22.2二次函数与一元二次方程预习讲义2024-2025学年人教版九年级数学上册

22.2二次函数与一元二次方程预习讲义-数学九年级上册人教版 知识梳理 待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2） 二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 典例分析 1．已知二次函数的图象的顶点是，且经过点 (1)求二次函数的解析式； (2)直接写出图象位于轴下方时，自变量的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的解析式求解以及二次函数与轴的交点坐标问题，灵活从二次函数三种形式中选择合适的表达式求解是解题关键． （1）根据顶点坐标直接设解析式为顶点式，然后代入求解即可； （2）结合解析式，求解二次函数与轴的交点坐标，再根据开口方向即可确定范围． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为． 由题知：，，则， 又∵二次函数图像过点 ∴， ∴． ∴二次函数的解析式为：． （2）解：当时， ∴， ∴， 解得：，； ∴抛物线与轴的交点坐标为，， ∵，则抛物线的开口向上， ∴图象位于轴下方时，自变量的取值范围． 2．函数． (1)求函数图象过哪个定点． (2)图象与轴至少有1个交点的横坐标为整数，求能取的所有整数值． 【答案】(1) (2)0或1或3 【分析】（1）将原函数关系式变形为，从而可得到二次函数图象经过定点的坐标； （2）把代入，得，变形得到，由，均为整数，即可得到或或或，分这4种情况求得的值即可． 本题主要考查抛物线与轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，把解析式进行变形是解决此题的关键． 【详解】（1）解： ， 当时，， 函数必过定点． （2）解：把代入， 得， 整理得， ， ， ∵都是整数 ∴或或或， 经检验，满足条件的整数解为： ，，，， ∴可取整数值0或1或3． 精选好题 一、单选题 1．抛物线与x轴的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．二次函数的图象的最高点在轴上，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4 4．已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．观察下面的表格： 判断方程的一个解的范围是（　　） A． B． C． D． 6．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 7．已知二次函数的图象交轴于，两点，若其图象上有且只有、、三点满足，则的值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在、之间（包含端点），则下列结论：①；②若，是抛物线上两点，则；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 9．抛物线与坐标轴交点的个数为 ． 10．已知方程的两个解满足，则抛物线的对称轴为直线 ． 11．已知二次函数的图象与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是 ． 12．已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 ． 13．已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ． 14．已知，二次函数与x轴有两个交点、，则代数式的最小值是 ． 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线，则： （1）该拋物线的对称轴为直线 ； （2）已知该抛物线与轴有交点，现有点，若线段与拋物线只有一个公共点，结合函数图像，则的取值范围为 ． 16．已知二次函数的图象过定点，，下列结论： ①当时，该函数图象的顶点坐标为；②该函数图象与x轴始终有两个不同的交点；③当时，该函数在时，y随x增大而增大；④该函数图象截x轴所得线段长度小于．其中正确的结论是 ．（只填序号） 三、解答题 17．已知二次函数的顶点坐标为，求此二次函数的解析式，并求出该函数图像与x轴的交点坐标． 18．已知二次函数的图象如图所示． (1)用配方法求该函数图象的顶点坐标和对称轴． (2)结合函数图象，直接写出当时的取值范围． 19．已知关于x的方程． (1)求证：不论m为任何实数， 此方程总有实数根； (2)若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式； (3)若点与在（2）中抛物线上，且，求的值． 20．如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标． (2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集． (3)若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围． 21．已知抛物线为常数，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点，经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D，与轴的交点为点． (1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式； (2)如图2，若，试确定a的值； (3)如图3，在（1）的情形下，连接，，点P为抛物线在第一象限内的点，连接交于点Q，当取最大值时，试求点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B B B C C 1．C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴的交点个数即为对应的一元二次方程实数解的个数，据此利用判别式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴抛物线与x轴的交点个数是2个， 故选：C． 2．B 【分析】本题考查二次函数图象与性质，由二次函数有最高点得到，求出抛物线顶点坐标为，由题意得方程求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象有最高点， 二次函数图象开口向下，即， 二次函数的顶点坐标为， 当二次函数的图象的最高点在轴上时，，即，解得或（正值舍去）， 故选：B． 3．D 【分析】根据得顶点坐标是， ，判定抛物线开口向下；令，得，图象与轴交点的坐标是；令，得，求得交点坐标，后计算距离解答即可． 本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的计算是解题的关键． 【详解】解：根据得顶点坐标是， ， ∴抛物线开口向下； 故A，B错误； 令，得， ∴图象与轴交点的坐标是； 故C错误； 令，得， 解得， ∴， 故D正确， 故选D． 4．B 【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据抛物线的对称轴求出点A的坐标； 先求出抛物线的对称轴，再根据，两点，关于直线对称，求出A点的坐标，即可得出答案． 【详解】解：的对称轴为， 与关于直线对称．A点的坐标是∶， 线段的长度； 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解．根据表格中的数据，可以发现：时，；时，，故一元二次方程的一个解的范围是． 【详解】解：根据表格中的数据，知： 方程的一个解的范围是：． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得． 【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1， 则当时，x的取值范围为或． 故选：B． 7．C 【分析】根据二次函数与轴的交点可知，，再利用数轴上两点之间的距离公式及二次函数的性质解答即可．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式，二次函数的性质，二次函数与方程，解题关键是掌握二次函数与方程的关系． 【详解】解：∵二次函数的图象交轴于，两点， ∴， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∴当点，，中有点为抛物线顶点时满足题意， ∴， 故选：． 8．C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．根据二次函数的开口方向和对称轴可判断①；根据两个点离对对称轴的远近可判断②；根据抛物线的顶点坐标和开口方向可判断③；根据直线与抛物线的交点个数可判断④，进而可得答案． 【详解】解：由图象知抛物线的开口向下，则， ∵抛物线的顶点坐标， ∴抛物线的对称轴为直线，则， ∴，故①正确； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，且， ∴，故②错误； ∵抛物线的开口向下，顶点坐标， ∴当时，二次函数有最大值， ∴对于任意实数m，，即， 故③正确； ∵抛物线的开口向下，顶点坐标， ∴直线与抛物线有且只有一个交点， 则直线与抛物线有两个交点， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故④正确， 综上，结论正确的有3个， 故选：C． 9． 【分析】本题考查了抛物线与轴交点、二次函数图象上点的坐标特征，根据，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴没有交点，来解决此题． 【详解】解：，，， ， 抛物线与轴交点的个数为， 当时，， 抛物线与轴交点的个数为， 抛物线与坐标轴交点的个数为； 故答案为：3． 10． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线与轴的交点求对称轴是解题的关键．若抛物线与轴的交点为和，则其对称轴为直线，即可得解． 【详解】解：依题意，抛物线与轴的交点为和， 对称轴为直线，即， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，理解方程组的解与函数交点的关系是解题的关键． 联立两解析式，然后根据判别式大于等于0求解即可． 【详解】解：把代入得：， 整理得， ∵二次函数的图象与一次函数的图象有交点， ∴，解得：． 故答案为：． 12．/0.5 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象与几何变换，正方形的性质，关键是解方程求出，，，坐标． 根据抛物线：求出顶点的坐标，再令，解方程求出，坐标，得出，再根据抛物线与抛物线关于轴对称，求出顶点的坐标，然后根据正方形得到列出关于的方程，解方程求出的值． 【详解】解：抛物线的顶点为点， ， 抛物线与轴分别交于点，（点在点左侧）， ，抛物线开口向上， 当时，， 整理得：， 解得， 点在点左侧， ，， ， 抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为， ， ， ∵四边形是正方形， ∴， 则， ， 经检验，是方程的解，也符合题意， 故答案为：． 13．4 【分析】此题考查函数图象的应用，解题的关键是求出函数与y轴的交点．先求出函数与y轴的交点，再根据函数图象的特点即可求解． 【详解】解：令得，， 所以函数的图象与y轴的交点坐标为． 方程的实数根可以看成函数的图象与直线交点的横坐标． 因为该方程恰有3个不相等的实数根， 所以函数的图象与直线有3个不同的交点． 如图所示， 当时，两个图象有3个不同的交点， 所以m的值为4． 故答案为：4． 14．18 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，抛物线的图象与性质，先求解，，对称轴为直线，求解，结合，再建立二次函数，利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：∵二次函数与x轴有两个交点、， ∴，，对称轴为直线， ∴顶点纵坐标为：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ 当时， 的最小值为：； 故答案为：18． 15． 1 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴交点，数形结合思想； （1）把解析式配方即可求解； （2）首先由抛物线与x轴有交点可确定m的取值范围为；分及两种情况讨论，结合图象即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴拋物线的对称轴为直线； 故答案为：1； （2）∵抛物线与x轴有交点， ∴， 即； 当时，，即抛物线与y轴的交点C的坐标为， ∵点Q的纵坐标也为m， ∴抛物线与y轴的交点与点Q在同一直线上，即轴； ①当分时，如图， 则或时，线段与抛物线只有一个公共点； 解得：或； ∴； 故答案为：1； ②当时，如图， 则或时，线段与抛物线只有一个公共点； 解得：或； ∴； 综上，满足条件的m取值范围为：或． 故答案为：或． 16．①③ 【分析】本题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．①利用待定系数法求得，设，则，，则二次函数的解析式为，把，即代入求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②求得判别式的值，即可判断；③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④令函数值为0，求得与轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题． 【详解】解：∵二次函数的图象过定点，， ∴，解得， 设，则，， ∴二次函数的解析式为， 当，即时，则，， ∴， 顶点坐标是；①正确； ∵， ∴该函数图象与x轴始终有交点，②不正确； 当即时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的左边随的增大而增大． 因为当时，， ∴该函数在时，y随x增大而增大；③正确； 令，有， 解得：，， ， 所以当时，函数图象截轴所得的线段长度大于，④错误； 综上，正确的结论有①③． 故答案为：①③． 17．； 【分析】本题主要考查求二次函数解析式,与x轴交点坐标，解一元二次方程，根据顶点坐标求出关于为未知数的方程组，求出的值可得二次函数解析式，再令，利用因式分解法解方程求出x的值，进一步得出抛物线与x轴的交点坐标 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为：； 令，则， 则, 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为 18．(1)顶点坐标为，对称轴为直线； (2)或． 【分析】（）利用配方法把二次函数解析式转化为顶点式即可求解； （）利用对称性求出抛物线与轴的另外一个交点坐标，再观察函数图象即可求解； 本题考查了二次函数的顶点式，二次函数与不等式，运用配方法把二次函数解析式转化为顶点式是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （2）解：根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为， 观察函数图象知，当时，的取值范围为或． 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查一元二次方程以及一元二次函数，熟练掌握定理是解题的关键． （1）计算一元二次方程的即可进行判断； （2）令，解得 ，，求出即可得到答案； （3）求出抛物线的对称轴为直线，得到点 P， Q关于直线 对称，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，原方程化为 此时方程有实数根． 当时，原方程为一元二次方程 此时方程有两个实数根． 综上，不论m为任何实数时，方程 总有实数根． （2）解：令， 则 解得 ，． 抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数， 抛物线的解析式为． （3）解：， 抛物线的对称轴为直线． 点与在抛物线上， 点P，Q不重合， 且 点 P， Q关于直线 对称．   ． 20．(1)，顶点坐标为 (2)或 (3)或 【分析】本题考查二次函数与不等式、用待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，（1）将点代入求得，再求得，再利用待定系数法求解即可； （2）联立方程组求得，再根据图象求解即可； （3）方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，在结合图象求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴． 当时，， 解得， ∴点． 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴顶点坐标为． （2）解：∵直线与抛物线的交点在第三象限， ∴， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴， ∴， ∴点A的坐标为， 观察图象，得不等式的解集为或； （3）解：方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点， 如图，当时，直线与抛物线始终有一个交点； 当直线经过抛物线顶点时，直线与抛物线有一个交点， ∴n的取值范围为或． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则，求出，，将代入一次函数求出，从而得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解； （2）由（1）得：，，设点的坐标为，由得出点的横坐标为2，代入一次函数解析式得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解； （3）由（1）知：，，，得出，求出点的坐标得出，根据，得出关系式，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，令，则， 解得：，， ，， 将代入得：， 解得：， ， 点的横坐标为3， 当时，， ， 将代入抛物线解析式得：， 解得：， ； （2）解：由（1）得：，， 设点的坐标为， ， 为的中点， 在轴上， ， ， 在中，当时，， ， 将代入抛物线解析式得：， 解得：； （3）解：由（1）知：，，， ， 在中，当时，， ， ， 设， ， ， 当时，的值最大，此时． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题、二次函数综合—面积问题，待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$