21.2 解一元二次方程 复习讲义-2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.2解一元二次方程复习讲义-数学九年级上册人教版 知识梳理 解一元二次方程-配方法 (1)将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)用配方法解一元二次方程的步骤: ①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式; ②方程两边同除以二次项系数,使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方; ④把左边配成一个完全平方式,右边化为一个常数; ⑤如果右边是非负数,就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解,如果右边是一个负数,则判定此方程无实数解. 配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程. 配方法的理论依据是公式a2 2ab+b2=(a b)2 配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方. 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值. 关键是:二次三项式是完全平方式,则常数项是一次项系数一半的平方. 3、配方法的综合应用. 解一元二次方程-因式分解法 (1)因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法. 因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想). (2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤: ①移项,使方程的右边化为零;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每个因式分别为零,得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就都是原方程的解. 根与系数的关系 (1)若二次项系数为1,常用以下关系:x1,x2是方程x2+px+q=0的两根时,x1+x2=﹣p,x1x2=q,反过来可得p=﹣(x1+x2),q=x1x2,前者是已知系数确定根的相关问题,后者是已知两根确定方程中未知系数. (2)若二次项系数不为1,则常用以下关系:x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=,x1x2=,反过来也成立,即=﹣(x1+x2),=x1x2. (3)常用根与系数的关系解决以下问题: ①不解方程,判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根,求另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值,如求,x12+x22等等.④判断两根的符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件,确定字母的取值.这类问题比较综合,解题时除了利用根与系数的关系,同时还要考虑a≠0, ≥0这两个前提条件. 典例分析 1.方程的两根为,,方程的两根为、,其中,,求的值 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系.将,分别代入两个方程中,得到,再根据根与系数的关系得到,,求出和,即可求解. 【详解】解:将,分别代入和 中可得: , 得: , , , , 方程的两根为,,方程的两根为、,其中,, ,, 即,, 解得:,, . 2.已知关于的一元二次方程. (1)求证:无论m取何实数时,原方程总有两个实数根. (2)若原方程的两个实数根一个小于4,另一个大于5,求m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式,当时,方程有两个实数根;同时考查了因式分解法解一元二次方程及解一元一次不等式,掌握基础知识是解本题的关键. (1)根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明即可: (2)先求出原方程的两个实数根,根据两个实数根一个小于4,另一个大于5,列出不等式,求出的取值范围. 【详解】(1)证明: , 是非负数, . 无论取何实数时,原方程总有两个实数根; (2)解:∵, ∴, ∴或, 解得:,, 由方程两个实数根一个小于4,另一个大于5, 则有 , 解得, 即的取值范围是. 精选好题 一、单选题 1.下列说法不正确的是( ) A.方程有一根为0 B.方程的两根互为相反数 C.方程的两根互为相反数 D.方程无实数根 2.已知和是方程的解,则的值为( ) A. B.5 C.2.5 D.无法确定 3.若关于x的方程有实数根,则实数k的取值范围是( ) A. B.且 C. D. 4.一元二次方程配方可变形为( ) A. B. C. D. 5.若关于x的一元二次方程有实数根,且关于y的分式方程的解是正数,则满足条件的整数m的值的和为(). A. B. C. D. 6.对于实数a、b,定义新运算,规则如下:,则等式中的值为( ) A.1或 B.或7 C. D. 7.关于x的一元二次方程的根的情况是( ) A.实数根的个数由b的值确定 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 8.已知,,当取任意实数时,则、的大小关系为( ) A.总有 B.可能 C.总有 D.不确定 二、填空题 9.方程的两根之和为 ,两根之积为 . 10.已知方程的一个根是2,则它的另一个根是 . 11.当方程没有实数根时,a可以是 . 12.已知关于x的一元二次方程,其中a、b、c分别为三边的长,如果方程有两个相等的实数根,则的形状为 . 13.若“※”是新规定的某种运算符号,设,则中的值是 . 14.下列说法正确的是 . ①方程的解是; ②方程的两个实数根之积为1; ③以、两数为根的一元二次方程可以为:; ④一元二次方程的两实数根的和为. 15.若关于x的一元二次方程两根为、,且,则p的值为 . 16.如图,在菱形中,点E是边的中点,点F在边上.若,,,则菱形的边长为 . 三、解答题 17.解方程: (1); (2); (3); (4) . 18.证明:不论为何值,方程都有实根. 19.关于的一元二次方程. (1)当方程有两个不相等的实数根时,求的取值范围; (2)若方程两实根 满足,求的值. 20.材料:若关于x的一元二次方程的两个根为,,则,.如:一元二次方程的两个实数根分别为,,则,;又如:一元二次方程的两个实数根分别为,,则,. 根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题. (1)一元二次方程的两个根分别为,,则_,_; (2)已知一元二次方程的两根分别为,,求的值; (3)若实数m,n满足,,且,求的值. 21.在正方形中,,E,F为对角线上不重合的两个点(不包括端点),,连结并延长交于点G,连结,. (1)求证:. (2)设的长为x,的面积为y. ①求y关于x的函数表达式. ②当时,求x的值. 22.【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法.例如,可变形为.如图1,构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形;如图2,将4个矩形构造成一个边长为的大正方形,中间恰好是一个边长为2的小正方形.大正方形的面积可表示为,也可表示为,由此可得新方程:(,易得这个方程的正数解为.注意:这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! (1)尝试:小颖根据赵爽的解法解方程,请将其解答过程补充完整: 第一步:将原方程变为,即( ); 第二步:利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形;(在画图区画出示意图,标明各边长) 第三步:根据大正方形的面积可得新的方程: ;解得原方程的一个根为 ; (2)【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解(用含b,的代数式表示). 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B C A B B B C 1.C 【分析】本题主要考查一元二次方程的解,熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键.根据解一元二次方程求出根的取值,分别判断即可. 【详解】解:A、方程有一根为0,所以A选项的说法正确,不符合题意; B、方程的两根为,互为相反数,所以B选项的说法正确,不符合题意; C、方程的两根为,所以C选项的说法不正确,符合题意. D、,方程无实数根,所以D选项的说法正确,不符合题意; 故选:C. 2.B 【分析】本题考查解一元二次方程,根据题意,得到方程的解,从而确定,即可得到答案,熟记一元二次方程的解法是解决问题的关键. 【详解】解:和是方程的解, ,,解得, 故选:B. 3.C 【分析】本题考查根的判别式,分和,两种情况,利用根的判别式进行求解即可. 【详解】解:当时,方程为,解得:,满足题意; 当时,为一元二次方程, ∵方程有实数根, ∴, 解得:, ∴且; 综上:; 故选C. 4.A 【分析】本题考查了一元二次方程的配方,正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提.方程两边都加上4,即可将原方程配方. 【详解】解:, ∴, ∴, 故选:A. 5.B 【分析】本题考查了根的判别式:一元二次方程的根与有如下关系:当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程无实数根.也考查了分式方程.先根据根的判别式的意义得到且,解得且,解分式方程得到,再利用且,所以的取值范围为且,,然后确定整数的值,最后计算所有满足条件的整数之和. 【详解】解:有两个实数根, ,且, 解得,且, 的分式方程,解得, 的解是正数, ,, 解得且, 的取值范围为且,, 满足条件的整数为,,,,,2, 满足条件的整数和为. 故选:B 6.B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法,本题是新定义型,理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键.利用新运算的规定列出方程,解方程求解即可得出结论. 【详解】解:∵,, ∴, ∴, ∴, ∴或, ∴. 故选B. 7.B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式:当,方程有两个不相等的实数根;当,方程有两个相等的实数根;当,方程没有实数根.先计算出,根据的意义得到方程有两个不相等的实数根即可. 【详解】解:因为, 所以方程有两个不相等的实数根, 故选B. 8.C 【分析】本题主要考查了配方法的应用,利用作差法得到,据此可得结论. 【详解】解:∵,, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴总有, 故选:C. 9. 5 【分析】本题考查解一元二次方程根与系数的关系,利用一元二次方程的根与系数的关系求解即可. 【详解】解:∵ ∴,, ∴,. 故答案为:5,. 10. 【分析】本题考查了根与系数的关系:若是一元二次方程的两根时.设方程的另一个根为,根据根与系数的关系求解即可. 【详解】解:设另一个根为, ∴, ∴, ∴另一个根为. 故答案为:. 11.大于1的数 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系,当一元二次方程没有实数根时,,由此列不等式即可求解. 【详解】解:当方程没有实数根时,, 解得, 因此a可以是大于1的数, 故答案为:大于1的数. 12.直角三角形 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,勾股定理逆定理,一元二次方程的根与有如下关系:①,方程有两个不相等的实数根,②,方程有两个相等的实数根,③,方程没有实数根.原方程可以化为,由题意得出,推出,即可得解. 【详解】解:原方程可以化为:, ∵方程有两个相等的实数根, ∴, ∴, ∴为直角三角形, 故答案为:直角三角形. 13. 【分析】本题考查了新定义,解一元二次方程,理解新定义※的运算方法是解题的关键. 根据新定义,列出一元二次方程,再求方程即可. 【详解】解:, 又∵ , , 解得. 故答案为:. 14.③④ 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式,解题的关键掌握相关的知识.根据一元二次方程根与系数的关系,解一元二次方程,根的判别式,逐项分析判断即可求解. 【详解】解:①由,可得, 解得:或,故①错误; ②, 没有实数根,故②错误; ③,, 当时,,, 以、两数为根的一元二次方程可以为:,故③正确; ④一元二次方程的两实数根的和为,故④正确; 故答案为:③④. 15. 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系:若方程的两实数根为,则,. 根据一元二次方程根与系数的关系得到,,然后通分,,从而得到关于p的方程,解方程即可. 【详解】解:, , 而, , , 故答案为:. 16.30 【分析】先证明,延长与的延长线于G,过点C作交的延长线于H,求出,可得,设,则,再由勾股定理得: ,然后证明,可得,从而得到,,在中,根据勾股定理,即可求解. 【详解】解:∵四边形是菱形, ∴, ∴, ∵, ∴, 即:, ∴, 延长与的延长线于G,过点C作交的延长线于H,如图: ∵, ∴, ∴, ∴, 设,则, 由勾股定理得: , ∵, ∴, ∴, ∵点E为的中点, ∴, 在和中, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, 在中,, ∴, 解得:或0(舍去), ∴. 即菱形的边长为30. 故答案为:30 【点睛】此题主要考查了菱形的性质,一元二次方程的解法,全等三角形的判定和性质,勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、平行线的性质等,解答此题的关键是熟练掌握全等三角形三角形的判定方法,理解菱形的性质,难点是正确的作出辅助线构造全等三角形,灵活运用勾股定理构造方程求解. 17.(1),; (2)方程无实数根; (3),; (4),. 【分析】本题考查了解一元二次方程,掌握解一元二次方程的方法是解题的关键. (1)根据因式分解法求解即可; (2)变形后利用公式法进行求解即可; (3)变形后利用因式分解法进行求解即可; (4)变形后利用因式分解法进行求解即可. 【详解】(1)解:, , 或, 或; (2), , , , 原方程无实数根; (3), , , 或, ,; (4), , , , 或, 或. 18.见解析. 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式:当,方程有两个不相等的实数根;当,方程有两个相等的实数根;当,方程没有实数根.先求出判别式,再根据非负数的性质即可得到结论. 【详解】解:, ∴不论为何值时,关于x的一元二次方程都有实根. 19.(1) (2) 【分析】本题考查根的判别式、根与系数的关系,解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系. (1)当方程有两个不相等的实数根时,,列式计算出m的取值范围; (2)根据根与系数的关系求出两根的和与两根的积,代入,再根据的取值确定m的值. 【详解】(1)∵方程有两个不相等的实数根, ∴, ∴, 则当时,方程有两个不相等的实数根; (2)∵ ∴,, ∵, ∴, ∴, ∴,, ∵方程两实根 , ∴, ∴, ∴. 20.(1), (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系,读懂材料是解题的关键. (1)用材料中给出的,直接计算即可; (2)将变形为,即可求解; (3)由,,可得m,n是一元二次方程的两根,进而求出和的值,即可求解. 【详解】(1)解:由题意知,,, 故答案为:,; (2)解:由题意知,,, 则; (3)解:实数m,n满足,,且, m,n是一元二次方程的两根, ,, , , ,或, . 21.(1)详见解析 (2)①;② 【分析】(1)利用正方形的性质,结合平行线的判定定理,求证:. (2)①连接,交于点H.利用正方形的性质,三角形面积公式及解答即可. ②过F作于点I,作于点J,根据面积关系,建立方程解答即可. 【详解】(1)证明:在正方形中, ,, , , , , . (2)解:①连接,交于点H. 在正方形中,,,,, , , , . ②过F作于点I,作于点J, ,, , , , 解得或(舍去). 【点睛】本题考查了正方形的性质,三角形全等的判定和性质,平行线的性质,勾股定理,解一元二次方程,熟练掌握性质和判定是解题的关键. 22.(1);, (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程—配方法,数形结合是关键 (1)根据赵爽的解法变形一元二次方程,画出大正方形,构造新方程,求出方程的一个正解即可; (2)仿照赵爽的解法变形一元二次方程,构造新的关于x的方程,解出正数解即可. 【详解】(1)解:第一步,将原方程变为,变形得:, 第二步,利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形如图: 第三步,根据大正方形的面积可得新的方程:, 解得原方程的一个根为. 故答案为:;,; (2)解:方程变形为:, 根据赵爽的解法可造方程为:, ∵,, ∴(舍去负值), ∴, ∴原方程的一个正数解为:. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$