11.2与三角形有关的角复习讲义 -2024—2025学年人教版数学八年级上册

11.2与三角形有关的角复习讲义-数学八年级上册人教版 知识梳理 1．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 2．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 3．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 典例分析 1．如图，，交的平分线于点F，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角定理，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质和数形结合的思想解答． （1）根据平行线的性质和角平分线的性质可以求得的度数； （2）根据三角形外角和内角的关系可以求得的度数． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ； （2）解：， ， 由（1）知，， 平分， ， 又， ． 答：的度数为． 2．如图，在中，于点D，，． 求： (1)的度数（填空，把解答过程补充完整）； (2)的度数（写出解答过程）． 解：（1）∵（已知）， ∴________（垂直的定义）． ∵________________（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和）， ∴________________． 答：的度数为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质： （1）先由垂线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，据此可得答案； （2）根据三角形外角的性质可得，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：（1）∵（已知）， ∴（垂直的定义）． ∵（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个外角的和）， ∴． 答：的度数为． （2）解：∵，， ∴． 精选好题 一、单选题 1．将一把直尺与一块三角板如图放置，若，则为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是边上的高，求的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，，，. 则度数为（     ） A． B． C． D． 5．如图，，，，则x的值为（     ）    A．80 B．120 C．100 D．140 6．如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边交于点H，若，则等于（    ）．    A． B． C． D． 7．等腰三角形一腰上的高与另一腰夹角为，那么这个三角形底角为（   ） A． B． C． D．或 8．如图，直线，于点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在中，，则与相邻的外角的度数为 ． 10．如图，在中，延长至点，如果，则 度． 11．如图，，在上取点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接；以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，的度数为 ． 12．一把直尺和一块直角三角尺（含角）如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边分别交于点D、点E，直尺的另一边过A点且与三角尺的直角边交于点F，若，则度数为 ． 13．如图，中分别是的角平分线且相交于O点，则的度数为 ． 14．如图，在中，平分，平分，，则的度数为 °． 15．如图，在中，分别是与的角平分线，点D在的延长线上，则 ． 16．如图，在凸四边形ABCD中，，已知，，则的度数为 ． 三、解答题 17．如图，，过点D作于点E，，求的大小． 18．如图，点E，C分别在上，已知 垂足为O， 求 与 的度数． 19．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)直接写出、、三个角之间存在的等量关系． 20．如图，的平分线与交于D，，垂足E在上，． ①求的度数； ②的度数． 21．如图，，，．    (1)说明的理由； (2)若，求的度数． 22．在中，是的平分线，是的高． (1)如图①，若，则_________． (2)如图①，，试说明与的数量关系． (3)拓展：如图②，四边形中，是的平分线，是的平分线，猜想：与的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A D C D C 1．C 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的性质，根据三角形外角的性质求出的度数，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ∵直尺的对边平行， ∴ 故选：C． 2．C 【分析】考查三角形的内角和定理以及高的性质.根据三角形的内角和定理与，即可求得三个内角的度数，再根据三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】∵，， ∴， 解得，， 则， ∵是边上的高， ∴， ∴， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵有一个直角三角形纸板破损了一个角， ∴， 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，根据，可得，再由三角形内角和定理求出的度数，即可求解，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查三角形内角和定理，由三角形内角求得是解决问题的关键． 【详解】解：三角形内角和是 ，， ，即的值为， 故选：D． 6．C 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，如图，延长至，证明，再结合三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：如图，延长至，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选C 7．D 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，分高在等腰三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当三角形的高线在三角形的内部时，如图：，，则： ∴； 当三角形的高线在三角形的外部时，如图：，，则：， ∵， ∴； 故选D． 8．C 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，先根据平行线的性质得，则有，再根据垂直的定义得，然后利用，计算的度数即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 9．/度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和进行求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴与相邻的外角的度数， 故答案为：． 10．55 【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据题意的是的一个外角，根据即可求解． 【详解】解：根据题意的是的一个外角， ，， ， 故答案为：55． 11．/40度 【分析】本题考查了作图基本作图，等腰三角形的性质以及三角形外角的性质．由作图可知，，，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知，，． ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．/48度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的性质．根据题意可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 13．/140度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解决本题的关键．利用三角形的内角和定理先求出与的和，再根据角平分线的性质求出，最后再利用三角形的内角和求出． 【详解】解：， ． ，分别是和的平分线， ． ， ． 故答案为： 14． 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，根据、，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴ 故答案为： 15．/18度 【分析】本题考查三角形外角的性质及角平分线的定义，根据点D在的延长线上，得到，由角平分线的定义可得，根据三角形外角的性质即可求的度数． 【详解】解：点D在的延长线上， 是的一个外角， ， 分别是与的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 16．/35度 【分析】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理． 首先根据题意得到，表示出，然后利用三角形内角和得到，求出，进而求解即可． 【详解】∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余、平行线的性质，熟记三角形的内角和等于180°以及平行线的性质是解题关键．利用直角三角形两锐角互余先得出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 18．， 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，先由三角形外角的性质得到，再由三角形内角和定理得到，则可求出． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义： （1）先得出，根据平分，可得，再根据，即可作答； （2）根据平分，可得，结合， ，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵平分， ∴， 又∵， ∴ ， 即． 20．①；② 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，直角三角形两个锐角互余，对于①，先根据平角定义得，再根据三角形内角和定理求出，然后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案；对于②，先根据角平分线定义求出，再根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】①， ∴． ∵， ∴． 在中，． ②∵平分， ∴， ∴． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直的定义，由，可得，根据同位角相等，两直线平行可得，进而得到，结合已知，可得，根据内错角相等，两直线平行即可得证． （2）根据，可得，由，根据直角三角形两锐角互余，可得，由此可得的度数． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 22．(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】对于（1），先求出，再根据角平分线定义得，然后根据直角三角形的两个锐角互余求出，最后根据得出答案； 对于（2），根据三角形内角和定理得，再根据角平分线定义得，然后根据直角三角形的性质得，最后根据，可得答案； 对于（3），根据角平分线定义，得，再根据，根据四边形内角和定理，得，代入整理即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是的高， ∴． ∵， ∴． ∴. 故答案为：； （2）∵， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵是的高， ∴． ∴， ∴，即； （3）．理由如下： ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴． 又∵四边形中，， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线定义，四边形内角和，直角三角形的性质，弄清各角之间的数量关系是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$