精品解析：青岛版2023-2024学年八年级数学下册期中培优检测试题

2023-2024学年青岛版数学八年级下册期中培优检测试题 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项 1. 在实数：，，（1和3之间的2逐次加1个），，4，，中，无理数有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列说法正确的是（ ） A. 0没有平方根 B. 两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是个无理数 C. 无理数可以用分数来表示，例如 D. 任意一个无理数绝对值都是正数 3. 有理数在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 若与最简二次根式能合并，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列语句正确的有个（    ） ①的平方根是；②一对相反数的立方根之和为；③平方根等于本身的数有和；④与是同类二次根式． A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，E，F分别在，上，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点D是各边中线的交点，连接并延长，交于点E，连接并延长，交于点F，连接，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 若关于不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 9. 若不等式组无解，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 一商家进了一批商品，售价为每件元，如果要保持销售利润不高于，则进价应不低于（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 11. 如图，在长方形ABCD中，cm，cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为（ ） A. 6 B. 7.5 C. 10 D. 12 12. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接、若，，则下列结论，其中正确结论的个数是（ ） ①，； ②； ③四边形是菱形； ④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 13. 计算的结果是___________． 14. 若关于的不等式组的整数解恰有个，则的取值范围是为______． 15. 如图，化简_________． 16. 若关于、的方程组的解满足，则的值为__________． 17. 若，为实数，，则的平方根是____． 三、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知不等式组． （1）求它的解集并把它的解集在数轴上表示出来． （2）在（1）的条件下化简． 19. （1） ； （2） ． 20. 如图，矩形的对角线交于点O，垂直于点E，． （1）求的长； （2）若，连接，求面积． 21. 已知某正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． （1）求a，x，y的值． （2）求的算术平方根． 22. 如图，中，点是的中点，过的直线，，的平分线分别交于，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）当满足何条件时，四边形是正方形，请在方框内画出图形并说明理由． 23. 某校计划购买型和型两种笔记本作为奖品发放给学生，若购买型笔记本5本，型笔记本8本，共需80元；若购买型笔记本15本，型笔记本4本，共需140元． （1）型和型笔记本每本的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买型和型两种笔记本共80本，费用不超过500元，型笔记本最多买多少本？ 24. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F， （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 25. （1）如图1，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：： （2）连接图1中的，并取中点，连结、． ①如图2，若，求四边形的周长： ②如图3，若，且，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年青岛版数学八年级下册期中培优检测试题 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项 1. 在实数：，，（1和3之间的2逐次加1个），，4，，中，无理数有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环依次判断即可． 【详解】解：是有限小数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； （1和3之间的2逐次加1个），是无限不循环小数，是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 4是整数，是有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是分数，是有理数． 综上所述：无理数共有４个　 故选：C． 【点睛】本题考查实数的分类．掌握无理数的定义是解题关键． 2. 下列说法正确的是（ ） A 0没有平方根 B. 两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是个无理数 C. 无理数可以用分数来表示，例如 D. 任意一个无理数的绝对值都是正数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方根、无理数、绝对值，根据平方根、无理数、绝对值的定义逐一判断即可求解，理解无理数的概念是解答的关键． 【详解】解：A．0的平方根是0，则错误，故不符合题意； B．两个整数相除，而循环小数是有理数，则错误，故不符合题意； C．无理数不可以用分数来表示不是分数，则错误，故不符合题意； D．任意一个无理数的绝对值都是正数，则正确，故符合题意． 故选：D． 3. 有理数在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用数轴判断有理数的大小，以及式子的符号，根据数轴上的数右边的比左边的大，判断出数的大小关系，进而判断出式子的符号，即可． 【详解】解：由图可知：，，故选项C正确； ∴，故选项A错误， ，故选项B正确； ，故选项D正确； 故选A． 4. 若与最简二次根式能合并，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式及最简二次根式的定义，根据题意，判断与最简二次根式是同类二次根式，列等式求解即可得到答案，熟记同类二次根式及最简二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，且与最简二次根式能合并， 与最简二次根式是同类二次根式， ，解得， 故选：B． 5. 下列语句正确的有个（    ） ①的平方根是；②一对相反数的立方根之和为；③平方根等于本身的数有和；④与是同类二次根式． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念对各个说法进行判断即可． 【详解】解：，的平方根是，故正确； 一对相反数的立方根之和为，故正确； 平方根等于本身的数是，故错误； 与是同类二次根式，故正确． 综上，正确的个数有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，平方根的概念以及立方根的概念，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式、一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根是解题的关键． 6. 如图，在菱形中，E，F分别在，上，，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质求出，的度数，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，证明可求出的度数，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵菱形，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 又，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 7. 如图，在中，，点D是各边中线的交点，连接并延长，交于点E，连接并延长，交于点F，连接，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由中位线定理得到，由直角三角形斜边上中线的性质得到，则， 由，点E是的中点 得到，由勾股定理得到，即可得到的长． 【详解】解：∵在中，，点D是各边中线的交点， ∴点E是的中点，点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵，点E是的中点 ， ∴， ∴由勾股定理得到， ∴， 故选：A 【点睛】此题考查了勾股定理、三角形中位线定理、斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相关定理和性质是解题的关键． 8. 若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：∵关于的不等式组的解集为， ∴． 故选：D 9. 若不等式组无解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元一次不等式组的解法及不等式组无解的条件得出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 不等式组无解， ，即， 故选：D． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组及不等式组无解求参数，熟练掌握解一元一次不等式组的方法步骤是解决问题的关键． 10. 一商家进了一批商品，售价为每件元，如果要保持销售利润不高于，则进价应不低于（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】设进价应不低于x元，根据题意，得，解不等式即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，正确解不等式是解题的关键． 【详解】解：设进价应不低于x元，根据题意，得， 解得． 故选B． 11. 如图，在长方形ABCD中，cm，cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△BEF的面积为（ ） A. 6 B. 7.5 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠的性质可得∠G=∠C=90°，BG=CD=3cm，GF=CF，设BF=xcm，则GF=CF=（9-x）cm，Rt△BGF中由勾股定理建立方程求解即可解答； 【详解】解：如图，C点翻折后对应的点为G， 长方形ABCD中，AB=CD=3cm，AD=9cm，∠C=90°， 根据翻折可得：∠G=∠C=90°，BG=CD=3cm，GF=CF， 设BF=xcm，则GF=CF=（9-x）cm， 在Rt△BGF中，根据勾股定理得： 32+（9-x）2=x2，解得x=5， ∴S△BEF=BF·AB=×5×3=7.5(cm2)， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键． 12. 如图，矩形中，为中点，过点的直线分别与、交于点、，连接交于点，连接、若，，则下列结论，其中正确结论的个数是（ ） ①，； ②； ③四边形是菱形； ④． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得出，可求得与关于直线对称，进而求得，；因为，故不会全等于．先证得，再证得，进而证得，因为、互相平分，即可证得四边形是菱形；可通过面积转化进行解答． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，、互相平分， 为中点， 也过点， ， ，， 是等边三角形， ，， 在与中 ， ， 与关于直线对称， ，； 正确， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形菱形， 正确， ， 与不全等． 错误， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等的知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分 13. 计算的结果是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加法运算，熟练掌握合并同类二次根式的法则是解题的关键． 14. 若关于的不等式组的整数解恰有个，则的取值范围是为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解集求参数，由不等式组取解集的方法“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求解，掌握解不等式组，取值方法是解题的关键． 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，化简_________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合数轴得出各式的符号，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可得， ，， 故原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键． 16. 若关于、的方程组的解满足，则的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】联立解出，，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵关于、的方程组的解满足， 联立，解得：， 将代入得， ，解得：， 故答案：5； 【点睛】本题考查方程组的解满足另一个方程求参数，解题的关键是联立没有参数的方程解方程组代入求解． 17. 若，为实数，，则的平方根是____． 【答案】± 【解析】 【分析】要求的平方根，一要先求出，的值，要求、的值就要根据：与同时成立，根号里的数一定是0．依此来求、的值． 【详解】解：与同时成立， 故只有，即， 又， ，， ， 故的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根式成立的条件，解题的关键是根据与同时成立，得到的值． 三、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知不等式组． （1）求它的解集并把它的解集在数轴上表示出来． （2）在（1）的条件下化简． 【答案】（1），见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）分别解出每个一元一次不等式的解集，再将两个不等式的解集表示在数轴上，找到公共解集即可； （2）根据，先判断，再根据绝对值的性质解题即可化简解题． 【详解】解：（1）解不等式①，得： ， 解不等式②，得： ， 解集表示在数轴上如下： 不等式组的解集为； （2）由（1）知， ． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式（组）的解集、算术平方根的非负性、化简绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 19. （1） ； （2） ． 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质化简后，计算加减即可； （2）根据二次根式的运算，解答即可． 本题考查了二次根式的加减，化简，乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】 ； ． 20. 如图，矩形的对角线交于点O，垂直于点E，． （1）求的长； （2）若，连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）的面积为． 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质证明，利用等腰三角形的性质得到，推出是的中位线，据此即可求解； （2）证明是等边三角形，推出，利用勾股定理求得的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，又， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 21. 已知某正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． （1）求a，x，y的值． （2）求的算术平方根． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数及立方根的性质求解即可； （2）将（1）中x=16，y=-1代入求解，然后确定算术平方根即可． 【小问1详解】 解：依题意，得， 解得， ∴，， ∴． ∵负数y的立方根与它本身相同， ∴． 【小问2详解】 解：当x=16，y=-1时， ， ∴的算术平方根为3． 【点睛】题目主要考查平方根、算术平方根、立方根的性质，求代数式的值，熟练掌握计算法则是解题关键． 22. 如图，中，点是的中点，过的直线，，的平分线分别交于，． （1）请判断四边形的形状，并说明理由； （2）当满足何条件时，四边形是正方形，请在方框内画出图形并说明理由． 【答案】（1）四边形是矩形，证明见解析 （2），四边形是正方形. 【解析】 【分析】（1）根据平分，，可知，可得，同理：，可得，且，可证四边形是平行四边形，由对角线相等的平行四边形是矩形可证四边形是矩形； （2）当时，四边形是正方形，由正方形的判定可证矩形是正方形． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， 理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 同理：． ∴， ∵点P是的中点， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ， ∴是矩形； 【小问2详解】 如图，当时，四边形是正方形； 理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形. 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的判定，熟记平行四边形，矩形，正方形的判定方法是解本题的关键. 23. 某校计划购买型和型两种笔记本作为奖品发放给学生，若购买型笔记本5本，型笔记本8本，共需80元；若购买型笔记本15本，型笔记本4本，共需140元． （1）型和型笔记本每本的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买型和型两种笔记本共80本，费用不超过500元，型笔记本最多买多少本？ 【答案】（1）型笔记本每本8元，型笔记本每本5元 （2）型笔记本最多买33本 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组和不等式，找出题中的等量关系和不等关系是解题关键，第二问注意要取正整数． （1）根据题意列出二元一次方程组即可解答． （2）设型笔记本本，则型笔记本本，列出不等式即可解答． 【小问1详解】 解：设型笔记本每本元，型笔记本每本元， 根据题意得， 解得． 答：型笔记本每本8元，型笔记本每本5元． 【小问2详解】 解：设购买型笔记本本， 根据题意得． 解得， 是正整数， 最大取33， 答：型笔记本最多买33本． 24. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F， （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE，理由见解析 【解析】 【分析】(1)根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论； (2)根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案； (3)首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠DEP，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE． 【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°， 又∵ PB=PB， ∴△ABP ≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC， ∵PA=PE， ∴PC=PE； (2)解：由（1）知，△ABP≌△CBP， ∴∠BAP=∠BCP， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°； (3)AP＝CE 理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP， 在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∠BAP=∠BCP， ∵PA=PE， ∴PC=PE， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠DEP， ∴∠DCP=∠DEP， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠DEP， 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC是等边三角形， ∴PC=CE， ∴AP=CE． 25. （1）如图1，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：： （2）连接图1中的，并取中点，连结、． ①如图2，若，求四边形的周长： ②如图3，若，且，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①四边形的周长为；②． 【解析】 【分析】（1）运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论； （2）①运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案；②由（1）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图①，、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ， ， ． （2）①：如图②，、、、分别是、、、的中点， ，， ， ， 四边形的周长为16； ②：如图③，、、、分别是、、、的中点， ，，，， ，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， 菱形是正方形， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形和正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$