第21章一元二次方程闯关练习-2024—2025学年人教版数学九年级上册

第21章一元二次方程闯关练习-数学九年级上册人教版 目录 第一部分：知识梳理。 第二部分：典型例题。‌ 第三部分：跟踪训练。 第一部分 知识梳理 21.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： 1 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 典型例题： 1、已知关于x的方程（m+）x+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 （1） 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=,x2=. （2） 直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3） 用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4） 直接开平方法解一元二次方程的步骤是： ①移项； ②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1； ③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程 （1） 一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2） 一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3） 公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值 ②确定公式中a,b,c的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值； ④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根。 知识点二 一元二次方程根的判别式 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它， 即△=b2-4ac. △＞0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根 △=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 △＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根 21.2．3 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程 （1） 把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。 （2） 因式分解法的详细步骤： 1 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0； 2 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； 3 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； 4 解一元一次方程即可得到原方程的解。 知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用范围 直接开平方法 平方根的意义 形如x2=p或（mx+n）2=p(p≥0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当ab=0，则a=0或b=0 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=, x1x2= 22.3 实际问题与一元二次方程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤： （1） 审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。 （2） 设：是指设元，也就是设出未知数。 （3） 列：列方程是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 （4） 解：就是解方程，求出未知数的值。 （5） 验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 （6） 答：写出答案。 知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型 （1） 数字问题 三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。 三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c. （2）增长率问题 设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2=b。 （3）利润问题 利润问题常用的相等关系式有： ①总利润=总销售价-总成本； ②总利润=单位利润×总销售量； ③利润=成本×利润率 （4）图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。　 第二部分 典型例题 1．用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（十字相乘法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，公式法，以及直接开方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． （1）把常数项4移项后，再在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方，再进行计算即可． （2）找出，，的值，计算出根的判别式大于0，代入求根公式即可求出解； （3）方程移项后，提取公因式，因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可； （4）把方程左边进行因式分解得到，然后解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）， ， ， ， ， ，； （2）， ，，，， ， ，； （3）， ， ， ， ， 或， ，； （4）． ， 或， ，． 2．已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个实数根恰好为斜边为的直角三角形的两直角边长，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程的方法进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，，，，即可算出，化简得，根据非负数的性质即可得出答案； （2）记直角三角形的两直角边为、，由、的长是该方程的两个实数根，可得，，再由是直角三角形，可得，即，再列出方程并解一元二次方程即可得出答案． 【详解】（1）证明：，，， ， ， ， 即， 无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：记直角三角形的两直角边为、 、的长是该方程的两个实数根， ，， 是直角三角形， ， ， 即， 整理，得， 解得，（舍去） 的值是 3．某商店销售一款成本价为40元的洗发水，如果每瓶按60元销售，每天可卖20瓶．该商店通过调查发现，每瓶洗发水售价每降低1元，日销售量增加2瓶． (1)如果该商店想保持日利润不变，且尽快销售完这批洗发水，每瓶售价应定为多少元？ (2)同城另一家商店也销售同款洗发水，标价为每瓶62.5元．为促进销售，提高利润，这家商品决定实行打折促销，且其销售价格不低于（1）中的售价且不高于60元，则洗发水至少需打几折？ 【答案】(1)每瓶售价定为50元 (2)洗发水至少需打八折 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用以及一元一次不等式组的应用，找准等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）设该商品打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）设每瓶售价定为a元，则 解得，（舍）， ∴每瓶售价定为50元 （2）设洗发水打a折，则， 解得： 答：洗发水至少需打八折． 第三部分 跟踪训练 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．4、、 B．4、2、 C．4、、1 D．4、2、1 3．一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若、是方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 6．若，且，则（    ） A． B． C． D． 7．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 8．《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四．乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲走了多少步（    ） A．24 B．30 C．32 D．36 二、填空题 9．一元二次方程的根是 ． 10．已知方程可以配方成的形式，那么 ． 11．张老汉打算在自家的责任田中圈出一块面积为的矩形土地种植玉米，为方便种植，圈出的矩形土地的长与宽应相差，设该矩形土地的长为，则可列方程为 ． 12．已知平行四边形的其中三边长分别为，则第四条边的长为 ． 13．已知、是方程的两根，则 ． 14．如图，在边长为正方形中，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿和边向D点以的速度移动，如果点P、Q分别从A、B同时出发，其中一点到终点，另一点也随之停止．过了 秒钟后，的面积等于． 三、解答题 15．解方程： (1)用配方法：； (2)用公式法：． 16．已知关于的一元二次方程． (1)当时，求该方程的根； (2)求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根． 17．2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率． 18．社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为．求道路的宽是多少米？ 19．阅读下面材料，解答问题： 为解方程，我们可以将看作一个整体，然后设，那么原方程可化为，解得，，当时，，∴，∴，当时，，∴，∴，故原方程的解为，，，． 上述解题方法叫做换元法． 请利用换元法解方程：． 20．已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)已知等腰三角形的底边，若恰好是另外两条腰的长，求这个三角形的周长． (3)阅读材料：若三边的长分别为a，b，c，那么可以根据秦九韶—海伦公式可得：的面积，其中． 解答问题：请在（2）的条件下，根据“阅读材料”中的信息解答下列问题：    ①求等腰三角形的面积； ②如图，若和的角平分线交于点I，请求出的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D A D A A D 1．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A、是一元一次方程，故选项错误，不符合题意； B、符合一元二次方程的定义，故选项正确，符合题意； C、不是整式方程，故选项错误，不符合题意； D、是二元一次方程，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 2．C 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 故选C． 3．D 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解一元二次方程的方法有：直接开平方法，配方法、公式法，因式分解法，根据方程的特点灵活选用一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据列式求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴． 故选A． 5．D 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 先由根与系数的关系得出，，代入即可求解． 【详解】∵是方程的两个根， ∴，， ∴， 故选D． 6．A 【分析】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程，当方程有解，即时，设方程两根分别为，则有，将原题第二个等式左右两边同时除以，变形后与第一个等式比较，得到与为方程的两个解，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出所求式子的值． 【详解】解：当时，， ∴， 将变形得：， 又， 与为方程的两个解， ∴． 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的系数结合根的判别式即可得出，从而得出方程有两个相等的两个实数根，练掌握“当时，方程有两个相等的两个实数根”是解题的关键． 【详解】解：∵在方程中，， ∴方程有两个相等的两个实数根． 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，表示正东方向，表示正南方向，则，设甲、乙的时间都是x，则，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，表示正东方向，表示正南方向， ， ∴ 设甲、乙的时间都是x，则，， 又∵． ∴ 由勾股定理得：， ∴ ∴， ∴（舍去）， ∴甲走的路程为（步）， 故选：D． 9． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 故答案为：． 10．1 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据配方法即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 11． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该矩形土地的长为，则宽为，根据“面积为”列出一元二次方程即可． 【详解】解：设该矩形土地的长为，则宽为， 由题意得：， 故答案为：． 12．1或15 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解一元二次方程，分当一组对边的长分别为时，当一组对边的长分别为时，当一组对边的长分别为时，三种情况根据平行四边形对边相等建立方程求解即可． 【详解】解：∵平行四边形的其中三边长分别为， ∴当一组对边的长分别为时，则有，解得或（舍去）， ∴， ∴第四条边的长为1； 当一组对边的长分别为时，则有，解得， ∴， ∴第四条边的长为15； 当一组对边的长分别为时，则有，解得（舍去）或（舍去）； 综上所述，第四条边的长为1或15， 故答案为：1或15． 13．/ 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 一元二次方程的根与系数的关系：．根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，， ∴ ； 故答案为： 14．2或 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用的知识点，解答本题的关键是Q点的运动位置，此题很容易漏掉一种情况，此题难度一般．设经过x秒，的面积等于，分类讨论当秒时，Q点在上运动，P在上运动，求出面积的表达式，求出一个值，当秒时，Q点在上运动，P在上运动，根据条件列出一个一元一次方程，求出一个值． 【详解】解：设经过x秒，的面积等于， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ，， ∴， 解得或4， 又知， 故符合题意， 当秒时，Q点在上运动，P在上运动， ， 解得． 故答案为：2或． 15．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得：， 即， 开平方得：， ∴，． （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 16．(1) (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式； （1）当时，原方程可化为，利用因式分解求解即可； （2）证明即可． 【详解】（1）：当时，原方程可化为 ∴， 解得． （2）由题意，得， 不论取何实数，该方程总有两个实数根． 17．(1)售价应定为每个元． (2)这两周的平均增长率为． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为每个元，则 ， 整理得：， 解得：，； ∵更大优惠让利消费者， ∴不符合题意， ∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元． （2）解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个）， 设这两周的平均增长率为，则 ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴这两周的平均增长率为． 18．道路的宽为6米． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．设道路的宽为x米，利用平移的性质可得铺花砖部分组成一个边长为米，宽为米的矩形，再根据矩形的面积公式列出方程，解答检验即可． 【详解】解：设道路的宽为x米， 根据题意结合平移的性质可得： ， 解得：（舍去）或， 通道的宽为6米； 19．，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元法就是把一个复杂的不变整体用一个字母代替，这样就把复杂的问题转化为简单的问题，先设，则原方程变形为，运用因式分解法解得，再把和6分别代入得到关于x的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解． 【详解】解：设，则，即， ∴ 解得：， 当时，，即， 解得：，; 当时，，即， 解得：，. 所以原方程的解为，，， 20．(1) (2)10 (3)①；② 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质、角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知一元二次方程根的判别式大于或等于0列出不等式求解即可； （2）根据恰好是等腰的腰长，令，解一元二次方程求得，然后运用三角形的周长公式即可解答； （3）①由(2)知：的三边长为，代入公式求得面积；②根据角平分线的性质以及的面积看求得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：． （2）解：由题意知：恰好是等腰的腰长， ∴， ∵是关于的一元二次方程的两实数根， ∴， 解得：， ∴， 解得， ∵， ∴的周长为：． （3）解：①由(2)知：的三边长为， ∴， ∴． ②过I分别作，    ∵和的角平分线交于点I， ∴， ∴ ， 解得， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$