精品解析：2023-2024学年人教版九年级上册开学摸底检验数学试题

2023-2024学年人教版数学九年级上册开学摸底检验试题 （全卷三个大题，共24个小题；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共12小题．每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分） 1. 由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. ∠A+∠B=∠C B. ∠A：∠B：∠C=1：3：2 C. a=2，b=3，c=4 D. (b+c)(b-c)=a² 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C D. 3. 设、为实数，且，则的值是（ ） A. 3 B. C. 9 D. 4. 如图，在矩形中，于F，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数和，则函数和图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 一次中学生田径运动会上，21名参加男子跳高项目的运动员成绩统计如下： 成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 人数 ■ 8 6 ■ 1 其中有两个数据被雨水淋湿模糊不清了，则在这组数据中能确定的统计量是（） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（　　） A. 19，20，14 B. 19，20，20 C. 18.4，20，20 D. 18.4，25，20 8. 如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x增大而增大；②函数不经过第四象限； ③不等式解集是；④． 其中正确的是（ ） A 2个 B. 1个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点D是边上一点，连接，把绕点D旋转至，连接．若，∠DEB＝90°，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 11. 如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若．则的周长是（　　） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 12. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，点M是边的中点，连接，若，菱形的面积为48，则的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 13. 计算：+－=____. 14. 在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，，则考核成绩更为稳定的运动员是______． 15. 如图，经过点的直线：与直线：相交于点，则不等式组的解集为______． 16. 如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为，则点E、F分别为边、的中点．若，，则________． 三、解答题（本答题共8小题，共56分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a+c|+﹣|﹣2b|． 19. 在一次期中考试中， （1）一个班级有甲、乙、丙三名学生，分别得到70分、80分、90分．这三名同学的平均得分是 ． （2）一个班级共有40名学生，其中5人得到70分，20人得到80分，15人得到90分．求班级的平均得分． （3）一个班级中，的学生得到70分，的学生得到80分，的学生得到90分．求班级的平均得分． （4）中考的各学科的分值依次为：数学150分，语文150分，物理100分，政治50分，历史50分，合计总分为500分． 在这次期中考试中，各门学科的总分都设置为100分，现已知甲、乙两名学生的得分如下表： 学科 数学 语文 物理 政治 历史 甲 80 90 80 80 70 乙 80 80 70 80 95 你认为哪名同学的成绩更理想，写出你的理由． 20. 某书店制订了“读书节”活动计划，以下是活动计划的部分信息： 书本类别 A类 B类 进价（单位：元） 18 12 备注 用不超过16800元购进两类图书共1000本，A类图书不少于600本． （1）陈经理查看计划时发现：A类图书的标价是B类图书的1.5倍，若顾客用540元购买图书，单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A，B两类图书的标价； （2）为了扩大影响，陈经理调整了销售方案：A类图书售价每本降低4元，B类图书价格不变．此时书店应如何进货才能获得最大利润？ 21. 如图，在中，，，AC的垂直平分线交BC于点D，， 于点E，求BE的长． 22. 如图，在平行四边形中，，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 23. 如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点． （1）求证：． （2）判断与是否垂直，并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点． （1）填空： ， ； （2）x满足什么条件时，； （3）点P在线段AD上，连接CP，若是直角三角形，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年人教版数学九年级上册开学摸底检验试题 （全卷三个大题，共24个小题；满分100分，考试用时120分钟） 一、选择题（本大题共12小题．每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分） 1. 由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） A. ∠A+∠B=∠C B. ∠A：∠B：∠C=1：3：2 C. a=2，b=3，c=4 D. (b+c)(b-c)=a² 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可． 【详解】A、∠A+∠B＝∠C，可得∠C＝90°，是直角三角形，错误； B、∠A：∠B：∠C＝1：3：2，可得∠B＝90°，是直角三角形，错误； C、∵22+32≠42，故不能判定是直角三角形，正确； D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即a2+c2＝b2，故是直角三角形，错误； 故选C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 2. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算以及二次根式的性质，根据二次根式的除法，加减法的运算逐一计算各项作出判断即可． 【详解】解：A、，故计算正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误，不符合题意； C、，故计算错误，不符合题意； D、，故计算错误，不符合题意， 故选：A． 3. 设、为实数，且，则的值是（ ） A. 3 B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据算术平方根有意义的条件即可确定x的值，进而求出y的值，代入原式即可得出． 【详解】解：根据题意可得:，解得： 当时， 故选A. 【点睛】本题考查了算术平方根有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数是非负数． 4. 如图，在矩形中，于F，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出，再由面积法求出的长即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 面积， ； 故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、直角三角形的面积，熟练掌握矩形的性质，熟记直角三角形的面积求法是解题的关键． 5. 已知一次函数和，则函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图形的性质，结合和的图象，即可得到答案． 【详解】解：由解析式与图象可得，两个函数的交点的横坐标为， ①当，则，，、的图象都经过一、三、四象限， 故此时D符合题意； ②当，则，，、的图象都经过一、二、四象限， 此时都不符合题意； ③当，则，，的图象都经过一、二、三象限，的图象都经过二、三、四象限， 此时都不符合题意； ④当，则，，的图象都经过二、三，四象限，的图象都经过一、二、三象限， 此时都不符合题意； 满足题意的只有D． 故选D． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟记一次函数的图象，清晰的分类讨论是解本题的关键． 6. 一次中学生田径运动会上，21名参加男子跳高项目的运动员成绩统计如下： 成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 人数 ■ 8 6 ■ 1 其中有两个数据被雨水淋湿模糊不清了，则在这组数据中能确定的统计量是（） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】根据数据的总个数以及1.50m和1.65m的人数和，可确定众数． 【详解】解：∵一共有21个数据， ∴1.50m和1.65m的人数和为21-（8+6+1）=6＜8， ∴这组数据的众数为1.55m， 故选：C． 【点睛】本题主要考查数据分析的内容，掌握众数的概念是解题的关键． 7. 某电脑公司销售部为了定制下个月的销售计划，对20位销售员本月的销售量进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的平均数、中位数、众数分别是（　　） A. 19，20，14 B. 19，20，20 C. 18.4，20，20 D. 18.4，25，20 【答案】C 【解析】 【详解】解：由扇形统计图给出的数据可得销售20台的人数是：20×40%=8人，销售30台的人数是：20×15%=3人， 销售12台的人数是：20×20%=4人，销售14台的人数是：20×25%=5人， 所以这20位销售人员本月销售量的平均数是=18.4台； 把这些数从小到大排列，最中间的数是第10、11个数的平均数，所以中位数是20； 销售20台的人数最多，所以这组数据的众数是20． 故选：C． 【点睛】本题考查平均数；中位数；众数． 8. 如图所示，一次函数与的图象如图所示，下列说法： ①对于函数来说，y随x的增大而增大；②函数不经过第四象限； ③不等式的解集是；④． 其中正确的是（ ） A. 2个 B. 1个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， a＞0，则-a＜0，对于函数来说，y随x的增大而减小，故①错误； a＞0，d＞0，则函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故②正确； 由可得，故不等式的解集是，故③正确； 由可以得到，故④正确． 综上所述，正确的有②③④共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9. 如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，可判断为直角三角形，根据即可求得答案． 【详解】根据题意可知． ∵， ∴为直角三角形． ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 10. 如图，在中，，，点D是边上一点，连接，把绕点D旋转至，连接．若，∠DEB＝90°，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，交于，则，由含的直角三角形可得，，由旋转可知，，设，则，，，由勾股定理可得，则，，，可得，解得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转可知，， 过点作，交于，则， ∴， ∴， 设，则，，， 由勾股定理可得，则 ，， 则，解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查含的直角三角形，旋转的性质，勾股定理，利用结合勾股定理构造方程是解决问题的关键． 11. 如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若．则的周长是（　　） A. 10 B. 12 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，中位线性质定理，等边三角形性质及判定，三角形周长等．根据题意可得，再根据平行线性质可得，继而得到是等边三角形，再利用周长公式即可得到本题答案． 【详解】解：∵P、N是和的中点，，， ∴，， ∴， 同理，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长是12． 故选：B． 12. 如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，点M是边的中点，连接，若，菱形的面积为48，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可计算出的长度，根据勾股定理即可求得的长，再根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， 又， ， 解得， ， ，点O是的中点，点M是边的中点， ∴在与中， ，， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形及直角三角形的性质，合理应用性质进行计算是解决本题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 13. 计算：+－=____. 【答案】2 【解析】 【分析】先把各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可. 【详解】原式=. 故答案为2. 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可. 类二次根式的合并方法是把系数相加减，被开方式和根号不变. 14. 在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，，则考核成绩更为稳定的运动员是______． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定即可求解． 【详解】解：∵，， ，且平均成绩相同， ∴射击成绩更为稳定的运动员是乙， 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 15. 如图，经过点的直线：与直线：相交于点，则不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】由图象得到直线y=kx+b与直线y=2x+1的交点A的坐标（-1，-1）及直线y=kx+b与x轴的交点坐标，观察直线y=2x+1落在直线y=kx+b的下方且直线y=kx+b落在x轴下方的部分对应的x的取值即为所求． 【详解】解：∵经过点B（-2，0）的直线y=kx+b与直线y=2x+1相交于点A（-1，-1）， ∴直线y=kx+b与直线y=2x+1的交点A的坐标为（-1，-1），直线y=kx+b与x轴的交点坐标为B（-2，0）， 又∵当x＜-1时，2x+1＜kx+b， 当x＞-2时，kx+b＜0， ∴不等式2x+1＜kx+b＜0的解集为-2＜x＜-1． 故答案为：-2＜x＜-1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，数形结合是解题的关键． 16. 如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形对角线的交点O处，折痕为，则点E、F分别为边、的中点．若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据为的中点，由三角形的中位线得出，证明为等边三角形，得出，求出，根据勾股定理求出，得出，根据中位线性质得出． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵点O为对角线的交点， ∴、交于点O， ∵四边形为菱形， ∴，，，，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点E、F分别为边、的中点， ∴． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线性质，解题的关键是作出辅助线，求出． 三、解答题（本答题共8小题，共56分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式即可求出答案． （2）根据二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案． 【小问1详解】 解∶原式 ； 【小问2详解】 解∶原式 ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 18. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a+c|+﹣|﹣2b|． 【答案】0 【解析】 【分析】根据数轴上的点与实数的一一对应关系得到c＜a＜0＜b，则a−b＜0，a＋c＜0，c−b＜0，−2b＜0，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答． 【详解】由数轴可得：c＜a＜0＜b， 则a−b＜0，a＋c＜0，c−b＜0，−2b＜0， 原式＝|a−b|−|a＋c|＋|c−b|−|−2b| ＝b−a＋a＋c＋b−c−2b ＝0． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简．也考查了绝对值的意义以及数轴上的点与实数的一一对应关系． 19. 在一次期中考试中， （1）一个班级有甲、乙、丙三名学生，分别得到70分、80分、90分．这三名同学的平均得分是 ． （2）一个班级共有40名学生，其中5人得到70分，20人得到80分，15人得到90分．求班级的平均得分． （3）一个班级中，的学生得到70分，的学生得到80分，的学生得到90分．求班级的平均得分． （4）中考的各学科的分值依次为：数学150分，语文150分，物理100分，政治50分，历史50分，合计总分为500分． 在这次期中考试中，各门学科的总分都设置为100分，现已知甲、乙两名学生的得分如下表： 学科 数学 语文 物理 政治 历史 甲 80 90 80 80 70 乙 80 80 70 80 95 你认为哪名同学的成绩更理想，写出你的理由． 【答案】（1）80分；（2）82.5分；（3）81分；（4）甲 【解析】 【分析】本题属于基础应用题，考查平均数的应用，只需学生熟练掌握算术平均数及加权平均数的计算公式，即可完成． （1）根据算术平均数及加权平均数的计算公式依次分析即可得到结果； （2）根据算术平均数及加权平均数的计算公式依次分析即可得到结果； （3）根据算术平均数及加权平均数的计算公式依次分析即可得到结果； （4）根据算术平均数及加权平均数的计算公式依次分析即可得到结果． 【详解】（1）这三名同学的平均得分是分； （2）班级的平均得分为分； （3）班级的平均得分为分； （4）考虑各学科在中考中所占“权”： 甲的均分为分 乙的均分为分 甲的均分比乙的均分高，所以，甲的成绩更为理想． 20. 某书店制订了“读书节”活动计划，以下是活动计划的部分信息： 书本类别 A类 B类 进价（单位：元） 18 12 备注 用不超过16800元购进两类图书共1000本，A类图书不少于600本． （1）陈经理查看计划时发现：A类图书的标价是B类图书的1.5倍，若顾客用540元购买图书，单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A，B两类图书的标价； （2）为了扩大影响，陈经理调整了销售方案：A类图书售价每本降低4元，B类图书价格不变．此时书店应如何进货才能获得最大利润？ 【答案】（1）A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元 （2）书店A图书购进600本，B类图书购进400本时，才能获得最大利润 【解析】 【分析】（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购进A类图书t本，总利润为w元，根据题意列出一元一次不等式组求得，然后表示出利润，然后利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为 1.5x元， 根据题意可得 ， 化简得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则A类图书的标价为：（元）， 答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元； 【小问2详解】 设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为元， 由题意得， 解得， 则总利润， ∴当时，总利润最大， ∴此时书店A图书购进600本，B类图书购进400本时，才能获得最大利润． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，一次函数和一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 21. 如图，在中，，，AC的垂直平分线交BC于点D，， 于点E，求BE的长． 【答案】 【解析】 【分析】连接AD，根据中垂线性质得DA=，进而得∠ADE=45°，设BE=x，则AB=2x，结合勾股定理，即可求解． 【详解】连接AD， ∵AC的垂直平分线交BC于点D， ∴DA=， ∴∠DAC=， ∴∠ADE=45°， ∵ 于点E， ∴∆ADE是等腰直角三角形， ∴AE=DA÷=÷=3， 在直角∆ABE中，， ∴∠BAE=30°， ∴设BE=x，则AB=2x， ∴AE==， ∴=3，解得：x=， ∴BE=． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 22. 如图，在平行四边形中，，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）通过条件可证得，，得出四边形是平行四边形，通过邻边相等的平行四边形是菱形即可得证； （2）先利用勾股定理求出，利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可得解． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ， ， 点F是的中点， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 是菱形． 小问2详解】 解：四边形是平行四边形， 是菱形， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查勾股定理、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 23. 如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点． （1）求证：． （2）判断与否垂直，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）与垂直，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质，得到，结合垂直于同一条直线的两条直线平行，可得，再根据平行线的性质解答即可； （2）连接交于点，由证明，再根据全等三角形对应角相等得到，继而证明四边形为矩形，最后根据矩形的性质解答即可． 【小问1详解】 解：在正方形中， ∴， ∴． 【小问2详解】 与垂直，理由如下． 连接交于点． ∵为正方形的对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在正方形中，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判断与性质、矩形的判定与性质等知识，综合性较强，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B，的图象与x轴，y轴分别交于点D，E，且两个函数图象相交于点． （1）填空： ， ； （2）x满足什么条件时，； （3）点P在线段AD上，连接CP，若是直角三角形，求点P的坐标． 【答案】（1）3，6 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由是一次函数与的图象的交点，即可解出； （2）根据（1）中所求的解析式，求出点A、C、D三点的坐标，再数形结合即可作答； （3）由是直角三角形、是锐角，分和两种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 小问1详解】 ∵是一次函数与的图象的交点， ∴，解得，即， ∴将代入可得：， 解得，即， 故答案为：3，6； 【小问2详解】 当时，即有， 解得：，即， 当时，即有， 解得：，即， ∵，，， ∴，， 结合图象可知：； 【小问3详解】 点P在线段上，是锐角，若是直角三角形，则或， 设点，且， ∵，， ∴，，， 当时，轴， ∴点C与点P的横坐标相等，即， ∴， ∴点P坐标为； 当时，， ∴， 解得， ∴点P坐标为； 综上所述，所有符合条件的点P坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、直角三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$