5.5　应用二元一次方程组——里程碑上的数 课件　2024—2025学年北师大版数学八年级上册

5　应用二元一次方程组 ——里程碑上的数 1.数字问题 (1)一个两位数,若十位数字是a,个位数字是b,则这个两位数可表示为=　10a+b　. (2)一个三位数,若百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c,则这个三位数可表示为=　100a+10b+c　. (3)一个五位数,若末三位数字组成的数为b,前两位数字组成的数为a,则这个五位数可表示为　1 000a+b　. 例:一个两位数,个位数字与十位数字之和为6.若其中间加一个0,与原数的和为228,则原数为多少? 解:设这个两位数的十位数字为x,个位数字为y,则根据题意可列方程组为  　.  2.行程问题 (1)相遇问题:两人走的路程和等于两地间的距离. (2)追及问题:①两人同地但不同时出发,同向而行,直到后者追上前者,两人所走的路程相等; ②两人异地同时出发,同向而行,直到后者追上前者,两人所走的路程差等于两地间的距离. 例:在笔直的道路上,甲、乙两人相距4 km,以各自的速度同时出发.若同向而行,则甲2 h追上乙;若相向而行,则两人0.5 h后相遇.求甲、乙两人各自的速度. 解:设甲的速度是x km/h,乙的速度是y km/h.同时出发,同向而行时,根据数量关系:甲2 h行驶的路程-乙2 h行驶的路程=4 km可列方程为　2x-2y=4　;同时出发,相向而行时,根据数量关系:甲0.5 h行驶的路程+乙0.5 h行驶的路程=4 km可列方程为　0.5x+0.5y=4　.因此,可列方程组为 　.  (3)环形问题:①两人同时同地同向而行,首次追及,两人所走的路程之差为环形周长; ②两人同时同地反向而行,首次相遇,两人所走的路程之和为环形周长. (4)列车问题:考虑车自身的长度. 例:一列火车匀速通过某铁路桥,火车从上桥到完全离开桥共用30 s,而整列火车都在桥上的时间为20 s.已知火车的速度为20 m/s,求铁路桥长和火车的长. 解:设铁路桥长为x m,火车的长为y m,根据数量关系火车从上桥头到完全离开桥走过路程为桥长+火车长及整列火车都在桥上的路程为桥长-火车长可列方程组为  　.  用二元一次方程组解决数字问题 一个两位数的十位数字与个位数字的和为7,如果将十位数字与个位数字对调,所得的新数比原数小27.求原来的两位数. 解:设原来的两位数的个位数字为x,十位数字为y,则原来的两位数为10y+x,新两位数为10x+y.根据题意,得 解得 所以原来的两位数为52. 1.已知两数x,y之和是10,x比y的3倍大2,则下面所列方程组正确的是(　C　) A. B. C. D. 2.一个三位数与一个两位数的差为85,在这个三位数的右边接着写这个两位数得到一个五位数,在这个两位数的右边接着写这个三位数得到另一个五位数.已知前一个五位数的4倍比后一个五位数小12 651,求这个三位数与两位数. 解:设这个三位数为x,两位数为y,根据题意,得 解得 所以这个三位数是163,两位数是78. 用二元一次方程组解决行程问题 甲、乙两地相距160 km,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,经过1 h 20 min相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1 h后调转车头原速返回,在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米? 解:设汽车每小时行驶x km,拖拉机每小时行驶y km.根据题意,得 解得 汽车行驶:90×=165(km), 拖拉机行驶:30×=85(km). 答:汽车行驶了165 km,拖拉机行驶了85 km. 一列快车长168 m,一列慢车长184 m.如果两车相向而行,从相遇到离开需4 s;如果同向而行,从快车追及慢车到离开需16 s.求两车的速度. 解:设快车的速度为x m/s,慢车的速度为y m/s, 由题意,得 解得 答:快车的速度为55 m/s,慢车的速度为33 m/s. 3.一艘船顺水航行45 km需要3 h,逆水航行65 km需要5 h.若设船在静水中的速度为x km/h,水流的速度是y km/h,则x,y的值分别是 (　B　) A.x=13,y=2 B.x=14,y=1 C.x=15,y=1 D.x=14,y=2 4.甲、乙二人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步,甲的速度是乙的速度的2.5倍,4 min后两人首次相遇,此时乙还需要跑300 m才算跑完一圈,求甲、乙二人的速度及环形场地的周长(列方程组求解). 解:设乙的速度为x m/min,环形场地的周长为y m,则甲的速度为2.5 x m/min, 根据题意,得 解得 则2.5x=375. 答:甲的速度为375 m/min,乙的速度为150 m/min,环形场地的周长为900 m. $$