精品解析：沪科版2023-2024学年七年级数学下册期中培优检测试题

2023-2024学年沪科版数学七年级下册期中培优检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 如果，那么下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个自然数的算术平方根是a，那么比这个数大2的自然数的算术平方根是（ ） A a+2 B. C. D. a+2 3. 在实数，，两个之间依次增加一个，，，，中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 若关于的不等式组仅存个整数解，则的取值范围是：（ ） A. B. C. D. 5. 维生素有强化骨骼，调节发育等作用，成人每天维生素的摄入量约为克，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 6. 已知，，则值是（　　） A. B. C. D. 7. 多项式分解因式的结果是（ ） A B. C. D. 8. 若是完全平方式，则的值是（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 9. 如果（x-2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值是( ) A. p=5，q=6 B. p=1，q=6 C. p=5，q=-6 D. p=1，q=-6 10. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 11. 已知一个正数的两个平方根是a+1和a-3，则x=______. 12. 若，，则__________． 13. 立方根等于其本身的数是_________；若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是________． 14. 因式分解：___________． 15. 不等式组的解集是，那么的取值范围是__________． 16 计算：_________． 17. 某公司组织员工去公园划船，报名人数不足50，在安排乘船时发现，若每只船坐6人，则有18人无船可坐；若每只船坐10人，则其余的船坐满后有一只船不空也不满，参加划船的员工共有____人． 三、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 因式分解： （1）； （2） 19. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1） （2） 20. 无理数是无限不循环小数，例如可以用来表示的小数部分．表示的小数部分等．请回答： （1）若x表示的整数部分，y表示的小数部分，求的值； （2）已知：，a为整数，，求的值． 21. 某数学老师在讲因式分解时，为了提高同学们思维能力，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解．有个学生解答过程如下： 解：设． 原式 第一步 第二步 第三步 第四步 根据以上解答过程回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的哪种方法？______（填选项）． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）对第四步的结果继续因式分解得到结果为______． （3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 22. 请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题： ①； ②； ③； ④． （1）请用一个式子表示你观察到的规律：____________． （2）请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式： ①； ②． 23. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)． (1)图1中阴影部分面积为______，图2中阴影部分面积为_____，对照两个图形的面积可以验证________公式(填公式名称)请写出这个乘法公式________． (2)应用(1)中的公式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝15，x+2y＝3，求x﹣2y的值； ②计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1． 24. 某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元． （1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？ （2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？ 25. 阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． （1）计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____． （2）写出（1）、、之间满足的关系式______． （3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）． （4）设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年沪科版数学七年级下册期中培优检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 如果，那么下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； B、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； C、如果，那么，故本选项正确，不符合题意； D、如果，那么，故本选项错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 2. 一个自然数的算术平方根是a，那么比这个数大2的自然数的算术平方根是（ ） A. a+2 B. C. D. a+2 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义可得这个自然数为，从而得到比这个数大2的自然数为，即可求解． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是a， ∴这个自然数为， ∴比这个数大2自然数为， ∴比这个数大2的自然数的算术平方根是． 故选：B 【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握若 ，则是a的平方根，其中是a的算术平方根是解题的关键． 3. 在实数，，两个之间依次增加一个，，，，中，无理数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，等；开方开不尽的数；以及像（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可得出答案． 【详解】解：，在实数，，两个之间依次增加一个，，，，中，无理数有：两个之间依次增加一个，，，共3个； 故选：C． 4. 若关于的不等式组仅存个整数解，则的取值范围是：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式组得，再根据关于的不等式组仅存个整数解即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的不等式组仅存个整数解， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组解求参数的取值范围，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 5. 维生素有强化骨骼，调节发育等作用，成人每天维生素的摄入量约为克，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义． 6. 已知，，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，熟练对应法则是解题的关键． 7. 多项式分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先提取公因式3a，再将括号中的利用平方差公式分解因式. 【详解】==， 故选：B. 【点睛】此题考查因式分解，掌握因式分解的方法是正确分解因式的前提，注意需分解到不能再分解为止. 8. 若是完全平方式，则值是（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 【详解】∵是完全平方式， ∴， 解得：或， 则m的值是或． 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的内容是解此题的关键，注意：完全平方式有两个：和． 9. 如果（x-2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值是( ) A. p=5，q=6 B. p=1，q=6 C. p=5，q=-6 D. p=1，q=-6 【答案】D 【解析】 【分析】先根据多项式乘以多项式的法则，将（x-2）（x+3）展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值． 【详解】解：∵（x-2）（x+3）=x2+x-6， 又∵（x-2）（x+3）=x2+px+q， ∴x2+px+q=x2+x-6， ∴p=1，q=-6． 故选：D． 【点睛】本题主要考查多项式乘以多项式的法则及两个多项式相等的条件．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．两个多项式相等时，它们同类项的系数对应相等． 10. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察所给程序的运算过程，根据前两次运算结果小于或等于95、第三次运算结果大于95，列出关于x的不等式组；先求出不等式组中三个不等式的解集，再取三个不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集. 【详解】由题意可得 ， 解不等式①得，x≤47， 解不等式②得，x≤23， 解不等式③得，x＞11， 故不等式组的解集为11＜x≤23． 故选B. 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用，关键是根据“操作进行了三次才停止”列出满足题意的不等式组； 二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分． 11. 已知一个正数的两个平方根是a+1和a-3，则x=______. 【答案】4 【解析】 【详解】分析：根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数，求出a的值，从而得出这个正数的两个平方根，即可得出这个正数． 详解：∵正数x的两个平方根是a+1和a−3， ∴a+1+a−3=0， 解得：a=1， ∴这个正数的两个平方根是±2， ∴这个正数是4； 故答案为4. 点睛：考查平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数. 12. 若，，则__________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除．由同底数幂的逆运算和幂的乘方逆运算进行计算，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故答案为：20． 13. 立方根等于其本身的数是_________；若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是________． 【答案】 ①. ， ②. 1或0 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根和立方根等知识点．立方根等于其本身的数是，；设这个数为a，由立方根等于这个数的算术平方根可以列出方程，解方程即可求出a． 【详解】解：立方根等于其本身的数是，； 设这个数为a，由题意知， ， 解得：或0， 故答案为：，；1或0． 14. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据完全平方公式得到，再利用平方差公式对分解因式即可解答． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方式，平方差公式，因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 15. 不等式组的解集是，那么的取值范围是__________． 【答案】m≤4 【解析】 【详解】试题解析： 由①得：x>4.当x>m时的解集是x>4，根据同大取大，所以 故答案为 16. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了灵活运用平方差公式进行相关运算的能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算．运用平方差公式进行求解． 【详解】 ， 故答案为：． 17. 某公司组织员工去公园划船，报名人数不足50，在安排乘船时发现，若每只船坐6人，则有18人无船可坐；若每只船坐10人，则其余的船坐满后有一只船不空也不满，参加划船的员工共有____人． 【答案】48 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等组的应用．解题的关键是根据题意，列出不等式组求解．设共安排x艘船，根据报名人数不足50人得；根据每只船坐6人，则有18人无船可坐；若每只船坐10人，则其余的船坐满后有一只船不空也不满得，解得x代入即是划船的员工数． 【详解】设共安排x艘船， 根据题意得：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为：， ∴， ∴划船员工数为：（人）， ∴参加划船的员工共有48人． 故答案为：48． 三、解答题：本题共8小题，共69分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用公式法因式分解是解题的关键． （1）利用平方差公式和完全平方公式进行分解即可得； （2）利用完全平方公式进行分解即可得． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来． （1） （2） 【答案】（1），图见解析 （2），图见解析 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握确定一元一次不等式组解集的原则“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键． （1）分别求解两个不等式，求出其解集，再根据得确定一元一次不等式组解集的原则到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可． （2）分别求解两个不等式，求出其解集，再根据得确定一元一次不等式组解集的原则到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 解：解不等式，得 解不等式，得 所以不等式组的解集为 它的解集在数轴上表示如下： 【小问2详解】 解：解不等式，得， 解不等式，得 所以不等式组的解集为． 它的解集在数轴上表示如下： 20. 无理数是无限不循环小数，例如可以用来表示的小数部分．表示的小数部分等．请回答： （1）若x表示的整数部分，y表示的小数部分，求的值； （2）已知：，a为整数，，求的值． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据题意求出x和y值，然后代入求解即可； （2）首先根据题意求出a和b的值，然后代入求解即可． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵ ∴ ∴，即 ∴的整数部分是3，小数部分是 ∵，a为整数，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 21. 某数学老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维能力，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解．有个学生解答过程如下： 解：设． 原式 第一步 第二步 第三步 第四步 根据以上解答过程回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的哪种方法？______（填选项）． A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）对第四步的结果继续因式分解得到结果为______． （3）请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可直接得出结果； （2）运用完全平方公式继续进行因式分解即可； （3）仿照例题利用完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式， 故选：C； 【小问2详解】 ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：设． 原式 ． 【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握整体思想和乘法公式分解因式是解题关键． 22. 请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题： ①； ②； ③； ④． （1）请用一个式子表示你观察到的规律：____________． （2）请用你观察并总结出来的结论把下面各式分解因式： ①； ②． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查因式分解-十字相乘法，根据给出的多项式分解因式的结果总结出规律是银题的关键． （1）通过观察分析总结出规律即可； （2）利用（1）总结的规律求解即可． 【小问1详解】 解： 答案为：． 【小问2详解】 解：① ； ② ． 23. 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形(如图1)，然后将剩余部分拼成一个长方形(如图2)． (1)图1中阴影部分面积为______，图2中阴影部分面积为_____，对照两个图形的面积可以验证________公式(填公式名称)请写出这个乘法公式________． (2)应用(1)中的公式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝15，x+2y＝3，求x﹣2y的值； ②计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1． 【答案】(1) a2﹣b2，(a+b)(a﹣b)，平方差，a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)；(2)①5；②2128． 【解析】 【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式； （2）①把x2﹣4y2利用（1）的结论写成两个式子相乘的形式，然后把x+2y＝4代入即可求解； ②利用平方差公式化成式子相乘的形式即可求解． 【详解】解：(1)图1中阴影部分面积为a2﹣b2，图2中阴影部分面积为(a+b)(a﹣b)， 对照两个图形的面积可以验证平方差公式：a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)． 故答案为a2﹣b2，(a+b)(a﹣b)，平方差，a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)． (2)①∵x2﹣4y2＝(x+2y)(x﹣2y)， ∴15＝3(x﹣2y)， ∴x﹣2y＝5； ②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1 ＝(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1 ＝(22﹣1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1 ＝(24﹣1)(24+1)(28+1)……(264+1)+1 ＝(28﹣1)(28+1)……(264+1)+1 ＝(264﹣1)(264+1)+1 ＝2128﹣1+1 ＝2128． 【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何表示，运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．表示出图形阴影部分面积是解题的关键． 24. 某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元． （1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？ （2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？ 【答案】（1）改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元；（2）共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚；方案3投入资金最少，最少资金是114万元． 【解析】 【分析】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元，根据“改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8-m）个乙种型号大棚，根据改造时间不超过35天且改造费用不超过128万元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各改造方案，再利用总价=单价×数量分别求出三种方案所需改造费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）设改造1个甲种型号大棚需要x万元，改造1个乙种型号大棚需要y万元， 依题意，得：， 解得：． 答：改造1个甲种型号大棚需要12万元，改造1个乙种型号大棚需要18万元． （2）设改造m个甲种型号大棚，则改造（8﹣m）个乙种型号大棚， 依题意，得：， 解得：≤m≤． ∵m为整数， ∴m＝3，4，5， ∴共有3种改造方案，方案1：改造3个甲种型号大棚，5个乙种型号大棚；方案2：改造4个甲种型号大棚，4个乙种型号大棚；方案3：改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚． 方案1所需费用12×3+18×5＝126（万元）； 方案2所需费用12×4+18×4＝120（万元）； 方案3所需费用12×5+18×3＝114（万元）． ∵114＜120＜126， ∴方案3改造5个甲种型号大棚，3个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是114万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 25. 阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且，），则n叫做以a为底b的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）． （1）计算以下各对数的值：＝_____，＝_____，＝_____． （2）写出（1）、、之间满足的关系式______． （3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：_____（且，，）． （4）设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性． 【答案】（1）2，4，6 （2） （3） （4）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据对数定义求解； （2）认真观察，即可找到规律：，； （3）由特殊到一般，得出结论：． （4）设，，根据同底数幂的运算法则：和给出的材料证明结论． 【小问1详解】 ∵，， ∴， 故答案为：2，4，6； 【小问2详解】 ∵，，，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 由（2）的结果可得， 故答案：． 【小问4详解】 设，， 则， ∴ ， ∴， ∴． 【点睛】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；解题的关键是要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$