精品解析：天津津衡高级中学2025届高三上学期9月质量监测数学试卷

津衡中学2024-2025学年度高三年级上学期9月质量监测 数学试卷 检测时间：120分钟 分值：150分 命题人：王麓颖 申核人：王超 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页.其中第I卷共48分，第II卷共102分，满分共150分. 第I卷（客观题共48分） 注意事项： 1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息. 2.请将客观题答案填涂到答题卡相应位置. 3.请将主观题答案写在答题卡上. 一､单选题（每小题4分，共48分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为，则该扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 6. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，则的值域为（ ） A. B. C. D. 10. 已知外接圆半径为，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有（ ） ①函数的图象关于点中心对称 ②函数的单调增区间为 ③函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ④函数在上有2个零点，则实数的取值范围为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第Ⅱ卷（主观题共102分） 二､填空题（每小题5分，共30分） 13. 函数的定义域为________. 14. 求值：______. 15. 已知，，其中，则______. 16. 已知幂函数在上单调递增，则实数________；函数的单调递增区间为________． 17. 设已知函数是奇函数，则__________；若函数是R上的增函数，则的取值范围是__________. 18. 已知函数，若方程有2个实数根，则的取值范围是______． 三､解答题（19-22题每题14分，23题16分，共72分） 19. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上不单调，求取值范围； （3）若两个不相等的正数满足，求的最小值. 20. 在中，角、、的对边分别为、、，且，，． （1）求的面积； （2）求边的值和的值； （3）求值． 21. 已知函数 （1）求单调递增区间； （2）求图象的对称中心的坐标； （3）若求的值． 22. 已知函数 （1）求的单调区间和极值； （2）若在单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 23. 已知函数，其中且. （1），恒成立，求实数的取值范围； （2）求当时，函数在区间上的最小值； （3）记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，满足：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 津衡中学2024-2025学年度高三年级上学期9月质量监测 数学试卷 检测时间：120分钟 分值：150分 命题人：王麓颖 申核人：王超 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页.其中第I卷共48分，第II卷共102分，满分共150分. 第I卷（客观题共48分） 注意事项： 1.答题前填写好自已的姓名､班级､考号等信息. 2.请将客观题答案填涂到答题卡相应位置. 3.请将主观题答案写在答题卡上. 一､单选题（每小题4分，共48分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】由，得到，即， 又，所以， 故选：B. 2. “”是“”成立的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】推不出，例如还可以取， 由可以推出， 所以“”是“”成立的必要条件． 故选：B． 3. 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为，则该扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 分析】根据给定条件，利用扇形面积公式计算即得. 【详解】依题意，该扇面的面积为. 故选：B 4. 已知，则的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用诱导公式求出，再利用二倍角公式和同角三角函数的关系，对齐次化处理，然后分子分母同时除以，即可求解. 【详解】因为，所以， 则． 故选：D． 5. 函数的大致图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用排除法，结合函数的奇偶性以及代特殊值，即可得到结果. 【详解】解：由题知，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 为奇函数，图象关于原点对称，排除C、D； ，排除B， 故选: A. 6. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数指数函数的性质及特殊角的正弦值计算即可. 【详解】易知， 由于单调递增，所以， 而，所以， 综上. 故选：A 7. 已知的内角，，的对边分别为，，，，，下面使得有两组解的的值可以为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，由，且，即可得到答案. 【详解】由题意，根据正弦定理有，所以， 要使有两组解，则，且，即， 即，即， 所以选项所给四个数据中只有符合， 故选：B. 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦定理及基本不等式，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】由余弦定理：， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，故面积. 即面积的最大值为. 故选：D 9. 已知，，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用对数运算的性质与对数函数的单调性确定t的取值范围，再根据条件求新函数的值域. 【详解】令，则，又， 所以原函数可变为，， 所以，，所以的值域为. 故选：A. 10. 已知外接圆的半径为，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理对进行边角转换，再利用余弦定理和三角形面积公式进行求解即可. 【详解】因为 由得， 由余弦定理得 所以由得， 因为，所以，因为， 由余弦定理得，解得， 所以. 故选：B 11. 设函数，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为，化简求解可得. 【详解】，，则， 作出函数的图象，可知是上的增函数. 又，是奇函数. 不等式可化为， 所以，则，即，解得， 不等式解集是. 故选：B. 12. 已知函数的部分图象如图所示，下列不正确的个数有（ ） ①函数的图象关于点中心对称 ②函数的单调增区间为 ③函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 ④函数在上有2个零点，则实数的取值范围为 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求出，然后结合正弦函数性质判断各命题． 【详解】， 由图象知函数最小正周期为，因此，即， ，因此函数的图象关于点中心对称，①正确； 由得，，②正确； ，因此把的图象向左平移个单位长度得的图象，③正确； 由题意，时， 当时，，在上有2个零点，则，解得， 当时，，在上有2个零点，则，解得， 因此的范围是或，④错． 故选：B． 第Ⅱ卷（主观题共102分） 二､填空题（每小题5分，共30分） 13. 函数的定义域为________. 【答案】, 【解析】 分析】 解不等式即可得定义域. 【详解】要使函数有意义,需,即. 结合正弦曲线可知,. 故定义域为,. 故答案为：,. 【点睛】本题考查含的函数定义域，是基础题. 14. 求值：______. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的运算性质及指数幂的运算性质即可求解. 【详解】解：原式 ， 故答案为：. 15. 已知，，其中，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的余弦可求的值，故可求的值. 【详解】因为，故，而，故， 而，故，而， 故，故， 故， 而，故， 故答案为： 16. 已知幂函数在上单调递增，则实数________；函数单调递增区间为________． 【答案】 ①. 2 ②. （或） 【解析】 【分析】先利用幂函数的定义与单调性求得的值，再利用对数函数与复合函数的单调性即可求得的单调递增区间. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得， 又在上单调递增， 所以，则； 于是， 由，解得，则的定义域为， 又，其开口向下，对称轴为， 所以在（或）上单调递增，在（或）上单调递减， 又在其定义域内单调递减， 所以的单调递增区间为（或）． 故答案为：；（或）． 17. 设已知函数是奇函数，则__________；若函数是R上的增函数，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】因为是奇函数，定义域为，所以，由此即可求出结果；又因为函数是R上的增函数，所以在上单调递增，且在处的函数值要小于或者等于在处的函数值，由此即可求出结果. 【详解】因为是奇函数，定义域为； 所以，解得； 因为函数是R上的增函数； 所以在上单调递增，所以； 且 在处的函数值要小于或者等于在处的函数值， 即，解得； 综上：的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数单调性，本题属于基础题. 18. 已知函数，若方程有2个实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意对分类讨论，并通过数形结合即可得解. 【详解】题分析：令，已知函数， 依题意与图象有2个不同的交点． 当时，与图象有1个交点，不符合题意． 当时，函数与的图象如图所示， 两个函数图象始终有2个交点，所以，符合题意． 当时，函数与的图象如图所示， 因为，， 所以，，解得， 所以，． 综上所述，的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：在讨论当时，通过画图得出，由此即可顺利得解. 三､解答题（19-22题每题14分，23题16分，共72分） 19. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）若函数在区间上不单调，求的取值范围； （3）若两个不相等的正数满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可将条件代入求解； （2）要使得函数在区间上不单调，由题意得，解之即可得解； （3）由题意可得的对称轴为，若，，且有，则，结合基本不等式求解最值即可． 【小问1详解】 设， 由，得， 又， 则，解得， 所以； 【小问2详解】 ， 若函数在区间上不单调， 由函数，其对称轴为， 要使得函数在区间上不单调， 则满足，解得， 故实数的取值范围为； 【小问3详解】 因为，则的对称轴为， 函数在单调递增，则函数在单调递减， 若，，且有， 则， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为． 20. 在中，角、、的对边分别为、、，且，，． （1）求的面积； （2）求边的值和的值； （3）求的值． 【答案】（1）； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）由同角公式求出，再利用三角形面积公式求解即得. （2）利用余弦定理、正弦定理直接求解. （3）由（2）的结论并求出，再利用二倍角公式、差角的余弦公式计算得解. 【小问1详解】 在中，，，则， 所以的面积. 【小问2详解】 由余弦定理有，，则， 由（1）知，，由正弦定理，得. 【小问3详解】 由（2）知，，而，则是锐角，， 又，， 所以． 21. 已知函数 （1）求的单调递增区间； （2）求图象的对称中心的坐标； （3）若求的值． 【答案】（1） （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数的性质计算可得； （2）由正弦函数的性质计算可得； （3）依题意可得，即可求出，再由利用两角差的余弦公式计算可得. 【小问1详解】 因为 ， 由， 得， 所以的单调递增区间为． 【小问2详解】 令， 得， 所以图象的对称中心的坐标为． 【小问3详解】 由，得，则． 因为，所以，所以． 所以 ． 22. 已知函数 （1）求的单调区间和极值； （2）若在单调递增，求实数的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，极值，即可求解. （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【小问1详解】 ，， 令，解得， 当时，，当时，， 所以单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值，且极小值为，无极大值. 【小问2详解】 ，， 则， 因为在单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立，即， 设，， 所以在上单调递增， 所以， 所以，故的取值范围为. 【小问3详解】 若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 由（1）知在上单调递增， 所以当时，， ，， ， 当时，，单调递减， ， ， ， 的取值范围为. 【点睛】方法点睛：不等式的恒成立、存在性问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，， （1）若，有成立，则； （2）若，有成立，则； （3）若，有成立，则. 23. 已知函数，其中且. （1），恒成立，求实数的取值范围； （2）求当时，函数在区间上的最小值； （3）记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在点，满足：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）等价变形不等式，再利用单调性探讨最值情况即可得解. （2）利用导数探讨函数有的单调性，进而求出最小值即得. （3）假设函数存在“中值相依切线”，利用导数的几何意义，结合已知可得，令，构造函数并利用导数探讨零点即可得解. 【小问1详解】 ，， 而函数在上单调递增，恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，函数， 求导得， 当，即时，，函数在上单调递减，； 当，即时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增，； 当，即时，函数在上单调递增，， 所以. 【小问3详解】 假设函数存在“中值相依切线”，设是曲线上不同两点，， 则， 直线的斜率， 由（2）知，，由， 得， 于是，即， 令，令，求导得， 因此函数在上单调递增，则， 从而方程在上无解，即不成立，则假设不成立， 所以函数不存在“中值相依切线”. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数中的新定义“中值相依切线”，解题时要紧扣题中定义，结合题意变形得出，通过换元法结合函数方程思想转化为在上的零点问题为解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$