专题2.5 勾股定理常考知识点分类专题（知识点梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.5 勾股定理常考知识点分类专题（知识点梳理与题型分类讲解） 第一部分【题型目录】 题型目录 【题型1】用勾股定理解直角三角形...........................................1 【题型2】用勾股定理解非直角三角形.........................................2 【题型3】勾股定理的验证...................................................3 【题型4】用勾股定理解决折叠问题...........................................3 【题型5】勾股数及其规律探究...............................................4 【题型6】勾股定理与弦图问题...............................................5 【题型7】用勾股定理与“将军饮马”问题.....................................6 【题型8】用勾股定理与“蚂蚁爬行”问题.....................................7 【题型9】勾股定理逆定理...................................................8 【题型10】勾股定理与逆定理解决实际问题....................................8 【题型11】勾股定理综合问题................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用勾股定理解直角三角形 【例1】（23-24八年级下·湖北·阶段练习）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【变式1】  （2024八年级上·江苏·专题练习）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（   ） A．6 B．5 C．11 D．16 【变式2】（24-25九年级上·山东聊城·开学考试）直角三角形的两条边长分别3和4，这个直角三角形斜边儿上的高为 ． 【题型2】用勾股定理解非直角三角形 【例2】（2024八年级上·江苏·专题练习）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【变式1】  （23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，则 ． 【题型3】勾股定理的验证 【例3】（22-23九年级下·四川成都·自主招生）已知：如图，直角三角形中，，，，．请你用两种方法证明． 【变式1】  （23-24八年级下·辽宁大连·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）    【题型4】用勾股定理解决折叠问题 【例4】（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）矩形折叠探究 在矩形纸片中，，点是边上的一点． (1)如图1，王欢在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，使点C落在边上，记为点P，若，求的长； (2)如图2，张乐在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，当点C与点A重合时，求的长． 【变式1】  （23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，的长为（     ） A．7 B． C． D．15 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，折叠直角梯形纸片的上底，点D落在底边上点F 处，已知，则长为 ． 【题型5】勾股数及其规律探究 【例5】（24-25九年级上·广东江门·开学考试）阅读下列材料，并回答问题． 画一个直角三角形，使它的两条直角边分别为5和12，那么我们可以量得直角三角形的斜边长为13，并且事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中，两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则这个结论就是著名的勾股定理． 请利用这个结论，完成下面的活动： (1)一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为 ． (2)满足勾股定理方程的正整数组叫勾股数组．例如就是一组勾股数组．观察下列几组勾股数 ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41； 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ． (3)如图，于D，，求的长度． 【变式1】  （2024七年级上·全国·专题练习）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 【题型6】勾股定理与弦图问题 【例6】（2024·广东清远·模拟预测）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，， ，大正方形的面积小正方形的面积 个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：． (1)若 ，则 ； (2)如果大正方形的面积是 13， ，求小正方形的面积． 【变式1】  （23-24八年级下·全国·期中）在数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小邦同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学热爱思考，借助这个图形设计了一道数学题：如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（）．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为 ．    【题型7】用勾股定理与“将军饮马”问题 【例7】（22-23八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在边上有一点，，，，分别是边和上的动点，则的最小值是（　　） A． B．6 C． D．3 【变式1】  （24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，点在边上，且，，动点在边上，连接，则的最小值是 ． 【变式2】（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，在中，是的平分线．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【题型8】用勾股定理与“蚂蚁爬行”问题 【例8】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　）    A． B． C． D． 【变式1】  （22-23八年级上·重庆沙坪坝·期末）在一个长为，宽为3的长方形草地上，如图摆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱EF平行于AD，且棱长大于场地宽AD，木块的主视图为等腰直角三角形，且底边上的高为1，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 ． 【变式2】（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，圆柱体的底面周长是16厘米，高是6厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ）    A．6厘米 B．厘米 C．厘米 D．10厘米 【题型9】勾股定理逆定理 【例9】如图，在中，，，是边上的中线，，求的面积． 【变式1】如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（    ） A．3.5 B．2.5 C．2 D．3 【变式2】如图，在中，点D为边上的中点，，，，则边上的高的长为 ． 【题型10】勾股定理与逆定理解决实际问题 【例10】在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【变式1】《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，一棵高5米的树被强台风吹斜，与地面形成夹角，之后又被超强台风在点D处吹断，点A 恰好落在边上的点E，若米，则的长是 米．    【题型11】勾股定理综合问题 【例11】如图，是边长为3的等边三角形，D是的中点，E，F分别在，上，连接，，两线交于点G，连接，，，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的长． 【变式1】如图，在Rt中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在和中，，，，分别连接，，延长交于． （1）若，则 ； （2）连接，若，，则的长为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 勾股定理常考知识点分类专题（知识点梳理与题型分类讲解） 第一部分【题型目录】 题型目录 【题型1】用勾股定理解直角三角形...........................................1 【题型2】用勾股定理解非直角三角形.........................................3 【题型3】勾股定理的验证...................................................6 【题型4】用勾股定理解决折叠问题...........................................9 【题型5】勾股数及其规律探究...............................................12 【题型6】勾股定理与弦图问题...............................................14 【题型7】用勾股定理与“将军饮马”问题.....................................17 【题型8】用勾股定理与“蚂蚁爬行”问题.....................................20 【题型9】勾股定理逆定理...................................................22 【题型10】勾股定理与逆定理解决实际问题....................................24 【题型11】勾股定理综合问题................................................27 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】用勾股定理解直角三角形 【例1】（23-24八年级下·湖北·阶段练习）你是不是很喜欢荡秋千？荡秋千（图1）是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，赵彬在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 设绳索的长度为，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 解：由题意得：，，， 设绳索的长度为， 则由 得， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 答：绳索的长度是． 【变式1】  （2024八年级上·江苏·专题练习）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，b的面积分别为5和11，则c的面积为（   ） A．6 B．5 C．11 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．如图，证明得然后利用勾股定理来求解即可． 解：由于都是正方形，所以 ∵ 即 在和中， ∴， ∴ 在中， 由勾股定理得：， 即， 故选A． 【变式2】（24-25九年级上·山东聊城·开学考试）直角三角形的两条边长分别3和4，这个直角三角形斜边儿上的高为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理，分类讨论是解题的关键．可分两种情况：若3，4是直角三角形的两条直角边；若3为直角三角形的直角边，4为斜边，利用勾股定理分别求解直角三角形的第三边，利用三角形的面积可求解斜边上的高． 解：若3，4是直角三角形的两条直角边，则斜边长为：， 斜边上的高为：； 若3为直角三角形的直角边，4为斜边，则另一条直角边长为：， 斜边上的高为：， 综上所述，这个直角三角形斜边上的高为或． 故答案为：或 【题型2】用勾股定理解非直角三角形 【例2】（2024八年级上·江苏·专题练习）在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析；(2)2.5千米. 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 解：（1）解：是， 理由是：在中， ∵ ∴ ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路； （2）解：设，则， 由勾股定理得： ∴ 解得 答：原来的路线的长为2.5千米． 【变式1】  （23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．过作于，求出，推出，根据含30度角的直角三角形求出，根据勾股定理求出，相加即可求出答案． 解：过作于， ， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得：， ． 故选：A 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】由考虑过C作AB的垂线，分割成两条线段计算． 本题考查了勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键． 解：如图，过点C作于点D， ，， ，， ， ， ． 故答案为：． 【题型3】勾股定理的验证 【例3】（22-23九年级下·四川成都·自主招生）已知：如图，直角三角形中，，，，．请你用两种方法证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的证明方法有很多种，熟练掌握应用面积法证明勾股定理的方法是解题的关键．解法一构造正方形求解；解法二构造直角梯形求解． 解法一：如图，， ， ； 解法二：如图，， ． 【变式1】  （23-24八年级下·辽宁大连·期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，曾用几个全等的直角三角形通过拼接，巧妙利用面积关系证明了勾股定理，体现了我国古代劳动人民的伟大智慧.下面四个图形是用4个全等的直角三角形拼接而成的图形，其中不能得出勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明方法，熟练掌握内弦图、外弦图是解题关键．根据基础图形的面积公式表示出各个选项的面积，同时根据割补的思想可以写出另外一种面积表示方法，即可得出一个等式，进而可判断能否证明勾股定理． 解：选项A：如图， 大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ， 整理得， 故选项A能得出勾股定理； 选项B：如图， 由图可得：， 整理得， 故选项B能得出勾股定理； 选项C：如图， 证明：由图可知 ，，正方形边长为， 即． 故选项C能得出勾股定理； 选项D不能得出勾股定理； 故选：D 【变式2】（23-24八年级下·河北邢台·阶段练习）课堂上，数学老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出了四种图形，你认为能用来证明勾股定理的图形有 ．（填序号）    【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据图①可以得到，然后化简即可；根据图②，无法确定、、的关系．由图可得，，然后化简即可；由图可得，，然后化简即可． 解：由图①可得， ， 化简，得：， 故图①可以证明勾股定理； 根据图②中的条件，无法证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 由图可得，， 化简，得：， 故图可以证明勾股定理； 故答案为：． 【题型4】用勾股定理解决折叠问题 【例4】（23-24八年级下·贵州铜仁·期中）矩形折叠探究 在矩形纸片中，，点是边上的一点． (1)如图1，王欢在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，使点C落在边上，记为点P，若，求的长； (2)如图2，张乐在边上取一点N，将纸片沿直线折叠，当点C与点A重合时，求的长． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质以及勾股定理解答即可； （2）根据折叠的性质以及勾股定理解答即可． 此题考查矩形的性质和勾股定理，关键是根据矩形的性质和折叠的性质解答． 解：（1）解：∵四边形是矩形 ∴，，， 设，则， 由折叠可得，， 在中，， 即， 解得：， ∴； （2）解：当点与点重合时， 设，则， 由折叠可得，，，， 在中，， 即， 解得：， ． 如图：过点作 ∵四边形是矩形， ∴四边形，是矩形 则设 ∴ 在中， ∴ ∴ 在中， ∴ 【变式1】  （23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，的长为（     ） A．7 B． C． D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得：，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 解：根据题意得：，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，折叠直角梯形纸片的上底，点D落在底边上点F 处，已知，则长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，平行线的性质与判定，过点A作于H，则，（平行线间间距相等），再由折叠的性质得到，，由勾股定理得到，则；设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 解：如图所示，过点A作于H， 由题意得，，则， ∴，（平行线间间距相等）， 由折叠的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：3． 【题型5】勾股数及其规律探究 【例5】（24-25九年级上·广东江门·开学考试）阅读下列材料，并回答问题． 画一个直角三角形，使它的两条直角边分别为5和12，那么我们可以量得直角三角形的斜边长为13，并且事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中，两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则这个结论就是著名的勾股定理． 请利用这个结论，完成下面的活动： (1)一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为 ． (2)满足勾股定理方程的正整数组叫勾股数组．例如就是一组勾股数组．观察下列几组勾股数 ①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41； 请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ． (3)如图，于D，，求的长度． 【答案】(1)10；(2)11，60，61 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的全等，勾股数以及勾股定理的应用． （1）根据“在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方”，可得出这个直角三角形斜边长； （2）先找出勾股数的规律：①以上各组数均满足；②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数；③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和， 如，，，，由以上特点我们可第⑤组勾股数：； （3）根据勾股定理先求得，再证明，从而得出的长度． 解：（1）解：依题意； 故答案为：10 （2）解：∵①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41； 第⑤组勾股数为：11，60，61； 故答案为：11，60，61； （3）解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 【变式1】  （2024七年级上·全国·专题练习）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股定理求勾股数是解题的关键． 由题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程求解即可． 解：∵为正整数， ∴为偶数， 设其股是，则弦为， 由勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：A． 【变式2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为，可以看作；同时8，6，10也为勾股数组，记为，可以看作．类似的，依次可以得到第三个勾股数组．请根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组： ． 【答案】 【分析】本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键． 根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案． 解：上述四组勾股数组的规律是：， 即， ∴ 所以第5个勾股数组为， 故答案为：． 【题型6】勾股定理与弦图问题 【例6】（2024·广东清远·模拟预测）三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用 4 个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图 ”．中，， ，， ，大正方形的面积小正方形的面积 个直角三角形的面积，化简证得勾股定理：． (1)若 ，则 ； (2)如果大正方形的面积是 13， ，求小正方形的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了勾股定理的证明，和以及非负数的性质，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）根据题意得大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为，然后根据，，即可解决问题； （2）根据大正方形的面积，，得，求出，进而可得小正方形的面积． 解：（1）∵大正方形面积为，直角三角形面积为，小正方形面积为， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：； （2）∵大正方形的面积，， ∴， ∴（负值已经舍去）， ∴小正方形的面积． 【变式1】  （23-24八年级下·全国·期中）在数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小邦同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学热爱思考，借助这个图形设计了一道数学题：如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设，则，求得，在中，利用勾股定理求解即可． 解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（）．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为 ．    【答案】13 【分析】根据题意，得是大正方形大的面积，小正方形的面积为，结合公式，计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 解：根据题意，得，， ∴， ∴． 故答案为：13． 【题型7】用勾股定理与“将军饮马”问题 【例7】（22-23八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在边上有一点，，，，分别是边和上的动点，则的最小值是（　　） A． B．6 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 作点关于直线的对称点，过作于交于，则此时，的值最小，且最小值为的长度，连接，则，，根据勾股定理即可得到结论．． 解：作点关于直线的对称点，过作于交于， 则此时，的值最小，且最小值为的长度， 连接， 则，， ， ， ， ， ， 即的最小值是， 故选：C． 【变式1】  （24-25八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，点在边上，且，，动点在边上，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理，过点作于，延长至，使，连接交于，连接，由等腰直角三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，推出，进而得出，当、、在同一直线上时，的值最小，最小为，由勾股定理求出的值即可得出答案． 解：如图，过点作于，延长至，使，连接交于，连接， ，在中，，，，， ，， 于，延长至，使， 为的垂直平分线，， ， ， ， ， 当、、在同一直线上时，的值最小，最小为， 由勾股定理得：， 的值最小为， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级下·广东河源·期末）如图，在中，是的平分线．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】由题意知，，，如图，过作于，过作于，则，，，，可知当三点共线，且时，的值最小，为，由勾股定理得，，计算求解，然后作答即可． 解：由题意知，，， 如图，过作于，过作于， ∴，， ∴，， ∴当三点共线，且时，的值最小，为， 由勾股定理得，， 故答案为：． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，含的直角三角形，勾股定理等知识．明确线段和最小的情况是解题的关键． 【题型8】用勾股定理与“蚂蚁爬行”问题 【例8】（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为，高为，在杯子内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 解：如图：是侧面展开图的一半， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一滴蜂蜜， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与一滴蜂蜜相对的点A处， ，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， ． 故选：A．    【点拨】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【变式1】  （22-23八年级上·重庆沙坪坝·期末）在一个长为，宽为3的长方形草地上，如图摆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱EF平行于AD，且棱长大于场地宽AD，木块的主视图为等腰直角三角形，且底边上的高为1，一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是 ． 【答案】 【分析】将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，用勾股定理计算解答即可． 解：如图，将木块展开，得到如图的长方形， 木块的主视图的高是1米的等腰直角三角形， 等腰直角三角形的斜边长为， 等腰直角三角形的直角边长为：， 则图中长方形的长的长为：，宽仍然为3． 于是最短路径为：． 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了两点之间线段最短，勾股定理，将木块表面展开，正确得到蚂蚁从点A处到点C处需要走的最短路程的等价距离是关键． 【变式2】（22-23八年级下·河南安阳·期末）如图，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的侧面爬行到点B，圆柱体的底面周长是16厘米，高是6厘米，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ）    A．6厘米 B．厘米 C．厘米 D．10厘米 【答案】D 【分析】将圆柱体的侧面展开，通过勾股定理求出的长即可． 解：圆柱体的侧面展开图如图所示，连接， 圆柱体的底面周长是16厘米，高是6厘米， ，， 蚂蚁爬行的最短距离， 故选：D．    【点拨】本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，将立体图形转化在平面图形中求解是解题的关键． 【题型9】勾股定理逆定理 【例9】如图，在中，，，是边上的中线，，求的面积． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，以及等底同高的两三角形面积相等的运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 由为边的中线，可得出为的中点，由的长求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，利用两直角边乘积的一半求出此直角三角形的面积，同时由为中点，利用等底同高得到三角形与三角形面积相等都为三角形面积的一半，由三角形的面积即可求出三角形的面积． 解：为边上的中线，即为中点，且， ，即， 又，， ， ， ， ， 又为中点， ， 则． 【变式1】如图，，，，P是线段上一点，连接，则的长不可能是（    ） A．3.5 B．2.5 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查垂线段的性质勾股定理的逆定理，解题的关键是学会由面积法求高．根据垂线段最短可知，当P与D重合时取最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 解：∵，，， ∴， ∴， 过点B作于点D， 则， ∴， 故选C． 【变式2】如图，在中，点D为边上的中点，，，，则边上的高的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再根据点D为边上的中点即可得出是等腰三角形，故可得出的长；再根据三角形的面积公式即可得出结论． 解：∵点D为边上的中点，， ∴， ∵中，，， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型10】勾股定理与逆定理解决实际问题 【例10】在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得千米，千米，千米． (1)问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析；(2)2.5千米. 【分析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 解：（1）解：是， 理由是：在中， ∵ ∴ ∴， ∴是从村庄C到河边的最近路； （2）解：设，则， 由勾股定理得： ∴ 解得 答：原来的路线的长为2.5千米． 【变式1】《九章算术》内容丰富，与实际生活联系紧密，在书上讲述了这样一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐、引木却行一尺、其木至地．问木长几何？”其内容可以表述为：“有一面墙，高1丈．将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈=10尺）设木杆长x尺，依题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题．当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 解：如图，设木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ， ∴， 故选：C． 【变式2】如图，一棵高5米的树被强台风吹斜，与地面形成夹角，之后又被超强台风在点D处吹断，点A 恰好落在边上的点E，若米，则的长是 米．    【答案】 【分析】过点D作于点M，设米，然后根据题意和含的直角三角形性质分别表示出，，，结合勾股定理列方程求解． 解：过点D作于点M，如下图所示，    设米，则米， 在中，， 则米，米， ∴米， 在中，由勾股定理知：，即， 解得，即的长是米； 故答案为：． 【点拨】本题考查含的直角三角形性质和勾股定理解直角三角形，正确理解题意掌握相关性质定理列方程求解是关键． 【题型11】勾股定理综合问题 【例11】如图，是边长为3的等边三角形，D是的中点，E，F分别在，上，连接，，两线交于点G，连接，，，． (1)求的长； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1); (2)见解析; (3). 【分析】（1）如图，连接，根据等边三角形的性质，结合勾股定理可得，则，，再利用勾股定理即可求解； （2）如图，延长至点，使得，连接，易证，得，则，可知，进而可知，即可证明； （3）如图，过作的垂线交于N，由可得，由角平分线定理知，进而可得，则，在中，，则． 解：（1）解：如图，连接， ∵是边长为3的等边三角形，则， ∵是的中点， ∴，则， ∵，则， ∴． （2）证明：如图，延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 又， ∴， ∴． （3）解：如图，过作的垂线交于N， 则， ∵， ∴，即平分， 令点到，的距离分别为，，点到的距离为， 由角平分线的性质可知，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴是的中点， 在中，， 则． 【点拨】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 【变式1】如图，在Rt中，，，，点为边上的中点，交的延长线于点，交的延长线于点，且．若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，依据题意，连接，然后先证明，从而，由等腰可得，从而在中可以求得，又，而可得的值，进而可以得解，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 解：如图，连接， 在中，， ∵， 点为边上的中点， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 在中，， ∴在中，， 又在中，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2】如图，在和中，，，，分别连接，，延长交于． （1）若，则 ； （2）连接，若，，则的长为 ． 【答案】 111 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形并熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质求出，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可； （2）过点作，交于，利用证明，根据全等三角形的性质求出，，根据等腰直角三角形的性质求出，再根据线段的和差求解即可． 解：（1）， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：111； （2）如图，过点作，交于， ， ． ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$