1.1　探索勾股定理 课件 2024-2025学年 北师大版数学八年级上册

第一章　勾股定理 1　探索勾股定理 第1课时　探索勾股定理（一） 勾股定理 文字语言：直角三角形两直角边的 ⁠等于斜边 的 ⁠. 符号语言： 在Rt△ ABC 中，∵∠ ACB ＝90°， ∴ BC2＋ AC2＝ AB2. 拓展：因为用“∵”表示，所以用“∴”表示. 平方和　 平方　 知识导航 如图，如果用 a ， b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边 和斜边，那么 a2＋ b2＝ 或 c2－ b2＝ ， c2－ a2＝ ⁠. c2　 a2　 b2　 知识导航 （2）在应用勾股定理时， a2＋ b2＝ c2只是边 c 所对的角 是直角时的情况；当 b2＋ c2＝ a2时，表示边 a 所对的角 是直角时的情况；当 a2＋ c2＝ b2时，表示边 b 所对的角 是直角时的情况. 注意：（1）勾股定理体现了数形结合的思想，即把各 边之间“形”的关系，转化为“数”的关系. 知识导航 题型一　利用勾股定理求直角三角形的边长 在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，∠ A ，∠ B ，∠ C 的对 边分别是 a ， b ， c . （1）已知 a ＝6， c ＝10，求 b ； 解：（1）由勾股定理，得 b2＝ c2－ a2＝64＝82，∴ b ＝8. （2）已知 a ＝40， b ＝9，求 c ； 解：（2）由勾股定理，得 c2＝ a2＋ b2＝1 681＝412， ∴ c ＝41. 典例导思 （3）已知 b ＝15， c ＝25，求斜边 c 上的高 h . 解：（3）由勾股定理，得 a2＝ c2－ b2＝400＝202，∴ a ＝20. 由面积法得 ab ＝ ch ， ∴20×15＝25 h ，∴ h ＝12. 典例导思 如图，将长方形 ABCD 的一边 AD 沿 AE 折叠，使点 D 落在 BC 边上的点 F 处，已知 AB ＝8 cm， BC ＝10 cm. 典例导思 解：（1）由折叠可知， △ AEF ≌△ AED . ∴ EF ＝ ED ， AF ＝ AD . ∵四边形 ABCD 是长方形， ∴ AF ＝ AD ＝ BC ＝10 cm. 在Rt△ ABF 中，由勾股定理，得 BF2＝ AF2－ AB2＝102－82＝36， ∴ BF ＝6 cm，∴ CF ＝ BC － BF ＝4 cm. （1）求 CF 的长； 典例导思 （2）求 EC 的长. 解：（2）设 CE ＝x cm， 则 EF ＝ ED ＝ DC － CE ＝（8－ x ）cm. 在Rt△ CEF 中，由勾股定理，得 CF2＋ CE2＝ EF2， 即42＋ x2＝（8－ x ）2，解得 x ＝3， ∴ EC ＝3 cm. 典例导思 [知识总结]勾股定理的主要作用是求直角三角形的边 长，因此该定理只能在直角三角形中应用.已知直角三 角形的两边，可直接利用勾股定理求第三边，但要弄清 已知的是直角边还是斜边；或已知直角三角形的三边满 足的关系，通过列方程求出边长. 典例导思 1. 在△ ABC 中，∠ B ＝90°， （1）若 AB ＝3， BC ＝4，则 AC ＝ ⁠； （2）若 AC ＝13， AB ＝5，则 BC ＝ ⁠. 5　 12　 典例导思 2. 如图，在△ ABC 中， AB ＝13， BC ＝14， AC ＝15， 则 BC 边上的高 AD ＝ ⁠. （第2题） 12　 典例导思 3. 一直角三角形的周长为12，斜边长为5，求该直角三 角形的面积. 解：设两直角边长分别为 a ， b ，则 a ＋ b ＝12－5＝7. 由勾股定理，得 a2＋ b2＝52＝25. 由（ a ＋ b ）2＝ a2＋ b2＋2 ab ＝72，得 ab ＝12. ∴ S ＝ ab ＝ ×12＝6. 典例导思 题型二　探索面积之间的关系 （1）如图1，分别在Rt△ DEF 外部作出3个正方 形，边长各为 DE ， DF ， EF ，设小方格的边长为1.如 果用 SA ， SB ， SC 分别表示正方形 A ， B ， C 的面积， 那么它们之间的关系 是 ，由此可 得 ， 即 ⁠ ⁠； SA ＋ SB ＝ SC 　 DE2＋ EF2＝ DF2　 直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方　 图1 典例导思 （2）如图2，直角三角形三边上的等边三角形的面积从 小到大依次为 S1， S2， S3，则 S1， S2， S3之间的关系是 （　C　） A. S1＋ S2＞ S3 B. S1＋ S2＜ S3 C. S1＋ S2＝ S3 C 图2 典例导思 （3）如图3是一株美丽的勾股树，其中所有四边形都是 正方形，所有三角形都是直角三角形.正方形 A ， B ， C ， D 的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形 E 的面 积是（　B　） B 图3 A. 18 B. 114 C. 194 D. 324 典例导思 （4）如图4，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，分别以各边 为直径作半圆，当 AC ＝3， BC ＝4时，阴影部分的面积 为（　A　） 图4 A A. 6 B. 6π C. 10π D. 12 典例导思 [知识总结]以直角三角形三边构造正方形、半圆、等边 三角形、等腰直角三角形及正多边形，都具有相同的结 论：两个小面积之和等于大面积. 典例导思 4. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ DAB ＝∠ BCD ＝90°， 分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形.若 S1＋ S4＝125， S3＝46，则 S2＝（　B　） A. 171 B. 79 （第4题） B C. 100 D. 81 典例导思 5. 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在 它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围 成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变 成了如图所示的图形，如果继续“生长”下去，它将变 得“枝繁叶茂”.请你算出“生长”了2 024次后形成的 图形中所有的正方形的面积和是（　B　） A. 1 B. 2 025 （第5题） B C. 2 024 D. 2 023 典例导思 6. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形 和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较 长直角边长为 a ，较短直角边长为 b .若 a ＋ b ＝3， ab ＝ 2，则大正方形的面积为 ⁠. （第6题） 5　 典例导思 第一章　勾股定理 1　探索勾股定理 第2课时　探索勾股定理（二） 勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图1所示的正 方形. 在图1中， S正方形 ABCD ＝（ a ＋ b ）2＝ c2＋4× ab ， 所以 a2＋ b2＝ c2. 图1 知识导航 图2 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图2所示的正 方形. 在图2中， S正方形 ABCD ＝ c2＝（ b － a ）2＋4× ab ， 所以 c2＝ a2＋ b2. 知识导航 方法三：将两个全等的直角三角形拼成如图3所示的直 角梯形. 在图3中， S梯形 ABCD ＝ ＝2× ab ＋ c2， 所以 a2＋ b2＝ c2. 图3 知识导航 题型一　验证勾股定理 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方 国家称之为毕达哥拉斯定理，在我国古书《周髀算经》 中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.我国汉代数 学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如 图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今. 典例导思 （1）①请用文字叙述勾股定理： ⁠ ⁠； ②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请 你利用图2证明该定理： S大正方形＝ ，还可以表示为 ⁠ ，所以可得到 ＝ ⁠， 化简后最终得到 ⁠； 直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方　 a2＋2 ab ＋ b2　 c2＋2 ab 　 a2＋2 ab ＋ b2　 c2＋2 ab 　 a2＋ b2＝ c2　 典例导思 （2）如图4，以直角三角形的三边为直径，分别向外部 作半圆，则 S1， S2， S3满足的关系是 ⁠； S1＋ S2＝ S3　 （3）如图5，直角三角形的两直角边长分别为3，5，分 别以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月形 图案（阴影部分）的面积为 ⁠. 7.5　 典例导思 1. 1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证 了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边 AE ， EB 在一条直线上，证明中用到的相等关系是（　B　） A. S△ EDA ＝ S△ CEB B. S△ EDA ＋ S△ CDE ＋ S△ CEB ＝ S四边形 ABCD C. S△ EDA ＋ S△ CEB ＝ S△ CDE D. S四边形 AECD ＝ S四边形 DEBC （第1题） B 典例导思 2. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不 同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发 现，当两个全等的直角三角形按如图1或图2摆放时，都 可以用“面积法”来验证，下面是小聪利用图1验证勾 股定理的过程： （第2题） 典例导思 将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠ DAB ＝90°，验证： a2＋ b2＝ c2. 解：连接 DB ，过点 D 作 BC 边上的高 DF ，则 DF ＝ EC ＝ b － a . ∵ ＝ ＋ ＝ b2＋ ab ， ＝ ＋ ＝ c2＋ a （ b － a ）， ∴ b2＋ ab ＝ c2＋ a （ b － a ）， 得 a2＋ b2＝ c2. （第2题） 典例导思 请参照上述证法，利用图2完成下面的过程. 将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠ DAB ＝90°.验证： a2＋ b2＝ c2. 解：连接 ⁠ ⁠. BD ，延长 CB ， DE 交于点 F ，则 BF ＝ b － a 　 （第2题） 典例导思 ∵ ＝ 　 ＋ ＋ ＝ ab ＋ ⁠， ＝ 　 ＋ ＋ ＝ ab ＋ ⁠， ∴ ⁠. ∴ a2＋ b2＝ c2. ＋ ＋ ＝ ab ＋ b2＋ ab 　 ＋ ＋ ＝ ab ＋ c2＋ a （ b － a ）　 ab ＋ b2＋ ab ＝ ab ＋ c2＋ a （ b － a ）　 （第2题） 典例导思 题型二　勾股定理的简单实际应用 （1）如图1是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别 为4 cm，3 cm，12 cm，现有一长为16 cm的吸管插入到 盒的底部，则吸管露在盒外的部分h cm的取值范围为 （　B　） B 图1 A. 3＜ h ＜4 B. 3≤ h ≤4 C. 2≤ h ≤4 D. h ＝4 典例导思 （2）如图2，在水塔 O 的东北方向24 m处有一抽水站 A ，在水塔的东南方向18 m处有一建筑工地 B ，在 AB 间建一条直水管，则水管 AB 的长为 m； 图2 30　 典例导思 （3）如图3，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，公路 PQ 上点 A 处有学校，点 A 到公路 MN 的距离为80 m.现 有一卡车在公路 MN 上以5 m/s的速度沿 PN 方向行驶， 卡车行驶时周围100 m以内都会受到噪音的影响，请你 算出该学校受影响的时间为 ⁠s. 24　 图3 典例导思 3. 如图所示，为了测得小水坑两边点 A 和点 B 之间的距 离，一个观测者在点 C 设桩，使∠ ABC ＝90°，并测得 AC ＝20 m， BC ＝16 m，则点 A 和点 B 之间的距离 是 ⁠m. （第3题） 12　 典例导思 4. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在 “勾股”章节中记载了一道“折竹抵地”的问题：“今 有竹高一丈（一丈等于10尺），末折抵地，去本三尺， 问折者高几何？”译文为：一根竹子，原来高一丈，后 来竹子折断，其竹竿恰好着地，着地处离原竹子根部3 尺远，问原处的竹子还有多高？ （第4题） 典例导思 （第4题） 解：设 AC 长为 x 尺，则 AB ＝（10－ x ）尺， 由勾股定理，得 32＋ x2＝（10－ x ）2， 解得 x ＝4.55， ∴原处的竹子还有4.55尺. 典例导思 $$