第五讲 有理数综合 新定义类探究练习2024-2025学年苏科版七年级数学上册

第五讲：有理数综合-新定义类探究 题型一：新定义运算 1.定义一种新运算“⊕”：a⊕b＝2a﹣ab，比如1⊕（﹣3）＝2×1﹣1×（﹣3）＝5． （1）求（﹣2）⊕3的值； （2）若（﹣3）⊕x＝（x+1）⊕5，求x的值． 2.探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ （1）观察以上式子，类比计算： ① ， ； （2）计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） （3）若．计算：的值． 3.请认真阅读下面材料 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即有指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作： 对数式：logaN＝b 例如：①因为指数式22＝4，所以以2为底，4的对数是2，对数式记作：log24＝2 ②因为指数式42＝16，所以以4为底，16的对数是2，对数式记作：log416＝2 （1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①23＝8 ② 32＝9 （2）将下列对数式改为指数式 ①log21＝0 ②log327＝3 （3）计算：log216 题型二：新定义概念 4.【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”， 记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． （1）直接写出计算结果： ______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如： （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：_____ ， ______ ； （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． （4）【结论应用】计算：． 5.对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与另外两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是另外两个点的“联盟点”． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数，点B表示数3，下列各数，，0，1所对应的点分别是，其中是点A，B的“联盟点”的是___________； （2）点A表示数，点B表示数5，P为数轴上的一个动点： ①若点P在点A的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是另外两个点的“联盟点”，求此时点P表示的数． 6.阅读理解：若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点． 如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点． (1)知识运用：如图1，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D______【A，B】的好点；（请在横线上填是或不是） (2)如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2．数______所对应的点是【M，N】的好点（写出所有可能的情况）； (3)拓展提升：如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当经过几秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？（写出所有情况） 课后作业： 1.探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： （+2）*（+4）＝+（22+42）；（﹣4）*（﹣7）＝+[（﹣4）2+（﹣7）2]； （﹣2）*（+4）＝﹣[（﹣2）2+（+4）2]；（+5）*（﹣7）＝﹣[（+5）2+（﹣7）2]； 0*（﹣5）＝（﹣5）*0＝（﹣5）2；（+3）*0＝0*（+3）＝（+3）2． 0*0＝02+02＝0 （1）归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，　 　．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，　 　． （2）计算：（+1）*[0*（﹣2）]＝　 　． （3）是否存在有理数m，n，使得（m﹣1）*（n+2）＝0，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 2.我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．受此启发，按照一个正整数被3除的余数把正整数分成三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数能被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等． （1）2022属于 　 　类（填A，B或C）； （2）①从B类数中任取两个数，则它们的和属于 　 　类（填A，B或C）； ②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整数），把它们都加起来，则最后的结果属于 　 　类（填A，B或C）； （3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把它们都加起来，若最后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是 　 　（填序号）． ①m属于A类； ②m+2n属于A类； ③m，n不属于同一类； ④|m﹣n|属于A类． 3.定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 （1）点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好 点H所表示的数是 　 　． （2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 4.【概念提出】 数轴上不重合的三个点，若其中一点到另外两点的距离的比值为n（n≥1），则称这个点是另外两点的n阶伴侣点．如图，O是点A、B的1阶伴侣点；O是点A、C的2阶伴侣点；O也是点B、C的2阶伴侣点． 【初步思考】 （1）如图，C是点A、B的 _____阶伴侣点； （2）若数轴上两点M、N分别表示－1和4，则M、N的阶伴侣点所表示的数为______ ； 【深入探索】 （3）若数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且点C是点A、B的n阶伴侣点，请直接用含a、b、n的代数式表示c． 5.阅读并解决相应问题 （1）问题发现： 在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为3，若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n节点”如图1，若点P表示的数为，有点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5节点”填空： 若点P表示的数为0，则n的值为________； 数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为A、B的“5节点”，请直接写出整点P所表示的数． （2）类比探究： 如图2，点P为数轴上一点，且点P到点A的距离为1，请你求出点P表示的数及n的值，说明理由． （3）拓展延伸： 若点P在数轴上运动不与点A、B重合，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的，且此时点P为点A、B的“n的节点”，求点P表示的数及n的值，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$