第一章 三角形 全章热门考点整合应用课件 2024—2025学年鲁教版（五四制）数学七年级上册

鲁教版 七年级上 第一章　三角形 全章热门考点整合应用 名师点金 　　本章的主要内容有三角形及其相关概念、三角形的分 类、全等三角形的判定与性质，题型涉及选择题、填空题、 解答题，更多的是渗透到其他内容之中的综合性题目，是各 类考试命题中的重要内容.本章的考点可概括为四个概念、一 个关系、三个性质、四个判定、一种作图、两个技巧和两种 思想. 全章热门考点整合应用 考点1　四个概念 概念1 与三角形有关的概念 1. 如图，在锐角三角形 ABC 中， AD ⊥ BC 于点 D ， E 是 DC 上一点，连接 AE . (1)图中一共有多少个三角形？ 【解】题图中一共有6个三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 (2)锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各有多少个？请 分别表示出来. 【解】锐角三角形有2个，分别是△ ABE ，△ ABC ； 直角三角形有3个，分别是△ ABD ，△ ADE ，△ ADC ； 钝角三角形有1个，是△ AEC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 概念2 三角形中的重要线段 2. [2024·东营月考]如图，在△ ABC 中， AE 为 BC 边上的 高，点 D 为边 BC 上的任意一点，连接 AD . (1)当 AD 为 BC 边上的中线时，若 AE ＝6，△ ABC 的面积 为30，求 CD 的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 【解】因为△ ABC 的面积为30， AE 为 BC 边上的高， AE ＝6，所以 S△ ABC ＝ · AE · BC ＝ ×6· BC ＝30.所以 BC ＝10.又因为 AD 为 BC 边上的中线，所以 CD ＝ BC ＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 (2)当 AD 为∠ BAC 的平分线时，若∠ C ＝66°，∠ B ＝ 36°，求∠ DAE 的度数. 【解】因为∠ C ＝66°，∠ B ＝36°，所以∠ BAC ＝180°－∠ B －∠ C ＝78°，又因为 AD 为∠ BAC 的平分线，所以∠ BAD ＝ ∠ BAC ＝39°.所以∠ ADB ＝180°－∠ BAD －∠ B ＝105°.所以∠ ADC ＝180° －∠ ADB ＝75°.因为 AE ⊥ BC ，所以∠ AED ＝90°，所以∠ DAE ＝90°－∠ ADE ＝15°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 概念3 全等图形 3. [母题 教材P18习题T1] 下列图形中是全等图形的有(　C　) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【点拨】 观察图形，易知两个等边三角形是全等图形，两个正六边 形是全等图形，两个正五边形是全等图形，两个正方形大 小不相等，所以不是全等图形.故全等图形有3对. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 概念4 全等三角形 4. 如图，已知△ ABE 与△ ACD 全等，∠1＝∠2，∠ B ＝∠ C . 指出全等三角形中的对应边和对应角. 【解】 AB 与 AC ， AE 与 AD ， BE 与 CD 是对应边；∠ B 与∠ C ，∠2与∠1，∠ BAE 与∠ CAD 是对应角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 考点2　一个关系——三角形的三边关系 5. 小华有两根长度分别为7 cm，14 cm的木棒，他想钉一个 三角形木框摆件，现有3 cm，7 cm，12 cm，14 cm和17 cm长的五根木棒供他选择，则小华可选择的木棒有(　C　) A. 1根 B. 2根 C. 3根 D. 4根 【点拨】 设第三根木棒的长度为 x cm，根据三角形的三边关系，得 14－7＜ x ＜14＋7，即7＜ x ＜21，故其中12 cm，14 cm， 17 cm长的木棒符合要求. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 考点3　三个性质 性质1 三角形内角和的性质 6. 如图，在△ ABC 中，若∠ CAE ＝25°，∠ C ＝40°， ∠ CBD ＝30°，求∠ AFB 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 【解】因为∠ CAE ＝25°，∠ C ＝40°，所以∠ AEC ＝ 180°－∠ CAE －∠ C ＝115°，所以∠ AEB ＝180°－∠ AEC ＝65°.又因为∠ CBD ＝30°，所以∠ BFE ＝180° －∠ CBD －∠ AEB ＝85°.所以∠ AFB ＝180°－∠ BFE ＝95°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 性质2 全等三角形的性质 7. [2023·德州月考]如图，已知△ ABC ≌△ DEF ，∠ A ＝ 85°，∠ B ＝60°， AB ＝8， EH ＝2. (1)求∠ F 的度数与 DH 的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 【解】因为∠ A ＝85°，∠ B ＝60°， 所以∠ ACB ＝180°－∠ A －∠ B ＝35°. 因为△ ABC ≌△ DEF ，所以∠ F ＝∠ ACB ＝35°， DE ＝ AB ＝8. 所以 DH ＝ DE － EH ＝8－2＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 (2)试说明： AB ∥ DE . 【解】因为△ ABC ≌△ DEF ，所以 ∠ DEF ＝∠ B ，所以 AB ∥ DE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 性质3 三角形的稳定性 8. 如图是胜利黄河大桥，胜利黄河大桥是东营市第一座黄河 公路大桥、第一座正交异性板钢斜拉式桥，也是亚洲主桥 跨度最长的钢斜拉式大桥.该桥通过塔柱与两侧斜拉索拽着 整个桥面，使其更加稳固.其中运用的数学原理是(　A　) A A. 三角形具有稳定性 B. 两点确定一条直线 C. 两点之间，线段最短 D. 三角形的两边之和大于第三边 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 考点4　四个判定 判定1 SSS 9. [2024·济宁任城区期中]如图， AB ＝ AC ， AD 为△ ABC 中 BC 边上的中线.试说明：△ ABD ≌△ ACD . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 【解】因为 AD 为△ ABC 中 BC 边上的中线， 所以 BD ＝ CD . 在△ ABD 和△ ACD 中，因为 所以△ ABD ≌△ ACD (SSS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 判定2 ASA 10. 如图，点 A ， F ， C ， D 在同一条直线上， BC ∥ EF ， AB ∥ DE ， AF ＝ DC ，试说明：△ ABC ≌△ DEF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 【解】因为 AF ＝ CD ，所以 AC ＝ DF . 因为 BC ∥ EF ，所以∠ EFD ＝∠ BCA . 因为 AB ∥ DE ， 所以∠ A ＝∠ D . 所以△ ABC ≌△ DEF (ASA). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 判定3 AAS 11. 如图，∠ BAC ＝90°， AD 是∠ BAC 内部的一条射线， 若 AB ＝ AC ， BE ⊥ AD 于点 E ， CF ⊥ AD 于点 F . 试说 明：△ ABE ≌△ CAF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 【解】因为∠ BAC ＝90°，所以∠ CAF ＋∠ BAE ＝ 90°. 因为 BE ⊥ AD ， CF ⊥ AD ， 所以∠ BEA ＝∠ CFA ＝90°. 所以∠ C ＋∠ CAF ＝90°.所以∠ BAE ＝∠ C . 又因为 AB ＝ AC ，所以△ ABE ≌△ CAF (AAS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 判定4 SAS 12. [2023·淄博临淄区期末]如图，点 A ， D ， C ， F 在同一 条直线上， AD ＝ CF ，∠ BCA ＝∠ F ， BC ＝ EF . 试说 明：△ ABC ≌△ DEF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 【解】因为 AD ＝ CF ，所以 AC ＝ DF . 在△ ABC 和△ DEF 中，因为 所以△ ABC ≌△ DEF (SAS). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 考点5　一种作图——三角形的尺规作图 13. 尺规作图：如图，已知线段 a 和∠α. 求作：等腰三角形 ABC ，使其腰长 AB ＝ a ，底角∠ B ＝ ∠α.(保留作图痕迹，不要求写出作法) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 【解】如图，△ ABC 就是所求作的等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 考点6　两个技巧 技巧1 说明线段数量关系的方法 14. [母题 教材P29习题T3] 如图，在Rt△ ABC 中，∠ BAC ＝ 90°， AB ＝ AC ，∠ ABC 的平分线交 AC 于点 D ，过点 C 作 BD 的垂线交 BD 的延长线于点 E ，交 BA 的延长线于 点 F . 试说明： (1) BF ＝ BC ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 【解】因为 BE 平分∠ FBC ，所以∠ FBE ＝∠ CBE . 因为 CE ⊥ BE ，所以∠ FEB ＝∠ CEB ＝90°. 又因为 BE ＝ BE ，所以△ FBE ≌△ CBE (ASA).所以 BF ＝ BC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 (2) BD ＝2 CE . 【解】因为∠ BAC ＝∠ FAC ＝90°，∠ FEB ＝90°， 所以∠ ABD ＋∠ F ＝∠ ACF ＋∠ F ＝90°. 所以∠ ABD ＝∠ ACF . 又因为 AB ＝ AC ， 所以△ BDA ≌△ CFA (ASA).所以 BD ＝ CF . 由(1)可知△ FBE ≌△ CBE ，所以 EF ＝ CE ，即 CF ＝2 CE . 所以 BD ＝2 CE . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 技巧2 添加辅助线的方法 15. 如图，在四边形 ABCD 中， AB ＝ DC ，∠ A ＝∠ D . 试 说明：∠ ABC ＝∠ DCB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 【解】如图，分别取 AD ， BC 的中点 N ， M ，连接 BN ， CN ， MN ，则 AN ＝ ND ， BM ＝ MC . 在△ ABN 和△ DCN 中， 因为 所以△ ABN ≌△ DCN (SAS).所以∠ ABN ＝∠ DCN ， NB ＝ NC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 在△ NBM 和△ NCM 中，因为 所以△ NBM ≌△ NCM (SSS). 所以∠ NBM ＝∠ NCM . 所以∠ NBM ＋∠ ABN ＝∠ NCM ＋∠ DCN ， 即∠ ABC ＝∠ DCB . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 考点7　两种思想 思想1 方程思想 16. 如图， AD 是∠ BAC 的平分线，已知∠ C ＝∠ ADC ，∠ B ＝∠ BAD ，求△ ABC 各内角的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 【解】设∠ B ＝∠ BAD ＝ x °， 则∠ ADB ＝180°－∠ B －∠ BAD ＝180°－2 x °， 所以∠ ADC ＝180°－∠ ADB ＝2 x °， 所以∠ C ＝∠ ADC ＝2 x °. 因为 AD 是∠ BAC 的平分线， 所以∠ BAC ＝2∠ BAD ＝2 x °. 因为∠ B ＋∠ C ＋∠ BAC ＝180°， 所以 x ＋2 x ＋2 x ＝180，解得 x ＝36， 即∠ B ＝36°，∠ C ＝72°，∠ BAC ＝72°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 思想2 转化思想 17. 某农科所有一块五边形的试验田(如图所示)，已知在五边 形 ABCDE 中，∠ ABC ＝∠ AED ＝90°， AB ＝ CD ＝ AE ＝ BC ＋ DE ＝20 m，求这块试验田的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 【解】如图，延长 DE 至点 F ，使 EF ＝ BC ，连接 AC ， AD ， AF . 易得 CD ＝ FD ＝20 m. 在△ ABC 和△ AEF 中， 因为 所以△ ABC ≌△ AEF (SAS). 所以 AC ＝ AF ， S△ ABC ＝ S△ AEF . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 在△ ACD 和△ AFD 中，因为 所以△ ACD ≌△ AFD (SSS). 所以 S△ ACD ＝ S△ AFD . 所以五边形 ABCDE 的面积＝2 S△ ADF ＝2× · DF · AE ＝ 2× ×20×20＝400(m2). 即这块试验田的面积为400 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 全章热门考点整合应用 $$