12.3角平分线的性质【培优卷】分层同步练习2024－2025学年人教版数学八年级上册

人教版八年级上学期数学课时进阶测试 12.3角平分线的性质【培优卷】分层同步练习 班级: 姓名: 同学们: 练习开始了,希望你认真审题,细致做题,运用所学知识解决本练习。祝你收获满满,学习进步,榜上有名! 一、选择题 1.如图,在中,和的平分线AE、BF相交于点O,AE交BC于B,BF交AC于F,过点O作于D,下列四个结论:①;②当时,;③若,,则.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①②③ D.①③ 2.如图,点P为定角∠AOB平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:①PM=PN;②OM+ON的值不变;③MN的长不变;④四边形PMON的面积不变,其中,正确结论的是( ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 3.如图,在 ABC中,若分别以AB、AC为边作 ABD和 ACE,且∠DAB=∠CAE= ,AD=AB,AC=AE,DC、BE交于点P,连接AP,则∠APC的度数为( ) A.90 ﹣ B.90 + C.90 ﹣ D.90 + 4.如图 是 的角平分线, 于E,点F,G分别是 , 上的点,且 , 与 的面积分别是10和3,则 的面积是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 5.如图所示,在 ABC中,内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P,BE=BC,PB与CE交于点H,PG∥AD交BC于F,交AB于G,连接CP.下列结论:①∠ACB=2∠APB;②S PAC:S PAB=AC:AB;③BP垂直平分CE;④∠PCF=∠CPF.其中,正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.如图,中,,点I为各内角平分线的交点,过I点作的垂线,垂足为H,若,,,那么的值为( ) A.1 B. C.2 D. 7.如图,∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P,若∠A = 50 ,∠D =10 ,则∠P的度数为( ) A.15 B.20 C.25 D.30 8.如图,在 ABC中,点E和F分别是AC、BC上一点,EF∥AB,∠BCA的平分线交AB于点D,∠MAC是 ABC的外角,若,,,则、、三者间的数量关系是( ) A. B. C. D. 二、填空题 9.如图,在中,平分,,于点E,若,,,则四边形的面积是 . 10.如图,在中,,角平分线、交于点,于点下列结论: ::; ; ; , 其中正确结论是 . 11.如图,在中,和的平分线相交于点,过点作交于点,交于点,过点作于,下列四个结论:①;②;③点到各边的距离相等;④设,,则.其中正确的结论有 (填写序号). 12.如图,在中,,,点D为上一动点,连接,将沿翻折得到,交于点G,,且,则 . 13.如图,BA1和CA1分别是 ABC的内角平分线和外角平分线,BA2是∠A1BD的角平分线,CA2是∠A1CD的角平分线,BA3是∠A2BD的角平分线,CA3是∠A2CD的角平分线,若∠A=64 ,则∠A= ,∠A3= ,若∠A= ,则∠A2018为 。 三、解答题 14.在中,,AE平分,点F为射线AE上一点(不与点E重合),且于点D. (1)如图1,如果点F在线段AE上,且,,则_ ; (2)如果点F在的外部,分别作出和的角平分线,交于点K,请在图2中补全图形,探究、、三者之间的数量关系,并说明理由; (3)如图3,若点F与点A重合,PE、PC分别平分和的外角,连接PA,过点P作交BC延长线于点G,交BA的延长线于点H,若,且,请直接写出与的度数. 四、实践探究题 15.八年级学生芳芳放学后去幼儿园接弟弟回家,姐弟俩双手相牵在幼儿园门口开心地旋转起来.芳芳突然想起某天数学活动课上老师提出的一个问题:如图,在 AOB和 EOF中,OA=OB,OE=OF,且∠1=∠2,连接AE,BF交于点M.试猜想AE与BF的数量关系,并加以证明. (1)独立思考:如图①,请解决老师提出的问题。 (2)实践探究:如图②.当∠1=45 时,∠AMB= 度;当∠OAB=65 时,∠AMB= 度; (3)解决问题:如图③,连接OM,MO平分∠BME吗?并加以说明. 1.【答案】C 【解析】【解答】解:①∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O, ∴,, 故 ∴,①正确; ②如图,在AB上取一点H,使BH=BE,连接OH, ∵∠C=60 , ∴∠BAC+∠ABC=120 , ∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O, ∴,,∠HBO=∠EBO, ∴ ∴, ∴∠BOE=180 -∠AOB=60 , 在 HBO和 EBO中, , ∴ HBO≌ EBO(SAS), ∴∠BOH=∠BOE=60 , ∴∠AOH=180 -∠BOH-∠BOE=180 -60 -60 =60 , ∵∠AOF=∠BOE=60 , ∴∠AOH=∠AOF, 在 HAO和 FAO中, , ∴ HAO≌ FAO(ASA), ∴AF=AH, ∴AB=BH+AH=BE+AF,故②正确; ③过O作ON⊥AC于点N,OM⊥AB于点M, ∵∠BAC和∠ABC的平分线AE、BF相交于点O,且ON⊥AC,OM⊥AB,OD⊥BC, ∴ON=OM=OD=a, ∵AB+AC+BC=2b ∴ =ab;③正确. 故答案为:C. 【分析】根据一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线可求得,结合三角形内角和是180 即可得出,判断①正确;在AB上取一点H,使BH=BE,连接OH,根据一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫做这个角的平分线可得∠HBO=∠EBO,∠OAB+∠OBA=60 ,求得,∠BOE=60 ,根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,全等三角形的对应角相等可得∠BOH=∠BOE=60 ,推得∠AOH=∠AOF,根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等,全等三角形的对应边相等可得AF=AH,即可判断②正确;过O作ON⊥AC于点N,OM⊥AB于点M,根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得ON=OM=OD=a,结合题意和三角形的面积格式即可判断③正确;得出结论. 2.【答案】B 【解析】【解答】解:如图作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F. ∵∠PEO=∠PFO=90 , ∴∠EPF+∠AOB=180 , ∵∠MPN+∠AOB=180 , ∴∠EPF=∠MPN, ∴∠EPM=∠FPN, ∵OP平分∠AOB,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F, ∴PE=PF, 在 POE和 POF中, , ∴Rt POE≌Rt POF(HL), ∴OE=OF, 在 PEM和 PFN中, , ∴ PEM≌ PFN(ASA), ∴EM=NF,PM=PN,故①正确, ∴S PEM=S PNF, ∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值,故④正确, OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值,故②正确, 在旋转过程中, PMN是等腰三角形,顶角∠MPN是定值,因为腰PM的长度是变化的,所以底边MN的长度是变化的,故③错误, 故答案为:B. 【分析】作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.利用同角的补角相等,可证得∠EPF=∠MPN,从而可推出∠EPM=∠FPN,利用角平分线的性质可得到PE=PF,利用HL证明Rt POE≌Rt POF利用全等三角形的性质可得到OE=OF;再利用AAS证明 PEM≌ PFN,利用全等三角形的性质可证得EM=NF,PM=PN,可对①作出判断;利用全等三角形的面积相等,可推出S四边形PMON=S四边形PEOF=定值,可对④作出判断;再证明OM+ON=2OE,可对②作出判断;在旋转过程中, PMN是等腰三角形,顶角∠MPN是定值,因为腰PM的长度是变化的,所以底边MN的长度是变化的,可对③作出判断。综上所述可得到正确结论的序号。 3.【答案】D 【解析】【解答】解:如图,作AF⊥CD于点F,AG⊥BE于点G,则∠AFC=∠AGE=90 , ∵∠DAB=∠CAE= , ∴∠DAC=∠BAE= +∠BAC, 在 DAC和 BAE中, , ∴ DAC≌ BAE(SAS), ∴∠ACF=∠AEG, 在 ACF和 AEG中 , ∴ ACF≌ AEG(AAS), ∴AF=AG, ∴点A在∠DPE的平分线上, ∴∠APE=∠APD=∠DPE, ∵∠CPE+∠ACF=∠CAE+∠AEG=∠AHP, ∴∠CPE=∠CAE= , ∴∠APE=∠DPE=(180 ﹣∠CPE)=90 ﹣ , ∴∠APC=∠APE+∠CPE=90 ﹣ + =90 + , ∴∠APC的度数为90 + . 故答案为:D. 【分析】作AF⊥CD于点F,AG⊥BE于点G,则∠DAC=∠BAE= +∠BAC,证明 DAC≌ BAE,得到∠ACF=∠AEG,进而证明 ACF≌ AEG,得到AF=AG,根据角平分线的概念可得∠APE=∠APD=∠DPE,则∠CPE=∠CAE= ,∠APE=∠DPE=(180 -∠CPE)=90 - ,然后根据角的和差,由∠APC=∠APE+∠CPE进行解答. 4.【答案】A 【解析】【解答】解:如图,过点D作DH⊥AC于H, ∵AD是 ABC的角平分线,DE⊥AB,DH⊥AC ∴DE=DH, 在Rt DEF和Rt DHG中, , ∴Rt DEF≌Rt DHG(HL), ∴S EDF=S GDH=3, 同理Rt ADE≌Rt ADH, ∴S ADE=S ADH= ∴S ADF= , 故答案为:A. 【分析】过点D作DH⊥AC于H,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DH,然后利用“HL”证明Rt DEF≌Rt DHG全等,根据全等三角形的面积相等可得S EDF=S GDH,然后根据S ADE=S ADH列出方程求解即可. 5.【答案】D 【解析】【解答】①∠ACB=∠CBE-∠CAB=2∠PBE-2∠PAB=2(∠PBE-∠PAB)=2∠APB. ②∵AP平分∠BAC, ∴P到AC,AB的距离相等, ∴S PAC:S PAB=AC:AB, ③∵BE=BC,BP平分∠CBE, ∴BP垂直平分CE(三线合一), ④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P,可得点P也位于∠BCD的平分线上, ∴∠DCP=∠BCP, 又∵PG∥AD, ∴∠FPC=∠DCP, 故①②③④都符合题意. 故答案选:D. 【分析】分别根据三角形外角的性质以及角的平分线的性质进行判断即可。 6.【答案】A 【解析】【解答】解:如图,连接AI、BI、CI, ∵点I为 ABC各角平分线的交点 ∴点I是 ABC的内心,点I到三角形的三边距离相等 ∴S ABC= 3 4= 3 IH+ 4 IH+ 5 IH ∴可得IH=1 故答案为:A. 【分析】根据三角形内心到三角形的三边距离相等;根据三角形面积相等的原则,列一元一次方程,即可求出IH的值. 7.【答案】B 【解析】【解答】解:延长DC,与AB交于点E. ∵∠ACD是 ACE的外角,∠A=50 , ∴∠ACD=∠A+∠AEC=50 +∠AEC. ∵∠AEC是 BDE的外角, ∴∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10 , ∴∠ACD=50 +∠AEC=50 +∠ABD+10 , 整理得∠ACD-∠ABD=60 . 设AC与BP相交于O,则∠AOB=∠POC, ∴∠P+ ∠ACD=∠A+ ∠ABD, 即∠P=50 - (∠ACD-∠ABD)=20 . 故答案为:B. 【分析】利用三角形外角的性质,得到∠ACD与∠ABD的关系,然后用角平分线的性质得到角相等的关系,代入计算即可得到答案. 8.【答案】B 【解析】【解答】解:∵EF∥AB, ∴∠EFC=∠ABC= , ∵∠MAC=∠ADC+∠ACD, ∠ADC=∠ABC+∠DCB, 且 ,, , ∴ = +∠ACD, = +∠DCB, ∵CD平分∠BCA, ∴∠ACD=∠BCD, ∴ - = - , 即 =2 - , 故B正确,A、C、D错误; 故答案为:B. 【分析】考查角平分线定义以及三角形外角的性质,由∠MAC是 ADC的外角,可得 与 间的关系,又∠ADC是 DBC的外角,可得 与 的关系,然后利用角平分线可知∠ACD和∠DCB相等找到 、 、 间的数量关系。 9.【答案】21 【解析】【解答】解:如图所示:过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F, ∵平分, DF⊥BC,DE⊥AB, ∴DE=DF=3,∠AED=∠BED=∠BFD=90 ,∠DBE=∠DBF, ∴ DBE≌ DBF(AAS), ∴BE=BF, ∵DA=DC,DE=DF, ∴Rt AED≌Rt CFD(HL), ∴AE=CF=2, ∴AB=AE+BE=AE+BF=AE+BC+CF=9, ∴, 故答案为:21. 【分析】根据角平分线,全等三角形的判定与性质以及三角形的面积公式计算求解即可。 10.【答案】 【解析】【解答】解:如图1,过点O作OH⊥BC于点H ∵BD平分∠ABC,OF⊥AB ∴OF=OH ∴ 故结论正确; ∵∠A=60 ∴∠ABC+∠ACB=120 又∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB,且BD、CE相交于点O ∴∠OBD=∠OBA=∠ABC,∠OCB=∠OCA=∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=60 ∴∠EOB=∠OBC+∠OCB=60 ∴∠EOF=∠BOE-∠BOF 又∵∠OBF=∠ABC ∴∠BOF=90 -∠ABC ∴∠EOF=60 -(90 -∠ABC)=∠ABC-30 =(∠ABC-60 )=(∠ABC-∠A).故结论 ②错误; 如图2,在BC上截取BM=BE,连接OM 在和中,∴ ∴OE=OM,∠EOB=∠BOM=60 又∵∠COD=∠EOB=60 ∴∠COM=180 -∠BOM-∠COD=60 ∴∠COD=∠COM 在和中,∴ ∴CD=CM ∴BE+CD=BC 故结论正确; ∵, ∴, ∴ ∴,故结论正确. 故答案为:. 【分析】主要利用全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形内角和定理及其推论解题,解题的关键是正确地做出所需要的辅助线,构造全等三角形,再利用全等三角形的判定和性质解决问题。 11.【答案】①③④ 【解析】【解答】解:在中,和的平分线相交于点, ,,, , ;故②错误; 在中,和的平分线相交于点, ,, , ,, ,, ,, , 故①正确; 过点作于,作于,连接, 在中,和的平分线相交于点, , ;故④正确; 在中,和的平分线相交于点, 点到各边的距离相等,故③正确. 故答案为:①③④. 【分析】在中,和的平分线相交于点,由角平分线的定义和三角形内角和定理可得,故②错误;由角平分线的定义及平行线的性质可推出,,可得,,从而得出EF=BE+CF,故①正确;过点作于,作于,连接,利用角平分线的性质可得,从而得出,故③④都正确. 12.【答案】 13.【答案】32 ;8 ; 【解析】【解答】解:∵A1B为∠ABC的角平分线,A1C为∠ACD的角平分线 ∴∠A1BC=∠ABC,∠A1CD=∠ACD 又∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1BC+∠A1 ∴(∠A+∠ABC)=∠ABC+∠A1 ∴∠A1=∠A ∵∠A= ∴∠A1= 同理,∠A2=∠A1= ∴∠A2018= 当∠A=64 时,∠A1=32 ,∠A3=8 【分析】根据角平分线的性质以及三角形外角的性质,即可得到∠A1= ,同理即可得到∠A2=∠A1= ,以此类推即可得到后一个角为前一个角的,即可得到规律,计算得到答案即可。 14.【答案】(1); (2); (3),. 15.【答案】(1)解:结论:AE=BF. 理由:∵∠1=∠2, ∴∠1+∠AOF=∠2+∠AOF, ∴∠AOE=∠BOF, ∵OA=OB,OE=EF, ∴ AOE≌ BOF(SAS), ∴AE=BF; (2)45;50 (3)解:结论:MO平分∠BME; 理由:作OI⊥EM于点I,作OW⊥BM于点W,如图所示: ∵OI⊥EM,OW⊥BM, ∴∠BWO=∠AIO=90 , 由(2)可得∠EAO=∠FBO, ∵OA=OB, ∴ AIO≌ BWO(AAS), ∴OI=OW, ∴MO平分∠BME. 【解析】【解答】解:(2)如图所示: 设OA与BF的交点为X, 由(1)可得 AOE≌ BOF, ∴∠EAO=∠FBO, ∵∠AXM=∠BXO, ∴∠AMB=∠1=45 , ∵OA=OB,∠OAB=65 , ∴∠OBA=∠OAB=65 , ∴∠1=180 -2 65 =50 , ∴∠AMB=∠1=50 , 故答案为:45;50; 【分析】(1)利用角的运算求出∠AOE=∠BOF,再结合OA=OB,OE=EF,利用“SAS”证出 AOE≌ BOF可得AE=BF; (2)利用全等三角形的性质可得∠EAO=∠FBO,再结合∠AXM=∠BXO,求出∠AMB=∠1=45 ,再利用角的运算求出∠1=180 -2 65 =50 ,即可得到∠AMB=∠1=50 ; (3)作OI⊥EM于点I,作OW⊥BM于点W,先利用“AAS”证出 AIO≌ BWO可得OI=OW,再利用角平分线判定方法可得MO平分∠BME. 学科网(北京)股份有限公司 $$