第11章三角形闯关练习 -2024—2025学年人教版数学八年级上册

第11章三角形闯关练习-数学八年级上册人教版 目录 第一部分：知识梳理。 第二部分：典型例题。‌ 第三部分：跟踪训练。 第一部分 知识梳理 一、知识框架： 二、知识梳理： 1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边. 3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高. （钝角三角形三条高的交点在三角形外，直角三角形的三条高的交点在三角形上，锐角三角形的三条高在三角形内） 4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线. （三条中线的交点叫重心） 5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （三角形三条角平分线的交点到三边距离相等） 6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性. （例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性） 7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对 角线. 11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用 多边形覆盖平面， 13.公式与性质： ⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质： 性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. ⑶多边形内角和公式：边形的内角和等于·180° ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. ⑸多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角 线，把多边形分成个三角形.②边形共有条对角线. 第二部分 典型例题 1．如图，与分别是的边和边上的高，已知，，求的长． 【答案】12 【分析】由三角形面积公式得，即可得出结论．本题主要考查了三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵与分别是的边和边上的高，， ∴， ∴ ∴， 即的长为12． 2．小明将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中是一个角()等于的直角三角板，是一个角（）等于的直角三角板，小明摆放时确保点A在线段上，与相交于点F，且． (1)判断，的位置关系，并说明理由； (2)直接写出图中等于的角． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，，． 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，三角形内角和定理等； （1）由三角形内角和定理得，由内错角相等，两直线平行即可得证； （2）由邻补角的定义及对顶角的性质得，由平行线的性质得，由角的和差即可求解； 掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：； 理由如下： ，， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 故图中等于的角有，，． 3．如图，在中，将沿x轴向右平移2个单位长度，再沿 y轴向下平移1个单位长度得到．    (1)求的三个顶点坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查了平移的性质， （1）根据平移的性质求解即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）观察图形，可知，，， 因为由沿x 轴向右平移2个单位长度，再沿 y 轴向下平移1个单位长度得到， 所以，，． （2）因为平移只改变图形的位置，不改变图形的大小， 所以的面积等于的面积， 观察图形，可知． 第三部分 跟踪训练 一、单选题 1．剪掉多边形的一个角，则所成的新多边形的内角和（    ） A．减少 B．增加 C．减少所剪掉的角的度数 D．增加或减少或不变 2．下列说法正确的是（　　） A．三角形的角平分线是射线 B．连接三角形任意两边中点的线段是三角形的中线 C．三角形的高都在三角形的内部 D．直角三角形的三条高线交于直角顶点处 3．如图，在中，点D在的延长线上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，D是的边上一点，，若，则（　　） A． B． C． D． 5．如图，、分别是、的中点，，则的面积为（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 6．如图，已知，的边与直线n重合，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．农安是祖国东北历史上的重镇，南宋名将岳飞曾对部下说：“直捣黄龙府，与诸君共饮耳．”即指此地．2013年5月，农安辽塔被中华大民共和国国务院公布为第七批全国重点文物保护单位．其造型优美端庄，八角十三层，塔高约44米，为密檐实心塔，如图①．如图②所示的正八边形是辽塔其中一层的平面示意图，其每个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，，平分交于点，，，，分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列选项错误的是（    ） A． B． C．平分 D．为定值 二、填空题 9．若n边形的内角和与外角和相等，则 ． 10．过多边形的一个顶点可以作条对角线，则这个多边形的内角和是 ，外角和是 ． 11．如图，在中，于点，，则是 三角形． 12．在中，，于点，，则的度数为 ，的度数为 ． 13．一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则的度数是 ． 14．如图，在中，，，，P是上的一个动点（不与点B重合）.点B与点关于直线对称，连接，，，则线段的最小值是 . 15．如图，把面积为的正三角形的各边依次循环延长一倍，顺次连接这三条线段的外端点，这样操作后，可以得到一个新的正三角形；对新三角形重复上述过程，经过2016次操作后，所得正三角形的面积是 ． 16．如图，在中，分别平分，为外角的平分线，交的延长线于点E，记．给出下列结论：①；②； ③；④．其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 17．如图，，，，求的度数． 18．直线，直线分别交，于点，，点在直线上，点是直线上的一个动点（点不与点重合）． (1)如图所示，当点在射线上移动时，与有什么数量关系？请说明理由； (2)当点在射线上移动时，试画出图形，并思考与有什么数量关系？请直接写出结果． 19．如图，已知点在的延长线上，点在 的延长线上，点在上，连接，求证：． 20．如图，沿着直线l向右平移得到． (1)若，则 ． (2)若，求的度数． 21．如图，在中，，于D． (1)求证：； (2)若平分分别交、于E、F，求证：． 22．已知如图1，线段，相交于О点，连接，，我们把如图1的图形称之为“8字形”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)在图1中，请直接写出，，，之间的数量关系：____________________． (2)如图2，请利用（1）中结论，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D D C B A D B 1．D 【分析】本题考查了多边形的内角和，由题意可得分三种情况即可，正确理解多边形的内角和是解题的关键．剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案． 【详解】解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， 所以所成的新多边形的内角和增加或减少或不变， 故选：． 2．D 【分析】本题考查了三角形的特殊线段，正确认识三角形形内的特殊线段是解题的关键，根据三角形的角平分线、中线和高的概念进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的角平分线是线段，不符合题意； B、三角形一边的中点与此边所对顶点的连线是三角形的中线，不符合题意； C、三角形的高不一定在其内部，不符合题意； D、直角三角形的三条高线交于直角顶点处，符合题意； 故选：D． 3．D 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，掌握三角形外角等于不相邻的两内角之和成为解题的关键． 根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算即可． 【详解】解：是的一个外角， ∴． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【详解】解：，，， ， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了三角形的中线性质，熟练掌握三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．先利用点是的中点，可得，然后再利用点是的中点，可得，即可解答． 【详解】解：，点是的中点， ， 点是的中点， ， 故选：B． 6．A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，根据平行线的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：在图中标注∠4，如图所示： ∵， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴． 又∵， ∴． 故选：A． 7．D 【分析】根据任意多边形的外角和是以及平角定义进行计算，即可解答．本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握任意多边形的外角和是是解题的关键． 【详解】解：由题意得：正八边形的每一个外角， 每个内角的度数， 故选：D． 8．B 【分析】证明，得，故正确；证，得平分，故正确，利用三角形的外角性质及角平分线定义得，进而得，故正确；，若，则，与事实不相符，故错误． 【详解】解：如图，    ∵，， ∴，，，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故正确， ∵平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故正确． ∵， 若， ∴，与事实不相符，故错误； 故选∶． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、三角形的外角性质、直角三角形的性质及角平分线的性质，熟知三角形的内角和等于是解题的关键． 9．4 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，根据n边形的内角和为，外角和为，即可列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， 故答案为：4． 10． /1080度 /360度 【分析】本题主要考查了多边形的对角线、内角和公式．外角和公式，从多边形一个顶点可作5条对角线，则这个多边形的边数是8，n边形的内角和可以表示成，代入公式就可以求出内角和．再根据多边形外角和等于列式计算即可． 【详解】解：∵过多边形的一个顶点可以作条对角线， ∴该多边形的边数为， ∴该多边形的内角和为，外角和为， 故答案为：，． 11．直角 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的判定是解题的关键．根据直角三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故是直角三角形， 故答案为：直角． 12． 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形中两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形中两锐角互余进行计算即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，． 13．/105度 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．利用三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：如图， 根据三角尺角度的特殊性可知，， ∴， 故答案为：． 14．3 【分析】根据题意，得，结合，判定当三点共线时，线段取得最小值，解答即可. 本题考查了三角形不等式求最值，构造正确的三角形不等式存在的基础三角形是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得， ∵， ∴当三点共线时，线段取得最小值 ∵， ∴， 故答案为：3. 15． 【分析】本题考查了三角形面积、同底等高的三角形面积相等．关键是作辅助线，构造同底等高的三角形．连接、、，利用同底等高的三角形面积相等，可得，同理：、，再利用等于7个三角形面积之和，即可求得第一次操作后所得正三角形面积，同理即可得经过2016次操作后，所得正三角形的面积． 【详解】解：如图，连接、、， ， ， 又， ， ， 同理：， ， 第一次操作后，， 同理，经过2016次操作后，所得正三角形的面积是， 故答案为：． 16．①④ 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 由平分，平分，可得，由是的外角，可得，即，可判断①的正误；由分别平分，可得，则，由，可得，可判断②、③、④的正误． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵是的外角， ∴，即，①正确，故符合要求； ∵分别平分， ∴， ∴， 又∵， ∴，故②③错误,不符合要求，④正确，故符合要求． 故答案为：①④． 17． 【分析】根据平行线的性质，再利用三角形外角的定义及性质解答即可．本题考查了平行线的性质，三角形外角的定义及性质，熟练运用三角形外角的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在，， ∴的度数． 18．(1)，理由见解析 (2)图形见解析， 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解； （2）根据两直线平行，同旁内角互补可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解． 【详解】（1）解：．理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴． （2）解：如图，． ， 理由如下：∵， ∴， 又∵， ∴． 19．见解析 【分析】根据三角形外角的定义及性质即可解答．本题考查了三角形外角的定义及性质，熟练运用三角形外角的定义及性质是解题的关键． 【详解】证明：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． 20．(1) (2) 【分析】本题考查平移的性质，三角形内角和定理．熟练掌握平移前后对应角相等，对应边相等是解题的关键． （1）由平移的性质可知，，，根据，计算求解即可； （2）由平移的性质可知，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由平移的性质可知，，， ∴， 故答案为：； （2）解：由平移的性质可知，， ∴， ∴的度数为． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中． （1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角平分线的定义得出，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：，于D， ，， ； （2）证明：在中，， 同理在中，． 又平分， ， ， 又， ． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）根据“8字形”的结构特点，连接，根据四边形的内角和等于可得，根据“8字形”的关系可得，然后即可得解． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， （对顶角相等）， ， ； （2）解：如图3，连接 ， 则， ∴， 根据“8字形”数量关系，， ∴， 即图2中． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$