2.3第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式-2024-2025学年高一上学期必修第一册数学同步学案（自主预习+题型研析+当堂温习+分层练习）（人教2019A版专用）

2.3第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】一元二次不等式的解法 2 【题型二】解含参数的一元二次不等式 4 【题型三】三个“二次”之间的关系 5 【当堂温习】 6 【分层练习】 7 考试要求： 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 素养要求： 从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养. 自主预习 一、一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. (3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 二、二次函数与一元二次不等式(方程)的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}   题型研析 【题型一】一元二次不等式的解法 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽六安·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（23-24高一上·浙江台州·开学考试）使不等式成立的一个充分不必要条件是（     ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 3．（24-25高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知不等式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式的解集为，则 C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为， 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 三、填空题 5．（23-24高一上·重庆铜梁·开学考试）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 . 6．（23-24高一下·北京石景山·期中）不等式的解集是 ． 解题策略： 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. 【题型二】解含参数的一元二次不等式 一、单选题 1．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高一上·浙江温州·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 三、填空题 5．（2024高三·全国·专题练习）已知：关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 ．    解题策略： 1.对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论. 2.若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论. 【题型三】三个“二次”之间的关系 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 2．（22-23高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   二、多选题 3．（23-24高二下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 三、填空题 5．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ． 6．（22-23高一上·宁夏石嘴山·期中）关于的不等式的解集为，且，则实数 ． 解题策略： 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0，Δ>0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标. 2.给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换. 当堂温习 一、单选题 1．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知条件，条件，则q是p的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 4．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为 三、填空题 5．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 6．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 5．（23-24高三上·甘肃庆阳·阶段练习）已知函数，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 7．（23-24高一上·全国·单元测试）下列结论错误的是（ ） A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为R； B．不等式在上恒成立的条件是且； C．若关于x的不等式的解集为，则； D．不等式的解为. 三、填空题 8．（23-24高一上·福建福州·开学考试）已知函数，若关于的不等式的解为，则= ，= . 9．（24-25高一上·全国·随堂练习）若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是 . 10．（20-21高二上·江苏南通·阶段练习）关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的取值范围 . 四、解答题 11．（24-25高一上·江苏淮安·开学考试）已知不等式的解是或． (1)用字母a表示出b，c； (2)求不等式的解 12．（23-24高一上·北京·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求的取值范围 【能力篇】 一、单选题 1．（24-25高一上·四川南充·开学考试）已知关于不等式的解集为，则（    ） A． B．点在第二象限 C．的最大值为 D．关于的不等式的解集为 二、多选题 2．（23-24高一下·山东淄博·期中）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 三、填空题 3．（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 四、解答题 4．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知二次函数． (1)若不等式的解集为，解关于x的不等式． (2)若且，，解关于x的不等式． 【培优篇】 一、单选题 1．（2024·辽宁·二模）已知正实数，记，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 二、多选题 2．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知为常数，给出关于的不等式，则（    ） A．当，时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集为或的形式，其中 C．当时，不等式的解集为或的形式，其中， D．当时，不等式的解集为的形式，其中 三、填空题 3．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.3第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式（人教2019A版专用） 目录 【自主预习】 2 【题型研析】 2 【题型一】一元二次不等式的解法 2 【题型二】解含参数的一元二次不等式 6 【题型三】三个“二次”之间的关系 9 【当堂温习】 14 【分层练习】 18 考试要求： 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. 素养要求： 从函数观点认识不等式，感悟数学知识之间的关联，认识函数的重要性，重点提升数学抽象和数学运算素养. 自主预习 一、一元二次不等式 (1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. (3)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点. 二、二次函数与一元二次不等式(方程)的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2}   题型研析 【题型一】一元二次不等式的解法 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽六安·开学考试）不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．（23-24高一上·浙江台州·开学考试）使不等式成立的一个充分不必要条件是（     ） A． B．或 C． D．或 二、多选题 3．（24-25高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知不等式，则下列说法正确的是（    ） A．若，则不等式的解集为 B．若不等式的解集为，则 C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为， 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 三、填空题 5．（23-24高一上·重庆铜梁·开学考试）二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 . 6．（23-24高一下·北京石景山·期中）不等式的解集是 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 A C ABD AB 1．A 【分析】求解一元二次方程的解，可得不等式的解. 【详解】根据题意，方程的解为， 所以不等式的解集是. 故选：A 2．C 【分析】解不等式并找出不等式解集的真子集即可得出结论. 【详解】解不等式可得或， 检验可知选项C是的真子集，即是成立的一个充分不必要条件， 故选：C 3．ABD 【分析】对于A解一元二次不等式即可判断，对于BC根据不等式的解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数的关系求解即可判断，对于D，根据根与系数的关系及绝对值不等式即可判断. 【详解】对于A，时，不等式，即，即，解得，所以不等式的解集为，A正确； 对于B，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即， 且方程的两根为，故，所以，B正确； 对于C，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即， 且方程的两根为，故，C错误； 对于D，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即， 且方程的两根为，故， 所以， 当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ABD. 4．AB 【分析】一元二次不等式的解集可判断AB：用表示代入可判断CD. 【详解】不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得，故D错误. 故选：AB. 5． 【分析】根据给定的图象用表示，再代入不等式求解即得. 【详解】由题图知，1和2是方程的两个根，且，则， 即，因此不等式为，即， 整理得，解得， 所以不等式的解集是. 故答案为： 6．或. 【分析】化简不等式为，结合一元二次不等式的解法和绝对值的定义，即可求解. 【详解】由不等式可化为， 解得或（舍去），所以或， 即不等式的解集为或. 故答案为：或. 解题策略： 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. 【题型二】解含参数的一元二次不等式 一、单选题 1．（23-24高二下·福建福州·期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高一上·浙江温州·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．关于x的不等式的解集可以是 B．关于x的不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“” 三、填空题 5．（2024高三·全国·专题练习）已知：关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为 . 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是 ．    参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 B C AD BCD 1．B 【分析】对参数进行分类讨论得到一元二次不等式的解集后求解即可. 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 2．C 【分析】先判断出，进而解不等式，得到解集. 【详解】因为，所以， 故的解集为. 故选：C 3．AD 【分析】分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集，即可判断. 【详解】由， 当时，不等式即为，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式即为，即， 解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或，结合选项可知只有AD符合题意. 故选：AD 4．BCD 【分析】解含参的一元二次不等式判断A,B,根据含参的一元二次不等式解集得出参数范围判断C,D. 【详解】对A，若不等式的解集是，则且，得， 而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误； 对B，取，，此时不等式的解集为，故B正确； 对C，取，，则由，得或3，故C正确； 对D，若关于x的方程有一个正根和一个负根，则，得， 若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，， 且，关于x的方程有一个正根和一个负根. 因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确. 故选：BCD. 5． 【分析】由与结构一样，借助的解集，即可得出答案. 【详解】与等价， 所以，所以. 故此答案为：. 6． 【分析】由二次函数的图象可知方程的两根分别为1和2，且，然后利用韦达定理可求得，，代入中化简求解即可. 【详解】根据函数图像可知，方程的两根分别为1和2，且， 根据韦达定理，可知，，即，， 代入中可得， 化简可得，解得． 故答案为： 解题策略： 1.对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论. 2.若求出的两根中含有参数，应对两根的大小进行讨论，然后利用不等式的解集与方程根的关系得出结论. 【题型三】三个“二次”之间的关系 一、单选题 1．（24-25高一上·全国·随堂练习）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 2．（22-23高一·全国·课堂例题）不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．     D．   二、多选题 3．（23-24高二下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽芜湖·阶段练习）已知关于一元二次不等式的解集为（其中），关于一元二次不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D．当时，的最小值为 三、填空题 5．（23-24高一上·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式的解集为或，不等式的解集为 ． 6．（22-23高一上·宁夏石嘴山·期中）关于的不等式的解集为，且，则实数 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 C A BCD BC 1．C 【分析】利用一元二次方程的判别式，列出不等式组求解即得. 【详解】关于x的一元二次方程有实数根，则，解得且， 所以k的取值范围是且. 故选：C 2．A 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A 3．BCD 【分析】抓住一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数“三个二次”的关系分析，结合图象即可一一判断. 【详解】对于A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，故A错误； 对于B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3， 由韦达定理，，故，，即，故B正确； 对于C，由上分析可得，故C正确； 对于D，由上分析可得，故D正确. 故选：BCD. 4．BC 【分析】结合一元二次不等式与二次函数的关系及函数的平移得到，从而得到，即可判断A、B、C，由韦达定理得到，利用基本不等式判断D. 【详解】因为关于一元二次不等式的解集为（其中）， 所以二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，， 又关于一元二次不等式的解集为， 即二次函数与轴有两个交点且，交点坐标分别为，，， 又二次函数的图象是由向上平移个单位得到的， 又开口向下，对称轴为， 由于无法确的值，以下只能得到与图象的大致情形如下（这里只列出其中一种）： 所以， 则，所以，，所以，故A错误，B正确； 又，，所以，故C正确； 因为、为关于的方程的两根， 所以，， 又，所以，所以， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 显然，所以，故D错误. 故选：BC 5．. 【分析】根据不等式解集知，利用韦达定理得，代入目标不等式求解即可. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以，且和4为方程的两根， 故，得， 又，所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 6．/ 【分析】根据一元二次不等式与对应一元二次方程的关系求解即可. 【详解】由题意，的两根为， 所以， 解得，或， 当时，故， 由知，所以解得， 当时，不合题意. 故答案为： 解题策略： 1.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0，Δ>0)的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标. 2.给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根.在解决具体的问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换. 当堂温习 一、单选题 1．（24-25高一上·广东梅州·开学考试）已知条件，条件，则q是p的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 2．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（23-24高一上·安徽淮南·期末）若存在m，，使得的解集为或，则下列结论正确的是（   ） A．的解集为或 B．的解集为 C． D． 4．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则且 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若为常数，且，则的最小值为 三、填空题 5．（2024高三下·全国·专题练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 6．（23-24高一上·江西景德镇·期中）已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 参考答案： 题号 1 2 3 4 答案 D B AD ACD 1．D 【分析】先解不等式求出命题中变量的范围，再利用充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】由或，解之得， 由，解之得， 显然是的真子集， 所以命题q是p的充分不必要条件. 故选：D 2．B 【分析】由，知，原不等式等价于，再确定相应二次方程的根的大小得不等式的解集. 【详解】由，则，原不等式等价于不等式的解集， 又由，则方程的两根分别为， 当时，，故原不等式的解集为. 故选：B 3．AD 【分析】AB选项，根据不等式解集得到的解集为，的解集为或；C选项，根据韦达定理得到，，得到；D选项，根据和，得到答案. 【详解】AB选项，因为，故， 由题意得的解集为， 的解集为或，A正确，B错误； C选项，的两个根为，的根为， 故，，， 由于，，故，所以，C错误； D选项，因为，， 故，两边平方得，D正确. 故选：AD 4．ACD 【分析】A项，利用二次函数的图象可知A正确；B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；D项，根据得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得. 【详解】A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A正确； B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； D选项，为常数， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 5． 【分析】解一元二次不等式化简集合A，再分类求解不等式化简集合B，并利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，得， 依题意，集合， ， 当，即时，，则，解得； 当，即时，，则，解得， 当，即时，，满足，因此， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 6． 【分析】根据的解集为得到，且，进而根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意得的两个根为，，且， ，，则，， 则，即， 即，解得， 则不等式的解集为. 故答案为：. 分层练习 【基础篇】 一、单选题 1．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）若不等式的解集为，那么不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D． 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）若关于的不等式的解集中，恰有3个整数，则实数的取值集合是（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 5．（23-24高三上·甘肃庆阳·阶段练习）已知函数，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 7．（23-24高一上·全国·单元测试）下列结论错误的是（ ） A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为R； B．不等式在上恒成立的条件是且； C．若关于x的不等式的解集为，则； D．不等式的解为. 三、填空题 8．（23-24高一上·福建福州·开学考试）已知函数，若关于的不等式的解为，则= ，= . 9．（24-25高一上·全国·随堂练习）若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是 . 10．（20-21高二上·江苏南通·阶段练习）关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的取值范围 . 四、解答题 11．（24-25高一上·江苏淮安·开学考试）已知不等式的解是或． (1)用字母a表示出b，c； (2)求不等式的解 12．（23-24高一上·北京·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)当恒成立时，求的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求的取值范围 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A D D ABC ABD AD 1．C 【分析】解不等式，根据充分、必要条件判断即可. 【详解】由解得， 则A项是命题p的充要条件，故A错误； 由， 则B项是命题p的充分条件，故B错误； 由，且， 则C项是命题p的一个必要不充分条件，故C正确； 由，且， 则D项是命题p的既不充分也不必要条件，故D错误； 故选：C. 2．A 【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到的关系，再根据一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得， 则不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集是． 故选：A 3．D 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系即可求解. 【详解】由题意得和1为方程的两个根且， 则，解得， 所以不等式，即，即， 故选:D. 4．D 【分析】对不等式因式分解，分，，三种情况，得到不等式解集，结合恰有3个整数得到不等式，求出答案. 【详解】， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，此时恰有3个整数解， 则3个整数解分别为，故，解得， 当时，不等式解集为，不合要求， 故实数的取值集合为或. 故选：D 5．ABC 【分析】令，解得，根据包含关系结合充分、必要条件分析判断. 【详解】令，整理得，解得， 可知：、、均为的真子集，符合题意，故ABC正确； 且，不合题意，故D错误； 故选：ABC. 6．ABD 【分析】A选项，根据不等式的解集得到；BC选项，转化为和3是关于x的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出，解不等式，得到的解集，并得到；D选项，变形得到的解集即可. 【详解】A选项，∵关于x的不等式的解集为， ∴，A选项正确； BC选项，已知和3是关于x的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则， 不等式，即，解得，B正确； 且，C错误； D选项，不等式，即，即， 解得或，D正确． 故选：ABD 7．AD 【分析】根据一元二次不等式与对应二次函数的关系，结合各选项的描述判断A、B、C正误即可，对于D将不等式化为求解集即可. 【详解】A：函数不存在零点，若则不等式解集为 ，若则不等式解集为解集为空集，A错误； B：由条件有不等式对应的二次函数图象开口向下，所以 且函数图象至多与x轴有一个交点，故，B正确； C：当时不等式解集为，显然不符合题意，当时由二次函数的性质知：，解得，C正确； D：化不等式为分式不等式，解得，D错误. 故选：AD 8． 【分析】根据题意得到方程的两个根为1和，将代入方程，求得，再结合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集，即可求解. 【详解】由关于的不等式的解为， 可得对应方程的两个根为1和， 将代入方程可得，解得， 所以原不等式可化为，即，解得， 所以. 故答案为：；. 9．或 【分析】根据题意可知，运算求解即可. 【详解】若命题“，”为真命题， 则，解得或， 所以实数m的取值范围是或. 故答案为：或. 10． 【分析】把不等式化为 , 讨论 和 时, 求出不等式的解集, 即可得出满足题意 的取值范围. 【详解】关于的不等式 可化为 , 当 时, 解不等式得 , 当 时, 解不等式得 , 因为不等式的解集中至多包含 1 个整数, 所以 或 , 当 时，不等式的解集为 ，也满足题意； 所以 的取值范围是 . 故答案为:. 11．(1)， (2)或 【分析】（1）由韦达定理可得； （2）把（1）的结论代入求解． 【详解】（1）由不等式的解为或， 可知且的两根为2和3， 由韦达定理得，，所以，； （2）由（1）可得：可变为， 因为，所以，整理得， 解得或，所以不等式的解是或． 12．(1) (2) (3)或 【分析】（1）把代入，结合二次不等式的求解方法可得答案； （2）讨论二次型函数的系数，结合判别式可得答案； （3）利用韦达定理及限制条件可得答案. 【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得，所以的解集为. （2）当时，恒成立； 当时，恒成立，则有，解得， 当时，显然不恒成立. 综上，的取值范围是. （3）有两个实数根，所以，，解得或，， 因为，所以， 解得或， 综上可得或. 【能力篇】 一、单选题 1．（24-25高一上·四川南充·开学考试）已知关于不等式的解集为，则（    ） A． B．点在第二象限 C．的最大值为 D．关于的不等式的解集为 二、多选题 2．（23-24高一下·山东淄博·期中）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A．不等式的解集是 B． C．不等式的解集为 D．设x的不等式的解集为N，则 三、填空题 3．（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 四、解答题 4．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）已知二次函数． (1)若不等式的解集为，解关于x的不等式． (2)若且，，解关于x的不等式． 参考答案： 题号 1 2 答案 D ABD 1．D 【分析】根据分式不等式与整式不等式的转化，结合解的性质可得和分别是和的实数根，即可得，，进而可求解AB，利用二次函数的性质即可求解C，由一元二次不等式的求解即可判断D. 【详解】原不等式等价于， 因为解集为,所以和分别是和的实数根， 故且，，故A错误； 因为，，所以点在第三象限，故B错误； ，由于开口向下，故最大值为，故C错误， 由得即解集为，故D正确． 故选：D． 2．ABD 【分析】先利用题给条件求得三者正负号和三者间的关系，进而判断选项A和选项B；化简不等式的解集，判断选项C；设，，根据图象判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为 则,且关于的方程的根为，， 则，解之得， 则不等式为，所以解集为， ，所以A、B都正确； 不等式可化为，即， 所以解集为，或，故C错误； 设，， 则函数的图象向上平移一个单位得的图象，如图，    所以不等式的解集为N，则，D正确. 故选：ABD 3． 【分析】根据不等式分类讨论分析可知：为的零点，运算整理结合基本不等式求解. 【详解】∵则有：当时，则，当时，则 ∴当时，则，当时，则 即为的零点 ∴，则 ∴，当且仅当即时等号成立 故答案为：. 4．(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由已知得，代入所求不等式得从而求得解集； （2）由已知转化为，又，再解含参的一元二次不等式可得答案. 【详解】（1）的解集为， ， ， ， 则，即， 所求不等式的解集为. （2）由，， 得， 则，即， 又，则不等式可化为， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【培优篇】 一、单选题 1．（2024·辽宁·二模）已知正实数，记，则的最小值为（    ） A． B．2 C．1 D． 二、多选题 2．（23-24高一上·浙江嘉兴·阶段练习）已知为常数，给出关于的不等式，则（    ） A．当，时，不等式的解集为 B．当时，不等式的解集为或的形式，其中 C．当时，不等式的解集为或的形式，其中， D．当时，不等式的解集为的形式，其中 三、填空题 3．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）若关于的不等式组只有一个整数解，则实数的取值范围是 ． 参考答案： 题号 1 2 答案 A ACD 1．A 【分析】由已知得出，结合得出，根据基本不等式即可求解． 【详解】由得，， 所以，即， 因为，所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，，当且仅当，即时，等号成立， 故选：A． 【点睛】关键点睛：当时，有；即且，两式相乘，进而得出最小值． 2．ACD 【分析】当，时，转化为一元二次不等式组求解可判断A；讨论直线与抛物线的相交情况，然后根据条件作出函数，，的图象，观察图象即可判断BCD. 【详解】当，时，， 即，解得，A正确； 设直线，联立，得， 由得或，直线与抛物线有两个交点； 由得或，直线与抛物线有一个交点； 由得，直线与抛物线无交点. 作出函数，，的图象，当时，如图一， 由图可知，此时不等式解集为，B错误；      当时，如图二，由图可知，C正确；    当时，如图三，由图可知，D正确. 故选：ACD    3． 【分析】由已知，先求解不等式的解集，然后再对不等式进行转化，通过讨论，和三种情况，分别列式作答即可. 【详解】由已知，不等式的解集为， 不等式可转化为， 当时，不等式的解集为， 由解集中整数为，不合题意； 当时，不等式的解集为， 由解集中整数为，得，解得， 当时，不等式的解集为，不满足题意， 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$