3.2　平面直角坐标系 课件 2024-2025学年 北师大版数学八年级上册

第三章　位置与坐标 2　平面直角坐标系 第1课时　平面直角坐标系（一） 1. 在平面内，两条 且有 ⁠的数 轴组成 .通常，两条数轴分别置于 水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条 数轴的 .其中，水平的数轴叫做 ⁠轴或横 轴，铅直的数轴叫做 轴或纵轴， x 轴和 y 轴统称坐 标轴，它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点. 互相垂直　 公共原点　 平面直角坐标系　 正方向　 x 　 y 　 知识导航 2. 对于平面内任意一点 P ，过点 P 分别向 x 轴、 y 轴 作 ，垂足在 x 轴、 y 轴上对应的数 a ， b 分别叫 做点 P 的 、 ，有序数对（ a ， b ）叫做点 P 的坐标. 垂线　 横坐标　 纵坐标　 知识导航 3. 在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了 四部分：右上方的部分叫做第一象限，其他三部分按逆 时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限.坐 标轴上的点不在任何一个象限内. 4. 在平面直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有 唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过 来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点 与它对应. 知识导航 注意：坐标轴上的点不属于任何象限， x 轴上的点的坐 标为（ x ，0）， y 轴上的点的坐标为（0， y ）. 5. 点的坐标特征： 知识导航 6. 点 P （ a ， b ）到 x 轴的距离为 ，到 y 轴的距离 为 　 　，到原点的距离为 　 　. 　 　 　 知识导航 题型一　根据点的坐标确定所在象限 （1）下列各点在第二象限的是（　B　） A. （1，2） B. （－1，2） C. （－1，－2） D. （1，－2） （2）若点 P （ a ， b ）在第三象限，则点 Q （ a ＋ b ， ab ）在（　B　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 B B 典例导思 1. 在平面直角坐标系中，点 P （－3， a2＋1）所在的象 限是（　B　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若点 P （ m ， n ）在第二象限，则点 P （ m2，－ n ） 在（　D　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 B D 典例导思 3. 在平面直角坐标系中，点 P （ m ， n ）位于第四象 限，下列结论一定正确的是（　D　） A. m ＋ n ＞0 B. m － n ＜0 C. mn ＞0 D. ＜0 D 典例导思 题型二　网格中写点的坐标及面积的相关计算 如图所示，回答下列问题： （1）写出 A ， B ， C 三点的坐标； 解：（1） A （0，1）， B （2， 0）， C （4，3）. 典例导思 （2）求△ ABC 的面积； 解：（2）如图，过点 C 分别向 x 轴、 y 轴作垂线，垂足分别为 D ， E . ∴ S△ ABC ＝ S四边形 DOEC － S△ ACE － S△ BCD － S△ AOB ＝3×4－ ×2×4－ ×2×3－ ×2×1 ＝4. 典例导思 （3）若点 P 在坐标轴上，且△ ABP 与△ ABC 的面积相 等，求点 P 的坐标. 解：（3）当点 P 在 x 轴上时， S△ ABP ＝ AO · BP ＝4， 即 ×1× BP ＝4，解得 BP ＝ 8， ∴点 P 的坐标为（10，0）或 （－6，0）； 典例导思 当点 P 在 y 轴上时， S△ ABP ＝ BO · AP ＝4， 即 ×2× AP ＝4，解得 AP ＝4， ∴点 P 的坐标为（0，5）或 （0，－3）. 综上所述，点 P 的坐标为 （0，5），（0，－3）， （10，0）或（－6，0）. 典例导思 4. 如图，已知点 A （－2，3）， B （4，3）， C （－1， －3）. （1）求点 C 到 x 轴的距离； 解：（1）∵点 C （－1，－3）， ＝3， ∴点 C 到 x 轴的距离为3. （第4题） 典例导思 （2）求△ ABC 的面积； 解：（2）∵点 A （－2，3）， B （4，3）， C （－1，－3）， ∴ AB ＝4－（－2）＝6， 点 C 到边 AB 的距离为3－（－3） ＝6， ∴ S△ ABC ＝ ×6×6＝18. （第4题） 典例导思 （3）点 P 在 y 轴上，当△ ABP 的面积为6时，求点 P 的 坐标. 解：（3）设点 P 的坐标为（0， y ）. ∵△ ABP 的面积为6， A （－2， 3）， B （4，3）， ∴ S△ ABP ＝ ×6× ＝6， ∴ ＝2，∴ y ＝1或 y ＝5， ∴点 P 的坐标为（0，1）或（0，5）. （第4题） 典例导思 题型三　利用点的位置特征确定坐标 （1）在平面直角坐标系的第二象限内有一点 M ， 点 M 到 x 轴的距离为3，到 y 轴的距离为4，则点 M 的坐 标是（　C　） A. （3，－4） B. （4，－3） C. （－4，3） D. （－3，4） C 典例导思 （2）（2024·重庆一外）已知点 M 在 x 轴上，则点 M 的坐标是 ⁠. [思维点拨] （1）抓住不同位置的点的坐标特征是解决 问题的关键，数形结合法是解决这类问题最好的方法； （2）熟记坐标轴上的点的坐标特征： x 轴上的点的纵坐 标为0， y 轴上的点的横坐标为0. （－7，0）　 典例导思 已知点 P （ a －2，2 a ＋8），分别根据下列条件求 出点 P 的坐标. （1）点 P 在 x 轴上； 解：（1）∵点 P （ a －2，2 a ＋8）在 x 轴上， ∴2 a ＋8＝0，解得 a ＝－4， ∴ a －2＝－4－2＝－6， ∴点 P 的坐标为（－6，0）. 典例导思 （2）点 P 在 y 轴上； 解：（2）∵点 P （ a －2，2 a ＋8）在 y 轴上， ∴ a －2＝0，解得 a ＝2， ∴2 a ＋8＝2×2＋8＝12， ∴点 P 的坐标为（0，12）. 典例导思 （3）点 P 到 x 轴、 y 轴的距离相等. 解：（3）∵点 P 到 x 轴、 y 轴的距离相等， ∴ a －2＝2 a ＋8或 a －2＋2 a ＋8＝0， 解得 a ＝－10或 a ＝－2. 当 a ＝－10时， a －2＝－12，2 a ＋8＝－12， ∴点 P 的坐标为（－12，－12）； 当 a ＝－2时， a －2＝－4，2 a ＋8＝4， ∴点 P 的坐标为（－4，4）. 综上所述，点 P 的坐标为（－12，－12）或（－4，4）. 典例导思 5. （2024·重庆一外）如图，在平面直角坐标系中，点 A （－1，1）， B （－1，－2）， C （3，－2）， D （3， 1）.一只瓢虫从点 A 出发，以2个单位长度/秒的速度沿 A → B → C → D → A 循环爬行，则第2 025秒瓢虫在点 （　D　） A. （－1，0） B. （－1，－1） C. （－1，－2） D. （0，－2） （第5题） D 典例导思 6. （1）已知点 M 在第三象限，它到 x 轴的距离为3，到 y 轴的距离为2，则点 M 的坐标为 ⁠； （2）已知点 A 在 x 轴的下方、 y 轴的右侧，距每条坐标 轴都是2个单位长度，则点 A 的坐标为 ⁠. （－2，－3）　 （2，－2）　 典例导思 7. 分别根据下列条件求出点 P 的坐标. （1）点 P （2 m ＋4， m －1）在 x 轴上； 解：（1）∵点 P （2 m ＋4， m －1）在 x 轴上， ∴ m －1＝0，解得 m ＝1，则 P （6，0）. （2）点 P （2 m ＋4， m －1）到 y 轴的距离为2； 解：（2）∵点 P （2 m ＋4， m －1）到 y 轴的距离为2， ∴2 m ＋4＝2或2 m ＋4＝－2， 解得 m ＝－1或 m ＝－3， 则 P （2，－2）或（－2，－4）. 典例导思 （3）点 P （2 m ＋4， m －1）到 x 轴、 y 轴的距离相等； 解：（3）∵点 P （2 m ＋4， m －1）到 x 轴、 y 轴的距离 相等， ∴2 m ＋4＝ m －1或2 m ＋4＋ m －1＝0， 解得 m ＝－5或 m ＝－1， 则 P （－6，－6）或（2，－2）. 典例导思 （4）点 P （ a ， b ）到 x 轴的距离为2，到 y 轴的距离 为3. 解：（4）∵点 P （ a ， b ）到 x 轴、 y 轴的距离分别是2 和3， ∴ ＝3， ＝2，∴ a ＝±3， b ＝±2， ∴点 P 的坐标为（3， 2），（3，－2），（－3， 2） 或（－3，－2）. 典例导思 第三章　位置与坐标 2　平面直角坐标系 第2课时　平面直角坐标系（二） 1. 特殊点的坐标 （1）平行于 x 轴的直线上任意两点的纵坐标相同；平行 于 y 轴的直线上任意两点的横坐标相同. （2）①第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相 等； ②第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反 数. 知识导航 2. 建立直角坐标系的基本思路 （1）分析条件，选择适当的点作为坐标原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出 x 轴 和 y 轴； （3）确定正方向和单位长度. 3. 两点间的距离公式：点 A （ x1， y1）与点 B （ x2， y2）之间的距离 d ＝ . 知识导航 题型一　坐标系中特殊点的坐标 根据下列条件求点的坐标. （1）已知点 P （3 a ＋5， a －3）， Q （2，－2），若 PQ ∥ x 轴，则点 P 的坐标是 ⁠； （2）已知点 P （3 a ＋5， a －3）， Q （2，－2），若 PQ ∥ y 轴，则点 P 的坐标是 ⁠； （3）已知点 A （3 a －5，－ a ＋1）在第二、四象限的 角平分线上，则点 A 的坐标是 ⁠； （8，－2）　 （2，－4）　 （1，－1）　 典例导思 （4）已知线段 AB ∥ x 轴，且 AB ＝4，若点 A 的坐标为 （－1，2），则点 B 的坐标是 ⁠ ⁠； （5）已知平面直角坐标系中有一点 M （ m －1，2 m ＋ 3），且点 M 到 x 轴的距离为1，则点 M 的坐标是 ⁠ ⁠. （－5， 2）或（3， 2）　 （－ 2，1）或（－3，－1）　 典例导思 [知识总结] 平行于 x 轴的直线上两点 A （ x1， y ）， B （ x2， y ）之间的距离为 ；平行于 y 轴的直线 上两点 A （ x ， y1）， B （ x ， y2）之间的距离为 .注意已知距离求点的坐标需考虑是否有双解. 典例导思 1. 已知点 A （5，－2）与点 B （ x ， y ）在同一条平行于 x 轴的直线上，且点 B 到 y 轴的距离等于4，那么点 B 的 坐标是 ⁠. （4，－2）或（－4，－2）　 典例导思 2. 在平面直角坐标系中，有点 A （－2， a ＋3）， B （ b ， b －3）. （1）当点 A 在第二象限的角平分线上时，求 a 的值； 解：（1）由题意，得 a ＋3＝2， 解得 a ＝－1. 典例导思 （2）当点 B 到 x 轴的距离是它到 y 轴的距离的2倍时， 求点 B 所在的象限. 解：（2）由题意，得 ＝2 ， 解得 b ＝－3或 b ＝1. 当 b ＝－3时，点 B （－3，－6）在第三象限； 当 b ＝1时，点 B （1，－2）在第四象限. 典例导思 题型二　建立平面直角坐标系 如图，已知四边形 ABCD 为平行四边形，∠ ABC ＝ 45°， AB＝4 ， BC ＝10，建立适当的坐标系，写出 各顶点的坐标. 解：以点 B 为坐标原点， BC 所在的直线为 x 轴，以过点 B 且垂直于 BC 的直线为 y 轴建立直角坐标系，容易得出 A （4，4）， B （0，0）， C （10，0）， D （14，4）.（坐标系建法不唯一） 典例导思 3. 如图，正五边形 ABCDE 放入某平面直角坐标系后， 若顶点 A ， B ， C ， D 的坐标分别是（0， a ）， （－3，2），（ b ， m ），（ c ， m ），则点 E 的坐标是 （　C　） A. （2，－3） B. （2，3） C. （3，2） D. （3，－2） （第3题） C 典例导思 4. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂 片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表 示叶片“顶部” A ， B 两点的坐标分别为（－2，2）， （－3，0），则叶杆“底部”点 C 的坐标为 ⁠ ⁠. （第4题） （2， －3）　 典例导思 题型三　平面直角坐标系中的分类讨论 已知：如图，△ ABC 的三个顶点位置分别是 A （1，0）， B （－2，3）， C （－3，0）. （1）求△ ABC 的面积； 解：（1）∵点 A （1，0）， B （－2， 3）， C （－3，0）， ∴ AC ＝1－（－3）＝4， ∴ S△ ABC ＝ ×4×3＝6. 典例导思 （2）若点 A ， C 的位置不变，当点 P 在 y 轴上时，且 S△ ACP ＝2 S△ ABC ，求点 P 的坐标； 解：（2）∵ S△ ACP ＝2 S△ ABC ＝12， ∴ AC · OP ＝12，∴ OP ＝6. 当点 P 在 y 轴的正半轴上时， P （0，6）； 当点 P 在 y 轴的负半轴上时， P （0，－6）. 综上所述，点 P 的坐标为（0，6）或 （0，－6）. 典例导思 （3）若点 B ， C 的位置不变，当点 Q 在 x 轴上时，且 S△ BCQ ＝2 S△ ABC ，求点 Q 的坐标. 解：（3）∵ S△ BCQ ＝2 S△ ABC ＝12， ∴ CQ · ＝12，∴ CQ ＝8. 当点 Q 在点 C 的左侧时， Q （－11，0）； 当点 Q 在点 C 的右侧时， Q （5，0）. 综上所述，点 Q 的坐标为（－11，0） 或（5，0）. 典例导思 5. 已知点 A （6，0），点 B 在 y 轴上， AB 与坐标轴围成 的三角形的面积为12，则点 B 的坐标为 ⁠ ⁠. （0，4）或 （0，－4）　 典例导思 $$