11.3多边形及其内角和复习讲义2024-2025学年人教版数学八年级上册

11.3多边形及其内角和复习讲义-数学八年级上册人教版 知识梳理 多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 典例分析 1．如图，小明从点出发沿直线前进到达点，向左转后又沿直线前进到达点，再向左转后沿直线前进到达点照这样走下去，小明第一次回到出发点，一共走了多少米？ 【答案】小明第一次回到出发点，一共走了米． 【分析】本题考查了正多边形的边数的求法，多边形的外角和为；根据题意判断出小明走过的图形是正多边形是解题的关键．根据题意，小明走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以即可． 【详解】解：小明每次都是沿直线前进后向左转， 他走过的图形是正多边形，且这个正多边形的每一个外角都是， 边数， 他第一次回到出发点时，一共走了． 2．如图，六边形的内角都相等，，与、与有怎样的位置关系？为什么？ 【答案】，，理由见解析 【分析】本题考查了正多边形的内角，四边形的内角以及平行的判定等知识，利用多边形内角和以及每个内角相等可求出每一个内角的度数，然后利用四边形内角和为求出的度数，进而求出的度数，可判定，即可判断出与的关系，利用角的和差关系可求出，即可判断出与的关系． 【详解】解∶∵六边形的内角都相等， ∴六边形的每一个内角为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴． 精选好题 一、单选题 1．五边形的内角和度数是（    ） A． B． C． D． 2．下图中x的值为（   ） A．60 B．65 C．70 D．75 3．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍．这个多边形是（   ） A．六边形 B．九边形 C．八边形 D．十边形 4．如图，在五边形中，，分别平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，随着科技的不断进步，人工智能机器人逐渐走进人们的生活，在完成某项任务时，机器人小胖从点O出发，沿直线前进8米后向左转，再沿直线前进8米向左转相同的度数，……照这样走下去，当机器人小胖第一次回到了出发点时，共走过了160米，则机器人小胖每次转过的角度n的值为（       ） A．10 B．18 C．20 D．30 6．若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，沿图中虚线截去，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图是排的前3个正五边形，要完成这一圆环还需要（    ）个这样的正五边形． A．5 B．7 C．9 D．10 二、填空题 9．一个 n 边形的内角和等于，则 ． 10．正多边形的一个的内角是，则这个多边形的边数是 ． 11．如图，的度数为 ．    12．如图，正八边形中， ． 13．如图，已知正五边形，交的延长线于点F，交的延长线于点G．则的度数为 ． 14．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大，这个多边形是 ． 15．如图，七边形中，，的延长线交于点O，若，，，的外角和等于，则的度数为 ． 16．如图，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9条对角线，则一个凸边形有 条对角线． 三、解答题 17．如图所示的模板，按规定，，的延长线相交成的角，因交点不在板上，不便测量，质检员测得，．如果你是质检员，如何知道模板是否合格？为什么？ 18．若一个多边形的内角和是它的外角和的倍，求该多边形的边数． 19．已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． (1)试分别确定A，B是什么正多边形？ (2)画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形（画一种即可）． 20．如图，在五边形中，平分，且，交于点． (1)五边形的内角和为______度； (2)若，求的度数． 21．科学知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两个 情景请你作出判断： (1)木工师傅在做完门框后，为防止变形，常常像图中所示的样子钉上两条斜拉的木板 条，这样做的数学道理是 ； (2)在科技创新大赛期间，八年级 A 班的小强有一个设想，他计划设计一个内角和是的多边形图案，他认为这非常有意义，他的愿望能实现吗？ 用数学知识说明你的结论． 22．如图， (1)如图①②，请直接写出，与，之间的数量关系． (2)用你发现的结论解决下列问题：如图③，，分别是四边形的外角，的平分线，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D C B B C B 1．C 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．据此计算即可． 【详解】解：． 故选C． 2．B 【分析】本题考查了四边形内角和定理，一元一次方程的应用．根据四边形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了多边形的内角与外角和，解题的关键是熟练的掌握多边形的内角与外角和定理与运算．根据外角和是求出内角和，代入公式计算即可． 【详解】解：多边形外角和是，设多边形边数为， 故多边形的内角和为， 解得， 故选D． 4．C 【分析】先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数．本题主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和且为整数）． 【详解】解：在五边形中，， ， 又、分别平分、， ， 中，． 故选：C． 5．B 【分析】根据多边形的外角和等于解决此题．本题主要考查多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得：． 小明每次转过的角度． 故选：B 6．B 【分析】本题考查多边形的内角和外角和，根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决． 边形的内角和可以表示成，根据题意列方程，求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和为解答即可． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 根据题意列方程，得， 解得， ∴该正多边形的边数是9， ∵多边形的外角和为， ， ∴该正多边形的一个外角为． 故选B． 7．C 【分析】本题考查三角形的内角和定理，四边形的面积和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 根据三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理解决问题即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 8．B 【分析】本题主要考查了正多边形的外角和．设正五边形的两边交于点O，求出正五边形的外角为，可得的度数，即可求解． 【详解】解：如图，设正五边形的两边交于点O， 正五边形的外角为， ∴， ∵， ∴要完成这一圆环还需要个这样的正五边形． 故选：B 9．6 【分析】本题考查了多边形的内角和．根据多边形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵一个 n 边形的内角和等于， ∴， 解得：． 故答案为：6 10．5 【分析】本题主要考查了多边形的外角与内角，解题关键是掌握任意多边形的外角和都等于． 先求出正多边形的一个外角度数，再根据多边形的外角和等于，即可求出这个多边形的边数． 【详解】解：∵正多边形的一个内角是， ∴正多边形的一个外角是， ∵多边形的外角和等于， ∴这个多边形的边数是， 故答案为：5． 11．/360度 【分析】本题考查角的计算．由，推出，即可得到答案． 【详解】解：连接，   ， ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查多边形的内角和及正多边形的性质，结合已知条件得出平分是解题的关键． 根据多边形内角和与正多边形的性质求得的度数，然后根据平分即可求得答案． 【详解】解：八边形是正八边形， ， 平分， ， 故答案为：． 13．/72度 【分析】本题考查的正多边形的内角和，平行线的性质，先求解，再利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 14．7 【分析】本题主要考查了多边形内角和及外角和、一元一次方程的应用等知识，理解并掌握多边形内角和公式是解题关键．设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为，根据题意， 可得， 解得． 故答案为：7． 15．/度 【分析】本题考查了多边形内角和问题，熟练掌握多边形的内角和等于是解题的关键．根据题意计算，，，的度数之和，再计算五边形的内角和，即可求解． 【详解】解： ，，，的外角和等于， ， 五边形的内角和为， ． 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了图形规律，根据已有多边形对角线的条数，归纳出规律成为解题的关键． 先确定一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线，据此归纳规律即可解答． 【详解】解：一个四边形共有2条对角线，一个五边形共有5条对角线，一个六边形共有9条对角线， 则一个n边形共有（，且n为整数）条对角线． 故答案为：． 17．不合格；理由见解析 【分析】本题考查了多边形内角和定理和垂直的定义，关键是根据图形求出要求的角的度数．延长， 交于点G．根据四边形内角和等于，结合垂直的定义，计算可求的度数，然后根据题意进行判断． 【详解】不合格，理由如下： 如图所示，延长， 交于点G． ∵， ∴． ∵，，四边形的内角和为 ∴ ∴该模板不合格． 18．5 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的综合，先设多边形是n边，因为一个多边形的内角和是它的外角和的倍，所以，解出，即可作答． 【详解】解：设多边形是n边形，由题意可得， ， 解得：． ∴该多边形的边数为5 19．(1)A为正四边形，B为正三边形 (2)见解析 【分析】本题考查了平面镶嵌，正确求出A，B是什么正多边形是解此题的关键． （1）设B的内角为，则A的内角为，根据题意列出方程，解方程即可； （2）根据（1）所求答案画出图形即可． 【详解】（1）解：设B的内角为，则A的内角为， ∵个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌密铺， ∴， 解得：， ∴ ∴可确定A为正四边形，B为正三边形． （2）解：所画图形如下： 20．(1)540 (2) 【分析】本题考查了多边形的内角和计算，角平分线性质；掌握相关的基础知识是本题的关键． （1）根据多边形内角和公式计算即可； （2）根据结合得到，由平分，进而得到，再根据（1）五边形的内角和为，计算即可解答． 【详解】（1）解：五边形的内角和为； 故答案为：540； （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 21．(1)四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性； (2)不能实现， 理由见解析． 【分析】本题主要考查三角形的稳定性和多边形的内角和， 根据四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性即可解答； 根据多边形的内角和定理可求得多边形的变数，即可判定不可能实现． 【详解】（1）解：四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性． （2）解：不能实现．理由如下： 设边数为n，根据题意，得 ， 解得 ． ∵边数n为正整数， ∴他的愿望不能实现． 22．(1) (2) 【分析】本题主要考查了四边形内角和定理以及邻补角的性质，三角形内角和定理： （1）根据四边形内角和定理以及邻补角的性质，即可解答； （2）由（1）得：，再由角平分线的定义，可得，然后三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴， ∵，分别是四边形的外角，的平分线， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$