精品解析：浙江省杭州学军中学2024年新高一分班考试数学试题

学军中学新高一分班考 数学卷 一、选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分. 1. 下列四个命题： ①平分弦的直径垂直于弦；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等； ③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧. 其中真命题的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（ ） A. 28，28，1 B. 28，27.5，3 C. 28，28，3 D. 28，27.5，1 3. 已知方程组的解满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使，连接AC，，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，四边形均为正方形，点在上，点在上，为边的中点，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 6. 如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（ ） A. 线段 B. 圆弧 C. 抛物线的一部分 D. 不同于以上的不规则曲线 7. 如图，以点为圆心，为半径的圆与轴交于A，B两点，P是☉M上异于A，B的一动点，直线，分别交轴于点，，以为直径的☉N与轴交于点E，F则EF的长为（ ） A. B. C. 6 D. 随P点位置而变化 8. 已知二次函数图象的对称轴为，且过点与，则下列说法中正确的是（ ） ① 当时，函数有最大值2； ② 当时，函数有最小值； ③ P是第一象限内抛物线上的一个动点，则面积的最大值为； ④ 对于非零实数m，当时，y都随着x的增大而减小. A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 二、填空题：本大题有8个小题，每小题5分，共40分 9. 已知a是实数，且满足，则代数式的值是_______________. 10. 已知函数，下列说法：①方程必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当时，抛物线顶点在第三象限；④若，则当时，y随着x的增大而增大，其中正确的序号是_______________. 11. 如图，是绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是_______. 12. 如图，在5×5的正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都在格点上），则图中与△ABC相似的最小的三角形与最大的三角形的面积比值为______. 13. 如图，边长为2的等边的顶点A、B分别在的两边上滑动，当时，点O与点C的最大距离是________. 14. 如图，正方形ABCD的边长为4，点O是对角线AC，BD的交点，点E为边CD的中点，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连结OF，则OF的长为______. 15. 如图，矩形ABCD为☉O的内接矩形，，点E为弧BC上一动点，把弓形沿AE折叠，使点O恰好落在弧AE上，则图中阴影部分的面积为________. 16. 已知A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限，已知点C的位置始终在一函数图象上运动，则这函数解析式是________. 三、解答题：本大题有5个小题，共56分. 17. 如图，已知∠A，请你仅用尺规，按下列要求作图和计算（保留作图痕迹，不写画法）： （1）选取适当的边长，在所给的∠A图形上画一个含∠A的直角三角形ABC，并标上字母，其中点C为直角顶点，点B为另一锐角顶点； （2）以AC为一边作等边△ACD； （3）若设∠A=30°，BC边长为a，则BD的长为__________________. 18. 如图，PB为的切线，B为切点，过B做OP的垂线BA，垂足为C，交于点A，连接PA、AO，并延长AO交于点E，与PB的延长线交于点D. （1）求证：PA是的切线； （2）若，且OC=4，求PA的长和tanD的值. 19. 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm.点P从点B出发，方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动.连接PF，设运动时间为t（s）（）.解答下列问题： （1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？ （2）设四边形APFE的面积为y（），求出y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由. 20. 为控制H7N9病毒传播，某地关闭活禽交易，冷冻鸡肉销量上升.某公司在春节期间采购冷冻鸡肉60箱销往城市和乡镇.已知冷冻鸡肉在城市销售平均每箱的利润y1（百元）与销售数量x（箱）的关系为，在乡镇销售平均每箱的利润（百元）与销售数量t（箱）的关系为 （1）t与x的关系是：将转化为以x为自变量的函数，则等于？ （2）设春节期间售完冷冻鸡肉获得总利润W（百元）当在城市销售量x（箱）的范围是时，求W与x的关系式；（总利润=在城市销售利润+在乡镇销售利润） （3）经测算，在的范围内，可以获得最大总利润，并求出此时x的值. 21. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为（6,6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E. （1）求点E的坐标；求抛物线的函数解析式； （2）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON的面积的最大值，并求出此时点N的坐标； （3）连结AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学军中学新高一分班考 数学卷 一、选择题：本大题有8个小题，每小题3分，共24分. 1. 下列四个命题： ①平分弦的直径垂直于弦；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等； ③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧. 其中真命题的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理、确定圆的条件、垂径定理，分别判断即可. 【详解】①平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故①错误； ②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故②错误； ③三角形有且只有一个外接圆，是真命题； ④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，是真命题， 所以③④是真命题. 故选：B. 2. 如图，在2014年的体育中考中，某校6名学生的体育成绩统计如图，则这组数据的众数、中位数、方差依次是（ ） A. 28，28，1 B. 28，27.5，3 C. 28，28，3 D. 28，27.5，1 【答案】A 【解析】 【分析】根据统计图，列出这组数据，利用众数、中位数、方差的定义和计算公式即得. 【详解】由统计图可知，这组数据为27,27,28,28,2830，显然众数为28，中位数为， 平均数为：，则方差为：. 故选：A. 3. 已知方程组的解满足，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，用表示出即可列出不等式求解得结果. 【详解】由方程组，得，即，而， 因此，解得，所以a的取值范围是. 故选：A 4. 如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使，连接AC，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，由tanB=，即，设，则，可得，进而求得，则求得的值. 【详解】如图，过点作交的延长线于点， 因为tanB=，即， 设，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：D. 5. 如图，在中，，四边形均为正方形，点在上，点在上，为边的中点，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由勾股定理可得，利用三角形相似可求得，，又，可得的方程，求解即可. 【详解】设， 因为中，， 所以， 因为四边形均为正方形，所以， 所以，所以， 因为为边的中点，所以，所以， 又所以，所以，解得. 故选：C. 6. 如图，正方形OABC的一个顶点O是平面直角坐标系的原点，顶点A，C分别在y轴和x轴上，P为边OC上的一个动点，且 ， ，当点P从点C运动到点O时，可知点Q始终在某函数图象上运动，则其函数图象是（ ） A. 线段 B. 圆弧 C. 抛物线的一部分 D. 不同于以上的不规则曲线 【答案】A 【解析】 【分析】首先设正方形的边长是a，则点B的坐标是，设点Q的坐标是，点P的坐标是;然后根据，，推得，再根据，可得，所以其函数图象是线段. 【详解】设正方形的边长是，则点的坐标是， 设点的坐标是，点的坐标是， ， ， ①， ， ， ②， 把①代入②，可得， 整理,可得， ，， ， ， ， ∴点Q在某函数图象上运动，则其函数图象是线段. 故选:A. 7. 如图，以点为圆心，为半径的圆与轴交于A，B两点，P是☉M上异于A，B的一动点，直线，分别交轴于点，，以为直径的☉N与轴交于点E，F则EF的长为（ ） A. B. C. 6 D. 随P点位置而变化 【答案】C 【解析】 【分析】通过证明相似三角形的方法，结合圆的几何性质求得. 【详解】连接，设圆的半径为，，则，， 依题意，，， 对顶角，所以， 所以，所以， 由垂径定理得， 所以. 故选：C 8. 已知二次函数图象的对称轴为，且过点与，则下列说法中正确的是（ ） ① 当时，函数有最大值2； ② 当时，函数有最小值； ③ P是第一象限内抛物线上的一个动点，则面积的最大值为； ④ 对于非零实数m，当时，y都随着x的增大而减小. A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出二次函数解析式，再利用二次函数的图象、性质逐一判断即可. 【详解】由二次函数图象的对称轴为，且过点，得该图象还过点， 设二次函数的解析式为，由图象过点，得，解得， 因此二次函数的解析式为， 对于①，当时，，取得最大值2，①正确； 对于②，当时，，取得最小值，②正确； 对于③，设直线方程为，由，得，即直线：， 过点作直线轴交于，设，取， 则，此时面积为，③错误； 对于④，当时，，当时，y随着x的增大而增大，④错误， 因此说法中正确的是①②. 故选：A 二、填空题：本大题有8个小题，每小题5分，共40分 9. 已知a是实数，且满足，则代数式的值是_______________. 【答案】1 【解析】 【分析】由根式有意义，求出的范围，结合等式特点求出的值，代入所求式计算即得. 【详解】由 有意义，可得，即，故， 依题意，须使，即， 此时，. 故答案为：1. 10. 已知函数，下列说法：①方程必有实数根；②若移动函数图象使其经过原点，则只能将图象向右移动1个单位；③当时，抛物线顶点在第三象限；④若，则当时，y随着x的增大而增大，其中正确的序号是_______________. 【答案】①③ 【解析】 【分析】利用二次函数与轴的交点及二次函数的性质，逐一判断各个选项即得. 【详解】二次函数与轴交于点， 对于①，方程化为，解得或，①正确； 对于②，将函数图象向右移动1个单位或向右、 向左平移个单位，所得函数图象都过原点，②错误； 对于③，当时，，抛物线开口向上，对称轴，又与轴有两个交点， 则抛物线顶点在第三象限，③正确； 对于④，取，抛物线的开口向下，对称轴为， 当时，y随着x的增大而减小，④错误， 所以正确的序号是①③. 故答案为：①③ 11. 如图，是绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点C恰好落在AB上，且∠AOD的度数为90°，则∠B的度数是_______. 【答案】60° 【解析】 【分析】根据等腰三角形、直角三角形的知识求得正确答案. 【详解】依题意得， 而，所以 由于， 所以. 故答案为：60° 12. 如图，在5×5的正方形网格中，△ABC为格点三角形（顶点都在格点上），则图中与△ABC相似的最小的三角形与最大的三角形的面积比值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据相似三角形的知识求的正确答案. 【详解】不妨设小正方形的边长为，则， 则最小的三角形（最短的边长为）边长分别为， 如下图所示三角形， 最大的三角形（最长的边长为）的边长分别为， 如下图所示三角形. 最小的三角形与最大的三角形的相似比为， 所以面积比为. 故答案为： 13. 如图，边长为2的等边的顶点A、B分别在的两边上滑动，当时，点O与点C的最大距离是________. 【答案】 【解析】 【分析】取中点，确定取得最大值的条件，再结合直角三角形求解即得. 【详解】取中点，连接， 由是等边三角形，得， 显然，当且三点共线时取等号，此时， 在上取点，使，连接，则， 在等腰中，由，得，则， 于是，所以点O与点C的最大距离是. 故答案为： 14. 如图，正方形ABCD的边长为4，点O是对角线AC，BD的交点，点E为边CD的中点，连接BE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连结OF，则OF的长为______. 【答案】## 【解析】 【分析】在BE上截取，连接OG，证明≌，从而推出，继而求出相关线段长，在等腰直角三角形OGF中即可求得答案. 【详解】在BE上截取，连接OG， 四边形为边长为4的正方形，即， 在中，， 则， 在中，， 故≌，， 故，故， 又，故, 由射影定理得，即， ， 又，故，则， 在等腰直角三角形OGF中，， 故答案为： 15. 如图，矩形ABCD为☉O的内接矩形，，点E为弧BC上一动点，把弓形沿AE折叠，使点O恰好落在弧AE上，则图中阴影部分的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意推出为等边三角形，可得点B为弧AE所在圆的圆心，进而求出的长，结合扇形面积公式，即可求得答案. 【详解】连接，则交于O点， 由，得， ， 故为等边三角形，点B为弧AE所在圆的圆心； 结合题意把弓形沿AE折叠，使点O恰好落在弧AE上，可知， ， 故阴影部分面积为， 故答案为： 16. 已知A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限，已知点C的位置始终在一函数图象上运动，则这函数解析式是________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据已知条件求得的关系式，从而求得正确答案. 【详解】依题意，三角形是等边三角形，连接， 则是线段的垂直平分线，， 设，则，， 而，所以， 过作轴于点，则，设， 则，整理得， 在直角三角形中，，即， 将代入上式得，整理得， 在第四象限，得，则， 所以，则， 所以这函数的解析式是. 故答案为： 三、解答题：本大题有5个小题，共56分. 17. 如图，已知∠A，请你仅用尺规，按下列要求作图和计算（保留作图痕迹，不写画法）： （1）选取适当的边长，在所给的∠A图形上画一个含∠A的直角三角形ABC，并标上字母，其中点C为直角顶点，点B为另一锐角顶点； （2）以AC为一边作等边△ACD； （3）若设∠A=30°，BC边长为a，则BD的长为__________________. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）在一边上任取一点C，然后过点C作AC的垂线与另一边相交于点B，则即为所求作的三角形； （2）分别以A、C为圆心，以AC长为半径画弧，相交于点D，连接AD、CD则即为所求作的等边三角形； （3）根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度，再利用勾股定理求出AC的长度，然后分两种情况①点D在AC的下方时，作交BC的延长线于点E，求出DE、CE的长度，然后求出BE的长度，再利用勾股定理列式计算即可得解，②点D在AC的上方时，求出，根据等边三角形的性质可得，再根据对称性可得与关于AB成轴对称，根据轴对称的性质可得． 【小问1详解】 如图所示，为所求作的直角三角形（答案不唯一）； 【小问2详解】 如图所示，为所求作的等边三角形，有点在的上方与下方两种情况； 【小问3详解】 、边长为，， 根据勾股定理，， ①点在的下方时，作交的延长线于点， 则，， 所以，， 在中，； ②点在的上方时，， ，， ，与关于成轴对称，， ，； 综上所述，的长度为或． 18. 如图，PB为的切线，B为切点，过B做OP的垂线BA，垂足为C，交于点A，连接PA、AO，并延长AO交于点E，与PB的延长线交于点D. （1）求证：PA是的切线； （2）若，且OC=4，求PA的长和tanD的值. 【答案】（1） 连接，由，得是弦的中点，即垂直平分线段， 于是，而，则≌， 因此，又切于点， 则，即， 所以PA是的切线. （2），. 【解析】 【分析】（1）连接，利用圆的性质及全等三角形性质证得即可推理得证. （2）由（1）的信息，利用勾股定理及相似三角形性质求出；连接，可得，再利用平行线推比例式求出，进而求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，得， 由（1）知，，又，则∽， 因此，所以； 由（1）得，，连接， 由为的直径，得，则， 于是，即，解得， 在中，. 19. 已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm.点P从点B出发，方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动.连接PF，设运动时间为t（s）（）.解答下列问题： （1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？ （2）设四边形APFE的面积为y（），求出y与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）当时，四边形APFD是平行四边形 （2） （3）存在，t=4 【解析】 【分析】（1）当时，四边形为平行四边形，用表示出，，列等式计算； （2）作高，利用面积相等求出的长，由图可知：四边形的面积四边形的面积的面积；代入求出与之间的函数关系式； （3）先计算菱形的面积，再将（2）得到的代入到式子中，解出即可． 【小问1详解】 四边形为菱形， ，，， ， 由题意可知：，，则， ，，，， ，由勾股定理得：， ，， 当时，四边形为平行四边形， 则，；所以当时，四边形是平行四边形； 【小问2详解】 过作于，则， ，，， 则； 【小问3详解】 存在， ， ，则， ，解得：，（舍去）， ，符合题意， 当时，． 20. 为控制H7N9病毒传播，某地关闭活禽交易，冷冻鸡肉销量上升.某公司在春节期间采购冷冻鸡肉60箱销往城市和乡镇.已知冷冻鸡肉在城市销售平均每箱的利润y1（百元）与销售数量x（箱）的关系为，在乡镇销售平均每箱的利润（百元）与销售数量t（箱）的关系为 （1）t与x的关系是：将转化为以x为自变量的函数，则等于？ （2）设春节期间售完冷冻鸡肉获得总利润W（百元）当在城市销售量x（箱）的范围是时，求W与x的关系式；（总利润=在城市销售利润+在乡镇销售利润） （3）经测算，在的范围内，可以获得最大总利润，并求出此时x的值. 【答案】（1），； （2）； （3），最大382.5 【解析】 【分析】（1）将代入解析式可得； （2）根据自变量范围，选择相应解析式计算最大利润即可； （3）根据自变量范围，选择相应解析式表示出，然后由二次函数性质可得. 【小问1详解】 由题知，，则，即. 【小问2详解】 当在城市销售量x（箱）的范围是时，在乡镇销售量为， 所以. 【小问3详解】 当时，， 由二次函数性质知，函数开口向下且对称轴为， 当时，最大值（百元）. 21. 如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为（6,6），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E. （1）求点E的坐标；求抛物线的函数解析式； （2）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连结ON、BN，当点F在线段OB上运动时，求△BON的面积的最大值，并求出此时点N的坐标； （3）连结AN，当△BON面积最大时，在坐标平面内求使得△BOP与△OAN相似（点B、O、P分别与点O、A、N对应）的点P的坐标. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设直线解析式，根据过的点求出设直线解析式，求出点坐标，设抛物线解析式，根据过的点求出设抛物线解析式； （2）求出直线的解析式，设过点且与直线平行的直线解析，当点到的距离最大时面积最大，求出点坐标，求出面积； （3）过点作于，证明，所以的延长线存在一点使得，设出点的坐标，列出方程求出点坐标. 【小问1详解】 设直线解析式为， 所以，所以， 所以，令得， 设抛物线解析式为， 所以，所以， 所以； 【小问2详解】 由题意得直线的解析式为， 设过点且与直线平行的直线解析式为， 联立，过点与平行的直线与抛物线有唯一公共点， 则点到的距离最大，所以面积最大， 解得，，， 即，此时面积为； 【小问3详解】 过点作于， 因为，，， 所以，，，，， 在和中，， 所以，所以， 所以，所以的延长线存在一点使得， 所以，因为，， 所以，，，， 所以，， 设，所以， 所以，因为和关于直线对称， 所以或. 【点睛】关键点点睛：本题（3）关键在于过点作于，证明，的延长线存在一点使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $