第4单元比（讲义）-2024-2025学年数学六年级上册人教版

第4单元比讲义-数学六年级上册人教版 目录 第一部分：知识梳理。 第二部分：典型例题。‌ 第三部分：跟踪训练。 第一部分 知识梳理 (一)、比的意义  1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。 3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。例：长是宽的几倍。 也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例： 路程÷速度=时间。 4、区分比和比值 比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。 比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。 5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。 6、比和除法、分数的联系： 比 前  项 比号“：” 后 项 比值 除 法 被除数 除号“÷” 除 数 商 分 数 分  子 分数线“—” 分 母 分数值 7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。 8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。 9、体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。 10、求比值：用前项除以后项，结果最好是写为分数（不会约分的就不约分） (二)、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系： 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时(0除外)，分数值不变。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。 2、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。 3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。 4.化简比： (2)用求比值的方法。注意： 最后结果要写成比的形式。 5、比中有单位的，化简和求比值时要把单位化相同再化简和求比值，结果没有单位。 (三)、按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。一般有两种解题法 １，用分率解:按比例分配通常把总量看作单位一，即转化成分率。要先求出总份数，再求出几份占总份数的几分之几，最后再用总量分别乘几分之几。 2，用份数解：要先求出总份数，再求出每一份是多少，最后分别求出几份是多少。 第二部分 典型例题 第三部分 跟踪训练 一、选择题 1．在一个直角三角形中，一个锐角与直角的度数比是4∶11，则两个锐角的度数比是（　　　）。 A．4∶7 B．7∶11 C．3∶4 2．把4∶5的前项增加8，要使比值不变，后项应增加（    ）。 A．8 B．10 C．15 3．甲、乙两堆棋子，如果甲堆棋子的给乙堆，那么两堆就一样多，甲、乙两堆棋子数之比为（　　） A．3：4 B．4：3 C．2：1 4．苹果的数量是梨的，苹果的数量与梨的数量的比是（    ）。 A．1∶3 B．3∶1 C．4∶3 5．小正方形和大正方形边长的比是2∶7，则小正方形和大正方形面积的比是（   ）。 A．2∶7 B．6∶21 C．4∶49 6．把一根木头锯成10段，如果锯每一段的时间一样，那么锯下一段的时间和锯完这根木头的时间的比是（       ）。 A．1∶11 B．1∶10 C．1∶9 二、填空题 7． 8．一条路，甲行全程要用1.5小时，乙行全程的要用小时，则甲与乙的速度的最简整数比是( )。 9．一个三角形三个内角的度数比是5∶3∶2，最小的内角是( )°，这个三角形是( )三角形。（填“锐角”“直角”或“钝角”。） 10．笑笑买水果，她带的钱正好可以买3千克苹果或5千克桔子。苹果和桔子的单价比是( )。 11．小明买了9本笔记本，小红买了12支签字笔，两人都花了18元．小明买的笔记本数量和小红买的签字笔数量之比是( )（写最简整数比），笔记本和签字笔的单价比是( )（写最简整数比）． 12．某村种植粮食作物和经济作物面积的比是6：5，为使两种作物的种植面积相等，应将粮食作物的改种经济作物． 13．学校体育室有40根跳绳，按人数分配给六年级两个班，六（1）班有42人，六（2）班有38人。六（1）班可以分得跳绳( )根。 三、判断题 14．8∶5可以写成，但仍读作8比5。( ) 15．把化成最简单的整数比是3∶1。( ) 16．如果a：b＝7：2，那么a是b的。( ) 17．110克的糖水中含糖10克，糖与水的质量比是1∶9。( ) 18．小亮的身高125cm，他的表妹身高1m；他们身高的比是125∶1。( ) 四、计算题 19．化简比并求比值。 15∶90                        6千米∶300米 五、解答题 20．小明看一本书，第一天看了12页，第二天看了全书的，这时他已看的页数与未看的页数之比是5∶9，这本书有多少页？ 21．修路队要修一条长432米的公路，已经修好了全长的，剩余的任务按5∶4分给甲、乙两个修路队。甲、乙两个修路队各修了多少米？ 22．有三个课后服务兴趣社团，甲组和乙组的人数比是3∶2，丙组和乙组的人数比是5∶4。已知甲组有18人，丙组有多少人？ 23．一条公路，已修200米，未修的与公路总长的比是4：9，这条公路还有修多少米？ 24．修一条水渠，第一天修的与未修的比是2∶7，如果再修50米，正好修完了一半，这条水渠长多少米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B C A C C 1．A 【分析】根据三角形的内角和为180°可知，直角三角形中两个锐角的度数和等于90°。一个锐角与直角的度数比是4∶11，可以把这个锐角看作4份，直角是11份，另一个锐角就是7份。则两个锐角的度数比就是4∶7。 【详解】11－4＝7 则两个锐角的度数比是4∶7。 故答案为：A 【点睛】本题考查比的应用以及三角形的内角和定理，关键是明确两个锐角的度数和等于直角的度数。 2．B 【分析】比的前项增加前项的几倍，后项就增加后项的几倍，比值不变。 【详解】8÷4×5＝10 故答案为：B 【点睛】比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。 3．C 【详解】试题分析：将第甲堆棋子数看作单位“1”，从甲堆拿 后，还剩1﹣=，又因乙堆增加了第一堆的后，两堆的棋子数就正好相等，即此时乙堆棋子数是原来甲堆棋子数的，则原来乙堆的棋子数是甲堆的﹣==，据此即可求出甲、乙两堆棋子数之比． 解：据分析可知：乙堆棋子是甲堆棋子的1﹣﹣=， 则甲、乙两堆棋子数之比为：1：=2：1． 故选C． 点评：由题意得出：乙堆增加甲堆的后占原来甲堆的是完成本题的关键． 4．A 【分析】已知苹果的数量是梨的，求苹果的数量与梨的数量的比是多少。假设梨有3个，则苹果有3×＝1个，从而可求出苹果的数量与梨的数量的比。 【详解】设设梨有3个，则苹果的数量是3×＝1（个） 苹果的数量与梨的数量的比是1∶3。 故选：A 【点睛】本题考查求一个数的几分之几是多少，当题中有两个未知数时，用赋值法解题是常用的方法。 5．C 【分析】本题考查比的应用以及面积比与边长比之间的关系。要知道两个正方形的面积比等于边长的平方比。 【详解】根据两个正方形的面积比等于边长的平方比得： 小正方形和大正方形面积的比：（2×2）∶（7×7）＝4∶49 故答案为：C 6．C 【详解】略 7．3；7；21；15 【解析】略 8．16∶15 【分析】把一段路程的长度看作“1”，根据路程÷时间＝速度，分别求出甲乙的速度，再写出相应的比，根据比的基本性质化成最简整数比。 【详解】（1÷1.5）∶（÷） ＝ ＝ ＝∶ ＝（）∶（） ＝16∶15； 所以甲与乙的速度的最简整数比是16∶15. 【点睛】关键是要把路程的长度看作单位“1”以及熟练掌握路程、速度、时间三者之间的关系。 9． 36 直角 【分析】三角形的内角和是180°，又因为三角形三个内角的度数比是5∶3∶2，即把三角形的内角和平均分成（5＋3＋2）份，最大的角的度数占其中的5份，最小的角的度数占其中的2份，据此求出1份表示的度数，进而求出最大角和最小角的度数，再根据三角形的分类判断是什么三角形。 【详解】180°÷（5＋3＋2） ＝180°÷10 ＝18° 18°×5＝90° 18°×2＝36° 则最小的内角是36°，这个三角形是直角三角形。 10．5∶3 【分析】假设笑笑带的钱数为1，根据“单价＝总价÷数量”表示出苹果的单价和桔子的单价，再根据比的意义化简求出苹果和桔子的单价比，据此解答。 【详解】假设笑笑带的钱数为1。 苹果的单价：1÷3＝ 桔子的单价：1÷5＝ ∶ ＝（×15）∶（×15） ＝5∶3 所以，苹果和桔子的单价比是5∶3。 【点睛】掌握比的意义和化简方法以及总价、单价、数量之间的关系是解答题目的关键。 11． 3:4 4:3 【详解】数量比：9:12=3:4； 单价比：:=4:3 【点睛】本题考查比的意义与化简比． 12． 【详解】试题分析：粮食作物和经济作物面积的比是6：5，是指粮食作物的面积是总面积的=，经济作物的面积是总面积的=， 因为总面积不变，每一份的数量相等，所以粮食作物减少，，经济作物加上，=，则二者相等，即将粮食作物的改种经济作物． 解：由题意得： 粮食作物的面积是总面积的=， 经济作物的面积是总面积的=， 所以，粮食作物减少，，经济作物加上，=，此时二者面积相等． 答：应将粮食作物的改种经济作物． 故答案为． 点评：解决本题的关键是根据比求出面积与总面积的关系，再通分解答即可． 13．21 【分析】已知六（1）班有42人，六（2）班有38人，则六（1）班和六（2）班的人数比为42∶38，然后化简为21∶19；40根跳绳按21∶19的比分配给两个班，把六（1）班分得的跳绳数量看作21份，六（2）班分得的跳绳数量看作19份，用40÷（21＋19）即可求出每份是多少，进而求出21份，也就是六（1）班分得的跳绳数量。 【详解】42∶38 ＝（42÷2）∶（38÷2） ＝21∶19 40÷（21＋19） ＝40÷40 ＝1（根） 1×21＝21（根） 六（1）班可以分得跳绳21根。 【点睛】本题考查了利用按比例分配解决问题，需准确理解题意，明确求出每份的量是多少是解答本题的关键。 14．√ 【分析】根据“比的前项相当于分数的分子，后项相当于分数中的分母，比号相当于分数线”，8∶5可以写成，但仍读作8比5，所以这句话正确。 【详解】8∶5可以写成，但仍读作8比5。 所以原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题的关键是正确理解比与分数的关系。 15．√ 【分析】把1.5化为分数，分数比的化简方法：比的前项和后项同时乘分母的最小公倍数，把分数比化为整数比，再按照整数比的化简方法计算；据此计算。 【详解】＝＝＝ 故答案为：√ 【点睛】比的前项和后项是互质数的比叫做最简单的整数比，掌握化简比的计算方法是解答题目的关键。 16．× 【详解】因为a：b＝7：2， 所以7b＝2a， a＝b所以a是b的。 所以如果a：b＝7：2，那么a是b的说法错误。 故答案为：× 17．× 【分析】糖水－糖＝水，根据比的意义，写出糖与水的质量比，化简即可。 【详解】10∶（110－10） ＝10∶100 ＝1∶10 故答案为：× 【点睛】两数相除又叫两个数的比。 18．× 【分析】已知小亮和他表妹的身高，先根据比的意义写出两人的身高比，然后利用比的基本性质进行化简比。注意单位的换算：1m＝100cm。 【详解】125cm∶1m ＝125cm∶（1×100）cm ＝125∶100 ＝（125÷25）∶（100÷25） ＝5∶4 他们的身高的比是5∶4。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查化简比，注意单位不统一时，要先统一单位，再化简比。 19．1∶6；；5∶9；；20∶1；20 【分析】根据比的性质：比的前项和后项同时乘或除以同一个不为0的数，比值不变。化简比即可；用比的前项÷比的后项，得到一个数值（比值）即可。 【详解】 20．112页 【分析】将全书页数看作单位“1”，已看的页数与未看的页数之比是5∶9，已看页数占全书的，第一天看了全书的－，用第一天看的页数÷对应分率＝全书页数。 【详解】12÷（－） ＝12÷（－） ＝12÷ ＝112（页） 答：这本书有112页。 【点睛】关键是理解比和分数除法的意义。 21．甲修了80米，乙修了64米 【分析】先求出剩下的公路长度，再根据甲乙的修路比将甲修的路占剩余的几分之几表示出来，再利用乘法求出甲修的路长，最后利用减法求出乙的修路长。 【详解】甲：432×（1－）× ＝432×× ＝80（米） 乙：432×（1－）－80 ＝432×－80 ＝144－80 ＝64（米） 答：甲、乙两个修路队各修了80米和64米。 【点睛】本题考查了比的应用，解题关键在于求出甲修路长占剩余任务的几分之几。 22．15人 【分析】根据：甲组和乙组的人数比是3∶2，甲组有18人，先用18除以3求出一份的数量，再乘2求出乙组的人数；再用乙组的人数除以4，求出丙组和乙组人数的比中一份的数量，再乘丙对应的份数5即可。 【详解】乙组人数： 18÷3×2 ＝6×2 ＝12（人） 丙组人数： 12÷4×5 ＝3×5 ＝15（人） 答：丙组有15人。 【点睛】此题考查了按比分配的应用，可以将比转化为分数计算，也可以通过求出一份的数量再求对应的具体数量。 23．160 【详解】试题分析：把这条公路的总长度看作9份的量，则未修的是4份的量，已修的是（9﹣4）份的量，已修的长度已知，从而可以求出一份的量，进而求出这条公路没修的长度． 解：200÷（9﹣4）×4， =200÷5×4， =40×4， =160（米）； 答：这条公路还要修160米． 点评：解答此题的关键是：利用份数解答，先求出一份的量，即可求出没修的长度． 24．180米 【分析】根据分数与比的关系，可以把本题转化为分数问题来解答。这条水渠的全长是一个不变的量，转化过程中要把这条水渠的全长看作单位“1”。 第一天修的与未修的比是2∶7，也就是第一天修的占全长的。再修50米，此时修完的占全长的。说明50米相当于单位“1”的（－）。单位“1”的量未知，根据已知量÷已知量占单位“1”的几分之几＝单位“1”的量，可以求出这条水渠的总长度。 【详解】50÷（－） ＝50÷（－） ＝50÷（） ＝50÷ ＝50× ＝180（米） 答：这条水渠长180米。 【点睛】在把关于比的问题转化为分数问题时，通常把题中不变量看作单位“1”。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$