1.3　勾股定理的应用　　课件　2024—2025学年北师大版数学八年级上册

第一章　勾股定理 3　勾股定理的应用 1. 解决两点间最短路线问题 依据“两点之间，线段最短”找出最短距离，再利用勾 股定理求解. 2. 解决折叠问题 通过折叠图形，找到相等的数量关系，再构造直角三角 形，利用勾股定理求解. 知识导航 题型一　圆柱侧面上两点间的最短距离 （1）如图1，圆柱的底面周长为16， BC ＝12，动 点 P 从点 A 出发，沿着圆柱的侧面移动到 BC 的中点 S 的 最短距离为（　A　） 图1 A A. 10 B. 12 C. 14 D. 20 典例导思 （2）如图2，圆柱的底面周长为3， BC ＝4，动点 P 从 点 A 环绕而上至点 D ，则点 P 运动的最短距离为 ⁠. 图2 5　 典例导思 [方法总结] 解决圆柱侧面两点间的最短距离问题，先 展开侧面成长方形，再根据两点之间线段最短，找出 最短距离，并利用勾股定理求解.注意点在圆柱外壁 还是内壁. 典例导思 1. （2023·广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点 A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它 在离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点 B 处，则蚂蚁从 外壁 B 处到内壁 A 处所走的最短路程 为 cm.（杯壁厚度不计） 10　 （第1题） 典例导思 题型二　长方体（或正方体）表面上两点间的最短距离 如图，一个长方体盒子的高为30 cm，底面是正方 形，边长为20 cm，现在点 A 处有一只壁虎，想吃位于 长方体盒子侧面上点 E 处的一只虫子，问壁虎走的最短 路程是多少？ 典例导思 解：将长方体展开，分别得到如答案图1，答案图2，答 案图3所示的三种情况，连接 AE . 在图1中， AE2＝ AD2＋ DE2＝2 500； 在图2中， AE2＝ AB2＋ BE2＝2 900； 在图3中， AE2＝ AC2＋ CE2＝2 900. ∵2 500＜2 900，∴壁虎走的最 短路程为50 cm. （答案图） 典例导思 [规律总结] 在长方体表面上两点间的最短距离问题中， 把给出的长、宽、高三个数据中较小的两个数据的和作 为一条直角边的长，最大的数据作为另一条直角边的 长，这时斜边的长即为最短距离. 典例导思 2. 如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中 AB ＝9， BB'＝5，B'C'＝6，在线段 AB 的三等分点 E （靠近点 A ）处有一只蚂蚁，B'C'中点 F 处有一米粒，则蚂蚁沿 长方体表面爬到米粒处的最短距离为 ⁠. （第2题） 10　 典例导思 3. 如图，长方体的底面长和宽分别是3 cm和1 cm，高为 6 cm，如果用一根细线从点 A 开始经过四个侧面缠绕一 圈到达点 B ，那么所用细线最短需要 ⁠cm. （第3题） 10　 典例导思 题型三　利用勾股定理解决折叠问题 如图，在长方形 ABCD 中， AB ＝3 cm， AD ＝9 cm，将此长方形折叠，使点 D 与点 B 重合，折痕为 EF ，则△ ABE 的面积为 cm2. 6　 [方法总结]利用勾股定理列方程求线段的长度是折叠问 题中的常用方法. 典例导思 4. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC ＝7 cm， BC ＝24 cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使 它落在 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 等于（　B　） A. 4 cm B. 5.25 cm C. 6.25 cm D. 7 cm （第4题） B 典例导思 5. 如图，已知长方形 ABCD 中， AB ＝4， BC ＝8，连接 BD ，将△ BCD 沿着 BD 翻折，点 C 落在点 E 处， BE 交 AD 于点 F . （第5题） 典例导思 解：（1）∵四边形 ABCD 为长方形， ∴ DC ＝ AB ，∠ C ＝∠ A ＝90°. ∵ ED ＝ CD ，∴ AB ＝ ED . 又∵∠ EFD ＝∠ AFB ， ∠ A ＝∠ E ＝90°， ∴△ ABF ≌△ EDF . ∴ FB ＝ DF . （第5题） （1）试说明： FB ＝ DF ； 典例导思 （2）求△ BDF 的面积. 解：（2）由（1）知 FB ＝ DF ， 设 AF ＝ x ，则 BF ＝ DF ＝8－ x . 在Rt△ ABF 中，根据勾股定理，得 AF2＋ AB2＝ BF2，即 x2＋42＝（8－ x ）2， 解得 x ＝3. ∴ AF ＝3， BF ＝5. ∴ S△ BDF ＝ BF · DE ＝ ×5×4＝10. （第5题） 典例导思 题型四　勾股定理的其他应用 如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8 dm，3 dm，2 dm. A 和 B 是这个台阶上两个相对的端 点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃可口的食物， 则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短路程为 ⁠dm. 17　 典例导思 6. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池 一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐. 问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面 是边长为10尺的正方形，一棵芦苇 AB 生长在 它的中央，高出水面部分 BC 为1尺.如果把该 芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦 苇的顶部 B 恰好碰到岸边的B'（示意图如 图），则水深为 尺. 12　 （第6题） 典例导思 7. 如图，甲、乙两船同时从港口 A 出发，甲船以12海里/ 时的速度向北偏东35°方向航行，乙船向南偏东55°方向 航行.2小时后，甲船到达 C 岛，乙船到达 B 岛.若 C ， B 两岛相距40海里，则乙船的速度是 海里/时. （第7题） 16　 典例导思 $$