1.2　一定是直角三角形吗 课件 2024-2025学年 北师大版数学八年级上册

第一章　勾股定理 2　一定是直角三角形吗 1. 判断三角形是直角三角形的方法 （1）若一个内角等于另外两个内角的和可证明这个三 角形是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理：若三角形的三边长为 a ， b ， c ，且满足 ，则这个三角形一定是直角 三角形. a2＋ b2＝ c2　 知识导航 2. 勾股定理的逆定理的证明 已知：如图，在△ ABC 中， BC ＝ a ， AC ＝ b ， AB ＝ c ， 且 a2＋ b2＝ c2. 求证：△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°. 知识导航 证明：作△A'B'C'，使∠A'C'B'＝90°， A'C'＝ AC ＝ b ，B'C'＝ BC ＝ a ， 由勾股定理，得A'B'2＝B'C'2＋A'C'2＝ a2＋ b2. ∵ a2＋ b2＝ c2，∴A'B'2＝ c2. ∵ A ' B '＞0，∴ A ' B '＝ c ＝ AB . ∵A'B'＝ AB ，A'C'＝ AC ，B'C'＝ BC ， ∴△ ABC ≌△A'B'C'（SSS）， ∴∠ ACB ＝∠A'C'B'＝90°， ∴△ ABC 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°. 知识导航 注意：①勾股定理的逆定理用文字叙述为：在一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.但不能说成“在一个三角形中，如果有两直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形”.②勾股定理逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要方法，若三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a2＋ b2＝ c2，则这个三角形是直角三角形；若 a2＋ b2＜ c2，则这个三角形是钝角三角形；若三角形任意两边的平方和都小于第三边的平方，则这个三角形是锐角三角形.（若只知道 a2＋ b2＞ c2，无法立即判断这个三角形的形状） 知识导航 3. 勾股数 满足 a2＋ b2＝ c2的三个 ，称为勾股数. 常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；7，24，25； 8，15，17；9，40，41；… 注意：这些数的正整数倍仍然是 ⁠. 正整数　 勾股数　 知识导航 （1）一组数是勾股数必须同时满足两个条件：①满足 a2＋ b2＝ c2；②都是正整数.两者缺一不可. （2）将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的 数仍满足 a2＋ b2＝ c2，即以它们为边长的三角形是直角 三角形，但该直角三角形的三边不一定是勾股数.比如 以3，4，5的0.1倍（即0.3，0.4，0.5）为边长的三角形 是直角三角形，但0.3，0.4，0.5不是勾股数. 知识导航 4. 勾股定理与逆定理的区别和联系 勾股定理是直角三角形中的一个性质定理，而逆定理是 判断三角形为直角三角形的定理，这两个定理的条件和 结论可以互换，即： a2＋ b2＝ c2 直角三角形 知识导航 题型一　判定直角三角形 （1）给出下列几组数： ①4，5，6； ②1.2，0.5，1.3； ③ ， ， ； ④ a2＋ b2， a2－ b2，2 ab . 其中一定能组成直角三角形的是 .（填序号） ②④　 典例导思 （2）下列几组数中，是勾股数的有（　A　） ①0.7，2.4，2.5；②32，42，52；③6，8，10； ④ ， ， . A A. 1组 B. 2组 C. 3组 D. 4组 典例导思 [方法总结] 已知3个数，要求以这3个数为边长的三角 形是不是直角三角形，只需看这3个数是否满足 a2＋ b2＝ c2，即最大数的平方是否等于另外两个数的平方 和.而判断勾股数，除了满足 a2＋ b2＝ c2，还需要看是 否为正整数. 典例导思 1. 以下数组中，是勾股数的是（　B　） A. 2.5，6，6.5 B. 9，40，41 C. 1，2，1 D. 2，3，4 B 典例导思 2. 如图，正方形网格中小方格的边长为1，则△ ABC 是 （　A　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对 （第2题） A 典例导思 3. 在△ ABC 中，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对边分别是 a ， b ， c ，下列条件中能判定△ ABC 是直角三角形的 是 .（填序号） ① a ∶ b ∶ c ＝5∶12∶13；② a ＝1.5， b ＝2.5， c ＝2； ③（ a － b ）2＋2 ab ＝ c2；④∠ A ∶∠ B ∶∠ C ＝ 3∶4∶5； ⑤ a ＝ n2－1， b ＝2 n ， c ＝ n2＋1（ n 为大于1的正整 数）. ①②③⑤　 典例导思 题型二　勾股定理逆定理的应用 如图所示的一块地，∠ ADC ＝90°， AD ＝12 m， CD ＝9 m， AB ＝39 m， BC ＝36 m，求这块地的面积. 解：连接 AC ，如图. ∵∠ ADC ＝90°， ∴△ ADC 是直角三角形. 由勾股定理，得 AD2＋ CD2＝ AC2， 即122＋92＝ AC2，∴ AC ＝15 m. 典例导思 ∵ AC2＋ CB2＝152＋362＝392＝ AB2， ∴△ ACB 是直角三角形，且∠ ACB ＝90°. ∴ S四边形 ABCD ＝ S△ ACB － S△ ACD ＝ ×15×36－ ×9×12 ＝216（m2）. 典例导思 [思维点拨] 解决此类问题，应先把不规则图形转化成规 则图形，利用勾股定理的逆定理证明直角三角形再进行 计算. 典例导思 4. 若三角形的三边长为5，12，13，则它最长边上的高 为 ⁠. 　 典例导思 5. 如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海 域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即分别从相距13海里 的 A ， B 两个基地前去拦截，1小时后同时到达 C 地将其 拦截.已知甲巡逻艇每小时航行12海里，乙巡逻艇每小 时航行5海里且航向为北偏西22.6°，则甲巡逻艇的航向 为北偏东 度. 67.4　 （第5题） 典例导思 6. 如图，在△ ABC 中， AB ＝5， AC ＝13， AD 是边 BC 上的中线，点 E 在 AD 的延长线上， AD ＝ ED ＝6. （1）试说明：△ ABD ≌△ ECD ； 解：（1）∵ AD 是边 BC 上的中线， ∴ BD ＝ CD . 在△ ABD 和△ ECD 中， ∴△ ABD ≌△ ECD （SAS）. （第6题） 典例导思 （2）求△ ABD 的面积. 解：（2）∵△ ABD ≌△ ECD ，∴ AB ＝ EC ＝5. ∵ AE ＝ AD ＋ ED ＝12， AC ＝13， CE ＝5， ∴ AE2＋ CE2＝ AC2， ∴△ ACE 是直角三角形，且∠ E ＝90°， ∴ S△ ABD ＝ S△ ECD ＝ ×5×6＝15. （第6题） 典例导思 $$