第1章一元二次方程闯关练习2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程闯关练习-数学九年级上册苏科版 目录 第一部分：知识梳理。 第二部分：典型例题。‌ 第三部分：跟踪训练。 第一部分 知识梳理 一元二次方程基础概念 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： 1 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 典型例题： 1、已知关于x的方程（m+）x+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。 解一元二次方程 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=. （2） 直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是： ①移项； ②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1； ③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 知识点三 公式法解一元二次方程 （1） 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3） 公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值； ④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点四 因式分解法解一元二次方程 （1） 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 （2） 因式分解法的详细步骤： 1 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； 2 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 3 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 4 解一元一次方程即可得到原方程的解。 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=, x1x2= 实际问题与一元二次方程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 （2） 设：是指设元，也就是设出未知数。 （3） 列：列方程是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4） 解：就是解方程，求出未知数的值。 （5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c. （2）增长率问题 设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2=b。 （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有： ①总利润=总销售价-总成本； ②总利润=单位利润×总销售量； ③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。 第二部分 典型例题 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法和步骤． （1）用因式分解法求解即可； （2）用公式法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴， 解得：． （2）解：， ， ， ∴方程有两个不相等的实数根 ∴， ∴． 2．如图在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点设，，则线段的长是方程的一个根吗？请说明理由． 【答案】是，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，公式法解一元二次方程，根据勾股定理求出的长，进而求出的长，公式法求出方程的根，进行判断即可． 【详解】解：是，理由如下： 由作图可知：， ∵，，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴的根为：， ∴， ∴的长是方程的一个根． 3．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 第三部分 跟踪训练 一、单选题 1．下列属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元二次方程的一个根，则b的值为（　　） A．1 B．2 C． D． 3．关于的一元二次方程有实数根，则可取的最小整数是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 4．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A．0 B．8 C． D．0或8 5．方程的两个根的和是（    ） A． B．0 C．2 D．4 6．一元二次方程的根的情况是（  ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 7．已知，则等于（　　） A． B．1 C． D． 8．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和丙 C．乙和丙 D．丙和丁 二、填空题 9．若方程有实数根，则b的取值范围是 ． 10．已知是方程的一个根，则 ． 11．关于的方程，当 时，两根互为倒数；当 时，两根互为相反数． 12．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则 ．（利用根与系数的关系） 13．若a，b是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为 ． 14．已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的边长为 ． 15．若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ． 16．某商店将进货价为元的玩具按每件元售出，每周可销售件现在采取提高售价，减少售货量的方法增加利润，已知这种玩具每涨价元，其销量减少件，要使每周获得元的利润，则售价为 元． 三、解答题 17．（1）公式法解方程：； （2）配方法解方程：． 18．关于的一元二次方程． (1)如果方程有实数根，求的取值范围； (2)如果，是这个方程的两个根，且，求的值． 19．已知一元二次方程有两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个实数根分别为，且满足，请求出k的值． 20．定义运算：．若a，b是方程的两根，求的值． 21．如图，一农户要建一个矩形鸡舍，为了节省材料鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用长为27米的建筑材料围成，为方便进出，在垂直墙的一边留下一个宽1米的门．设米时，鸡舍面积为S平方米． (1)若，求S关于x的函数表达式及x的取值范围． (2)在（1）的条件下，当为多少时，鸡舍的面积为90平方米？ (3)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到100平方米？ 22．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C C D C A B B 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D、含未知数的项的最高次数是3，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入方程得，然后解关于b的方程即可． 【详解】解：把代入一元二次方程，得 ， 解得：． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程的根与的关系成为解题的关键． 利用根的判别式的意义得到，然后解不等式，最后确定c的最小整数值． 【详解】解：根据题意得，解得， 所以c的最小整数值是0． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程有两个相等的实数根，则，据此得出关于m的方程，求解即可得出答案． 【详解】方程有两个相等的实数根， ， 解得，， 故选：D． 5．C 【分析】此题主要考查了因式分解法解方程，解方程求出两个根，可得结论．正确分解因式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，， ∴， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程没有实数根， 故选：． 7．B 【分析】本题考查了解一元二次方程．先解一元二次方程求得，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：由题意知，甲中， 丙中， ∴甲和丙出现了错误， 故选：B． 9． 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的判别式． 首先把方程化为一般形式，再根据方程有实数解可得，再代入相应数据进行计算即可． 【详解】∵ ∴， ∵方程有实数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查一元二次方程的解，采用了整体代入的方法．把代入方程，求出，把化成，代入求出即可． 【详解】解：把代入方程得：， ， ， 故答案为：． 11． 1 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若一元二次方程的两个根为，则，．一定要注意保证．设方程两个为根据根与系数的关系得，，按照题意分别进行解答，然后把m的值代入原方程，利用方程的解的情况确定m的值． 【详解】解：设方程两个为， 两根互为倒数，则，解得，此时方程为，即，满足，此时方程有两个不相等的实数根， ∴符合题意； 两根互为相反数，则，解得或， 当时，原方程变形为，此方程没有实数根； ∴时，原方程变形为，此方程有两个实数根； ∴符合题意， 故答案为：1，． 12．23 【分析】根据根与系数的关系得到，，再将变形为，整体代入计算即可求解．本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，一元二次方程的根与系数的关系为：，． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ． 故答案为：23． 13．4 【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，． 先根据一元二次方程的解得的定义得到a，b是方程的两个根，，将代数式化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵a，b是两个不相等的实数，且满足，， ∴a，b是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：4． 14．5 【分析】本题考查解一元二次方程，菱形的性质及勾股定理，正确掌握一元二次方程的解法、菱形的性质，是解题的关键．求出一元二次方程的两个根，根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理可得答案． 【详解】解： ， 解得：，即菱形的两条对角线长分别为6和8， 菱形的边长为， 故答案为：5． 15． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，解题的关键是根据一元二次方程的定义求出k的值．先根据一元二次方程的定义求出k的值，然后再代入不等式，解不等式即可． 【详解】解：是一元二次方程， 且， 解得：且， ， 原不等式为：，即 ∴， 故答案为：． 16．13或15 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设每件涨价x元，每件的销售利润为：元，每月的销售量件，根据每月的利润等于每件的销售利润乘以销售量列出关于x的一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每件涨价x元，每件的销售利润为：元， 每月的销售量为：件， 根据题意有：， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，， ∴售价为：13元或15元， 故答案为：13或15． 17．（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法，配方法，因式分解法，公式法是解题的关键． （1）公式法解方程即可； （2）配方法解方程即可． 【详解】解：（1）， ∴，，，， ∴， ∴，； （2）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确，是一元二次方程的两个根时，，是答题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）由根与系数的关系可得，，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， 解得：； （2）∵，是这个方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ， 解得：． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程： （1）根据判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再根据已知条件建立关于k的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， 解得： （2）解；由根与系数的关系可得， ∵， ∴= 解得． 20．0 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、新运算法则等知识点，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是解题的关键． 由根与系数的关系可找出，根据新运算得到，将其中的1替换成进行计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴． 21．(1) (2)当为9米时，鸡舍的面积为90平方米 (3)不能 【分析】本题主要考查了列函数关系式、一元二次方程的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． （1）设米时，则米，然后根据矩形面积公式即可求出函数表达式；再根据生活实际确定x的取值范围即可； （2）根据题意得：求得x的值，然后代入验证即可； （3）根据题意得，然后根据用一元二次方程根的判别式进行解答即可． 【详解】（1）解：设米时，则米，鸡舍面积为S平方米， 根据题意得，； ∵， ∴， ∴x的取值范围为． （2）解：根据题意得：，解得， 当时，（不合题意舍去）， 当时，． 答：当为9米时，鸡舍的面积为90平方米． （3）解：根据题意得：，整理得，， ∵， ∴方程没有实数根， ∴鸡舍面积不能达到100平方米． 22．(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$