11.1 与三角形有关的线段 复习讲义-2024－2025学年人教版数学八年级上册

11.1与三角形有关的线段复习讲义-数学八年级上册人教版 知识梳理 1.三角形的角平分线、中线和高 (1)从三角形的一个顶点向底边作垂线,垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高. (2)三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点,则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线. (3)三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线. (4)三角形有三条中线,有三条高线,有三条角平分线,它们都是线段. (5)锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点,直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在直线相交于三角形外一点. 2.三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后,三角形的形状和大小就能唯一确定下来,故三角形具有稳定性.这一特性主要应用在实际生活中. 3.三角形三边关系 (1)三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边. (2)在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形. (3)三角形的两边差小于第三边. (4)在涉及三角形的边长或周长的计算时,注意最后要用三边关系去检验,这是一个隐藏的定时炸弹,容易忽略. 典例分析 1.如图,为的中线, 为的中线. (1)在中作边上的高; (2)若的面积为40,,则点 E 到边的距离为多少? 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查画三角形的高线,三角形的中线: (1)根据高线的定义,画高即可; (2)根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可. 【详解】(1)解:如图,为边上的高. (2)∵为的中线, 为的中线, , ∵的面积为 40,, 解得,即点 E 到边的距离为4. 2.如图,已知的三个顶点的坐标分别为,,,若经过两次平移得到,且点的对应点的坐标为,点的对应点的坐标为. (1)画出,并直接写出的顶点坐标; (2)求出的面积; (3)若在轴上存在点P使得的面积为2,求出P点的坐标. 【答案】(1)见解析;,, (2) (3)或 【分析】本题主要考查了平移作图,根据平移前后点的坐标得出平移方式,三角形面积的计算,解题的关键是数形结合,根据题意得出平移方式. (1)根据点的对应点的坐标为,点的对应点的坐标为,得出向右平移2个单位,向上平移1个单位,得到,根据平移规律画出即可; (2)利用割补法求出的面积即可; (3)设,根据,的面积为2,得出,求出结果即可. 【详解】(1)解:∵点的对应点的坐标为,点的对应点的坐标为, ∴向右平移2个单位,向上平移1个单位,得到, ∴,,; 即为所求作的三角形; (2)解:. (3)解:设, ∵,的面积为2, ∴, 解得:或, ∴点P的坐标为:或. 精选好题 一、单选题 1.下列长度的各组线段中,能组成三角形的是( ) A.2,3,5 B.3,3,6 C.3,4,5 D.5,6,12 2.双人漫步机是一种有氧运动器材,通过进行心血管健康的有氧运动,如慢跑、快走等,可以增强人体的心肺功能,降低血压、改善血糖.这种设计应用的几何原理是( ) A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短 C.两点确定一条直线 D.垂线段最短 3.木工师傅要做一个三角形木架,现有两根木条的长度分别为13和8,则第三根木条的长度可以是( ) A.5 B.18 C.21 D.23 4.如图,,,分别是的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是( ) A. B. C. D. 5.已知一个三角形的三边长均为整数,若其中仅有一条边长为6,且它不是最短边,也不是最长边,则满足条件的三角形共有( ) A.12个 B.10个 C.8个 D.6个 6.如图,是的中线,,若的周长比的周长大,则的长为( ) A. B. C. D. 7.如图,在中,已知点D,E分别为的中点,若,则( ) A.2 B.3 C.4 D.6 8.如图,在中,为中线,则与的周长之差为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题 9.如图,王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,要使这个木架不变形,他至少要再钉上木条的根数是 . 10.已知的三边长为,,,化简的结果是 . 11.在中,,为三角形的高,为,所在直线的交点,则的度数是 . 12.如图,在 ABC中,E是BC上一点,EC=2BE,点F是AC的中点,若,则 的值为 13.如图,是的中线,是的中线,于点F.若,,则长为 . 14.如图,中,,于E,,点D在上移动,则的最小值是 . 15.如图,在中,D为中点,F为上一点,连接并延长交的延长线于点E,若,,则 . 16.如图,在中,,为的中点,延长交于.为上一点,于,下面判断正确的有 . ①是的角平分线; ②是边上的中线; ③是边上的高; ④是的角平分线和高. 三、解答题 17.已知、、为的三边长.若为等腰三角形,且周长为,已知,求、的值. 18.如图,已知点O为内任意一点,证明:. 19.如图,在中,是的中线,是的中线. (1)若,求的长; (2)若的周长为37,,且与的周长差为3,求AC的长. 20.如图,在平面直角坐标系中. (1)写出点A,B的坐标. (2)在坐标系中描出点,. (3)将A,B,C,D各点依次用线段连接起来,求四边形的面积. 21.如图,中,,D为的中点,的周长比的周长大2,且的边长是方程的解,求三边的长. 22.在中,,. (1)若是整数,求的长; (2)已知是的中线,若的周长为10,求的周长. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B C B C C C 1.C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系,理解并掌握三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边是解题的关键.根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边判断即可. 【详解】解:A.,不能构成三角形,该选项不符合题意; B.,不能构成三角形,该选项不符合题意; C.,能构成三角形,该选项符合题意; D.,不能构成三角形,该选项不符合题意. 故选:C. 2.A 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性,正确掌握三角形的这一性质是解题的关键.根据三角形具有稳定性解答即可. 【详解】 解:双人漫步机采用如图所示的三角形支架方法固定, 这种方法应用的几何原理:三角形的稳定性. 故选:A. 3.B 【分析】本题考查三角形三边关系定理,记住两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,属于基础题,中考常考题型. 【详解】解:设第三根木条的长度为x,则, 即, ∴第三根木条的长度可以是18,不可以是5,21,23, 故选:B. 4.C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高,从三角形的一个顶点向对边作垂线,垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高,三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点,则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线,三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线,依此即可求解,熟悉它们的定义和性质是解题的关键. 【详解】解:∵,,分别是的高、角平分线、中线, ∴,,,无法确定, 故选:. 5.B 【分析】本题考查了三角形的三边关系,先确定出最短边的长度是解题的关键. 根据边长为6的情况确定出该三角形的最短边的长度,然后根据三角形的任意两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求出最长边,从而得解. 【详解】解:根据题意,∵三角形的三边长均为整数, ∴该三角形的最短边可以是1、2、3、4、5, 当最短边为1时,无法满足条件三角形, 当最短边为2时,最长边,即最长边,所以最长边为7, 当最短边为3时,最长边,即最长边,所以最长边为7,8, 当最短边为4时,最长边,即最长边,所以最长边为7,8,9, 当最短边为5时,最长边,即最长边,所以最长边为7,8,9,10 满足条件的三角形共有. 故选:B. 6.C 【分析】本题主要考查了三角形中线的知识,理解三角形中线的定义是解题关键.根据三角形中线的定义可得,结合题意可得,进而获得答案. 【详解】解:∵是的边上的中线, ∴, ∵的周长比的周长大, ∴, ∴, ∵, ∴. 故选:C. 7.C 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形即可得到答案.本题考查三角形面积问题,掌握三角形的中线平分三角形面积是解题的关键. 【详解】解:点为的中点,, , 点为的中点, . 故选:C. 8.C 【分析】本题主要考查了三角形的中线,三角形的周长,先根据中线的定义得,再表示周长,即可得出答案. 【详解】∵是的中线, ∴. ∴与的周长之差是. 故选:C. 9.1 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性,由于三角形具有稳定性,所以只要添加的木条将四边形分成最少数目的三角形时,所需木条的数量即为最少.利用数形结合的思想是解题的关键. 【详解】解:观察图形可知,我们只需1根木条,即对角线,就可达到不变形的目的. 综上可得,要使四边形木架不变形,至少要钉1根木条. 故答案为:1. 10./ 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用,化简绝对值,根据三角形中任意两边之差小于第三边,任意两边之和大于第三边得到,则,据此化简绝对值求解即可. 【详解】解:∵的三边长为,,, ∴, ∴, ∴ , 故答案为:. 11.或 【分析】根据题意,分情况讨论当为锐角三角形时,利用同角的余角相等推出,根据对顶角相等和已知条件求出度数,即可求出度数;当为钝角三角形时,根据垂直定义,利用同角的余角相等求证,从而求出度数,最后结合邻补角定义即可求出度数. 【详解】解:当为锐角三角形时,即为锐角,如图所示, ,, ,, , , . 当为钝角三角形时,即为钝角,如图所示, ,, ,, ,, , , , . 故答案为:或. 【点睛】此题考查了三角形的高,对顶角的性质以及余角和邻补角,解题的关键在于考虑三角形的形状以及熟练掌握相关性质定理. 12. 【分析】本题考查的是三角形的面积计算,掌握三角形的面积公式 是解题的关键. 利用三角形面积公式,等高的三角形的面积比等于底边的比,则 然后利用,得到答案. 【详解】解: ∵点F是的中点, 即, 故答案为:. 13.3 【分析】本题考查了三角形中线的性质,根据中线的意义可得等底同高,即,同理可得,进而求解即可. 【详解】解:∵是的中线, ∴, ∴等底同高,即, 同理,, ∵, ∴, ∵, ∴, 故答案为:3. 14. 【分析】本题考查了与三角形高有关的计算,垂线段最短,根据题意,当时,有最小值,利用即可解答. 【详解】解:根据题意得:当时,有最小值, 中,,于E,, , , , 故答案为:. 15.9 【分析】本题考查了三角形的面积,三角形的中线,解题的关键是掌握同高三角形面积比等于底的比,三角形的中线将三角形的面积分为相等的两部分. 连接,易得,,设,,则,根据,求出,再根据,列出方程求出x的值,即可解答. 【详解】解:连接, ∵, ∴,, 设,, ∵D为中点, ∴, ∵, ∴, 解得:, ∴, ∵D为中点, ∴, ∴, 解得:, ∴, 故答案为:9. 16.③④/④③ 【分析】本题考查三角形的角平分线,中线和高,关键是掌握三角形的角平分线、中线、高的定义.由三角形的角平分线、中线、高的定义,即可判断. 【详解】解:①,是的角平分线,故①错误,不符合题意; ②是中点,是边上的中线,故②错误,不符合题意; ③,是边上的高,故③正确,符合题意; ③,,是的角子分线和高,故④正确,符合题意. ∴以上判断正确的有③④. 故答案为:③④. 17. 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系,熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键. 根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”,对分为为腰长或为底边两种情况进行分类讨论,即可作答. 【详解】解:为等腰三角形,且周长为, 分两种情况: 当为腰长时, 底边, , 不能构成三角形,故为腰长舍去; 当为底边时, 腰长, 为底边,为腰长符合三角形的三边关系, . 18.见解析 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用,延长交于点D,根据三角形三边关系可得,同理可得,和 ,将三式相加即可. 【详解】解:延长交于点D.如图, 在中,,① 在中,,② ①+②,得. , , ,③ 同理可证,④ ,⑤ ③+④+⑤,得, 即. 19.(1)16 (2)11 【分析】(1)根据三角形的中线的概念计算; (2)根据三角形的周长公式得到,,进而求出. 本题主要考查了三角形中线的定义和性质,熟练掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键. 【详解】(1)解:是 的中线,, , 是的中线, ; (2)解:是 的中线, , 与的周长差为3, , , 的周长为37,, , , . 20.(1)点A的坐标为,点B的坐标为; (2)见解析; (3)10. 【分析】本题考查了坐标与图形、三角形面积,采用数形结合的思想是解此题的关键. (1)根据平面直角坐标系得出坐标即可; (2)根据点的坐标描出点即可; (3)根据割补法得出面积即可. 【详解】(1)解:点A的坐标为,点B的坐标为; (2)解:如图: ; (3)解:四边形的面积. 21. 【分析】本题考查了一元一次方程的求解,三角形的中线等知识点,根据题意得出,结合的周长,的周长即可求解; 【详解】解:解方程得: ∴ ∵的周长,的周长 又∵ ∴ ∴ 22.(1); (2)17 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义,掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键. (1)根据三角形的三边关系解答即可; (2)根据三角形的中线的定义得到,根据三角形的周长公式计算,得到答案. 【详解】(1)解:由题意得:, , 是整数, ; (2)解:是的中线, , 的周长为10, , , , 的周长 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $$