第四单元运算律（讲义）-2024-2025学年四年级上册数学北师大版

运算律 板块一：考点精讲 1．带括号的表内乘加、乘减 【知识点归纳】 一、加减乘除混合运算规则： 1、同级运算时，从左到右依次计算。 2、两级运算时，先乘除后加减。 3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。 【方法总结】 1、含有小括号的两步混合运算的运算顺序： 算式里有小括号的，要先算小括号里面的，再算小括号外面的。 2．带括号的表内除加、除减 【知识点归纳】 加减乘除混合运算规则： 1、同级运算时，从左到右依次计算。 2、两级运算时，先乘除后加减。 3、有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。 【方法总结】 1、加法、减法、乘法和除法统称四则运算。 2、在没有括号的算式里，如果只有加、减法或者只有乘、除法，都要从左往右按顺序计算。 3、在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法、要先算乘除法，再算加减法。 4、算式有括号，要先算括号里面的，再算括号外面的；括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。 3．乘法分配律 【知识点归纳】 1、乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以把两个加数（或被减数、减数）分别与这个数相乘，在把两个积相加（或相减），结果不变。用字母表示数：（a+b）×c＝a×c+b×c或（a﹣b）×c＝a×c﹣b×c 2、式子的特点：在两个乘法式子中，有一个相同的因数；另为两个不同的因数之和（或之差）基本上是能凑成整十、整百、整千的数。 3、102×88、99×15这类题的特点：两个数相乘，把其中一个比较接近整十、整百、整千的数改写成整十、整百、整千与一个数的和（或差），再应用乘法分配律可以使运算简便。 【方法总结】 乘法分配律简算例子： （一）分解式 25×（40+4） ＝25×40+25×4 ＝1000+100 ＝1100 （二）合并式 135×12—135×2 ＝135×（12—2） ＝135×10 ＝1350 （三）特殊1 99×256+256 ＝99×256+256×1 ＝256×（99+1） ＝256×100 ＝25600 （四）特殊2 45×102 ＝45×（100+2） ＝45×100+45×2 ＝4500+90 ＝4590 （五）特殊3 99×26 ＝（100—1）×26 ＝100×26—1×26 ＝2600—26 ＝2574 （六）特殊4 35×8+35×6—4×35 ＝35×（8+6—4） ＝35×10 ＝350 4．运算定律与简便运算 【知识点归纳】 1、加法运算： ①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a ②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c） 2、乘法运算： ①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a． ②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c） ③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac ④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc ＝（a+b）×c 3、除法运算： ①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c） ②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0） 4、减法运算： 减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c） 板块二：高频考点 一、选择题 1．智慧老人心里想了一个数，给这个数乘3，再加上15，等于105。智慧老人想的数是（    ）。 A．25 B．30 C．35 2．与45×6×11的积相等的算式是（　　　）。 A．45×6＋11 B．11×（6×45） C．（45＋6）×11 3．下面运算顺序一样的是（    ）。 A．789＋218－312和21＋159×12 B．569－541＋679和36×105÷25 C．555÷（249－138）和254×11－214 4．638－99用简便方法计算是（    ）。 A．638－100－1 B．638－（100＋1） C．638－100＋1 5．125×9×8＝9×（125×8）运用了（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律 6．如果□＋△＝45（□，△都不为0），那么（□×3）＋（△×3）＝（    ）。 A．405 B．45 C．135 7．若计算146×81时，“8”键坏了，应该怎么计算？下列错误的是（    ）。 A．146×（74＋7） B．146×71＋146×10 C．146×91－10 二、填空题 8．63+93+27=63+(93+27)运用的是( )． 9．计算36×[（7＋8）÷5]时，应先算( )法，再算( )法，最后算( )法。 10．在一个减法算式里，差是16，如果被减数不变，减数增加4，差是( )． 11．25个137加上15个137是( )个137，列式为：137×（ ＋ ）。 12．计算38＋24×36时，要先算( )法，再算( )法。 13．加法结合律：三个数( )，先把( )两个数相加，或先把后两个数相加，再同第三个数相加，和( )． 14．在( )上填上最大的数。 ( )＜230     ( )＜630      ( )＜450 ( )＜800     ( )＜201      ( )＜250 三、判断题 15．计算68×99＋68＝68×（100＋1）正确地应用了乘法分配律。( ) 16．加法结合律改变的是原算式的运算顺序，而加数的位置不变．( ) 17．103×28＝（100＋3）×28这里运用了乘法的分配律。( ) 18．如果12×＝×12，那么一定等于0。( ) 19．乘法结合律和乘法交换律能同时使用。( ) 20．149＋587＋51不能简算。( ) 四、计算题 21．直接写得数。 187＋99＝           38＋64＋62＝            21×4×25＝            25×99＋25＝ 243－97＝           123－23－75＝          152＋34－52＝          120÷15÷2＝ 22．先用竖式计算，再用加法交换律或乘法交换律验算。 1208＋4089＝          34×102＝ 798＋1782＝           238×47＝ 23．脱式计算．(能简算的要简算) 25×(4＋40)          (125＋7)×8           76×99＋76           23×101 五、解答题 24．运动场的跑道长400米，小林跑了4圈共用了16分钟，小林平均每分钟跑了多少米？ 25．一个游泳池长50米，小亮每天都游4个来回，他每天游多少米？ 26．四年级组织文艺汇演，需要订购中码和大码的演出服各32套，大码每套57元，中码每套43元，购买演出服一共需要花多少钱？ 27．我家从京东上买了6个可以组合的小柜子，每个小柜子17元，柜门上贴画每张3元，这套小柜子一共花了多少元？ 28．欣欣水果店运来苹果和香蕉各9箱，苹果共重270千克，香蕉共重180千克，每箱苹果比每箱香蕉多多少千克？(用两种方法解答) 29．市政修路队修一段公路，第一周修了365m，第二周修了467米，还剩下535米没修。这段公路一共有多少米？ 30．学校要购进足球和篮球各15个，足球每个68元，篮球每个32元，学校一共要花多少元？ 31．饲养员养了10只公鸡，14只母鸡，每4只放入一个笼子，需要多少个笼子？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B B C C C C 1．B 【分析】根据题意可知，用105减去15，再除以3，即可求出这个数。 【详解】（105－15）÷3 ＝90÷3 ＝30 则这个数是30。 故答案为：B。 【点睛】本题考查整数加减法和乘除法的逆运算，依据题意列式计算即可。 2．B 【分析】运用乘法交换律、结合律进行简算即可。 【详解】45×6×11 ＝11×6×45 ＝11×（6×45） 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了乘法的交换律和结合律。 3．B 【分析】分析选项中的两个算式的运算顺序，找出相同运算顺序的即可。 【详解】A．789＋218－312，从左往右依次计算；21＋159×12，先算乘法，再算加法； B．569－541＋679和36×105÷25都是从左往右依次计算； C．555÷（249－138），先算小括号里的减法，再算小括号外的除法；254×11－214，先算乘法，再算减法； 故答案为：B 【点睛】一个算式里，如果含有两级运算，要先做第二级运算，后做第一级运算；一个算式里，如果有括号，要先算小括号里的。 4．C 【分析】将99看成100－1，然后根据减法的性质进行计算即可。 【详解】 则， 故选：C。 【点睛】本题主要考查了简便运算，熟练掌握相关运算技巧是解决本题的关键。 5．C 【分析】两个数相乘，交换乘数的位置积不变，这叫做乘法交换律。三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘第三个数，也可以先把后两个数相乘再和第一个数相乘，结果不变，这叫做乘法结合律。 【详解】125×9×8＝9×125×8，运用了乘法交换律，9×125×8＝9×（125×8）运用了乘法结合律，125×9×8＝9×（125×8）运用了乘法交换律和乘法结合律。 故答案为：C 【点睛】熟记乘法运算律并灵活运用是解题关键。 6．C 【分析】根据乘法分配律（a×c）＋（b×c）＝（a＋b）×c进行解答。 【详解】（□×3）＋（△×3） ＝（□＋△）×3 ＝45×3 ＝135 故答案为：C 【点睛】本题主要考查乘法分配律的灵活应用，观察算式后进行解答即可。 7．C 【分析】“8”键坏了，算式146×81中按不出“81”，可以将81看成74＋7，或者看成71＋10，或者91－10，再根据乘法分配律进行计算。 【详解】A. 146×81＝146×（74＋7），计算正确；     B. 146×81＝146×（71＋10）＝146×71＋146×10，计算正确；     C. 146×81＝146×（91－10）＝146×91－146×10，则146×81≠146×91－10，计算错误； 故答案为：C 【点睛】本题考查计算器的使用以及乘法分配律的理解和掌握。 8．加法结合律 9． 加 除 乘 【分析】整数四则混合运算的运算顺序是同级运算时，从左到右依次计算；两级运算时，先算乘除，后算加减。有括号时，先算括号里面的；有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的。据此解答。 【详解】36×[（7＋8）÷5] ＝36×[15÷5] ＝36×3 ＝108 计算36×[（7＋8）÷5]时，应先算加法，再算除法，最后算乘法。 【点睛】本题考查整数四则混合运算的运算顺序，需熟练掌握。 10．12 11． 40 25 15 【分析】25个137加上15个137可列式为：137×25＋137×15，然后根据乘法分配律的特点填空即可。乘法分配律的特点是两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 【详解】137×25＋137×15＝137×（25＋15） 25＋15＝40 因此：25个137加上15个137是40个137，列式为：137×（25＋15） 【点睛】熟练掌握乘法分配律的特点是解答此题的关键。 12． 乘 加 【分析】整数四则混合运算的运算顺序是同级运算时，从左到右依次计算；两级运算时，先算乘除，后算加减。有括号时，先算括号里面的。据此解答即可。 【详解】计算38＋24×36时，要先算乘法，再算加法。 【点睛】本题考查整数四则混合运算的运算顺序，两级运算时，先算乘除，后算加减 13． 相加 前 不变 【详解】根据加法结合律的意义．由此解答． 14． 3 6 1 8 10 8 【分析】运用假设法，把原题中的不等式化为等式，再根据因数＝积÷另一个因数，得数如果是整数，就取比求出的得数小的最接近的整数；如果得数有余数，那商就是应填最大的数。 【详解】（1）230÷70＝3……20 所以横线上最大填3。 （2）630÷90＝7 所以横线上最大填6。 （3）270×2＝540 270×1＝270 所以横线上最大填1。 （4）800÷90有余数，商是8 所以横线上最大填8。 （5）201÷20有余数，商是10 所以横线上最大填10。 （6）250÷30有余数，商是8 所以横线上最大填8。 【点睛】本题关键是把不等式化为等式，再根据有余数除法的特点确定去掉余数，商就是要填的最大的数。 15．× 【分析】两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数相乘，再相加。根据乘法分配律的定义，将乘法算式进行变换，再来比较即可。据此解答。 【详解】68×（100＋1） ＝68×100＋68 与68×99＋68进行比较，发现两个算式不相等，所以题目说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查学生对乘法分配律的掌握。熟练运用乘法分配律是解决此题的关键。 16．√ 【详解】先把两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，这叫做加法结合律．因此，加法结合律改变的是原算式的运算顺序，而加数的位置不变． 17．√ 【分析】两个数的和与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相加，这叫乘法分配律。 【详解】依据分析可知：103×28＝（100＋3）×28这里运用了乘法的分配律。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握乘法分配律的定义是解题关键。 18．× 【分析】乘法交换律：交换两个乘数的位置，积不变，据此解答。 【详解】 例如：12×10＝10×12，12×0＝0×12，12×23＝23×12，可以是任意一个数。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握乘法交换律的定义是解答此题的关键。 19．√ 【分析】乘法结合律和乘法交换律可以同时使用，可举例说明。 【详解】例如： 8×38×125 ＝38×（8×125） ＝38×1000 ＝38000 其中第一步就是乘法交换律和乘法结合律同时使用。 所以乘法结合律和乘法交换律能同时使用。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握乘法结合律和乘法交换律的定义是解答此题的关键。 20．× 【分析】本题可运用加法交换律和结合律进行计算，据此解答。 【详解】149＋587＋51 ＝149＋51＋587 ＝（149＋51）＋587 ＝200＋587 ＝787 运用了加法的交换律和结合律，属于简算，所以题干的描述是错误的。 故答案为：×。 【点睛】本题考查了学生对于加法运算律的掌握。 21．286；164；2100；2500 146；25；134；4 22．5297；3468； 2580；11186 【分析】计算整数的加法时，相同数位要对齐，从个位加起，哪一位相加满十就向前一位进1；验算方法：调换加数的位置，再算一遍和； 计算三位数乘两位数时：先用两位数个位上的数与三位数的每一位上的数依次相乘，再用两位数十位上的数与三位数的每一位上的数依次相乘，乘到哪一位，积的个位就与哪一位对齐，哪一位满几十就向前一位进“几”，再把两次相乘的积加起来；验算方法：调换因数的位置，再算一遍积。 【详解】1208＋4089＝5297                              34×102＝3468 验算：         验算： 798＋1782＝2580                                238×47＝11186 验算：           验算： 23．25×(4＋40) ＝25×4＋25×40 ＝100＋1000 ＝1100 (125＋7)×8 ＝125×8＋7×8 ＝1000＋56 ＝1056 76×99＋76 ＝76×99＋76×1 ＝76×(99＋1) ＝76×100 ＝7600 23×101 ＝23×(100＋1) ＝23×100＋23×1 ＝2300＋23 ＝2323 24．100米 【分析】根据题意，用400乘4，求出4圈共长多少米；再除以16，求出小林平均每分钟跑了多少米。 【详解】400×4÷16 ＝1600÷16 ＝100（米） 答：小林平均每分钟跑了100米。 【点睛】熟练掌握路程÷时间＝速度是解答此题的关键。 25．400米 【分析】一个来回是两趟，即2个全程。 【详解】50×2×4＝400（米） 答：他每天游400米。 【点睛】本题的关键是注意一个“来回”表示两个全程。 26．3200元 【分析】大码演出服每套的价钱加中码演出服每套的价钱，再乘各购买的套数即可解答。 【详解】（57＋43）×32 ＝100×32 ＝3200（元） 答：购买演出服一共需要花3200元钱。 【点睛】本题主要考查学生对乘法分配律的掌握和灵活运用。 27．120元 【分析】根据题意，这套小柜子一共有6个，每个小柜子花了17元，柜门上贴画每张3元，要求这套小柜子一共花了多少元，根据整数乘法的意义：求几个相同的加数的和是多少用乘法计算，据此解答即可。 【详解】17×6＋3×6 ＝（17＋3）×6 ＝20×6 ＝120（元） 答：这套小柜子一共花了120元。 【点睛】本题主要考查了对整数乘法的意义求几个相同的加数的和是多少用乘法计算的理解运用情况，注意运算律的灵活应用。 28．10千克 【详解】方法一：270÷9－180÷9＝10(千克) 方法二：(270－180)÷9＝10(千克) 答：每箱苹果比每箱香蕉多10千克． 29．1367米 【分析】根据题意可知，用第一周修的长度＋第二周修的长度＋剩下的长度＝这段公路一共的长度，依此列式并运用整数加法交换律的特点进行计算即可。 【详解】365＋467＋535 ＝365＋535＋467 ＝900＋467 ＝1367（米） 答：这段公路一共有1367米。 【点睛】此题考查的是运用整数加法交换律的特点解决问题，应熟练掌握。 30．1500元 【分析】足球与篮球的单价已知，先求出1个篮球与1个足球共多少元，因为各买15个，再用所的和乘15即可列式解答。 【详解】（68＋32）×15 ＝100×15 ＝1500（元） 答：学校一共要花1500元。 31．6个 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$