第一次月考（第1～2章：勾股定理+实数）2024-2025学年八年级上学期北师大版数学

八年级数学上学期第一次月考 范围：北师大版八上第1~2章：勾股定理+实数 一．选择题（共10小题） 1．下列各数是无理数的是　　 A． B．3.1415926 C． D． 2．下列各组数是勾股数的是　　 A．13，14，15 B．4，5，6 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41 3．下列说法正确的是　　 A．4的算术平方根是 B．3的平方根是 C．27的立方根是 D．的平方根是 4．下表是利用计算器算出的正数的算术平方根： 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 根据上表，求的值，若结果保留整数，则值为　　 A．17 B．18 C．19 D．20 5．若，则的值是　　 A．10 B． C．3 D． 6．若，则的值为　　 A．3 B．7 C．8 D．9 7．已知，下列关于与的结论正确的是　　 A．与互为负倒数 B．与互为倒数 C．与互为相反数 D．与平方结果相等 8．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是　　 A． B． C． D． 9．在解决如下问题“已知，，用含，的代数式表示”时，甲、乙两个同学分别给出不同解法： 甲：； 乙：因为，所以． 对于这两种解法，正确的是　　 A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 10．如图，在△中，，，，是上一动点，过点作于点，于点，，则的长是　　 A． B． C．4 D． 二．填空题（共6小题） 11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 　 　． 12．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 　 　． 13．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则的值是 　 　． 14．如图，每个小正方形的边长为1，、、是小正方形的顶点，则等于 　 　度． 15．若一个直角三角形的周长为56，斜边长为25，则该直角三角形的面积为 　 　． 16．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积　 　． 三．解答题（共9小题） 17．计算： （1）； （2）． 18．一个正数的两个不同的平方根分别是与． （1）求和的值； （2）求的平方根． 19．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，且DE⊥BC，若BD＝CD，EA2+AC2＝BD2+DE2，求证：△ABC是直角三角形． 20．如图，是一个数值转换器，原理如图所示． （1）当输入的值为16时，求输出的值； （2）是否存在输入的值后，始终输不出值？如果存在，请直接写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由． （3）输入一个两位数，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则　 　． 21．根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题： 第1式，第2式，第3式， 第4式． （1）根据规律填空：第5式　 　； （2）若，求的值； 22．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”． （1）如图，在中，，，求证：是“美丽三角形”； （2）在中，，，若是“美丽三角形”，求的长． 23．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 24．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是 　 　，的整数部分是 　 　； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 25．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 　 　． （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学上学期第一次月考 范围：北师大版八上第1~2章：勾股定理+实数 一．选择题（共10小题） 1．下列各数是无理数的是　　 A． B．3.1415926 C． D． 【答案】 【解析】．，是有理数，不符合题意； ．3.1415926是有限小数，是有理数，不符合题意； ．是无理数，符合题意； ．是分数，是有理数，不符合题意， 故选． 2．下列各组数是勾股数的是　　 A．13，14，15 B．4，5，6 C．0.3，0.4，0.5 D．9，40，41 【答案】 【解析】、，，14，15不是勾股数，不符合题意； 、，，5，6不是勾股数，不符合题意； 、，0.4，0.5都不是整数，，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意； 、，，40，41是勾股数，符合题意； 故选． 3．下列说法正确的是　　 A．4的算术平方根是 B．3的平方根是 C．27的立方根是 D．的平方根是 【答案】 【解析】、4的算术平方根是，故该选项错误； 、3的平方根是，故该选项错误； 、因为，，则27的立方根是3，该选项错误； 、，因为，则4的平方根为，故该选项正确； 故选． 4．下表是利用计算器算出的正数的算术平方根： 18.3 18.4 18.5 18.6 18.7 18.8 18.9 19 334.89 338.56 342.25 345.96 349.69 353.44 357.21 361 根据上表，求的值，若结果保留整数，则值为　　 A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】 【解析】结合表格可得， 结果保留整数为20， 故选． 5．若，则的值是　　 A．10 B． C．3 D． 【答案】 【解析】， ，，， ，，， ， 故选． 6．若，则的值为　　 A．3 B．7 C．8 D．9 【答案】 【解析】， ， ， ， ． 故选． 7．已知，下列关于与的结论正确的是　　 A．与互为负倒数 B．与互为倒数 C．与互为相反数 D．与平方结果相等 【答案】 【解析】， ， 与互为负倒数， 故选． 8．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】由题意可知，，， ． 设的长为 ，则 ， 所以． 在直角△中，，即， 解得：， 即绳索的长是3.4米． 故选． 9．在解决如下问题“已知，，用含，的代数式表示”时，甲、乙两个同学分别给出不同解法： 甲：； 乙：因为，所以． 对于这两种解法，正确的是　　 A．甲对 B．乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】 【解析】甲：， 甲正确； 乙：， ， ． 乙正确； 综上所述，甲、乙均对． 故选． 10．如图，在△中，，，，是上一动点，过点作于点，于点，，则的长是　　 A． B． C．4 D． 【答案】 【解析】连接． 设，则． ，， ，， ，， ． 或（舍弃）． ． ， ， 故选． 二．填空题（共6小题） 11．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是 　　． 【答案】． 【解析】依题意，得 ， 解得：． 故答案为：． 12．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 　2　． 【答案】2． 【解析】由题意得， 解得， 为整数， 当时，是最简二次根式； 故答案为：2． 13．中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法，若一个正数的平方根分别是和，则的值是 　　． 【答案】． 【解析】一个正数的平方根分别是和， ， ． 故答案为：． 14．如图，每个小正方形的边长为1，、、是小正方形的顶点，则等于 　45　度． 【答案】45． 【解析】连接， 由勾股定理得：，，， ，， 是等腰直角三角形，且， ， 故答案为：45． 15．若一个直角三角形的周长为56，斜边长为25，则该直角三角形的面积为 　84　． 【答案】84． 【解析】设两条直角边为，， 由题意，得：，， ， ， 该直角三角形的面积为； 故答案为：84． 16．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，若图1中的直角三角形的长直角边为5，大正方形的面积为29，连接图2中四条线段得到如图3的新图案，求图3中阴影部分的面积　21　． 【答案】21． 【解析】如图， 根据题意得：，，，， ， ， ， 阴影部分的面积为． 故答案为：21 三．解答题（共9小题） 17．计算： （1）； （2）． 【解析】（1）原式； （2）原式 ． 18．一个正数的两个不同的平方根分别是与． （1）求和的值； （2）求的平方根． 【解析】（1）由题意可得， 解得， ； （2）将，代入中，得． 的平方根是， 的平方根是． 19．如图，在△ABC中，D是边BC上的一点，且DE⊥BC，若BD＝CD，EA2+AC2＝BD2+DE2，求证：△ABC是直角三角形． 【解析】证明：如图，连接CE． ∵BD＝CD，DE⊥BC， ∴CE＝BE． ∵DE⊥BC， ∴BD2+DE2＝BE2＝CE2． ∵EA2+AC2＝BD2+DE2， ∴EA2+AC2＝CE2， ∴△ACE是直角三角形，∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形． 20．如图，是一个数值转换器，原理如图所示． （1）当输入的值为16时，求输出的值； （2）是否存在输入的值后，始终输不出值？如果存在，请直接写出所有满足要求的值；如果不存在，请说明理由． （3）输入一个两位数，恰好经过两次取算术平方根才能输出无理数，则　25或36或49或64　． 【解析】（1）， ， 则； （2）存在，当或1时，始终输不出值，若输入负数，始终输不出值， 综上所述，或1或负数． （3）答案不唯一．或或或． 故答案为：25或36或49或64． 21．根据平方差公式：，由此得到，由此我们可以得到下面的规律，请根据规律解答后面的问题： 第1式，第2式，第3式， 第4式． （1）根据规律填空：第5式　　； （2）若，求的值； 【解析】（1）第1式：， 第2式：， 第3式：， 第4式：， 所以，第5个式子为：， 故答案为：； （2）由（1）可得：， ， 解得，． 22．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”． （1）如图，在中，，，求证：是“美丽三角形”； （2）在中，，，若是“美丽三角形”，求的长． 【解析】（1）证明：过点作于， ，， ， 由勾股定理得，， ，即是“美丽三角形”； （2）解：当边上的中线等于时，如图2， ， 当边上的中线等于时， ，即， 解得． 综上所述，的长是6或8． 23．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且．该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【解析】如图，过作于点， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ，，，， ， 是直角三角形，且， ， （元． 答：此块空地全部种植花卉共需花费3600元． 24．【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分． 结合以上材料，回答下列问题： （1）的小数部分是 　　，的整数部分是 　　； （2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； （3）已知，其中是整数，且，请直接写出的平方根． 【解析】（1）， ， 的整数部分是4，小数部分是； ， ， ， ， 的整数部分是1； 故答案为：，1； （2）， ， 的整数部分是2，小数部分是， ， ， ， 的整数部分为6， ， ； （3）， ， ， 的整数部分是24，小数部分是， ，其中是整数，且， ，， ， 的平方根是， 的平方根是． 25．综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． （2）【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为 　　． （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【解析】（1）证明：，，，， ， ， ； （2）解：设边上的高为，则： ，， ， ， 即边上的高是， 故答案为：； （3）解：在中，由勾股定理得， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$