2024-2025学年人教版九年级数学上册第一次月考（ 第21～22章：一元二次方程+二次函数）试题

九年级数学上学期第一次月考 范围：第21~22章（一元二次方程+二次函数） 一．选择题（共10小题） 1．二次函数的图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 2．如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是　　 A．3 B． C． D．0或 3．如果二次函数的最小值为0，那么的值等于　　 A．2 B．4 C． D．8 4．已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 5．关于的方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 6．利用公式解可得一元二次方程式的两解为、，且，则的值为　　 A． B． C． D． 7．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是　　 A．1 B． C． D． 8．某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，四至六月份的绿化总投入将达到109万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为，根据题意所列方程为　　 A． B． C． D． 9．如图，抛物线与直线相交于点、，是轴上一点，若最小，则点的坐标为　　 A． B． C． D． ． 10．二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为　　 ①；②；③；④为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题） 11．方程化为一元二次方程的一般形式是 　 　． 12．一元二次方程根的判别式的值是 　 　． 13．若是关于的二次函数，则的值为 　 　． 14．已知点，，都是抛物线为常数）的点，则将，，用“”连接为 　 　． 15．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为6米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 　 　米． 16．如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．若关于的方程，是常数，且是“邻近根方程”，令，则的最大值为 　 　． 三．解答题（共9小题） 17．解方程： （1）； （2）； （3）． 18．已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值． 19．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为和，且满足，求的值． 20．如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形花园的面积为300平方米时，求的长； （2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 21．（已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）当为何值时，是以为斜边的直角三角形； （3）当为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 22．某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量（吨的函数解析式为：；成本（万元）与销售量（吨的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？ （注：利润销售额成本） 23．读下列材料：已知实数，满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ，，， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）设，满足等式，求的值； （2）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数． 24．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如表： 0 1 2 3 3 0 0 0 3 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分，并观察函数图象，写出一条性质：　 　． （2）进一步探究函数图象发现： ①方程有 　　个实数根； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是 　　． 25．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线经过点，点． （1）试求抛物线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上一动点，当△的面积最大时，求点的坐标； （3）若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上学期第一次月考 范围：第21~22章（一元二次方程+二次函数） 一．选择题（共10小题） 1．二次函数的图象的顶点坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】， 顶点坐标是：． 故选． 2．如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是　　 A．3 B． C． D．0或 【答案】． 【解析】把代入方程中，得 ， 解得或3， 当时，原方程二次项系数，舍去， 故选． 3．如果二次函数的最小值为0，那么的值等于　　 A．2 B．4 C． D．8 【答案】 【解析】函数解析式可转化为， 根据该图象开口向上，可知函数的最小值是， 又由已知条件可知函数的最小值是0，可得： ， 解得． 故选． 4．已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【解析】与交于点，两点， 方程个根为，， 故选． 5．关于的方程有两个实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C． D．且 【答案】 【解析】当时，原方程为，此时不满足方程有两个实数根； 当时，原方程为一元二次方程，则△， ， ； 综上所述，且， 故选． 6．利用公式解可得一元二次方程式的两解为、，且，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】， ，，， △， ， 一元二次方程式的两解为、，且， 的值为． 故选． 7．已知，是一元二次方程的两个根，则的值是　　 A．1 B． C． D． 【答案】 【解析】根据题意得，， 则． 故选． 8.某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，四至六月份的绿化总投入将达到109万元，五月份和六月份绿化投入的月平均增长率相同．设五月份和六月份绿化投入的月平均增长率为，根据题意所列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】根据题意列出方程，得． 故选． 9．如图，抛物线与直线相交于点、，是轴上一点，若最小，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】如图，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为点． 当时代入到抛物线解析式得： ， 解得或． 则由图可知点，点， ． 设直线的解析式为：． 代入，求得：， 则该直线与轴的交点为：当时，． 点． 故选． 10．二次函数的图象如图所示，以下结论正确的个数为　　 ①；②；③；④为任意实数） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【解析】抛物线开口向上， ， 对称轴， 、同号，而， ， 抛物线与轴的交点在轴的负半轴， ， ， 因此①正确； 由于抛物线过点点， ， 又对称轴为，即， ， ， 即， 而， ， 因此②正确； 由图象可知，抛物线与轴的一个交点坐标为，而对称轴为，由对称性可知， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， 因此③正确； 由二次函数的最小值可知， 当时，， 当时，， ， 即， 因此④不正确； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个， 故选． 二．填空题（共6小题） 11．方程化为一元二次方程的一般形式是 　　． 【答案】． 【解析】， ， ， 故答案为：． 12．一元二次方程根的判别式的值是 　17　． 【答案】17． 【解析】，，， △． 所以一元二次方程根的判别式的值是17． 故答案为：17． 13．若是关于的二次函数，则的值为 　　． 【答案】． 【解析】是关于的二次函数， 且， 解得． 故答案为：． 14．已知点，，都是抛物线为常数）的点，则将，，用“”连接为 　　． 【答案】． 【解析】抛物线中， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 离对称轴水平距离越远，函数值越小， 由二次函数图象的对称性可知， ． 故答案为：． 15．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是某座抛物线形的廊桥示意图．已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为6米的点，处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离是 　　米． 【答案】． 【解析】令，即， 解得：， 则， 故答案为（米． 16．如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．若关于的方程，是常数，且是“邻近根方程”，令，则的最大值为 　　． 【答案】． 【解析】设方程的两个根为，， ， 关于的方程是“邻近根方程”， ， ， ， ， 整理得：， ， ， ， 故答案为：． 三．解答题（共9小题） 17．解方程： （1）； （2）； （3）． 【解析】（1）， ， ， ，； （2）， ， ， 或， 解得，； （3）， ， 或， 解得，． 18．已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值． 【解析】（1）， 对称轴为直线； （2）将该抛物线向右平移个单位长度， 新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：（负值舍去）． 19．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个根为和，且满足，求的值． 【解析】（1）证明：△， 无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根与系数的关系，得，， ， ， 即， 解得：，， 的值为：1或． 20．如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料． （1）当矩形花园的面积为300平方米时，求的长； （2）能否围成500平方米的矩形花园，为什么？（计算说明） 【解析】（1）设矩形花园的长为米，则其宽为米，依题意得： ， ， 解得：，， ， （不合题意，舍去）， ， （米， 答：的长为25米； （2）不能围成500平方米的矩形花园，理由如下： 若矩形花园面积为500平方米，则： ， 化简得：， △， 该方程无解， 不能围成500平方米的矩形花园． 21．已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求证：无论为何值，方程总有两个实数根； （2）当为何值时，是以为斜边的直角三角形； （3）当为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【解析】（1）， △ ； 无论为何值，方程总有两个实数根； （2）由题意，得：，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ； （3）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： ， ， 方程为：， 解得：，， 等腰三角形的三边为：5，5，3， 周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， △， ， 方程为：， 解得：， 等腰三角形的周长为：； 综上：周长为11或13． 22．某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量（吨的函数解析式为：；成本（万元）与销售量（吨的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？ （注：利润销售额成本） 【解析】（1）由题意，顶点为，， 可设抛物线为． 又抛物线过， ． ． ． （2）由题意，当销售量时，成本最低为， 又销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量（吨的函数解析式为：， 当时，销售额为． 此时利润为（万元）． 答：当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元． （3）由题意，利润 ． ， 当时，利润取最大值，最大值为7． 答：当销售量是3吨时，可获得最大利润，最大利润是7万元． 23．读下列材料：已知实数，满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，， ，，， 上面这种方法称为“换元法”，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）设，满足等式，求的值； （2）若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数． 【解析】（1）设，则原方程变为， 整理得， 解得或， ， ， ， 故答案为：， （2）设最小正整数为，由题意得， 整理得， 设，则方程化为， 解得，， 为正整数， ， 解得，（舍去）， 故这四个连续正整数为1，2，3，4． 24．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下． （1）自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值如表： 0 1 2 3 3 0 0 0 3 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象的另一部分，并观察函数图象，写出一条性质：　其图象关于轴对称（答案不唯一）　． （2）进一步探究函数图象发现： ①方程有 　　个实数根； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是 　　． 【解析】（1）画出函数图象如图： 由图象可得一条性质是：其图象关于轴对称， 故答案为：其图象关于轴对称（答案不唯一）； （2）①方程有3个实数根； 故答案为：3； ②关于的方程有4个实数根时，的取值范围是． 故答案为：． 25．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，直线经过点，点． （1）试求抛物线的解析式； （2）点是直线下方抛物线上一动点，当△的面积最大时，求点的坐标； （3）若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 【解析】解（1）直线经过点，点， ，， 将，代入得， 解得 抛物线的解析式为； （2）过点作轴，交于， 设，则， ， ， 当时，最大， 此时； （3）当点在直线下方的抛物线上时，则， 点与关于对称轴直线对称， ， 当点在直线的上方时， 设交轴于， 则， 设，则， 在△中，由勾股定理得，， 解得， ，， 直线的解析式为， ， 解得，（舍， ，， 综上：点的坐标为或． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$