22.1.2二次函数y=ax²的图象和性质分层练习题2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.1.2. 二次函数y＝ax2的图象与性质 训练目标 1.知道二次函数的图象是一条抛物线； 2.会画二次函数y＝ax2的图象； 3.掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用.（重点） 一、基础巩固（一层） 1.画一个函数图象的一般过程是： ① ； ② ； ③ 。 2. ①由图象可知二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线； ②抛物线是轴对称图形，对称轴是 ； ③ 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是 ； 3.抛物线的性质： 1.填表 图象（草图） 对称轴 顶点 开口方向 有最高或最低点 最值 ＞0 当x＝____时，y有最_______值，是______. ＜0 当x＝____时，y有最_______值，是______. 4.当＞0时，在对称轴的左侧，即 0时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 0时随的增大而 。当＜0时，在对称轴的左侧，即 0时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 0时随的增大而 。 5.当＞0时，开口都 ，顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） . 越大，抛物线的开口越___________， 当＜0时，开口都 ，顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ， 越大，抛物线的开口越_________，.因此，越大，抛物线的开口越______. 6.抛物线关于轴对称的抛物线是 。 7.函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________. 8. 函数的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________时，有最_________值是_________. 9. 二次函数的图象开口向下，则m___________. 10. 二次函数y＝mx有最高点，则m＝___________. 11. 二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值范围为___________. 12.若二次函数的图象过点（1，－2），则的值是___________. 13.如图，抛物线①② ③④ 开口从小到大排列是________________；（只填序号）其中关于轴对称的两条抛物线是 和 。 14.点A（，b）是抛物线上的一点，则b= ；过点A作x轴的平行线交抛物线另一点B的坐标是 。 二、能力提升（二层） 15．已知函数y＝（m+2）2是关于x的二次函数． （1）求满足条件的m的值． （2）当m为何值时，该二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时若y随x的增大而增大，求x的取值范围． （3）当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时若y随x的增大而减小，求x的取值范围． 16．已知二次函数y＝ax2，且x＝2时，y＝﹣4． （1）当x＝﹣3时，求y的值； （2）当1≤x≤3时，求y的最大值和最小值． 三、拓展延伸（三层） 17．如图，已知点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． （1）求a的值和点B的坐标； （2）若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的△ABP的面积为2时，求点P的坐标． 18.如图，直线l过A（3，0）和B（0，3）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求二次函数的表达式． 15．已知函数y＝（m+2）2是关于x的二次函数． （1）求满足条件的m的值． （2）当m为何值时，该二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时若y随x的增大而增大，求x的取值范围． （3）当m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时若y随x的增大而减小，求x的取值范围． 解：（1）∵函数y＝（m+2）2是关于x的二次函数， ∴， 解得m1＝﹣3，m2＝2， 即m的值是﹣3或2； （2）由（1）知，m＝﹣3或2， 故m+2＝﹣1或m+2＝4， ∴当m＝2时，该抛物线有最低点， 当m＝2时，y＝4x2，该函数的最低点的坐标为（0，0），当x＞0时，y随x的增大而增大； （3）由（1）知，m＝﹣3或2， 故m+2＝﹣1或m+2＝4， ∴当m＝﹣3时，该抛物线有最大值， 当m＝﹣3时，y＝﹣x2，该函数的最大值为0，当x＞0时，y随x的增大而减小． 16. 已知二次函数y＝ax2，且x＝2时，y＝﹣4． （1）当x＝﹣3时，求y的值； （2）当1≤x≤3时，求y的最大值和最小值． 解：（1）把x＝2，y＝﹣4代入y＝ax2，求得a＝﹣1， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2， 当x＝﹣3时，y＝﹣（﹣3）2＝﹣9； （2）因为y＝﹣x2， 当1≤x≤3时，x＝1，y有最大值﹣1；x＝3，y有最小值﹣9， 所以y的最大值为﹣1，最小值为﹣9． 17.如图，已知点A（﹣2，4）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B． （1）求a的值和点B的坐标； （2）若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的△ABP的面积为2时，求点P的坐标． 解：（1）由题意得：4a＝4， 解得：a＝1， 有抛物线是对称性得：B（2，4）； （2）由（1）得：y＝x2， 设P（x，x2）， ∴2， 解得：x＝±或x， ∴P的坐标为：（，5）或（，3）． 18. 如图，直线l过A（3，0）和B（0，3）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若△AOP的面积为3，求二次函数的表达式． 解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（3，0），B（0，3）代入得，解得， 所以直线AB的解析式为y＝﹣x+3， 设P（t，﹣t+3）（0＜t＜3）， 因为△AOP的面积为3， 所以•3•（﹣t+3）＝3，解得t＝1， 所以P点坐标为（1，2）， 把P（1，2）代入y＝ax2得a＝2， 所以二次函数解析式为y＝2x2． 学科网（北京）股份有限公司 $$