（第天）的关系如下表： 时间（第天） 销售价格 90 任务完成后，统计发现销售员小王90天内日销售量（件）与时间（第天）满足一次函数关系，设小王第天销售利润为元． （1）直接写出与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）求小王第几天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）任务完成后，统计发现平均每个销售员每天销售利润为4800公司制定如下奖励制度：如果一个销售员某天的销售利润超过该平均值，则该销售员当天可获得200元奖金，请计算小王一共可获得多少元奖金？ 21. 已知，如图1，在▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△BFE； （2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K． ①求证：HC=2AK； ②当点G是边BC中点时，恰有HD=n•HK（n为正整数），求n的值． 22. 如图，已知正比例函数图象经过点， （1）求正比例函数的解析式及m的值； （2）分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限的分支分别交于点C、D（点C、D均在点A、B下方），若，求反比例函数的解析式； （3）在第（2）小题的前提下，连接，试判断的形状，并说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，． （1）请写出抛物线的解析式为__________． （2）若是抛物线对称轴上一动点，请写出使周长最小的点的坐标为__________． （3）点在抛物线的对称轴上，点在轴上，请写出，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标为__________． （4）若点为第一象限内抛物线上的一动点，点的横坐标为，请求出使点到直线距离最大的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末综合测试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在中，，若，则的值为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，设，根据正切的定义，即可得答案． 【详解】解：由题意，得， 故设 则， 故选：B． 【点睛】本题考查三角函数的定义以及勾股定理，设是解题关键． 2. 将抛物线C1：y＝（x－3）2＋2向左平移3个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　　）． A. y＝x2－2 B. y＝－x2＋2 C. y＝x2＋2 D. y＝－x2－2 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，利用二次函数平移的规律：左加右减，上加下减，并根据平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的顶点坐标，再根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C3所对应的解析式． 【详解】解：∵抛物线 C 1：y＝（x－3）2＋2，其顶点坐标为（3，2） ∵向左平移3个单位长度，得到抛物线C2 ∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2） ∵抛物线C2与抛物线C3关于 x轴对称 ∴抛物线C3的横坐标不变，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数 ∴抛物线C3的顶点坐标为（0，－2），二次项系数为－1 ∴抛物线C3的解析式为y＝－x2－2 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移、对称问题，熟练掌握平移的规律以及关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数是解题的关键． 3. 如图，三条直线，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得，从而得到，再由，可得，最后再由可得，进行计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点是解题的关键． 4. 若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点，若在二次函数 (m为常数）的图象上存在两个二倍点，，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出纵坐标是横坐标的2倍总在直线上，、是方程的两个解，根据根与系数的关系得出，，根据根的判别式得出，根据，得出m取任意实数时，总成立，根据，得出，，即，得出，求出m的值即可． 【详解】解：∵纵坐标是横坐标的2倍总在直线上， ∴点，一定在直线上， 又∵点，在二次函数 (m为常数）的图象上， ∴、是方程的两个解， 即， ∴，， ， ∵， 又∵， ∴， ∴m取任意实数时，总成立， ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， 解得：，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是根据题意得出、是方程的两个解，且． 5. 如图，矩形中，，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点的对应点落在上，折痕是，连接，若，则点的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形性质和折叠性质可得，，，，可得，从而可得，可得，从而可得的长，，即可求解，进而求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由折叠性质可得：，，，， 在中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查折叠性质，长方形的性质，角的直角三角形等知识点，解题的关键是利用边之间的关系推出． 6. 如图，直线与反比例函数的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，连接，则四边形的面积为（　　） A. 4 B. 8 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即，得出，再根据反比例函数的对称性可知，即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形的面积为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为；图象上的点与原点所连的线段、 坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性． 7. 已知抛物线（为整数）与轴交于点，与轴交于点，且，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，可求得为，由可得为或，将的坐标代入，进行计算即可得到答案． 【详解】解：当时，， 抛物线与轴交点为， ， 抛物线与轴的交点为或， 或， 或， 或或或， 解得：或或， 为整数， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与轴、轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 8. 在平行四边形中，点是的中点，与交于点，则与四边形的面积之比（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质以及三角形面积问题，设，由四边形是平行四边形，得，，则有，再根据相似三角形的性质即可求解，解题的关键是相似三角形的面积比等于相似比的平方． 【详解】设， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∴与四边形EFCD的面积之比为：， 故选：． 9. 若点、、在抛物线上，且，则 m 的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线，根据抛物线对称性可知：点与点关于对称轴为对称，点与点关于对称轴为对称，由，，，可得当时，函数值y随着x的增大而增大；当时，函数值y随着x的增大而减小，即抛物线的图象开口向下，画出图形，数形结合即可作答． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵、、在抛物线上， ∴根据抛物线对称性可知： 点与点关于对称轴直线对称， 点与点关于对称轴直线对称， ∵，，， ∴当时，函数值y随着x的增大而增大；当时，函数值y随着x的增大而减小； ∴抛物线的图象开口向下， 作图如下： 由图可知：要满足，则m的取值范围为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的对称性找出点与点关于对称轴为对称，点与点关于对称轴为对称．解题时，要注意数形结合的思想． 10. 如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 设，则k的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】依据等比性质可得，，分两种情况讨论，即可得到的值． 【详解】解：当时， ， 由等比性质可得，， 即； 当时，， ； 综上所述，的值为或． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质． 12. 如图，已知中，，，，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角正切值可求得，，结合，即可列方程，求解即可得出答案． 【详解】解：∵，， 则在中，， 即， ∴， 则在中，， 即， 故， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的锐角三角函数值是解题的关键． 13. 已知二次函数，当时，函数值的最小值为1，则的值为_________． 【答案】0或-3 【解析】 【分析】利用二次函数图像上点的特征找出时自变量的值，结合时，函数值的最小值为1，可得到关于的一元一次方程，解即可． 【详解】解：令，则， 解得：，． 时，函数值的最小值为1 或， 或． 故答案为： 或． 【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及函数的最值．利用二次函数图像上点的特征找出时自变量的值是解题的关键． 14. 已知点在反比例函数的图象上，将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到的点仍在该函数图象上，则k的值是______ 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标平移规律“左减右加，上加下减”求得点P平移后的点的坐标，根据两点均在反比例函数的图象上，将两点坐标代入反比例函数解析式中求解即可． 详解】解：∵点， ∴将点P先向右平移9个单位，再向下平移6个单位后得到点的坐标为， 依题意，得， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、点的坐标平移规律，解题的关键是由点坐标表示出平移后的点的坐标． 15. 如图，E是正方形的对角线的延长线上一点，且，连接，将绕点A顺时针旋转得到，连接交于点H．已知，则的值是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】证明，得出，，证明，得出，根据，，，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，证明． 16. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去……，则点的横坐标为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据直的关系式为，以及，可得到是等腰直角三角形，进而得到、、都是等腰直角三角形，设，则点，点在反比例函数的图象上，可求出，进而得到点的横坐标为1，同理，则点，求出点的横坐标为，同理得出点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；根据规律可得答案． 【详解】解：如图，过点、、、分别作轴，轴，轴，轴，垂足分别为、、、 直线的关系式为，， 是等腰直角三角形， ， 同理可得、、都是等腰直角三角形， 设，则点，点在反比例函数的图象上， ， 解得（负值舍去）， 点的横坐标为1， 设，则点，点在反比例函数的图象上， ， 解得， 点的横坐标为； 设，则点，，点在反比例函数的图象上， ， 解得， 点的横坐标为； 同理可得点的横坐标为； 点的横坐标为； 点的横坐标为； 点的横坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的前提． 三．解答题（共7小题，满分52分） 17. 如图，在四边形中，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长与交于点E．先解求出，进而求出，再证明，设，则，利用勾股定理得到方程，解方程求出，则． 【详解】解：如图，延长与交于点E． 在中， ，， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴在中，， ∴设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴ ∴，即的长为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 18. 如图，在中，是边上的高． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据是边上的高，得，再因为另外一组角是公共角，对应相等，即可作答． （2）先根据勾股定理求出的值，再由等面积法求出的值，在中根据勾股定理建立等式，代数计算即可作答． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴在中，． 19. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度的山坡上发现有一棵古树．测得古树底端C到山脚点A的距离，在距山脚点A水平距离的E处，测得古树顶端D的仰角，（古树与山坡的剖面、点E在同一平面上，古树与直线垂直），求古树的高度．（参考数据：，，） 【答案】约为 【解析】 【分析】延长交的延长线于点F，则，可求，设，则，可求，从而可求，，，由，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，则， 山坡上坡度， ， ， 设，则， 在中， ， ， 解得：， ，， ， 在中，， （m）， （m）； 答：古树的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键． 20. 某公司经销的一种产品每件成本为40元，要求在90天内完成销售任务．已知该产品90天内每天的销售价格与时间（第天）的关系如下表： 时间（第天） 销售价格 90 任务完成后，统计发现销售员小王90天内日销售量（件）与时间（第天）满足一次函数关系，设小王第天销售利润为元． （1）直接写出与之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）求小王第几天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）任务完成后，统计发现平均每个销售员每天销售利润为4800公司制定如下奖励制度：如果一个销售员某天的销售利润超过该平均值，则该销售员当天可获得200元奖金，请计算小王一共可获得多少元奖金？ 【答案】（1） （2）第45天的销售利润最大，最大利润为6050元 （3）6200元 【解析】 【分析】（1）依据题意销售利润销售量（售价进价）易得出销售利润为（元）与（天）之间的函数关系式， （2）再依据（1）中函数的增减性求得最大利润． （3）根据销售利润为（元）与（天）之间的函数关系式，求出利润超过4800元的天数即可求得可获得的奖金金额． 【小问1详解】 解：依题意： 整理得； 【小问2详解】 ①当时，， ， 开口向下， 当时，有最大值为6050； ②当时，， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值为5000， ， 当时，的值最大，最大值为6050， 即小王第45天的销售利润最大，最大利润为6050元； 【小问3详解】 ①当时，令，得， 解得，， 当时，， ， ； ②当时，令，， 解得， ， ， 综上所述：当时，，即共有天的销售利润超过4800元， 可获得奖金元， 即小王一共可获得6200元奖金． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，根据每天的利润一件的利润销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 21. 已知，如图1，在▱ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F． （1）求证：△ADE≌△BFE； （2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K． ①求证：HC=2AK； ②当点G是边BC中点时，恰有HD=n•HK（n为正整数），求n的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）n=4． 【解析】 【分析】此题涉及的知识点是两三角形全等的判定，平行四边形的性质点的综合应用，解题时先根据已知条件证明△ADE≌△BFE，再根据两三角形相似的判定，等量代换得出边的大小关系 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠FBE， 在△ADE和△BFE中， ， ∴△ADE≌△BFE； （2）如图2，作BN∥HC交EF于N， ∵△ADE≌△BFE， ∴BF=AD=BC， ∴BN=HC， 由（1）的方法可知，△AEK≌△BEN， ∴AK=BN， ∴HC=2AK； （3）如图3，作GM∥DF交HC于M， ∵点G是边BC中点， ∴CG=CF， ∵GM∥DF， ∴△CMG∽△CHF， ∴==， ∵AD∥FC， ∴△AHD∽△GHF， ∴===， ∴=， ∵AK∥HC，GM∥DF， ∴△AHK∽△HGM， ∴==， ∴=，即HD=4HK， ∴n=4． 【点睛】此题重点考查学生对于三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质的综合应用能力，熟练掌握判定条件和性质是解题的关键． 22. 如图，已知正比例函数图象经过点， （1）求正比例函数的解析式及m的值； （2）分别过点A与点B作y轴的平行线，与反比例函数在第一象限的分支分别交于点C、D（点C、D均在点A、B下方），若，求反比例函数的解析式； （3）在第（2）小题的前提下，连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）是等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）把代入可得其解析式，再利用正比例函数的性质可得m的值； （2）设反比例函数的解析式为，再求解，，再建立方程求解即可； （3）由，，，求解，再利用勾股定理逆定理可得答案． 【小问1详解】 解：设正比例函数的解析式为， ∵正比例函数图象经过点， ∴ ∴ ∴正比例函数的解析式为把代入解析式得． 【小问2详解】 ∵轴， ∴C点的横坐标为2，D点的横坐标为3， 设反比例函数的解析式为，分别代入得，， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问3详解】 是等腰直角三角形． 理由如下：由（2）得：，，， ∴， ∴，且， ∴等腰直角三角形． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形，勾股定理的逆定理的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式是解本题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，． （1）请写出抛物线的解析式为__________． （2）若是抛物线对称轴上一动点，请写出使周长最小的点的坐标为__________． （3）点在抛物线的对称轴上，点在轴上，请写出，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标为__________． （4）若点为第一象限内抛物线上的一动点，点的横坐标为，请求出使点到直线距离最大的的值． 【答案】（1） （2） （3）或或 （4）当时，点到直线距离最大 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解抛物线解析式即可； （2）首先确定该抛物线对称轴为，因为点，关于直线对称，故有，结合的周长，可得当点共线时，的周长最小；利用待定系数法解得直线的解析式，令，求解即可获得答案； （3）若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则可分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况讨论，结合平行四边形的性质求解即可； （4）连接，过点作轴交于点，设点到的距离为，易知，故当面积最大时，的值最大，设点坐标为，点坐标为，易得，可求得，结合二次函数的图像与性质即可获得答案． 【小问1详解】 解：设该抛物线的解析式为， 将点，，代入， 可得，解得， ∴该抛物线的解析式为． 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）可知，抛物线的解析式为， ∴其对称轴为， 如下图， ∵点，关于直线对称， ∴， ∴的周长， ∴当点共线时，的周长最小， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得，解得， ∴线的解析式为， 令，则有， ∴点． 故答案为：； 【小问3详解】 设点， 若以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ①当为对角线时，如下图， 此时， ∴点的纵坐标，即点， ∴， 则，即， 解得， ∴； ②当为对角线时，如下图， 此时，即， 解得， ∴； ③当为对角线时，如下图， 此时可有，即， 解得， ∴． 综上所述，点的坐标为或或． 故答案为：或或； 【小问4详解】 如下图，连接，过点作轴交于点， 设点到的距离为， 则， ∴当面积最大时，的值最大， 由（1）可知，直线的函数解析式为， 设点坐标为，点坐标为， ∴， ∴， ∴当时，最大， 即当时，点到直线距离最大． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求二次函数和一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，解题关键是灵活运用所学知识，并运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$