第8单元 数学广角-数与形（讲义）2024-2025学年六年级上册数学人教版

数学广角-数与形 (思维导图+考点梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 【数与形结合的规律】 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题． 【算数中的规律】 在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果． 例如：1×1=1； 11×11=121； 111×111=12321； 1111×1111=1234321； 通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出． ①一个数乘11，101的规律 一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算． 如：123×11=1353 一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算． 如：58734×101=5932134 ②一个数乘5，15，25，125的规律 一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2． 如：28×5=28×10÷2=280÷2=140 这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10． 【数列中的规律】 1、 定义：按一定的次序排列的一列数，叫做数列． 2、 数列中的规律： （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中． 1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系． （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律． 1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和． （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律． （4）相邻两数的关系中隐含着规律． 【“式”的规律】 把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索． 【典例1】一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样并下去，13张桌子并一排可以坐多少人？如果一共有42人，需要并多少张桌子才能坐下？ 【答案】54人；10张。 【思路分析】1张桌子坐6人，6＝2+4；2张桌子坐10人，10＝2+4+4；3张桌子坐14人，14＝2+4+4+4；……；所以n张桌子并起来坐（2+4n）人；据此解答即可。 【解答】解：1张桌子坐6人：6＝2+4 2张桌子坐10人：10＝2+4+4 3张桌子坐14人：14＝2+4+4+4 …… 所以n张桌子并起来坐（2+4n）人 13×4+2 ＝52+2 ＝54（人） 4n+2＝42 4n＝42﹣2 4n＝40 n＝10 答：13张桌子并一排可以坐54人；如果一共有42人，需要并10张桌子才能坐下。 【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 【典例2】用小棒摆三角形如图： 摆1个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，摆3个三角形要用7根小棒，摆4个三角形要用9根小棒。 （1）照这样，摆5个三角形要用 　 　根小棒，摆6个三角形要用 　 　根小棒。 （2）照这样摆下去，摆20个三角形要用 　 　根小棒。摆n个三角形要用 　 　根小棒.（用含有n的算式表示） 【答案】11，13；41，2n+1。 【思路分析】摆1个三角形要3根小棒，即2×1+1； 摆2个三角形要5根小棒，即2×2+1； …… 摆n个三角形需要的小棒数为：2n+1。 【解答】解：（1）2×5+1 ＝10+1 ＝11（根） 2×6+1 ＝12+1 ＝13（根） （2）2×20+1 ＝40+1 ＝41（根） 摆n个三角形要用（2n+1）根小棒。 故答案为：11，13；41，2n+1。 【名师点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个三角形就多2根小棒是解本题的关键。 【典例3】（如图所示）用小棒按下图摆六边形：摆1个六边形需要5+1＝6根小棒，摆2个六边形需要2×5+1＝11根小棒，摆3个六边形需要3×5+1＝16根小棒，… ①像这样摆下去，摆m个六边形一共需要多少根小棒？（请用含有字母m的式子表示） ②当m＝10时，用第①题的式子计算摆10个六边形一共需要多少根小棒？ 【答案】①（5m+1）根； ②51根。 【思路分析】①摆1个六边形需要5+1＝6根小棒，摆2个六边形需要2×5+1＝11根小棒，摆3个六边形需要3×5+1＝16根小棒，……，摆m个六边形需要小棒：（5m+1）根。 ②把m＝10时，代入①中的公式，计算即可。 【解答】解：①摆1个六边形需要5+1＝6根小棒 摆2个六边形需要2×5+1＝11根小棒 摆3个六边形需要3×5+1＝16根小棒 …… 摆m个六边形需要小棒：（5m+1）根 答：摆m个六边形一共需要（5m+1）根小棒。 ②当m＝10时， 5×10+1 ＝50+1 ＝51（根） 答：摆10个六边形一共需要51根小棒。 【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 【典例4】海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光。如图表示前14秒灯光明暗变化的情况，第1、2秒是亮的，第3秒是暗的。 （1）几秒后亮灯的情况开始和前面重复？照明灯发光的规律是什么？ （2）第40秒照明灯是亮的还是暗的？ 【答案】第6秒后亮灯的情况开始和前面重复；规律都是2亮、1暗、1亮、2暗；第40秒是暗的。 【思路分析】（1）因为照明灯的变化规律是：2亮、1暗、1亮、2暗，所以第6秒后亮灯的情况开始和前面重复； （2）根据5秒一个循环，即可求出第40秒照明灯是亮的还是暗的； 【解答】解：（1）第6秒后亮灯的情况开始和前面重复，都是2亮、1暗、1亮、2暗； （2）40÷6＝6（组）......4（秒），所以与第4盏灯一样，是暗的； 故答案为：第6秒后亮灯的情况开始和前面重复；规律都是2亮、1暗、1亮、2暗；第40秒是暗的。 【名师点评】本题考查了数与形结合的规律，本题关键是对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 【典例5】聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： 42﹣22＝（4+2）×（4﹣2）＝12 72﹣32＝（7+3）×（7﹣3）＝40 92﹣42＝（9+4）×（9﹣4）＝65 （1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 152﹣52＝（ 　 　+　 　）×（ 　 　﹣　 　）＝（ 　 　） （2）求如图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2﹣b2”来计算，明明说也可以用“（a+b）×（a﹣b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？ 【答案】（1）15，5，15，200。 （2）明明把左图沿虚线剪开，把剪掉的小长方形拼到剩下的大长方形的右侧。 【思路分析】（1）根据给出的两个平方数的差的算式，发现规律：两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差。据此解答。 （2）因为正方形的面积＝边长×边长，两个正方形的边长分别为a、b，阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，所以聪聪得出用“a2﹣b2”计算；而明明把阴影部分的图形进行了剪拼，重新组合成一个长为（a+b）、宽为（a﹣b）的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，所以明明得出阴影面积也可以用“（a+b）×（a﹣b）“来计算。 【解答】解：（1）152﹣52＝（15+5）×（15﹣5）＝200 （2）阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，即阴影部分的面积＝a2﹣b2。 明明的作法：明明把左图沿虚线剪开，把剪掉的小长方形拼到剩下的大长方形的右侧，重新拼接后的图形如下： 所以阴影部分的面积为：（a+b）×（a﹣b）。 故答案为：15，5，15，200。 【名师点评】找出算式的规律、数与形的规律以及运用规律解决实际问题是解题的关键。 1．如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按这样的规律摆下去，第6个图形需要黑色棋子多少个？则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子多少个？ 2．用6根同样长的小棒可以摆成一个正六边形（如图①），再接着摆下去（如图②、③、④），图⑧一共需要多少根小棒？ 3．按如图方式摆放餐桌和椅子． （1）n张桌子可以坐多少人？ （2）如果有40人，需要几张这样的桌子？ 4．观察如图，要想得到200个直角三角形，应画多少个正方形？ 5．玲玲把一些一元的硬币如图摆放． （1）照这样摆下去，摆6层用了多少枚硬币？ （2）如果用了45枚硬币摆成，这个等边三角形每条边上摆几枚硬币？ 6．明明用围棋子摆出了下面三个图案。 如果像这样摆下去，第6个图案一共要用多少枚围棋子？ 7．斐波那契数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常常被人们称之为神奇数、奇异数．具体数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，… 8．观察如图图形，第七个图形中，共有多少个三角形？ 9．五（1）班进行团体操表演，排成下面的队形．如果再增加一些人，但是保持点阵的规律不变，至少增加多少人？ 10．如图摆放餐桌和椅子： （1）一张餐桌可坐6人，两张餐桌可以坐10人，四张餐桌可坐多少人？ （2）按照这个规律摆放，m张餐桌可以坐多少人？ （3）按照这个规律摆放餐桌，要坐42人，需要多少张餐桌？ 11．已知1个正方形需要4根棒，2个正方形需要7根棒，3个正方形需要10根棒，问：15个正方形需要多少根棒？ 12．任意写一个四位数（各个数位上的数字互不相同），将这个四位数的四个数字重新组合，求出其中最大的数与最小的数的差，再将得到的差像上面那样重新组合，重复这个过程，你发现了什么？ 13．如图所示，用同样的小棒摆三角形。 ①像这样摆下去，摆n个三角形，需要 　 　根小棒。 ②当n＝100时，用第1题的式子计算摆100个三角形需要的小棒数。 14．按照下图方式摆放餐桌和椅子． 照这样摆下去，要坐34位客人需要多少张餐桌？（用方程解） 15．一张桌子坐4人，两张桌子并起来坐6人，三张桌子并起来坐8人，…照这样计算，10张桌子并成一排可坐多少人？如果一共有26人，需要并多少张桌子？ 16．学校有一块长方形试验田。如果这块试验田的长增加8米或宽增加5米，面积都比原来增加40平方米。原来试验田的面积是多少平方米？ 17．有一本漫画书共27页，插图和文字按页排列为文、文、图、图、图、文、文、图、图、图、文……照这样计算，这本书共有多少页插图？ 18．一块长方形农田，种大豆的面积比整块农田的一半少300平方米，其余的1200平方米种玉米。这块农田的面积是多少平方米？（先在图中标出种大豆和玉米的面积，再解答） 19．快乐提升： 如图，摆一个三角形用3根小棒，增加2根，可以摆出一个平行四边形，继续增加2根，摆出一个梯形，照这样摆下去，21根小棒能摆出一个什么样的图形？51根呢？ 20．在计算一个数与15相乘时，有一种简便的算法﹣﹣“加半添0”法．例如，计算24×15，先用24的一半（即12）与24相加，得36；再在36的末尾添一个0，得360．你能用这种方法计算下面各题吗？ 26×15 28×15 32×15 48×15 21．将100个小球放入一行排列的36个盒子中．如果任意相邻的5个盒子中的总数均为14，且第一个盒子中有2个小球．求第36个盒子中小球的个数． 22．如图，一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样，10张桌子并成一排可以坐多少人？如果一共要坐62人，需要并多少张桌子才能坐下？ 23．辉辉和同桌合作摆三角形（如图），摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用5根小棒……请你根据这样的条件，把如表填写完整。 摆1个 摆2个 摆3个 …… 摆6个 …… 摆10个 3根 5根 　 　根 …… 　 　根 …… 　 　根 24．如图所示，将1﹣12顺次排成圈。任意选择1﹣12中的一个数a，然后，从a的下一个数起顺时针（箭头所指方向）数a个数。例如a＝3，就从4开始顺时针数3个数到6；a＝11，就从12开始顺时针数11个数到10。 （1）请你尝试一下，看看你能发现哪些规律？并写出必要的尝试过程。 （2）是否存在这样一个数a，可以数到7？ 25．按如图方式摆放餐桌和椅子，那么摆13张餐桌需要多少把椅子？ 26．仔细观察如图与算式的规律，并填空。 （1）（n+1）2﹣n2＝　 　 （2）利用发现的规律计算：102﹣92+82﹣72+62﹣52＝　 　 27．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、……这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16、……这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个“三角形数”之和。 （1）根据前面三组图的规律，画出第四组图形。 4＝1+3 9＝3+6 16＝6+10 　 　 （2）把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和是：100＝　 　。 28．“长桌宴”是独特又古老的传统民俗文化，如图是幸福村“长桌宴”摆放桌椅的方式。（桌子用表示，椅子用表示。） （1）按照这样摆放桌椅的方式，5张桌子需要配多少把椅子？ （2）旅行团共有20人参加长桌宴，按照这样摆放桌椅的方式需要多少张桌子？ （3）明明发现这样摆放桌椅的方式是有规律的，请用含有字母的式子表示出这样的规律。 29．先阅读理解，再解决问题。 有这样一组非常有趣的等式，从上往下写成若干行。请你注意观察这些数的规律。 第1行：1+2＝3； 第2行：4+5+6＝7+8； 第3行：9+10+11+12＝13+14+15； 第4行：16+17+18+19+20＝21+22+23+24； 第n行：…… （1）观察每行的第1个数，我发现：第n行的第1个数正好是 　 　。 （2）照上面写下去，第5行的等式是：　 　。 （3）请你列式计算出第6行等式左边的所有数的和。 30．某地举行庆丰收长桌宴，一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样并下去，参加宴会的共有402人，需要并多少张桌子？ 1．【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据图示，第一个图形可以摆：1×3＝3个棋子；第二个图形可以摆棋子个数：2×4＝8（个）；第三个图形可以摆棋子个数：3×5＝15（个）；……第n个图形可以摆棋子个数：（n+2）n个，据此解答． 【解答】解：第一个图形可以摆棋子数：1×3＝3个 第二个图形可以摆棋子数：2×4＝8（个） 第三个图形可以摆棋子数：3×5＝15（个） …… 第6个图形可以摆棋子数： （6+2）×6 ＝8×6 ＝48（个） …… 第n个图形可以摆棋子数：（n+2）n个 答：第6个图形需要黑色棋子48个；则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子（n+2）n个． 【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力． 2．【答案】见试题解答内容 【思路分析】摆1个六边形需要6根小棒，可以写作：5×1+1；摆2个需要11根小棒，可以写作：5×2+1；摆3个需要16根小棒，可以写成：5×3+1；…由此可以推理得出一般规律解答问题． 【解答】解：根据题干分析可得：摆1个六边形需要6根小棒，可以写作：5×1+1； 摆2个需要11根小棒，可以写作：5×2+1； 摆3个需要小棒：5×3+1＝16； 摆n个需要小棒：5×n+1＝5n+1； 当n＝8时，5n+1＝5×8+1＝41； 答：图⑧一共需要41根小棒． 【名师点评】根据题干中已知的图形的排列特点及其数量关系，推理得出一般的结论进行解答，是此类问题的关键． 3．【答案】（1）4+2n；（2）18． 【思路分析】分别求出一张餐桌、两张餐桌、三张餐桌可以摆放的椅子数，根据结果即可求出答案． 【解答】解：（1）观察图形可知： 一张餐桌可摆放4+2×1＝6把椅子，可以坐6人； 两张餐桌可摆放4+2×2＝8把椅子，可以坐8人； 三张餐桌可摆放4+2×3＝10把椅子，可以坐10人； 所以n张餐桌可摆放4+2n把椅子，可以坐（4+2n）人； 答：n张桌子可以坐（4+2n）人． （2）解：设需要x张这样的桌子． 2x+4＝40 2x+4﹣4＝40﹣4 2x＝36 2x÷2＝36÷2 x＝18 答：需要18张这样的桌子． 【名师点评】本题考查了数与形结合的规律，关键是能根据求出的结果或观察图形得出规律． 4．【答案】见试题解答内容 【思路分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点． 【解答】解：根据图中的数据可得：1个正方形有0个三角形，可以写成（1﹣1）×4个； 2个正方形有4个三角形，可以写成（2﹣1）×4个； 3个正方形有8个三角形，可以写成（3﹣1）×4个； 4个正方形有12个三角形，可以写成（4﹣1）×4个； 所以当正方形的个数为a时，三角形的个数可以写成：（a﹣1）×4个； 设需要画a个正方形才得到200个直角三角形，则根据（2）中的结论可得： （a﹣1）×4＝200， 解得a＝51， 答：如果要得到200个直角三角形，一共应画51个正方形． 【名师点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力． 5．【答案】（1）21； （2）9。 【思路分析】观察图形可知，硬币的数量是从1开始的连续整数的和，整数得个数等于层数，而连续整数得和，等于整数的个数，乘第一个数与最后一个数的和，再除以2，据此规律计算即可。 【解答】解：（1）第六层有： 1+2+3+4+5+6 ＝6×（1+6）÷2 ＝6×7÷2 ＝42÷2 ＝21（个） 答：摆6层用了21个硬币。 （2）因为，45×2＝90＝9×10＝9×（9+1） 所以，这个等边三角形有9层，也就是每个边上摆9个硬币。 答：这个等边三角形每条边上摆9枚硬币。 【名师点评】本题主要考查了数与形结合的规律，根据图形找出数的计算方法，再根据总数与层数的关系，确定有多少层，是本题解题的关键。 6．【答案】25枚。 【思路分析】根据图案得出规律，每个图案中间是一枚黑色围棋子，第1个图案外围每边各有1枚，共有1×4+1＝5（枚）；第2个图案，外围每边各有2枚，共有2×4+1＝9（枚），第3个图案外围每边各有3枚，共有3×4+1＝13（枚），以此类推即可。 【解答】解：根据分析可知，第1个图案共有1×4+1＝5（枚）； 第2个图案共有2×4+1＝9（枚）； 第3个图案共有3×4+1＝13（枚）； ……； 第n个图案共有n×4+1＝（4n+1）（枚）； 所以第6个图案共有6×4+1＝25（枚）。 故答案为：25枚。 【名师点评】本题是图形与数字类的变化规律的综合问题，首先要探寻规律，认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题；本题不仅要从图形中看规律，还要从数字变化看规律，两方面结合得出结论。 7．【答案】见试题解答内容 【思路分析】观察数列的奇偶性发现：第1、2个数是奇数，第3个数是偶数；第4、5个数是奇数，第6个数是偶数……，每三个数看成一组，每组的前两个数是奇数，第三个数是偶数，用100除以3，求出商和余数，再根据余数进行判断，由此求解． 【解答】解：100÷3＝33……1 余数是1，所以第100个数是第34个循环的第1个数，是奇数． 答：第100个数是奇数． 【名师点评】解决这类问题关键是把重复出现的部分看成一组，根据除法的意义，求出总数量里面有多少个这样的一组，还余几，然后根据余数进行推算． 8．【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据图示，发现这组图形的规律：第一个图形三角形个数：4个，第二个图形三角形个数：4×2＝8（个）；第三个图形三角形个数：4×3＝12（个）；……第n个图形三角形的个数：4n个．据此解题． 【解答】解：第一个图形三角形个数：4个 第二个图形三角形个数：4×2＝8（个） 第三个图形三角形个数：4×3＝12（个） …… 第n个图形三角形的个数：4n个 所以第七个图形三角形的个数： 4×7＝28（个） 答：第七个图形三角形共有28个． 【名师点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图形，发现其规律，并运用规律做题． 9．【答案】见试题解答内容 【思路分析】观察图形可知，这个点阵是个正方形的，每天边上都是3人，若再增加一些人，但是保持点阵的规律不变，则每条边上至少是4人，由此时人数减去原来的人数即可解答问题． 【解答】解：根据题干分析可得：4×4﹣3×3 ＝16﹣9 ＝7（人） 答：至少增加7人． 【名师点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 10．【答案】（1）18人；（2）（2+4m）人；（3）10张。 【思路分析】一张餐桌可摆放2+4×1＝6把椅子，可以坐6人； 两张餐桌可摆放2+4×2＝10把椅子，可以坐10人； 三张餐桌可摆放2+4×3＝14把椅子，可以坐14人； 所以n张餐桌可摆放2+4n把椅子，可以坐（2+4n）人；根据此解答即可。 【解答】解：（1）2+4×4＝18（人） 答：四张餐桌可坐18人。 （2）按照这个规律摆放，m张餐桌可以坐（2+4m）人。 （3）2+4m＝42，可得：m＝10（张） 答：需要10张餐桌。 故答案为：（1）18人；（2）（2+4m）人；（3）10张。 【名师点评】本题考查了数与形结合的规律，关键是能根据求出的结果或观察图形得出规律。 11．【答案】46根。 【思路分析】能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根棒。据此解答。 【解答】解：观察图形发现：第一个图形需要4根棒，多一个正方形，多用3根棒，则第n个图形中，需要棒的根数：4+3（n﹣1）＝（3n+1） 当n＝15时 3×15+1 ＝45+1 ＝46（根） 答：15个正方形需要46根棒。 【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 12．【答案】我发现后面的算式会循环出现7641﹣1467＝6174。 【思路分析】按要求任意写一个四位数，将这个四位数的四个数字重新组合，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，重复进行，找出规律。 【解答】解：根据题意举例解答。如1234。 4321﹣1234＝3087 8730﹣3078＝5652 6552﹣2556＝3996 9963﹣3699＝6264 6642﹣2466＝4176 7641﹣1467＝6174 7641﹣1467＝6174 我发现后面的算式会循环出现7641﹣1467＝6174。 【名师点评】本题主要考查数列中的规律，找到规律是解题的规律。 13．【答案】①2n+1；②201根。 【思路分析】①由图可以看出摆一个三角形用3根小棒，摆两个三角形用5根小棒，摆三个三角形用7根小棒，摆四个三角形用9根小棒……，所以摆n个三角形用（2n+1）根小棒。 ②把n＝100代入2n+1，即可求出摆100个三角形需要的小棒数。 【解答】解：①一个三角用2×1+1＝3（根） 二个三角形用2×2+1＝5（根） 三个三角形用2×3+1＝7（根） 四个三角形用2×4+1＝9（根） …… n个三角形用（2n+1）根 答：摆n个三角形需（2n+1）根小棒 ②当n＝100时 2n+1 ＝2×100+1 ＝200+1 ＝201（根） 答：摆100个三角形需要201根小棒。 故答案为：2n+1。 【名师点评】此题主要是初步渗透不完全归纳思想和代数思想，培养符号化意识，提高抽象和概括能力，关键是找规律，找到规律，代入数值计算比较简单。 14．【答案】见试题解答内容 【思路分析】观察摆放的桌子，不难发现：在1张桌子坐6人的基础上，多1张桌子，多4人；设有n张桌子： n＝1时，可坐6人，可以写成4×1+2； n＝2时，可坐10人，可以写成4×2+2； n＝3时，可坐14人，可以写成4×3+2； …； 所以n张桌子可坐（4n+2）人． 由此规律可得方程：4n+2＝34；然后列方程解答即可． 【解答】解：设有n张桌子， 4n+2＝34 4n＝32 n＝8 答：要坐34位客人需要8张餐桌． 【名师点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为n，由此列方程解决问题． 15．【答案】见试题解答内容 【思路分析】观察摆放的桌子，不难发现：在1张桌子坐4人的基础上，多1张桌子，多2人．由此规律即可解决问题． 【解答】解：（1）n＝1时，可坐4人，可以写成2×1+2 n＝2时，可坐6人，可以写成2×2+2 n＝3时，可坐8人，可以写成2×3＝2 … 所以当n＝10时，可坐2×10+2＝22人 答：10张桌子并成一排可坐22人． （2）2n+2＝26 2n＝24 n＝12 答：如果有26人，需要12张桌子． 【名师点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 16．【答案】原来试验田的面积是40平方米。 【思路分析】由题意可知：当宽增加5米时，长不变，增加的面积已知，于是可以求出原来的长；当宽不变，长增加8米时，增加的面积已知，于是可以求出原来的宽，从而可以利用长方形的面积公式：S＝ab求出原来的面积。 【解答】解：原来的长：40÷5＝8（米） 原来的宽：40÷8＝5（米） 原来的面积：8×5＝40（平方米） 答：原来试验田的面积是40平方米。 【名师点评】此题主要考查长方形的面积的计算方法的灵活应用，关键是先求出原来的长和宽，进而求出原来的面积。 17．【答案】这本书共有15页插图。 【思路分析】因为插图和文字按页排列为文、文、图、图、图、文、文、图、图、图、文……所以，可知显示出周期循环的特点，按照文、文、图、图、图5页一个循环。27中有5个循环，剩下的第26，27页分别是文、文。据此答题即可。 【解答】解：经分析得： 27÷5＝5……2 5×3＝15（页） 答：这本书共有15页插图。 【名师点评】本题考查简单周期问题。结合发现的规律，利用带余除法解决问题即可。 18．【答案】，1800平方米。 【思路分析】由题意可得：一块长方形农田，种大豆的面积比整块农田的一半少300平方米，其余的1200平方米种玉米，即其中的一半为大豆的面积和300平方米，另外一半的面积种玉米，由此可求出整块农田的面积。 【解答】解：如图： 1200﹣300＝900（平方米） 900×2＝1800（平方米） 答：这块农田的面积是1800平方米。 【名师点评】此题考查学生对数形结合的理解和应用。关键在于准确地画出各部分之间的关系。 19．【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据图示可知：摆1个三角形需要小棒：3根；摆2个三角形需要小棒：3+2＝5（根）；摆3个三角形需要小棒：3+2+2＝7（根）；……摆n个三角形需要小棒：3+2（n﹣1）＝（2n﹣1）根．根据规律计算21、51根小棒可以摆几个三角形，进而判断其形状． 【解答】解：摆1个三角形需要小棒：3根 摆2个三角形需要小棒：3+2＝5（根） 摆3个三角形需要小棒：3+2+2＝7（根） …… 摆n个三角形需要小棒：3+2（n﹣1）＝（2n﹣1）根 由图形可以知道：奇数个（1除外）三角形可以摆成梯形，偶数个三角形可以摆成平行四边形． 21根小棒摆三角形的个数： 2n﹣1＝21 2n＝22 n＝11 11为奇数 51根小棒摆成三角形的个数： 2m﹣1＝51 2m＝52 m＝26 26为偶数 答：21根小棒可以摆成梯形；51根小棒可以摆成平行四边形． 【名师点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现其规律，并运用规律做题． 20．【答案】见试题解答内容 【思路分析】根据巧算的方法：“加半添0”法解答即可． 【解答】解：26÷2+26＝39 所以26×15＝390 28÷2+28＝42 所以28×15＝420 32÷2+32＝48 所以32×15＝480 48÷2+48＝72 所以48×15＝720 【名师点评】解答此题的关键是找出算式之间数与数的关系，得出规律，再根据规律解决问题． 21．【答案】见试题解答内容 【思路分析】如果任意相邻的5个盒子中的总数均为14，那么前35个盒子中小球的个数为14×（35÷5）＝98个，总数100个，所以第36个盒子中有2个小球． 【解答】解：前35个盒子中小球的个数：14×（35÷5）＝98（个） 第36个盒子中小球的个数：100﹣98＝2（个） 答：第36个盒子中小球有2个． 【名师点评】找到关键句“任意相邻的5个盒子中的总数均为14”，可以求出35个盒子的小球数，第36个盒子中小球的个数即可求出． 22．【答案】见试题解答内容 【思路分析】1张桌子坐6人，6＝2+4；2张桌子坐10人，10＝2+4+4；3张桌子坐14人，14＝2+4+4+4，…所以n张桌子并起来坐（2+4n）人；据此解答即可． 【解答】解：根据题意得：n张桌子并起来坐（2+4n）人； 10张桌子并成一排可以坐的人数： 2+4×10 ＝2+40 ＝42（人） 要坐62人，要求需要并多少张桌子，运用关系式：2+4n＝62， 可得桌子数： （62﹣2）÷4 ＝60÷4 ＝15（张） 答：10张桌子并成一排可以坐42人，如果一共要坐62人，需要并15张桌子才能坐下． 【名师点评】通过给出的例子，寻找并总结规律，根据规律解答． 23．【答案】7；13；21。 【思路分析】规律：每增加1个三角形，就增加2根小棒，所以第n个图形要用（2n+1）根小棒。 【解答】解：2×3+1 ＝6+1 ＝7（根） 2×6+1 ＝12+1 ＝13（根） 2×10+1 ＝21+1 ＝21（根） 摆1个 摆2个 摆3个 …… 摆6个 …… 摆10个 3根 5根 7根 …… 13根 …… 21根 故答案为：7；13；21。 【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 24．【答案】（1）当a＝5，就从6开始顺时针数5个数到10；当a＝10，就从11开始顺时针数10个数到8，我发现：当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应该到达（2a﹣12）的位置； （2）不存在。 【思路分析】（1）当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应该到达（2a﹣12）的位置，由此解答本题； （2）依据（1）分析可知，无论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，由此解答本题。 【解答】解：（1）当a＝5，就从6开始顺时针数5个数到10；当a＝10，就从11开始顺时针数10个数到8，我发现：当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应该到达（2a﹣12）的位置。 （2）不存在这样的数，依据（1）分析可知，无论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，数不到7。 【名师点评】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 25．【答案】54把。 【思路分析】根据图示可知，每增加1张桌子，就增加4把椅子，据此解答。 【解答】解：13×4+2＝54（把） 答：摆13张餐桌需要54把椅子。 【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 26．【答案】2n+1；45。 【思路分析】根据仔细观察如图与算式的规律，可知（n+1）2﹣n2＝2n+1；利用发现的规律，102﹣92+82﹣72+62﹣52＝（102﹣92）+（82﹣72）+（62﹣52），然后结合规律解答即可。 【解答】解：（1）（n+1）2﹣n2＝2n+1。 （2）利用发现的规律计算： 102﹣92+82﹣72+62﹣52 ＝（102﹣92）+（82﹣72）+（62﹣52） ＝10+9+8+7+6+5 ＝45 答：（1）（n+1）2﹣n2＝2n+1。 （2）利用发现的规律计算：102﹣92+82﹣72+62﹣52＝45。 故答案为：2n+1；45。 【名师点评】本题考查了算式的规律，首先仔细观察如图与算式，找出规律，然后结合题意分析解答即可。 27．【答案】（1）如图： 25＝10+15； （2）45+55。 【思路分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…… “正方形数”的规律为1、4、9、16、25…… 规律：n2＝（1+2+3+……+n﹣1）+（1+2+3+……+n）；据此解答即可。 【解答】解：（1）如图： 25＝10+15 （2）100＝102＝（1+2+3+……+9）+（1+2+3+……+9+10） 第二个“三角形数”：1+2+3+……+10 ＝（1+10）×10÷2 ＝55 第一个“三角形数”：100﹣55＝45 则把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和是：100＝45+55。 故答案为：25＝10+15，45+55。 【名师点评】本题考查了数形结合问题。发现“正方形数”和“三角形数”的关系是解题的关键。 28．【答案】（1）22把；（2）5张；（3）4n+2。 【思路分析】（1）图1：1张桌子6把椅子；图2：2张桌子10把椅子；图3：3张桌子14把椅子；……n张桌子（4n+2）把椅子；据此解答； （2）20人需要20把椅子，代入（1）的关系式求解； （3）根据（1）总结的规律直接解答。 【解答】解：图1：1张桌子6把椅子； 图2：2张桌子10把椅子； 图3：3张桌子14把椅子； …… n张桌子（4n+2）把椅子； 4×5+2 ＝20+2 ＝22（把） 答：5张桌子需要配22把椅子。 （2）4n+2＝20 4n＝20﹣2 4n＝18 4n÷4＝18÷4 n＝4.5 4.5≈5 答：按照这样摆放桌椅的方式需要5张桌子。 （3）4n+2 答：含有字母的式子表示出这样的规律为：4n+2。 【名师点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 29．【答案】（1）行数的平方； （2）25+26+27+28+29+30＝31+32+33+34+35； （3）273。 【思路分析】（1）根据题意，找出每行的第1个数与行数之间的关系可知，第n行的第1个数正好是行数的平方； （2）根据第n行的第1个数正好是行数的平方可知，第5行的第1个数是25。看算式找规律可知，等式的左边加数的个数是n+1而且是数字依次加1，等式的右边加数的个数是n，数字依次加1。等式右边开始的数字是等式左边最后一个数字加1。 （3）根据等式的规律可知，第6行等式左边的数是36+37+38+39+40+41+42，据此解答。 【解答】解：（1）第n行的第1个数正好是行数的平方； （2）第5行的等式是：25+26+27+28+29+30＝31+32+33+34+35； （3）6×6＝36 36+37+38+39+40+41+42 ＝36×7+（1+2+3+4+5+6） ＝252+7×6÷2 ＝252+21 ＝273 故答案为：行数的平方；25+26+27+28+29+30＝31+32+33+34+35。 【名师点评】此题考查了算式的规律。要求学生熟练掌握并灵活运用。 30．【答案】100张。 【思路分析】根据题意发现：一张桌子坐6人，每多1张桌子就多坐4人，则拼n张桌子，能坐（4n+2）个人；据此逆推即可。 【解答】解：（402﹣2）÷4 ＝400÷4 ＝100（张） 答：需要并100张桌子。 【名师点评】本题考查了图形的变化类题目，认真观察、分析和归纳总结是解决此题的关键。 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$