精品解析：浙教版2023-2024学年八年级数学下册期中测试卷

2023-2024学年浙教版八年级下册数学期中测试卷 测试范围：第1-4章 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的解是（ ） A. 6 B. 0 C. 0或6 D. -6或0 5. 小明参加校园歌手比赛，唱功得85分，音乐常识得95分，综合知识得90分，学校如果按如图所示的权重计算总评成绩，那么小明的总评成绩是（ ） A. 87分 B. 87.5分 C. 88.5分 D. 89分 6. 一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 有一个实数根 D. 没有实数根 7. 为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表： 捐款的数额（单位：元） 5 10 20 50 100 人数（单位：个） 2 4 5 3 1 关于这15名学生所捐款的数额，这组数据中中位数是（ ） A 5 B. 10 C. 20 D. 50 8. 如图，在中，，点，分别是，的中点，点在的延长线上，，，，则四边形的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 9. 如图，在锐角中，，，平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 10. 《2024年春节联欢晚会》以匠心独运歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程( ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算结果是_______． 12. 一个多边形的内角和为1620度，这个多边形的边数是________________ 13. 若将方程x2-4x+1=0化为(x+m)2=n的形式，则m=____． 14. 今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分． 15. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 16. 如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C ′与AB相交于点D，则C′D=______. 三、解答题：本题共8小题，17-19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17. 计算或解方程： （1） （2） 18. 关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实根，求的取值范围． （2）若方程的一根为，求的值及另一根． 19. 如图，在▱ABCD中，延长BA到F，使得AF＝BA，连接CF交AD于点E，求证：AE＝DE． 20. 北京时间2021年12月9日15时40分，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年带来了一场精彩的太空科普课．为引导同学们学习天文知识、探索宇宙奥秘，学校组织了太空知识竞赛，下表是小宇同学初赛和复赛的成绩（单位：分）． 场次 初赛 复赛 第一场 第二场 第三场 第四场 第一场 第二场 小宇 88 92 90 86 90 96 （1）小宇同学这6场比赛成绩的中位数是 　 　分，众数是 　 　分； （2）在决赛现场，小宇和小航角逐冠亚军，他们在基础关、提高关、挑战关的得分如表所示（单位：分）．按照规定，决赛按照基础、提高、挑战三个环节2：3：5的比例计算最终成绩，请通过计算说明小宇和小航谁将获胜． 姓名 基础关 提高关 挑战关 小宇 80 90 85 小航 95 85 80 21. 用反证法证明下列问题： 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 22. HS世博会的投入包括直接投入和间接投入两部分，且直接投入占间接投入的，按以往世博会的投入与经济效益比，测算得HS世博会的经济收益将达4500亿元，而这些经济效益将在世博会举行期间及闭幕后几年逐步兑现． （1）求HS世博会的直接投入是多少亿元． （2）HS世博会，在2020年举办期间为HS兑现了1000亿元的经济效益；若其余的经济效益，在2020，2021，2022三年间，是按一个相同的百分数减少的，这样还有28%的经济效益将在2022年的后续几年兑现，求HS世博会的经济效益在2022年兑现多少亿元． 23. 如图，在中，点是对角线的中点，点在上，且，连接并延长交于点F．过点作的垂线，垂足为，交于点． （1）求证：； （2）若． ①求证：； ②探索与的数量关系，并说明理由． 24. 对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为所以是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式_________；判断_________“喜鹊数”（填“是”或“不是”）； （2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年浙教版八年级下册数学期中测试卷 测试范围：第1-4章 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中既是轴对称又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、当时，无意义，所以选项A不符合题意； B、无意义，因此选项B不符合题意； C、无意义，因此选项C不符合题意； D、一定是二次根式，所以选项D符合题意； 故选：D． 3. 若函数有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的范围，掌握当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数是解题的关键．根据二次根式的性质被开方数大于或等于0，可以求出的范围． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：A 4. 方程的解是（ ） A 6 B. 0 C. 0或6 D. -6或0 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法可直接进行求解． 【详解】解： ， 解得：； 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 5. 小明参加校园歌手比赛，唱功得85分，音乐常识得95分，综合知识得90分，学校如果按如图所示的权重计算总评成绩，那么小明的总评成绩是（ ） A. 87分 B. 87.5分 C. 88.5分 D. 89分 【答案】C 【解析】 【分析】利用加权平均数按照比例即可求得小明的总评成绩． 【详解】解：小明的总评成绩是：85×60%＋95×30%＋90×10%＝88.5（分），故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算的时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错． 6. 一元二次方程的实数根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据，判断作答即可． 【详解】解：，，， ， 方程有两个不等的实数根， 故选：A 7. 为了帮助本市一名患“白血病”的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如下表： 捐款的数额（单位：元） 5 10 20 50 100 人数（单位：个） 2 4 5 3 1 关于这15名学生所捐款的数额，这组数据中中位数是（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，熟练掌握中位数的概念以及求解方法是解题的关键．中位数是一组数据从小到大(或从大到小)排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)． 根据中位数的概念进行求解即可． 【详解】 ∴共有15个数据， ∴其中位数为第8个数据，即中位数为20． 故选C． 8. 如图，在中，，点，分别是，中点，点在的延长线上，，，，则四边形的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理先求出BC的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，即可求得其周长． 【详解】在Rt△ABC中， ∵AC=6，AB=8， ∴BC=10， ∵E是BC的中点， ∴AE=BE=5， ∴∠BAE=∠B， ∵∠FDA=∠B， ∴∠FDA=∠BAE， ∴DF∥AE， ∵D、E分别是AB、BC的中点， ∴DE∥AC，DE= AC=3 ∴四边形AEDF是平行四边形 ∴四边形AEDF的周长=2×（3+5）=16． 故选B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定；熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键． 9. 如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，点M，N分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识点，正确找出取得最小值时的位置是解题关键． 在上取一点E，使，连接，先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据两点之间线段最短可得的最小值为，然后根据垂线段最短可得当时，取得最小值，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，在上取一点E，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为， 又由垂线段最短得：当时，取得最小值， ， ， 解得， 即的最小值为5， 故选：C 10. 《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意得，， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算结果是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法，掌握二次根式的加减法运算法则是解题关键，先将二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 一个多边形的内角和为1620度，这个多边形的边数是________________ 【答案】11 【解析】 【分析】设边数为n，由多边形内角和公式可列方程，可求得边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意可得：（n-2）×180°=1620°， 解得n=11． 答：这个多边形的边数为11． 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键，即多边形的内角和=（n-2）180°． 13. 若将方程x2-4x+1=0化为(x+m)2=n的形式，则m=____． 【答案】-2 【解析】 【分析】移项，配方，变形后即可得出答案． 【详解】解：x2-4x+1=0， x2-4x=-1， x2-4x+4=-1+4， （x-2）2=3， 所以m=-2， 故答案为：-2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题关键． 14. 今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分． 【答案】87.4 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得． 【详解】解：根据题意得 她的最后得分是为： （分）； 故答案为：87.4． 【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 15. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出，，再将其代入，即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为： 16. 如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C ′与AB相交于点D，则C′D=______. 【答案】2.5 【解析】 【详解】解：∵∠A=30°， ∴BC=AC=×10=5， ∠C=90°-30°=60°， 由旋转的性质，BC=BC′， ∴△BCC′是等边三角形， ∴CC′=BC，∠CBC′=60°， ∴点C′是AC的中点， 又∵∠CBC′=∠A′C′B=60°， ∴A′C′∥BC， ∴C′D是△ABC的中位线， ∴C′D=BC=×5=2.5． 故答案为：2.5 三、解答题：本题共8小题，17-19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17. 计算或解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、因式分解法解一元二次方程，注意计算的准确性即可； （1）利用平方差公式即可求解； （2）利用因式分解法即可求解； 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 或 ， 18. 关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实根，求的取值范围． （2）若方程的一根为，求的值及另一根． 【答案】（1） （2）的值为，另一根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义； （1）根据题意可得，即可求解； （2）设方程的另一根为，根据根与系数的关系得出，即可求解． 【小问1详解】 解： 方程有两个实根， 解得 的取值范围为 【小问2详解】 设方程的另一根为， 依题意得，解得 的值为，另一根为3． 19. 如图，在▱ABCD中，延长BA到F，使得AF＝BA，连接CF交AD于点E，求证：AE＝DE． 【答案】见解析； 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵▱ABCD， ∴AB＝CD，BF∥DC， ∴∠F＝∠ECD，∠FAE＝∠D， ∵AF＝BA， ∴AF＝DC， 在△AFE与△DCE中 ， ∴△AFE≌△DCE（ASA）， ∴AE＝DE． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 20. 北京时间2021年12月9日15时40分，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年带来了一场精彩的太空科普课．为引导同学们学习天文知识、探索宇宙奥秘，学校组织了太空知识竞赛，下表是小宇同学初赛和复赛的成绩（单位：分）． 场次 初赛 复赛 第一场 第二场 第三场 第四场 第一场 第二场 小宇 88 92 90 86 90 96 （1）小宇同学这6场比赛成绩的中位数是 　 　分，众数是 　 　分； （2）在决赛现场，小宇和小航角逐冠亚军，他们在基础关、提高关、挑战关的得分如表所示（单位：分）．按照规定，决赛按照基础、提高、挑战三个环节2：3：5的比例计算最终成绩，请通过计算说明小宇和小航谁将获胜． 姓名 基础关 提高关 挑战关 小宇 80 90 85 小航 95 85 80 【答案】（1）90；90 （2）小宇获胜，见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行解答即可； （2）根据加权平均数的计算方法计算小宇、小航的平均数即可． 【小问1详解】 解：将这6次比赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是90分，因此中位数是90分， 小宇这6场比赛成绩出现次数最多的是90分，因此众数是90分， 故答案为：90，90； 【小问2详解】 小宇获胜，理由为： 小宇的平均分为：（分）， 小航的平均分为：（分）， ∵85.5＞84.5， ∴小宇获胜． 【点睛】本题考查中位数、众数以及加权平均数，掌握中位数、众数以及加权平均数的计算方法是正确解答的关键． 21. 用反证法证明下列问题： 如图，在中，点D、E分别在上，相交于点O．求证：和不可能互相平分． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用反证法证明的第一步假设和互相平分，进而利用平行四边形的判定与性质得出，进而得出与已知出现矛盾，从而得出原命题正确． 【详解】证明：连接， 假设和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵在中，点D、E分别在上， ∴不可能平行于，与已知出现矛盾， 故假设不成立原命题正确， 即和不可能互相平分． 【点睛】此题主要考查了反证法的证明，根据反证法步骤得出假设和互相平分进而得出矛盾是解题关键． 22. HS世博会的投入包括直接投入和间接投入两部分，且直接投入占间接投入的，按以往世博会的投入与经济效益比，测算得HS世博会的经济收益将达4500亿元，而这些经济效益将在世博会举行期间及闭幕后几年逐步兑现． （1）求HS世博会的直接投入是多少亿元． （2）HS世博会，在2020年举办期间为HS兑现了1000亿元的经济效益；若其余的经济效益，在2020，2021，2022三年间，是按一个相同的百分数减少的，这样还有28%的经济效益将在2022年的后续几年兑现，求HS世博会的经济效益在2022年兑现多少亿元． 【答案】（1）HS世博会的直接投入是2700亿元 （2）HS世博会的经济效益在2022年兑现1162.084亿元 【解析】 【分析】（1）设世博会的直接投入是x亿元，则世博会的间接投入为亿元，然后根据世博会的投入与经济效益比列出方程求解即可； （2）分别求出2021和2022年兑现的钱数，再根据在2020，2021，2022三年间，是按一个相同的百分数减少的，这样还有28%的经济效益将在2022年的后续几年兑现列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设世博会的直接投入是x亿元，则世博会的间接投入为亿元， 由题意得：， 解得， ∴HS世博会的直接投入是300亿元， 答：HS世博会的直接投入是300亿元 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得（不符合题意值已舍去）， ∴HS世博会的经济效益在2022年兑现亿元， 答：HS世博会的经济效益在2022年兑现1162.084亿元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 23. 如图，在中，点是对角线的中点，点在上，且，连接并延长交于点F．过点作的垂线，垂足为，交于点． （1）求证：； （2）若． ①求证：； ②探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析，②，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到∠OAF=∠OCE，证明△OAF≌△OCE，根据全等三角形的对应边相等证明结论； （2）①过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，根据三角形的外角性质得到∠BAG=∠BGA； ②证明△AME≌△BNG，根据全等三角形的性质得到ME=NG，根据等腰直角三角形的性质得到BE=GC，根据（1）中结论证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）①过作于，交于，过作于， 则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，又， ∴， 设， 则，， ∴； ②， 理由如下：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 24. 对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为所以是“喜鹊数”． （1）已知一个“喜鹊数”（，其中a，b，c为正整数），请直接写出a，b，c所满足的关系式_________；判断_________“喜鹊数”（填“是”或“不是”）； （2）利用（1）中“喜鹊数”k中的a，b，c构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，求m与n满足的关系式； （3）在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的所有k的值． 【答案】（1）；不是 （2） （3） 【解析】 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的解、判别式等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）根据定义即可求解； （2）由题意得；得：；由①③可得：是方程两个相等的实数根； （3）题意可得，进而得；结合，可得，据此即可求解； 【小问1详解】 解：∵是“喜鹊数” ∴； ∵ ∴不是“喜鹊数”， 故答案为：；不是 【小问2详解】 解：由题意得：，； 得：； 由①③可得：是方程的两个实数根； 由（1）得， ∴是方程两个相等实数根； ∴； 即： 【小问3详解】 解：∵，， 解得： ∴ ∴； ∵， ∴ 即： ∴满足条件所有k的值为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$