精品解析：沪科版2023-2024学年八年级数学下册期末模拟卷二

2022-2023学年度八年级第一学期期末模拟数学试题（二） （满分：120分 时间：90分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中：①线段；②有一个角是30°的直角三角形；③角；④等腰三角形，其中一定是轴对称图形有（　　）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列说法正确的是（　　） A. 面积相等的两个三角形全等 B. 全等三角形面积一定相等 C. 形状相同的两个三角形全等 D. 两个等边三角形一定全等 3. 一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ） A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、二、四 D. 一、三、四 4. 如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ） A. B. C. D. 5 如图，，则有（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 6. 如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若DE=5，BD=3，则线段CE的长为（　　） A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 7. 如图所示，在下列条件中，不能判断≌的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 一天李师傅骑车上班途中因车发生故除，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了单位，如图描述了他上班途中的情景，下列说法中错误的是（　　） A. 李师傅上班处距他家200米 B. 李师傅路上耗时20分钟 C. 修车后李师傅骑车速度是修车前的2倍 D. 李师傅修车用了5分钟 9. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 10. 在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（　　）个． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知一次函数，y随x的增大而减小，则k______ 12. 等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 13. 将y=2x﹣3的图象向上平移2个单位长度得到的直线表达式为_____． 14. 如图，已知：AB=AC，D是BC边的中点，则∠1+∠C=_____度． 15. 如图，D为等边△ABC的边AB上一点，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为点E、F、D．若AB=6，则BE=_____． 16. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是_________． 三、解答题（共72分） 17. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 18. 如图，是由6个大小相同的小正方形组成的方格． （1）如图1，A、B、C是三个格点，判断AB与BC的位置关系，并说明理由； （2）如图2，直接写出∠α＋∠β度数． 19. 如图所示，在A，B两地间有一车站C，一辆汽车从A地出发经C站匀速驶往B地如图是汽车行驶时离C站的路程千米与行驶时间小时之间的函数关系的图象． 填空：______km，AB两地的距离为______km； 求线段PM、MN所表示y与x之间的函数表达式； 求行驶时间x在什么范围时，小汽车离车站C的路程不超过60千米？ 20. 某商场进行促销，购物满额即可获得次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． (1)若小明获得次抽奖机会，小明中奖是　 　事件．(填随机、必然、不可能) (2)小明观察一段时间后发现，平均每个人中会有人抽中一等奖，人抽中二等奖，若袋中共有个球，请你估算袋中白球的数量； (3)在(2)的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 21. 新春佳节来临，某公司组织辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共吨去外地销售，要求辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 苹果 芦柑 香梨 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（万元） 0.15 0.2 0.1 （1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，求与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围． （2）用来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出的最大值． 22. （1）【操作发现】如图①，D是等边的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接，以为边在上方作等边，连接．线段与之间的数量关系是______． （2）【类比猜想】如图②，当动点D运动至等边边的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想与在（1）中的结论是否仍然成立？并加以证明； （3）【深入探究】如图③，当动点D在等边边BA上运动时（点D与点B不重合），连接，以为边在上方、下方分别作等边和等边，连接，，探究AF，与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论． 23. 将纸片△ABC沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上E处，展开如图1． [操作观察] （1）如图2，作DF⊥AC，垂足为F，且DF=3，AC=6，S△ABC=21，则AB=　 　； [理解应用] （2）①如图3，设G为AC上一点（与A、C）不重合，P是AD上一个动点，连接PG、PC．试说明：PG+PC与EG大小关系； ②连接EC，若∠BAC=60°，G为AC中点，且AC=6，求EC长． [拓展延伸] （3）请根据前面的解题经验，解决下面问题： 如图4，在平面直角坐标系中有A（1，4），B（3，﹣2），点P是x轴上的动点，连接AP、BP，当AP﹣BP的值最大时，请在图中标出P点的位置，并直接写出此时P点的坐标为　 　，AP﹣BP的最大值为　 　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年度八年级第一学期期末模拟数学试题（二） （满分：120分 时间：90分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中：①线段；②有一个角是30°的直角三角形；③角；④等腰三角形，其中一定是轴对称图形有（　　）个 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念对每个图形分析判断即可得解． 【详解】①线段；②有一个角是30°的直角三角形；③角；④等腰三角形，其中一定是轴对称图形是：①线段；③角；④等腰三角形共3个． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列说法正确的是（　　） A. 面积相等的两个三角形全等 B. 全等三角形的面积一定相等 C. 形状相同的两个三角形全等 D. 两个等边三角形一定全等 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形进行分析即可． 【详解】A．面积相等的两个三角形全等，说法错误； B．全等三角形的面积一定相等，说法正确； C．形状相同的两个三角形全等，说法错误； D．两个等边三角形一定全等，说法错误． 故选B． 【点睛】本题考查了全等图形，关键是掌握全等图形的定义． 3. 一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ） A. 一、二、三 B. 二、三、四 C. 一、二、四 D. 一、三、四 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数与系数的关系进行判断． 【详解】解：∵k=-5＜0， ∴一次函数经过第二、四象限， ∵b=3＞0， ∴一次函数与y轴交于正半轴， ∴一次函数y=-5x+3的图象经过第一、二、四象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与系数的关系：y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限． 4. 如图，亮亮书上三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据图形可知两角及夹边是已知条件即可判断． 【详解】解：由图可知，左上角和左下角可测量，为已知条件， 两角的夹边也可测量，为已知条件， 故可根据即可得到与原图形全等的三角形，即小亮画图的依据是， 故选：B． 5. 如图，，则有（ ） A. 垂直平分 B. 垂直平分 C. 与互相垂直平分 D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． 故选：A． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的判定．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键． 6. 如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若DE=5，BD=3，则线段CE的长为（　　） A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，和DE∥BC，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出DB=DO，OE=EC．然后即可得出答案． 【详解】∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB， ∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB， ∵DE∥BC， ∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO， ∴DB=DO，OE=EC， ∵DE=DO+OE， ∴CE=OE=DE-OD=DE-BD=5-3=2. 故答案为2． 【点睛】等腰三角形的判定与性质, 平行线的性质． 7. 如图所示，在下列条件中，不能判断≌的条件是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】已知条件是两个三角形有一公共边，只要再加另外两边对应相等或有两角对应相等即可，如果所加条件是一边和一角对应相等，则所加角必须是所加边和公共边的夹角对应相等才能判定两个三角形全等． 【详解】A、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意； B、符合SSA，∠BAD和∠ABC不是两条边的夹角，不能判断两个三角形全等，故该选项符合题意； C、符合AAS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意； D、符合SSS，能判断两个三角形全等，故该选项不符合题意； 故选择：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形判定定理中，最容易出错的是“边角边”定理，这里强调的是夹角，不是任意角． 8. 一天李师傅骑车上班途中因车发生故除，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了单位，如图描述了他上班途中的情景，下列说法中错误的是（　　） A. 李师傅上班处距他家200米 B. 李师傅路上耗时20分钟 C. 修车后李师傅骑车速度是修车前的2倍 D. 李师傅修车用了5分钟 【答案】A 【解析】 【分析】观察图象，明确每一段小明行驶的路程，时间，作出判断． 【详解】解：A．李师傅上班处距他家2000米，此选项错误； B．李师傅路上耗时20分钟，此选项正确； C．修车后李师傅骑车速度是=200米/分钟，修车前速度为=100米/分钟，∴修车后李师傅骑车速度是修车前的2倍，此选项正确； D．李师傅修车用了5分钟，此选项正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了学生从图象中读取信息的能力，同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势． 9. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于点， ， 由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为（0，0）、（2，2），若顶点C落在坐标轴上，则符合条件的点C有（　　）个． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若AC=AB，②若BC=BA，③若CA=CB）讨论，通过画图就可解决问题． 【详解】①若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点； ②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有2个交点（A点除外）； ③若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上． ∵A（0，0），B（2，2）， ∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点． 综上所述：符合条件的点C的个数有8个． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解决本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 已知一次函数，y随x的增大而减小，则k______ 【答案】． 【解析】 【分析】根据一次函数，y随x的增大而减小和一次函数的性质可以判断k的正负，本题得以解决． 【详解】解：一次函数，y随x的增大而减小， ， 故答案为． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 12. 等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】设另一个角是，表示出一个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可． 【详解】解：设另一个角是，表示出一个角是， ①是顶角，是底角时，， 解得， 所以，顶角是； ②是底角，是顶角时，， 解得， 所以，顶角是； ③与都是底角时，， 解得， 所以，顶角是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或． 故答案：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错． 13. 将y=2x﹣3的图象向上平移2个单位长度得到的直线表达式为_____． 【答案】y=2x﹣1 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】由“上加下减”的原则可知，将函数y=2x﹣3的图象向上平移2个单位所得函数的解析式为y=2x﹣3+2，即y=2x﹣1． 故答案为y=2x﹣1． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 14. 如图，已知：AB=AC，D是BC边的中点，则∠1+∠C=_____度． 【答案】90 【解析】 【详解】∵AB=AC ， D是BC边的中点（已知）， ∴∠B＝∠C， AD⊥BC， ∴∠1＋∠B＝90°， ∴∠1+∠C＝90度. 故答案为90. 点睛：本题考查了等腰三角形的性质；等腰三角形底边上的中线、高线及顶角的平分线三线合一的熟练应用是正确解答本题的关键. 15. 如图，D为等边△ABC的边AB上一点，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为点E、F、D．若AB=6，则BE=_____． 【答案】2 【解析】 【分析】求出∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，求出∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，推出DF=DE=EF，即可得出等边三角形DEF，根据全等三角形性质推出三个三角形全等即可．求出AB=3BE，即可解答． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠B=∠C=∠A=60°， ∵DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB， ∴∠DEB=∠EFC=∠FDA=90°， ∴∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°， ∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=180°﹣90°﹣30°=60°， ∴DF=DE=EF， ∴△DEF是等边三角形， 在△ADF、△BED、△CFE中 ∵∠ADF=∠BED=∠CFE， ∠A=∠B=∠C， DF=DE=EF， ∴△ADF≌△BED≌△CFE， ∴AD=BE=CF， ∵∠DEB=90°，∠BDE=30°， ∴BD=2BE， ∴AB=3BE， ∴BE=AB=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟记含30度角的直角三角形性质． 16. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．函数和的图象交于点，求不等式的解集，就是看函数在什么范围内的图象对应的点在函数的图象上面． 【详解】解：从图象得到，当时，的图象对应的点在函数的图象上面， ∴不等式的解集为：． 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点(1，2)． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据一次函数由平移得到可得出k值，然后将点（1，2）代入可得b值即可求出解析式； （2）由题意可得临界值为当时，两条直线都过点（1，2），即可得出当时，都大于，根据，可得可取值2，可得出m的取值范围． 【详解】（1）∵一次函数由平移得到， ∴， 将点（1，2）代入可得， ∴一次函数的解析式为； （2）当时，函数的函数值都大于，即图象在上方，由下图可知： 临界值为当时，两条直线都过点（1，2）， ∴当时，都大于， 又∵， ∴可取值2，即， ∴的取值范围为． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，函数图像的平移，一次函数的图像，找出临界点是解题关键． 18. 如图，是由6个大小相同的小正方形组成的方格． （1）如图1，A、B、C是三个格点，判断AB与BC的位置关系，并说明理由； （2）如图2，直接写出∠α＋∠β的度数． 【答案】（1），理由详见解析；（2）45° 【解析】 【分析】（1）连接AC，再利用勾股定理列式求出AB2、BC2、AC2，然后利用勾股定理逆定理解答； （2）根据方格的特点，先在方格中作出和∠α相等的角，顶点在A点，根据勾股定理及其逆定理判断△ABC的形状即可． 【详解】（1）如图①，连接AC， 由勾股定理得，AB2=12+22=5， BC2=12+22=5， AC2=12+32=10， ∴AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形，∠ABC=90°， ∴AB⊥BC， （2）∠α+∠β=45°． 证明如下：如图②， 由勾股定理得，AB2=12+22=5， BC2=12+22=5， AC2=12+32=10， ∴AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∵AB=BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠α+∠β=45°． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握网格结构以及勾股定理和逆定理是解题的关键． 19. 如图所示，在A，B两地间有一车站C，一辆汽车从A地出发经C站匀速驶往B地如图是汽车行驶时离C站的路程千米与行驶时间小时之间的函数关系的图象． 填空：______km，AB两地的距离为______km； 求线段PM、MN所表示的y与x之间的函数表达式； 求行驶时间x在什么范围时，小汽车离车站C的路程不超过60千米？ 【答案】（1）240   390；（2）PM所表示的函数关系式为：，MN所表示的函数关系式为：；（3），小汽车离车站C的路程不超过60千米. 【解析】 【分析】（1）根据图象中的数据即可得到A，B两地的距离； （2）根据函数图象中的数据即可得到两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式； （3）根据题意可以分相遇前和相遇后两种情况进行解答． 【详解】解：由题意和图象可得， 千米， A，B两地相距：千米， 故答案为240，390 由图象可得，A与C之间的距离为150km 汽车的速度， PM所表示的函数关系式为： MN所表示的函数关系式为： 由得 ，解得： 由得 ，解得： 由图象可知当行驶时间满足：，小汽车离车站C的路程不超过60千米 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和函数的思想解答． 20. 某商场进行促销，购物满额即可获得次抽奖机会，抽奖袋中装有红色、黄色、白色三种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖． (1)若小明获得次抽奖机会，小明中奖是　 　事件．(填随机、必然、不可能) (2)小明观察一段时间后发现，平均每个人中会有人抽中一等奖，人抽中二等奖，若袋中共有个球，请你估算袋中白球的数量； (3)在(2)的条件下，如果在抽奖袋中增加三个黄球，那么抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由． 【答案】(1)必然；(2)9；(3)减小，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由于购物满额就有抽奖机会，而且袋子中的小球都有奖项，据此可知小明中奖是必然事件； （2）根据中奖的数据可知平均每6个人中会有3人中三等奖，据此即可估算出白球的数量； （3）根据袋子中球的数量增加了，而红球数不变，可知概率减小了. 【详解】解:（1）因为有抽奖机会就会中奖，因此小明中奖是必然事件， 故答案为必然； （2）18×=18×＝9， 答：估算袋中有9个白球； （3）减小，因为红色球的数量不变，但是袋子中球的总数增加了． 【点睛】本题考查了随机事件与必然事件，简单的概率应用，弄清题意是解题的关键. 21. 新春佳节来临，某公司组织辆汽车装运苹果、芦柑、香梨三种水果共吨去外地销售，要求辆汽车全部装满，每辆汽车只能装运同一种水果，且装运每种水果的车辆都不少于辆，根据下表提供的信息，解答以下问题： 苹果 芦柑 香梨 每辆汽车载货量（吨） 7 6 5 每吨水果获利（万元） 0.15 0.2 0.1 （1）设装运苹果车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，求与之间的函数关系式，并直接写出的取值范围． （2）用来表示销售获得的利润，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出的最大值． 【答案】（1） （2）装运苹果的车辆辆，装运芦柑的车辆辆，运香梨的车辆辆时，此次销售获利最大，最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，则运香梨的车辆辆，根据表格可列出等量关系式，化简即可得出答案； （2）由利润=车辆数×每车水果获利可得与的函数关系式，再根据一次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 设装运苹果的车辆为辆，装运芦柑的车辆为辆，则运香梨的车辆辆． ， ． 【小问2详解】 根据题意，得 ， 即， ， 随的增大而减小， 当时，有最大值万元， 装运苹果的车辆辆，装运芦柑的车辆辆，运香梨的车辆辆时，此次销售获利最大，最大利润为万元． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键． 22. （1）【操作发现】如图①，D是等边的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接，以为边在上方作等边，连接．线段与之间的数量关系是______． （2）【类比猜想】如图②，当动点D运动至等边边的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想与在（1）中的结论是否仍然成立？并加以证明； （3）【深入探究】如图③，当动点D在等边边BA上运动时（点D与点B不重合），连接，以为边在上方、下方分别作等边和等边，连接，，探究AF，与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定： （1）根据是等边三角形，可得，，进而可得，用证明即可得结论； （2）方法同（1）； （3）法1：由（1）可得，证明即可得，进而可得；法2：利用证得，可得，由（2）得，进而可求证结论； 掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】（1）， 是等边三角形， , ， 同理知，,， ,即， 在和中， , ； （2）成立，证明如下： 是等边三角形， , ， 同理知，,， ,即， 在和中， , , ； （3）法1：，证明如下： 由（1）知，， ， 同理,则， ， 法2：，证明如下： 、和均是等边三角形， ，，， ，即：， 在和中， ， ， ， 又由（2）知，， ，即． 23. 将纸片△ABC沿AD折叠，使点C刚好落在AB边上E处，展开如图1． [操作观察] （1）如图2，作DF⊥AC，垂足为F，且DF=3，AC=6，S△ABC=21，则AB=　 　； [理解应用] （2）①如图3，设G为AC上一点（与A、C）不重合，P是AD上一个动点，连接PG、PC．试说明：PG+PC与EG大小关系； ②连接EC，若∠BAC=60°，G为AC中点，且AC=6，求EC长． [拓展延伸] （3）请根据前面的解题经验，解决下面问题： 如图4，在平面直角坐标系中有A（1，4），B（3，﹣2），点P是x轴上的动点，连接AP、BP，当AP﹣BP的值最大时，请在图中标出P点的位置，并直接写出此时P点的坐标为　 　，AP﹣BP的最大值为　 　． 【答案】（1）8；（2）①PG+PC≥EG，理由见解析；②连6；（3）（5，0），2． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的特性可知折痕AD为∠BAC的角平分线，由此可得出点D到AB和点D到AC的距离相等，再根据三角形的面积公式即可得出结论； （2）连接CM、PE、CE，根据三角形两边之和大于第三边得出当点P与点M重合时，PF+PC值最小，再根据折叠的性质得出AE=AC，结合∠BAC=60°即可得出△AEC为等边三角形，由此即可解决问题； （3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′、PB′，延长AB′交x轴于点P′，根据三角形内两边之差小于第三边找出当点P和P′点重合时，AP﹣BP的值最大，再由点B的坐标可得出点B′的坐标，结合点A、B′的坐标即可求出直线AB′的解析式，令其y=0求出x即可找出点P′的坐标，由此即可得出结论． 【详解】（1）∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，∴AD为∠BAC的角平分线，∴点D到AB和点D到AC的距离相等，∴S△ABC=AB•DF+•AC•DF=21，∴•AB•3+×6×3=21，∴AB=8． 故答案为8． （2）①结论：PG+PC≥EG．理由如下： 连接PE，如图3所示． ∵将纸片△ABC沿AD折叠，使C点刚好落在AB边上的E处，∴AD为∠BAC的角平分线，AE=AC，∴PE=PC．在△PEG中，PE+PG≥EG，∴PC+PG≥EG． ②连接EC，如图3中． ∵AE=AC，∠BAC=60°，∴△AEC为等边三角形． 又∵AC=6，∴EC=AC=6． （3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′、PB′，延长AB′交x轴于点P′，如图4所示． ∵点B和B′关于x轴对称，∴PB=PB′，P′B′=P′B． ∵在△APB′中，AB′＞AP﹣PB′，∴AP′﹣B′P′=AP′﹣BP′=AB′＞AP﹣PB′=AP﹣PB，∴当点P与点P′重合时，AP﹣BP最大． 设直线AB′的解析式为y=kx+b． ∵点B（3，﹣2），∴点B′（3，2），AB′===2． 将点A（1，4）、B′（3，2）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直线AB′的解析式为y=﹣x+5． 令y=﹣x+5中y=0，则﹣x+5=0，解得：x=5，∴点P′（5，0）． 故AP﹣BP的最大值为2，此时P点的坐标为（5，0）． 故答案为（5，0），2． 【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的面积公式、等边三角形的判定及性质、三角形的三边关系以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用三角形的面积公式直接求值；（2）找出当点P和点M重合时，PF+PC值最小；（3）找出当AP﹣BP的值最大时点P的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据折叠的性质找出相等的角或边是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$