精品解析：沪科版2023-2024学年八年级数学下册期中练习试卷

2023-2024学年沪科新版八年级下册数学期中练习试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 一个多边形的每一个外角均为，则这个多边形是（ ） A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十一边形 3. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 如图，，以三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 5. 下列数组是勾股数的是（ ） A 2、3、4 B. 0.3、0.4、0.5 C. 6、8、10 D. 7、12、15 6. 计算（+1）2020•（﹣1）2021的结果为（　　） A. B. C. 1 D. 3 7. 已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（　　） A. 22 B. 26 C. 22或26 D. 13 8. 为执行“两免一补”政策，某地区2014年投入教育经费2500万元，预计到2016年，三年共投入8275万元．设投入教育经费的年平均增长率为x，那么下列方程正确的是( ) A. 2500x28275 B. 2500(1+x%)28275 C. 2500(1+x)28275 D. 2500+2500(1+x)+2500(1+x)28275 9. 下列各式不成立的是（　　） A. B. C. D. 10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=26，大正方形的面积为17，则小正方形的面积为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11. 计算的结果是____________． 12. 若是关于的一元二次方程，则的值为___________. 13. 已知，化简： ______． 14. 若都是整数，且，，，则关于的大小关系为_____． 三．解答题（ 满分90分） 15. 计算： （1） （2） 16. 先化简，再求值：，其中，． 17. 解方程： （1）x2-4x=3 （2）x2-4=2(x+2) 18. 已知关于x一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2. (1)求m的取值范围； (2)若x1，x2满足3x1＝|x2|＋2，求m的值． 19. 某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，开支由9月的2500元下降到11月的1600元，求该单位10月、11月这两个月平均每月降低开支的百分率． 20. 如图，把矩形沿对角线折叠，其重合部分为． （1）求证：为等腰三角形． （2）若，，求的长． 21. P、Q、R、S四个小球分别从正方形的四个定点A、B、C、D点出发，以同样的速度分别沿、、、的方向滚动，其终点分别是B、C、D、A． （1）不管滚动多长时间，求证：四边形为正方形； （2）连接对角线、、、，你发现四条对角线有何关系？ （3）根据此图，若有四个全等的直角三角形，你能否拼成一个正方形？若这个三角形直角边为a、b，斜边为c，你能否根据面积推导出勾股定理？ 22. 如图1，在和中，，，． （1）求证：； （2）如图2，是的中线，的延长线交于N，求证：． 23. 如图所示，中，． （1）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ （2）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； （3）若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年沪科新版八年级下册数学期中练习试卷 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查是最简二次根式，二次根式的化简，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 一个多边形的每一个外角均为，则这个多边形是（ ） A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十一边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，根据多边形外角和为360度进行求解即可． 【详解】解：， ∴这个多边形是九边形， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法、除法运算法则、立方根的加减运算以及算术平方根的知识逐项排查即可 【详解】解：、是正确的，符合题意； B、、不是同类根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项错误，不符合题意． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法、除法运算法则、立方根的加减运算、算术平方根等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键． 4. 如图，，以的三边为边向外作正方形，其面积分别为，，，且，，则为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形的面积公式分别求出正方形S1、S2的边长即BC、AC的长，再利用勾股定理求斜边AB，即可得出S3. 【详解】∵S1=1， ∴BC2=1， ∵S2=3， ∴AC2=3， ∴在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2， ∴S3= AB2=1+3=4； 故选：B. 【点睛】此题主要考查正方形的面积公式及勾股定理的应用，熟练掌握，即可解题. 5. 下列数组是勾股数的是（ ） A. 2、3、4 B. 0.3、0.4、0.5 C. 6、8、10 D. 7、12、15 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数逐一判断即可． 【详解】A．，此数组不是勾股数； B．0.3、0.4、0.5不是整数，此数组不是勾股数； C．，此数组是勾股数； D．，此数组不是勾股数； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数的知识，解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足，则△ABC是直角三角形． 6. 计算（+1）2020•（﹣1）2021的结果为（　　） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据积的逆运算对原式进行变形，再利用平方差公式进行计算即可； 【详解】解：原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，能正确利用平方差公式是解题的关键． 7. 已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（　　） A. 22 B. 26 C. 22或26 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出等腰三角形的两边长，分腰为10、腰为6两种情况，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：等腰三角形的两条中位线长分别为3和5， 根据三角形中位线定理可知，等腰三角形两边长为6和10， 当腰为10时，则三边长为10，10，6时，周长为26； 当腰为6时，则三边长为6，6，10时，周长为22， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 8. 为执行“两免一补”政策，某地区2014年投入教育经费2500万元，预计到2016年，三年共投入8275万元．设投入教育经费的年平均增长率为x，那么下列方程正确的是( ) A. 2500x28275 B. 2500(1+x%)28275 C. 2500(1+x)28275 D. 2500+2500(1+x)+2500(1+x)28275 【答案】D 【解析】 【分析】设投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意可得，2014年投入教育经费+2014年投入教育经费×（1+增长率）+2014年投入教育经费×（1+增长率）2=8275万元，据此列方程． 【详解】解：设投入教育经费的年平均增长率为x， 由题意得， 2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2=8275． 故选D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 9. 下列各式不成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的运算法则．结合选项根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，，，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意． 故选：C． 10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=26，大正方形的面积为17，则小正方形的面积为（　　） A 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据大正方形的面积和勾股定理推出，然后结合完全平方公式的变形得出，最后由小正方形的面积为，即可得出结论． 【详解】解：如图所示，由题意，，， ∵大正方形的面积为17， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴小正方形的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，熟练运用完全平方公式的变形是解题关键． 二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 11. 计算的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先分母有理化，然后再进行减法运算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式的加减与分母有理化，熟练掌握分母有理化的运算是解题的关键． 12. 若是关于的一元二次方程，则的值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，且， 解得：，且， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，同时需要注意未知数的二次项系数不为0． 13. 已知，化简： ______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用二次根式的性质和绝对值的意义化简运算即可． 【详解】解： ， ，； 原式 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质和绝对值的意义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 14. 若都是整数，且，，，则关于的大小关系为_____． 【答案】n＜k＜m． 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法法则把化成最简二次根式，求出m、n、k的值，再比较即可． 【详解】解：，，， 又∵，，， ∴，，， ． 故答案为：n＜k＜m． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，能正确利用二次根式的乘法法则求出k、m、n的值是解此题的关键． 三．解答题（ 满分90分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1）2；（2）． 【解析】 【分析】（1）先去括号，利用二次根式的性质化简各项，再作加减法； （2）先展开，再根据二次根式的加减法计算即可. 【详解】解：（1）原式＝7﹣﹣4 ＝2； （2）原式＝15﹣10+6﹣6 ＝． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序. 16. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ， ． 【解析】 【分析】先根据二次根式的运算法则，在根据分式的运算法则计算即可，先化简，再代入，即可． 【详解】解：原式 ， 当、时， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式及分式的运算法则，熟练掌握并应用二次根式及分式的运算法则是解答本题的关键． 17. 解方程： （1）x2-4x=3 （2）x2-4=2(x+2) 【答案】（1）x1=， x2= （2）x1=-2，x2=4 【解析】 【分析】（1）观察方程的特点：二次项系数为1，一次项系数为4，因此利用配方法解方程； （2）观察方程的左边可以利用平方差公式分解因式，此时方程两边都含有公因式（x+2），因此利用因式分解法解方程. 【详解】（1）解：配方得， x2-4x+4=3+4 （x-2）2=7 解之：x-2=± ∴x1=， x2=； （2）解：（x+2）（x-2）-2(x+2)=0 （x+2）（x-2-2）=0 ∴x+2=0或x-4=0 解之：x1=-2，x2=4. 【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程． 18. 已知关于x的一元二次方程x2－6x＋m＋4＝0有两个实数根x1，x2. (1)求m的取值范围； (2)若x1，x2满足3x1＝|x2|＋2，求m的值． 【答案】（1）m≤5．（2）4. 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=20-4m≥0，解之即可得出结论； （2）由根与系数的关系可得x1+x2=6①、x1•x2=m+4②，分x2≥0和x2＜0可找出3x1=x2+2③或3x1=-x2+2④，联立①③或①④求出x1、x2的值，进而可求出m的值． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2， ∴△=（-6）2-4（m+4）=20-4m≥0， 解得：m≤5， ∴m的取值范围为m≤5． （2）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4=0有两个实数根x1，x2， ∴x1+x2=6①，x1•x2=m+4②． ∵3x1=|x2|+2， 当x2≥0时，有3x1=x2+2③， 联立①③解得：x1=2，x2=4， ∴8=m+4，m=4； 当x2＜0时，有3x1=-x2+2④， 联立①④解得：x1=-2，x2=8（不合题意，舍去）． ∴符合条件的m的值为4． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数关系．（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=20-4m≥0；（2）分x2≥0和x2＜0两种情况求出x1、x2的值． 19. 某单位为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，减少了对办公经费的投入，开支由9月的2500元下降到11月的1600元，求该单位10月、11月这两个月平均每月降低开支的百分率． 【答案】该单位10月、11月这两个月平均每月降低开支的百分率为 【解析】 【分析】新开支=原开支平均每月降低百分率，把相关数值代入即可求解． 【详解】设该单位10月、11月这两个月平均每月降低开支的百分率为，根据题意得 ， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该单位10月、11月这两个月平均每月降低开支百分率为． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 20. 如图，把矩形沿对角线折叠，其重合部分为． （1）求证：为等腰三角形． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定证明即可； （2）根据矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理计算即可． 【小问1详解】 ∵矩形沿对角线折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【小问2详解】 ∵矩形纸片中，，， ∴，， 设，则， ∴ 解得， 故． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，熟练掌握折叠性质，勾股定理是解题的关键． 21. P、Q、R、S四个小球分别从正方形的四个定点A、B、C、D点出发，以同样的速度分别沿、、、的方向滚动，其终点分别是B、C、D、A． （1）不管滚动多长时间，求证：四边形为正方形； （2）连接对角线、、、，你发现四条对角线有何关系？ （3）根据此图，若有四个全等的直角三角形，你能否拼成一个正方形？若这个三角形直角边为a、b，斜边为c，你能否根据面积推导出勾股定理？ 【答案】（1）见解析 （2）四条对角线相交于一点，且互相平分 （3）能，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最小值问题等知识； （1）可先证明，得；再证； （2）连接对角线、、、，画出图形即可发现规律； （3）用面积的方法来证明，拼出的大正方形的面积，既可以用正方形面积公式求得，也可以用中间四个小三角形和小正方形的面积和来表示，列出相等关系，即可求证． 【小问1详解】 四个动点，P、Q、R、S分别从正方形的顶点A、B、C、D同时出发，沿着、、、以同样速度向B、C、D、A移动 ∴， ，， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形为菱形， 又∵， ∴， 即． ∴菱形为正方形． 【小问2详解】 四条对角线相交于一点，且互相平分． 连接对角线、、、，如图所示： 设与交于点， ∵正方形， ∴，与互相平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 即点是、中点， ∵与互相平分， ∴点是中点， ∵四边形为正方形， ∴与互相平分， ∴点是中点， 即点是、、、中点， ∴四条对角线相交于一点，且互相平分． 【小问3详解】 能拼成一个正方形； 四个全等的直角三角形如图所示： 直角边分别是，斜边是c， 整个大正方形的面积应该是 而一个一个进行分解计算，4个小三角形的面积是，中间的正方形面积是 ∴整个大正方形的面积， 整理得：． 22. 如图1，在和中，，，． （1）求证：； （2）如图2，是的中线，的延长线交于N，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）过点B作于点M，过点C作，交的延长线于点N，证明，得出，根据，，且，得出答案即可； （2）延长，截取，连接，，证明四边形为平行四边形，得出，，，证明，得出，证明，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：过点B作于点M，过点C作，交的延长线于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且， ∴； 【小问2详解】 证明：延长，截取，连接，，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，补角的性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 23. 如图所示，中，． （1）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使的面积等于？ （2）点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； （3）若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】（1）2秒或4秒 （2）不能，理由见解析 （3）经过秒或5秒或秒后，的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． （1）设经过x秒，的面积等于，根据三角形面积公式列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解． 【小问1详解】 解：设经过x秒，的面积等于，依题意有： ， 解得：， ∴经过2秒或4秒，的面积等于； 【小问2详解】 解：线段不能将分成面积相等的两部分，理由如下： 设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有 的面积， ， 即， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； 【小问3详解】 解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意得： ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴此时； ②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意得： ， 即， 解得， 经检验，符合题意． ③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上，依题意得： ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，经过秒或5秒或秒后，的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$