湖北省黄冈市2024-2025学年高三上学期9月调研考试数学试题

黄冈市2024年高三年级9月调研考试 数学 本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号，考场号，座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷，草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若集合，则 （ ） A． B． C． D． 2．复数，则z的虚部为（ ） A． B． C． D． 3．若，则（ ） A． B． C． D． 4．若向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 5．若，且，则的最小值为（ ） A．20 B．12 C．16 D．25 6．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，下面可使得有两组解的a的值为（ ） A． B．3 C．4 D．e 7．设是定义在R上的两个函数，若，有恒成立，下列四个命题正确的是（ ） A．若是奇函数，则也一定是奇函数 B．若是偶函数，则也一定是偶函数 C．若是周期函数，则也一定是周期函数 D．若是R上的增函数，则在R上一定是减函数 8．已知向量，且，则与夹角的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（ ） A． B． C． D． 10．已知函数的图象过点和，且满足，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．当时，函数值域为 D．函数有三个零点 11．已知，则下列结论正确的是（ ） A．当时，若有三个零点，则b的取值范围是 B．当且时， C．若满足，则 D．若存在极值点，且，其中，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________． 13．已知是定义在R上的奇函数，为偶函数．当时，，则__________． 14．已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个正整数，则实数a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 设为数列的前n项和，满足． （1）求证：； （2）记，求． 16．（本小题15分） 函数，函数的最小正周期为． （1）求函数的单调递增区间以及对称中心； （2）将函数的图象先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数的图象，在函数图象上从左到右依次取点，该点列的横坐标依次为，其中，，求． 17．（本小题15分） 已知函数 （1）若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； （2）讨论的单调性． 18．（本小题17分） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c （1）证明： （2）若a，b，c成等比数列． （i）设，求q的取值范围； （ii）求的取值范围． 19．（本小题17分） 已知定义在的两个函数，． （1）证明：； （2）若．证明：当时，存在，使得； （3）若恒成立，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024年9月高三起点联考数学答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.A 2.B 3.C 4.B 5.D 6.D 7.C8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分. 9.ABD 10.AD 11.ABD 11解析： A.a=1时，f'(x)=6x2-6x=6x(x-1) f(x)在(-o,0)递增，(0,1)递减，(1，+c∞)递增， (f(x)极大值=f(O)=b>0, A正确： f(x)极小值=f(1)=b-1< B.由(1)知：f(x)在(0,1)递减，当x∈(0，π)时，0<sin2x<sinx<1,B正确： C.因为f(1-x)=2-f(x), 所以f6x)关于(，1)对称，则f(月=1，得2b-a=2,C错误： D.由题意知：f'(xo)=6x2-6x0+1-a=0,① 又由f(xo)=f(x1)化简得： (x0-1)[2(x02+x1x0+x12)-3(x0+x1)+(1-a]=0, 因为x0卡x1,所以2(x02+x1x0+x12)-3(x0+x1)+(1-a)=0,② ①-②化简可得，D正确， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.m≤2 13.-1 14,尼e-5号e） 14.解析： 分析f(x)=sinx-x+1,可知函数f(x)单调递减，在(0,1)中心对称， 得：f(-x)+f(x)=2,将不等式f(axe)+f(-aex-x+2)>2,变形得 f(axe)>f(aex+x-2),所以得axex<aex+x-2,变形得： aex(x-1)<(x-2), ax-1)< e 第1页，共5页 据图可得： a(4-1)<4-2 a(5-1)≥5-2y 解得ae民e-5号e-) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.解：(1)证明：因为Sm=1-a 所以Sn+1=1-an+1, 两式相减得：an=2an+1,… 3分 所以数列a}为等比数列，公比g= 当n=1时，a4=1-a4,所以a1=…4分 所以a=(” 5分 (2)5n=1-a,所以5n=1-(佾)”7分 s经=1+a-高 1 ………………………………9分 n=+得+京++)-2传+安++动)1分 115 =n+ 2n-3×4n3 ……13分 16.解：（L)f=sinox~COSX+cos2wx=2sin2wx+1+o2a-3sin2wx+2cos2ax+号 1 1 1 2 号sin(2ax+孕+安 1分 因为函数f(x)的最小正周期为m,所以T=孤=元，即u=1,…2分 20 所以fa)=号sin(2x+争+》 3分 令-2+2km<2x+<+2kπ(keZ), 解得-+km<x<日+kπ(keZ), 所以f)的单调递增区间为-晋+kn音+km](ke2刀，5分 令2x+骨=km(keZ),解得x=-骨+气πkeZ), 所以f)的对称中心为(-言+克keZ刃：--7分 第2页，共5页 (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到函数g(x)的图象， 则g因=f(k-司)-受s(x-司++片-=号n2,9分 所以函数g(x)的最小正周期为π，10分 由xnt1-xn=写meN)知， g(x1)+g(x2)+g(x3)=g(x4)+g(xs)+g(x6)=…=g(x2020)+g(x2021)+g(x2022), gx)+gx)+gxg)=号-是-0,13分 244 所以g6x)+96)++g6x202)=g6x202g)+g6x2o2)=gx1)+g0x)=9 15分 17.解：(1)f(x)的定义域为(0，+o∞)，1分 f'6)）=受+2x-(a+3)2分 由题意知：f'()=a-=-1,所以a= 4分 f)=}a-3=-1+b,b=- 6分 2r'6)=2+2x-a+3)-3x-2ac-2 2a,3 2x 令f'(GW)=0=X1=2,x2=2a 3 7分 当a≤0时， 所以f(x)在(0,2)单调递减，(2，+∞)单调递增： 9分 当0<a<3时，0<x2<x1 所以f(x)在(0，a)单调递增，(Ga,2)单调递减，(2，+∞)单调递增：11分 当a=3时，x1=x2=2, f'(x)≥0，f(x)在(0，+oo)单调递增：…13分 当a>3时，0<x=2<x2=号a 所以f(x)在(0,2)单调递增，(2a)单调递减，(a,+o∞)单调递增。15分 1-(1-2sin24) 2sin2号 18.解：(1) 1-cosA 2sing cos=tan A ……………3分 sinA 2sin2cos号 2 sin4 cos4 A sinA A 1+cosA1+(2cos2今 <sin cos tan4 2c0s29 第3页，共5页 故tan=1上cosA=sinA …………6分 2 sinA 1+cosA' (2) (①由题意设b=aq,c=aq2,由三角形三边关系知 9>0 a+aq>ag2 ……8分 a+aq2 aq aq ag2 a 解之得：9∈(，) 10分 (i) 由(1)的结论可知 sinA 1-cosC sin A 1-cosC tan 2tan2=1+cosA ………………12分 sinC sinC 1+cosA a1-a2+b2-c2 2ab a+c-b a+aq2-aq c ,b2+c2-a2 ………………14分 1+ a+c+b a+aq2+aq 2bc =1+92-9-1+g2+9）-29=1- 2q ……………………………15分 1+q2+q 1+q2+q 1+g2+q 2 =1- 13-5 5,）………16 .1 9+后+1 9 故tan 4 tan的取值范围为，3， ………………17分 19.解：(1)当x≥1时，sinx<x显然成立： 当0<x<1时，sinxl=sinx. 即证sinx<x,x∈(0,1). ※……2分 构造p(x)=x-sinx,xe(0,1) p'(x)=1-cosx≥0.∴p(x)在(0,1)单调递增， p(x)>p(0)=0,即※式成立 综上：[sinx<x,x>0 …………4分 (2)当a>1时，h(x)=sinx-xa,h'(x)=cosx-axa-1, 当x∈(0,1)时，cosx单调递减，axa-1单调递增， ·h'(x)在(0,1)单调递减， …………6分 第4页，共5页 又h'(0)=1>0,h'(1)=cos1-1<0, ÷h(x)=0在(0,1)存在唯一零点，记为xo, ………8分 .h(x)在(0，xo）单调递增，在(x0,1)单调递减，…………9分 h(xo)>h(0)=0,证毕. …………10分 (③)f)<9x),x>0,即sinx·sin2<xa,x>0, 若sinx与sin异号，显然成立，只考虑sinx与sin同号，…ll分 又x=1时，sin21<1命题成立：x>1时，xa>1≥sinx…sin克命题成立，…12分 故只需考虑xe(0,1)时，sinx·sin<x,(a>0)※※…l3分 若0<a≤1，sinx·sin是=Isinxl·sin≤Isinxl<x≤xa※※式成立（用(1）结论)， …15分 若a>1,取meN,m>去取1=ae（0.》 sinx1·sin=sinx1sin(2m+)π=sinx1>x(由(2)结论)，※※式不成立，…l6分 综上：0<a≤1， ………17分 第5页，共5页